精品解析：湖北省武汉市部分重点学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

武汉市部分重点中学2024-2025学年度下学期期中联考 高一数学 命题单位：武汉六中数学学科组 审题单位：圆创教育研究中心 武汉市第一中学 本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟. 考试时间：2025年4月14日下午14：00-16：00 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求值. 【详解】 . 故选：A 2. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式求解即可. 【详解】由题意，在上的投影向量为. 故选：A 3. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出． 【详解】由，得，而， 所以. 故选：B 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦和余弦的二倍角公式进行化简计算. 【详解】因为，所以，故，， 又因为， 所以. 故选：A. 5. 若（，i是虚数单位），则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式及三角函数性质可得解. 【详解】由已知，则， 则， 其中满足， 则， 当且仅当时，等号成立， 即的最大值为， 故选：C. 6. 已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，利用正弦定理求出圆锥的底面半径为，进而求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，由于圆锥轴截面为等边三角形，则外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径， 由正弦定理可得，则， 易知该圆锥的高为，故该圆锥的体积为. 故选：A. 7. 已知函数，若在区间内恰好有2025个零点，则n的取值为（ ） A. 2025 B. 1012 C. 1350 D. 1348 【答案】C 【解析】 【分析】令，探讨一元二次方程根的情况，再结合正弦函数的性质求解即得. 【详解】依题意，， 令，则，由，得， 显然，即方程有两个不等的实数根，， 即，，此时在上恰有3个实根， 而，因此，则. 故选：C. 8. 已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 整理得：， 因为， 所以， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 由，解得：， 因为， 所以， 解得：， 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由斜二测画法的规则复原为原图形，求解相关量逐项判断即可. 【详解】 如图1，在中，作交于点， 因为，所以，， 又 ，所以，，， 利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图2所示. 由斜二测画法，可得，，， 所以，， . 故选：ABD. 10. 已知平面向量满足，则下列结论正确是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由模长的计算可得A错误、C正确；由夹角的计算可得B正确；设，由模长的计算和可得D正确； 【详解】选项A：由得，又，所以，所以A错误； 选项B：设与的夹角为，则，因为，所以，所以B正确； 选项C：，所以，所以C正确； 选项D：设，则， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以当且仅当与反向共线时，取得最大值，且最大值为，所以D正确． 故选：BCD 11. 已知复数，则（ ） A. 若互为共轭复数，则为实数 B. 若，则或 C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，设，根据共轭复数的定义得到，计算出；B选项，举出反例得到B错误；C选项，，D选项，计算出，D正确. 【详解】设， A选项，由于互为共轭复数，故， 故，A正确； B选项，不妨设，满足，但且，B错误； C选项，若，则，C正确； D选项，， 故， ， 而， 所以，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设复数满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的除法运算求解复数，即可求得模长. 【详解】解：复数z满足，则， 所以. 故答案为：. 13. 将函数（）的图象向右平移个单位后，所得到的函数图象关于轴对称，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出图象变换后的解析式，根据得到的函数图象关于轴对称列式求解即可. 【详解】由题意得变换后图象的解析式为， 因为的图象关于轴对称，所以， 所以，即， 因为，所以. 故答案为：. 14. 我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的钝角三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案. 【详解】 连接，在中，，即， 所以，在中，， 所以， 在中，，则， 因为，，所以， 则，，所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算： （2）若对于复数z，为其共轭复数，其满足，求，并指出z在复平面对应的点位于第几象限？ 【答案】（1）；（2），z在复平面对应的点位于第一象限. 【解析】 【分析】（1）根据复数的运算性质解题即可； （2）设，，则，根据化简可得，然后求解即可. 【详解】（1）； （2）设，，则， 由可得，化简得， 所以，所以，，所以， 所以， 在复平面对应的点坐标为，位于第一象限. 16. 设内角所对的边分别为，已知，且． （1）求的面积； （2）若为角的平分线，交于，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，，结合余弦定理化简得，再根据三角形面积计算公式计算即可； （2）根据及，化简计算即可. 【小问1详解】 由余弦定理可得：，即， 因为，，所以， 所以； 【小问2详解】 因为为角的平分线，所以 因为， 所以，而， 所以. 17. 