查漏补缺02 三角形及特殊三角形（3考点9题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

查漏补缺02 三角形及特殊三角形 （3考点9大题型） 考点一：三角形的基础 【题型一】三角形的三边关系 易错点01：所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 易错点02：如遇到等腰三角形求边长，要注意分类讨论. 解题大招01：判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 解题大招02：已知等腰三角形两边长，但没有明确腰，底分别是多少，需要进行讨论，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 解题大招03：已知等腰三角形周长和一条边的长，需分情况讨论已知的边长是腰还是底，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 【中考真题】 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 2．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3， 等腰三角形的底长， 即等腰三角形的底长， 等腰三角形的周长， 故选：B． 3．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（    ） A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断． 【详解】A、，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、，不能构成三角形，故此选项不合题意； D、，能构成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数． 4．（2023·福建·中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得，即， 故的值可选5， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键． 5．（2023·河北·中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，即， 当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，为等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）． 【答案】4 【分析】根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：设第三边的长为x，则有，即， ∵该三角形的边长均为整数， ∴第三边的长可以为3、4、5、6、7， 故答案为4（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 7．（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据三个数在数轴上的位置得到，再根据三角形的三边关系得到，求解不等式组即可． 【详解】解：∵3，在数轴上从左到右依次排列， ∴，解得， ∵这三个数为边长能构成三角形， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键． 8．（2021·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数． 【答案】； 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用三角形三边的关系，求得m的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长， ∴3-2＜m＜3+2，即1＜m＜5， ∵m为整数， ∴m=2、3、4， 又∵m≠0、2、3 ∴m=4， ∴原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及三角形三边的关系，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 【模拟训练】 1．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 2．（2025·陕西西安·一模）如图，四边形中，，，，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据构成三角形的条件可得，则由等腰三角形的定义可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵为等腰三角形，且，， ∴， 故选：C． 3．（2025·江苏镇江·一模）等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长为2时；当等腰三角形的一腰长为2时；然后分别进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的底边长为2时， 等腰三角形的周长为12， 它的一条腰长， ， 能组成三角形； 当等腰三角形的一腰长为2时， 等腰三角形的周长为12， 它的底边长， ， 不能组成三角形； 综上所述：它的一条腰长是5， 故选：B 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）若，，是某三角形的三边长，则可取的最大整数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．设第三边长为，然后再利用三边关系列出不等式组，进而可得答案． 【详解】解：∵，，是某三角形的三边长， ∴， 即：， ∴可取的最大整数为 故选：C． 5．（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是（     ） A．9 B．15 C．12或15 D．不能确 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的定义． 先利用因式分解法解得到，，然后分类讨论：当三角形的腰为6，底为3时，得三角形的周长；当三角形的腰为3，底为6时不符合三角形三边的关系，舍去． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 当三角形的腰为6，底为3时，三角形的周长为， 当三角形的腰为3，底为6时，，故不符合三角形三边的关系，舍去， 所以三角形的周长为15． 故选：B． 6．（2025·河北石家庄·一模）如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（   ） A．4 B． C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等形的判定和性质，勾股定理，三角形三边数量关系的计算是关键． 如图所示，连接，由三角形三边数量关系得到，，证明，，，，，在中，，点在外部，即，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O 在中，， ∴，即， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，， 点在外部，即， ∴， 故选：C ． 7．（2025·山东日照·一模）线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查构成三角形的三边关系、解不等式组、不等式组有解时参数范围等知识，先由三角形三边关系得到，再解含参数的不等式组，根据不等式组有解情况得到所有整数，求和即可得到答案．熟练掌握由不等式组有解情况求出参数范围的方法是解决问题的关键． 【详解】解：线段能构成三角形， ， ， 由②得， 关于的不等式组有解， 不等式组的解集为， 则，即， 为整数， 可取， 则使关于的不等式组有解的所有整数的和为， 故答案为：． 8．（2021·湖南·一模）已知a，b，c是的三条边的长，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出是解题的关键． 先根据三角形的三边关系判断：，然后化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【详解】解：∵是的三条边长， ， ， 故答案为：． 9．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】 小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】 她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是： ． （2）的取值范围是 【模型应用】 （3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据三角形三边关系求出，即可求解； （3）延长至点F，使，同（1）可证，得出，，，进而得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，然后根据“燕尾”四边形的面积为求解即可． 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE， ∵是中线， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，， 又， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）延长至点F，使， 同（1）可证， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴“燕尾”四边形的面积为， 故答案为：8． 【题型二】三角形“五线”的性质 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 图形语言 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 用途举例 1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等． 线段名称 三角形的中位线 三角形的垂直平分线 图形语言 性质 ∵DE是∆ABC的中位线 ∴DE=BC DE∥BC ∵直线l是AB的垂直平分线 ∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90° 用途举例 1）线段平行．2）线段关系． 1）线段相等．2）角度相等． 解题大招01：条件中有中点,想到作中线,更要想到作中位线.中点必定与中线或者中位线相联系. 解题大招02：1）高与面积有关:①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线. ②高相等，面积之比等于底边之比. 2)高与勾股定理的联系：有高就有直角,想到勾股定理. 【中考真题】 1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 2．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 【答案】C 【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴只需要知道的面积即可求出的值； 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到 4．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：． 6．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 7．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明 ，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，   矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又 ， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 8．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．    【答案】 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键． 9．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴O是中点， 又∵E是中点， ∴OE是的中位线， ∴，， ∵的周长为12，， ∴， ∴的周长为． 故选：B. 10．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出取最大值时B、P、M三点的位置关系． 取的中点M，连接、，利用解三角形求出，利用三角形中位线定理推出，当在下方时，如果B、P、M三点共线，则有最大值． 【详解】解：取的中点M，连接、． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵P、M分别是的中点， ∴． 如图，当在下方时，如果B、P、M三点共线，则有最大值， 最大值为， 故答案为：． 11．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    【答案】 【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设，，    ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴ ∴，则， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 12．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可； 【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 令， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 13．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由题意得是线段的垂直平分线，故点D是斜边的中点．据此即可求解； （2）根据、的周长即可求解； 【详解】（1）解：由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴在中，点D是斜边的中点． ∴． （2）解：在中，． ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长． 【模拟训练】 1．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，过点作于点，过点作于点，若，则的高与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查与高有关的计算，根据等积关系求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·湖北·模拟预测）的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，先由勾股定理逆定理判断出为直角三角形，且，设斜边上的高为，根据等面积法求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形，且， 设斜边上的高为，则， ∴， ∴以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是相切， 故选：C． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法不正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点的函数图象，三角形的面积，将坐标系中的图象与点的运动过程对应是本题的解题关键． 将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论． 【详解】由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12， ∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动， ∴． ∵， ∴， ∴A选项的结论正确，故该选项不符合题意； B选项的结论正确，故该B选项不符合题意； 由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处， ∴， 由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处， ∴， 由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处， ∴． ∴C选项不正确，故该选项符合题意；； ∵图①中各角均为直角， ∴， ∴D选项的结论正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，D，E，F分别为三边上一点，且交于点G，若，则（   ） A．50 B．54 C．60 D．63 【答案】C 【分析】本题主要考查等积法及一元二次方程的解法，熟练掌握等积法是解题的关键；设，由题意易得，，然后可建立方程进行求解． 【详解】解：设，由等积法可知：， ∴，即①， ∵， ∴，即②， 联立①②可得：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴； 故选C． 5．（2024·贵州·模拟预测）如图，在等腰直角中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，为上一动点，当最小时，的长为(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角想性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键，过点作于点，由角平分线的性质得出，再证明是等腰直角三角形，得出得出，继而得解． 【详解】如图，过点作于点．当点与点重合时，最小， 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴ 所以． 故选：C． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点M、N； ②作直线交于点D，连接；若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：， ， ， 由作图可知，垂直平分， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 7．