已知平面向量，其中是夹角为的单位向量． （1）当，求与夹角余弦值； （2）若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角公式即可求得答案； （2）若与的夹角为钝角，则且不共线，即可解得的取值范围． 【小问1详解】 由已知，是夹角为的单位向量， 所以， 又，则， 所以， 又， 所以． 【小问2详解】 若与的夹角为钝角，则且不共线， 所以，且， 所以，且， 所以且． 18. 某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为活动区域，已知扇形AOB的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上，其中（如图2所示）； （1）若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值： （2）改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上，有（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？ 【答案】（1）平方米 （2）方案一更优，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）结合题意图形，可得活动区域面积关于的表达式，然后利用三角函数恒等变换知识可得答案； （2）如图，设，由题意及图形可得活动区域面积关于的表达式，利用三角函数恒等变换知识算出面积，比较即可得答案. 【小问1详解】 由题可得， ，， 则， 则此时活动区域面积为： ，又注意到. 则，则， 当且仅当时，活动区域面积最大为平方米； 【小问2详解】 如图，取ED中点为I，FC中点为J，连接OI，延长OI与弧BA交于点G，则由对称性及垂径定理，可得O，J，I，G四点共线，平分， 可得，设，则， ，， 则， 则此时活动区域面积为： ， 又注意到.则， 则， 当且仅当时，活动区域面积最大为； 注意到，则，， 则选择方案1更好. 19. 斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，点在边上，有． （1）若，为中点，求； （2）当为角平分线时，利用斯特瓦尔特定理证明：； （3）在内，AD为的角平分线，点E在线段DC上，，求的值．（角平分线定理：在中，若为角平分线，在上，则有：） 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 分析】（1）利用题设结论，即可求解； （2）利用角平线性质，设，则有，再利用题设结论，即可证明结果； （3）根据题设有，利用（2）中结果可得，，两式相减即可求解. 【小问1详解】 ，为中点， 则，所以. 【小问2详解】 因为为角平分线，则，设， 则，所以， 则 ，命题得证. 【小问3详解】 因为，则，又为的角平分线，， 由（2）知，，且有， 所以①， 又②， 又，则①②得, 所以，得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武汉市部分重点中学2024-2025学年度下学期期中联考 高一数学 命题单位：武汉六中数学学科组 审题单位：圆创教育研究中心 武汉市第一中学 本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟. 考试时间：2025年4月14日下午14：00-16：00 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，，，则（ ） A B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若（，i是虚数单位），则最大值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在区间内恰好有2025个零点，则n的取值为（ ） A. 2025 B. 1012 C. 1350 D. 1348 8. 已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有（ ） A. B. C. D. 10. 已知平面向量满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 的最大值为 11. 已知复数，则（ ） A. 若互为共轭复数，则为实数 B. 若，则或 C. 若，则 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设复数满足，则__________． 13. 将函数（）图象向右平移个单位后，所得到的函数图象关于轴对称，则______. 14. 我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的钝角三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算： （2）若对于复数z，为其共轭复数，其满足，求，并指出z在复平面对应的点位于第几象限？ 16. 设内角所对的边分别为，已知，且． （1）求的面积； （2）若为角的平分线，交于，求的长度． 17. 已知平面向量，其中是夹角为的单位向量． （1）当，求与夹角的余弦值； （2）若与夹角为钝角，求的取值范围． 18. 某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为活动区域，已知扇形AOB的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上，其中（如图2所示）； （1）若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值： （2）改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上，有（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？ 19. 斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，点在边上，有． （1）若，为中点，求； （2）当角平分线时，利用斯特瓦尔特定理证明：； （3）在内，AD为的角平分线，点E在线段DC上，，求的值．（角平分线定理：在中，若为角平分线，在上，则有：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$