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，利用三角形中位线定理得到．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ． ， 故选：B． 8．（2024·吉林长春·模拟预测）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材页的部分内容． 例  如图，在中，分别是边的中点，相交于点．求证：． 证明  连接． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 证明：连接， 【结论应用】 （）如图②，在中，，，分别是边的中点，相交于点．若，则______． （）如图③，在中，分别是边的中点，相交于点．过点作交于点，如果的面积是，那么的面积是_____． 【答案】教材呈现：证明见解析；结论应用（）；（） 【分析】教材呈现：连接，根据三角形中位线的性质可得，进而根据相似三角形的性质即可求解； 结论应用（）如图②，连接，证明，根据相似三角形的性质得出，进而根据直角三角形斜边上的中线以及勾股定理即可求解； （）如图③，连接，证明，得到，进而得，，即可得，又可得，得到，即得到，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】教材呈现： 证明：连接， ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 结论应用： （）如图②，连接， ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图③，连接， ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中点，的面积是， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三】三角形内角和与外角 易错点01：任意多边形的外角和都为360°，与边数无关. 1）三角形的内角和为180°； 2）直角三角形中两锐角和为90°； 3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 【中考真题】 1．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得，．根据三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解． 本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵四边形是的内接四边形 ∴， ，， ， ，，， ， 解得， ， ． 故选：C 4．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得． 【详解】解：等腰三角形有一个内角为， ∴这个等腰三角形的底角是， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等． 5．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，   ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 即旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键． 6．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 7．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 8．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 9．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【答案】或或 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，，      由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时，   ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，    ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，      ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 【模拟训练】 10．（2025·天津河东·一模）如图，中，若，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心．大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；③作射线，与相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案． 【详解】解：∵，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：C． 11．（2025·广东深圳·一模）为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务．图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构示意图．支架和与地面平行，．当为多少度时，平行于支撑杆？（　　） A．15 B．60 C．70 D．115 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键．由两直线平行内错角相等，得到，再结合三角形内角和定理去，求出，再根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ， ， ， ， 即当为60度时，平行于支撑杆， 故选：B． 12．（2025·山西·一模）如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 【答案】A 【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌握三角形的相关性质成为解题的关键． 如图：延长相交于点E，由题意可得：，由邻补角的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，再最后根据三角形内角和定理求得即可． 【详解】解：如图：延长相交于点E， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 13．（2025·山东济南·一模）如图，在中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，取的中点，连接；任取一点，使点和点位于边的两侧，以点为圆心，以的长为半径作弧，与边相交于点和，再分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，作直线，交于点．若且，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由作图可知，垂直平分，，利用等腰三角形“三线合一”“等边对等角”以及三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：由作图可知， ， 是的中点， ，故选项A正确； ，， ， 由作图知，垂直平分，， ， ，故B选项正确； ， ， ， ， ，故D选项正确； 现有条件不能证明，故C选项错误； 故选C． 14．（2025·安徽滁州·一模）如图，四边形是的内接四边形，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．由四边形是的内接四边形，得到，得出，再在中利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ． 故选：A． 15．（2025·广东清远·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于360°是解题的关键． 根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∴ ∴这个正多边形的一个外角为， 所以这个多边形的边数为， 故选：C． 16．（2025·河北石家庄·模拟预测）将一副三角尺按图所示方式摆放，它们共用顶点，，分别交于点，．若，，，，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，，得出，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解： ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查作图——基本作图，角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，根据题和尺规作角平分线的方法可得平分，根据角平分线的性质可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理求出，，求得，推得，根据角平分线的性质可得，根据角平分线的判定推得平分，即可求解． 【详解】解：延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，如图， 由作图可知平分， ， ，， ， 在中，， 在中，， ， ， ，， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 18．（2025·陕西西安·二模）如图，在正八边形中，连接，交于点P，则的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了正多边形的内角和、平行线的性质、三角形内角和定理，由题意可得出，，由平行线的性质可得，结合对顶角相等得出，计算即可得解． 【详解】解：∵为正八边形， ∴， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，分别为边，上的点，将沿着翻折，得到，与相交于点，连接．当为等腰直角三角形时，的度数为 ． 【答案】/13度 【分析】本题考查图形的变化，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质与判定熟练掌握是解答本题的关键．根据折叠得，利用外角得，求出，再利用外角得，求出，即可求得． 【详解】解：将沿着翻折，得到， ， 为等腰直角三角形， ， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 故答案为：． 考点二： 全等三角形 【题型一】全等三角形的判定 易错点01：若△ABC≌ΔDEF，则前后对应关系确定；若△ABC与△DEF全等，则前后对应关系不确定. 易错点02：三角形判定中，有两种不能判定三角形全等的方法：SSA和AAA. 解题大招01：判定两个三角形全等的思路： 解题大招02：证三角形全等时，常用的隐含条件： 1）公共角(或公共边)； 2）对顶角相等； 3）等角加(或减)等角仍是等角； 4）角平分线得两等角； 5）平行线得同位角、内错角相等. 【中考真题】 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（   ）    A．为矩形两条对角线的交点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 由矩形的性质得出 ，再由平行线的性质得出，，然后由全等三角形的判定逐一判定即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴，， A、∵O为矩形两条对角线的交点， ∴， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； B、在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定， 故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 3．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵，∴． ∵，，， ∴①． 又∵，， ∴（②）． ∴．∴四边形是平行四边形． 故选：D． 4．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 5．（2024·四川广安·中考真题）如图，菱形中，点E，F分别是，边上的点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．先证明，根据性质得出即可证明结论． 【详解】证明：在菱形中，， 又， ， ， ． 6．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】①（或②） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】解：可选取①或②（只选一个即可）， 证明：当选取①时， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 证明：当选取②时， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：①（或②） 7．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由矩形的性质可得，，，即得，由折叠的性质可得，，，，即得，，进而得，即可由证明； （）由（）得，，即可得到，，进而即可求证； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（）知，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 【模拟训练】 1．（2025·山东聊城·一模）如图，在中，，相交于点O，，． 过点A作交于点E，记长为x，长为y． 当x，y的值发生变化时，代数式的值是（   ） A．12 B．16 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，证明，得出，表示出，，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值是， 故选：C． 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，点、、分别在、、上，连接、、、、，其中，，若，则一定等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，构造合理的辅助线证明三角形全等是解题的关键． 根据正方形的性质得到，，如图所示，将绕点顺时针旋转得到，可证，，则，如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，证，得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，且， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 3．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，在与中，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等． 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．，不符合全等三角形的判定定理，不能推出与全等，故本选项符合题意； B．，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．（2025·河北衡水·模拟预测）如图，某同学用一个等边三角形和一个正五边形设计了一个宝石徽章，其中为两个图形的公共边，连接，交于点，下列说法错误的是（    ） A． B． C．是等腰三角形 D．垂直平分 【答案】A 【分析】A、利用多边形的内角和公式结合正五边形的每条边都相等得，推出，即不垂直于； B、利用A选项得，，得； C、如图，连接、，证得、可得，推出，得即可求解； D、由得，利用垂直平分线的判定即可求解． 【详解】解：A、五边形是一个正五边形，且是一个等边三角形， 内角和为，，， ， ， ， 不垂直于，此选项错误，但符合题意； B、由A选项得， ， ， ，此选项正确，但不符合题意； C、如图，连接、， 五边形是一个正五边形，且是一个等边三角形， ，， ， ∴； 同理可证， ∴， ， ， 由B选项得， ， ， 是等腰三角形． 此选项正确，但不符合题意； D、， ， ∵， 是的垂直平分线． 此选项正确，但不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，正五边形和等边三角形的性质，平行线的判定，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握各种判定和性质是解题关键． 5．（2025·贵州遵义·一模）小方在学习画角平分线后，想到用三角尺也能画出的角平分线，如图，她将两块三角尺的一直角边分别与角的两边、重合，移动三角尺使得，另两条直角边相交于点，则点一定在的角平分线上．这种做法的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，进而根据判定，进而即可求得答案．本题考查了判定三角形全等以及全等三角形的性质，理解题意是解题的关键． 【详解】 ， ， ， ∴是的角平分线， 即点一定在的角平分线上．这种做法的理由是 故选A 6．（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，点，点在对角线上．要使，可添加的条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别判断即可． 【详解】解：∵为平行四边形， ∴，， ∴； A、当无法得出，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， 故此选项符合题意； C、由平行四边形的性质可推出，不能证明，故此选项不符合题意； D、由平行四边形的性质可推出，不能证明，故此选项不符合题意． 故选：B． 7．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，点D、E、F分别是的边、、的中点，连接、、，则图中与全等的三角形（不含）共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定，结合中位线的定义以及性质可得出，再由和有条公共边利用即可证得，同理即可证出，，由此即可得出结论． 【详解】解：D、E、F分别是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可证得: ，， ∴图中与全等的三角形是，共3个， 故答案为：3． 8．（2024广州市模拟预测）已知，．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在上由点B向点D运动．它们运动的时间为． (1)如图①，，，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，理由见解析；此时 (2)存在，，或， 【分析】（1）利用“”证得，得出，进一步得出得出结论即可； （2）与全等，分两种情况：①，②，建立方程组求得答案即可． 【详解】（1）解：当时，与全等，此时．理由如下： ，点与点的运动速度均为以， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：点的运动速度为，运动的时间为， ∴， 点在上以的速度由点向点运动， ，则， 又， 当与全等时，有以下两种情况： ①当，时，， ， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， 当，时，和全等； ②当，时，， 由于，因此，此时点与点重合，如图所示： 由，得：， 解得：， 由，得：， 将代入，得． 当，时，和全等． 综上所述：当，或，时，和全等． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用． 【题型二】全等三角形的性质与判定 【中考真题】 1．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． （1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）由题目中的中，O为对角线的中点，可以得出，，结合，可以证得两个三角形全等，进而得出结论； （2）由（1）中得到的结论可以得到，结合得出四边形是平行四边形，进而利用证明出四边形为菱形，根据即可求出菱形的周长． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是对角线的交点， ∴， 在△和中，， ∴． （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接． (1)若，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案； （2）连接，首先证明，再根据三角形内角和定理和圆周角定理求出，然后计算出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切线的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为． (1)求，的值； (2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，然后利用待定系数法即可求得k的值； （2）根据直线向上平移m个单位长度，可得直线解析式为，根据三角形全等的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数图象上， ∴，解得， 将代入， ； （2）解：如图，过点C作轴于点F， ， ，， ， ， ，， ∵直线向上平移m个单位长度得到， 令，得，令，得， ，， ，， ， 双曲线过点C， ， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点C的坐标是解题的关键． 5．（2024·新疆·中考真题）【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（） ，理由见解析； ，理由见解析；（）或． 【分析】（） ．证明可得，即得，进而可得； ．同理即可求解； （）分点在上，和点在的延长线上，两种情况，画出图形，结合四点共圆及圆周角定理解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等角对等边，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：（） ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （）解：分两种情况：如图，当点在上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 6．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 【答案】（1）4；4；（2）；类比探究：见解析；拓展延伸： 【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，三角形的全等的判定及性质，三角函数的概念等知识点，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 操作发现：（1）根据图形即可判断重叠部分即为（对角线分成的四个三角形中的一个）求出面积即可；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，证明四边形是正方形，求解面积即可； （2）如图，过点作于点，于点．证明，从而证明，即可求得结论； 类比探究： 先证明，从而证明，即可证明结论； 拓展延伸：过点作于点，于点．先证明，即可证明，，从而证明，根据，即可求得，由重叠部分的面积，即可求得结果． 【详解】解：操作发现：（1）四边形是正方形， ， 当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为； 当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形的面积是4， 故答案为：4，4； （2）如图，过点作于点，于点． 是正方形的中心， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； 类比探究： 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 拓展延伸： 过点作于点，于点． 同（2）可知四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， 重叠部分的面积 ． 【模拟训练】 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，在和中，与相交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据直接证明，即可； （2）根据（1）得出则，进而根据三线合一求得的长，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， （2）解：过点作于点 由（1），， ， ， ， 在中，， ， ． 2．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，． (1)求证； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得，继而得到，根据矩形的性质得到，继而得到，进而可证明是等边三角形，即可得到，进而求得，，即可求得矩形的面积． 【详解】（1）证明：∵在矩形中， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵，由（1）知， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，即点是矩形对角线的交点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，，， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 3．（2025·吉林长春·一模）已知四边形是正方形，点为平面内一点，连结，将绕点顺时针旋转得到，连结，已知点为的中点，连结． (1)如图①，若点为边上一点，易知线段和的数量关系为_____（不需要证明）． (2)如图②，若点是正方形的内部一点，可证（1）中线段和的数量关系仍然成立，以下是小明的部分证明过程，请补充完整． 证明：延长到点，使，连结，如图③， 为的中点， ， 又，， ， ．．．．．． (3)若点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，连结，当时，线段的最大值为_____． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）证明，可得，而，即知； （2）延长到，使，连接，由，可得，即知，由绕点B顺时针旋转得到，有，得，故，即得，故，从而； （3）取的中点，连接，可得，，在中，，故当共线时，最大，最大为，即可得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ， ∵将绕点顺时针旋转得到， 在上，， ∵， ， ， 为斜边的中点， ， ； （2）解：（1）中线段和的数量关系仍然成立，理由如下： 延长到，使，连接，如图：   为的中点， ， ， ， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：取的中点，连接，如图：   为中点， 为的中位线， ， ， ， 在中，， ∴当共线时，最大，最大为，如图：    此时， ∴线段的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形的判断与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 考点三： 特殊三角形 【题型一】等腰三角形性质与判定综合 易错点01：等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 易错点02：“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 易错点03： 解题大招01：等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 解题大招02：等腰三角形的高、中线、角平分线可知一推二. 解题大招03：平行平分出等腰. 解题大招04：证明两个角相等的方法：1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明. 2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决. 解题大招05：已知双腰上的高求定值的证明利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的中动点只能在底边所在直线上运动，此时连接该点和底边所对顶点，能将原图形分割成两个底相等的三角形. 【中考真题】 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 2．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论． 【详解】解：A、连接，    ∵，，， ∴， ∴     又∵点F为的中点 ∴，故不符合题意； B、连接，    ∵，，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； C、连接，    ∵点F为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； D、，无法得出题干结论，符合题意； 故选：D． 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意的作图可得平分，则，由，可得，从而，因此，又，得证四边形是平行四边形，得到．根据和对顶角相等证得，从而，因此即可解答． 【详解】根据题意的作图可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键． 4．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】过点作，垂足为，如图所示，利用三角函数定义得到，延长到，使，连接，如图所示，从而确定，，再由辅助圆-定弦定角模型得到点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示：    ， 在中，设，则，由勾股定理可得， ，即， ， 延长到，使，连接，如图所示：    ， ，， 是等腰直角三角形，则， 在中，，，由辅助圆-定弦定角模型，作的外接圆，如图所示：   由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示：   是的直径， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，则由勾股定理可得，即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题的关键． 5．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由题意易得，，，，则可证，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，， ∴，故①正确； ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，；故②错误； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； 故答案为①③④． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键． 6．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 7．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 8．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②根据得到即可得到结论． 【详解】（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ； （2）解：①； 理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ②证明： ∵， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 【模拟训练】 1．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在中，，设，，且是定值，点是上一点，点为中点，连接，将线段沿绕点顺时针旋转，得到线段交于点，若点关于直线的对称点恰为点，则下列线段长为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，在上取点H，使，连接，过点E作于点K，根据直角三角形的性质得出，设，则，求出，得出，求出，得出，求出，，得出，求出，，，从而求出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，，，在上取点H，使，连接，过点E作于点K，如图所示： ∵在中，，点为中点， ∴， ∴， 根据旋转可知：，， ∴和为等腰三角形，， 设，则， ∴， ∴， 根据轴对称可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴、均不是定值， ∴， ∴为定值， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不是定值， 综上分析可知，为定值， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知如图，在等腰三角形中，，，在上取一点E，使，的延长线交线段的垂直平分线于点D，，则①；②；③；④．以上结论正确的是 ． 【答案】②④ 【分析】先运用等腰三角形的性质得，外角性质得，再结合三角形内角和性质得，再结合垂直平分线的性质得，，得出是等腰直角三角形，在中，，代入数值计算，得，，然后运用证明，，运用30度所对的直角边是斜边的一半得，再结合勾股定理算出，，再运用角的关系计算，然后再求出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵在等腰三角形中，， ∴， ∴ ∵的延长线交线段的垂直平分线于点D， ∴， ∴， 过点A作，过点E作，过点D作，并交于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∵ ∴ ∴ 设 ∴ 即 ∴， ∵，，， ∴， 则在中，， ∴ 解得， ∴， 则，故④是正确的； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 则， 即， ∴， ∴， 故②是正确的； ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故③是错误的； ∵是等腰直角三角形，， ∴， 故①是错误的； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，度所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，全等三角形的判定与性质，外角性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，若为等腰直角三角形，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，求出顶点的坐标是解题的关键． 先求出，则可得，对称轴为直线，那么，由为等腰直角三角形，可得为等腰直角三角形，则，故，再将其代入，即可求解． 【详解】解：记对称轴与轴交于点E， 当时，，而 ∴或， ∴， ∴，对称轴为直线， ∴， ∵为等腰直角三角形，只能为， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 4．（2025·湖北恩施·一模）已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）先根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点，再利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，求出直线的解析式为，再求出直线的解析式，令，求出点，根据，建立方程求解即可； （3）设点，由易证是等腰直角三角形，得到，分和两种情况讨论，利用正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵物线的对称轴为直线，且经过点和，则B点坐标为， 则抛物线 将代入上式中， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）设点M的坐标为，直线的解析式为 ∵代入上式得： 再将点代入上式得： ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 令 解得：， ∴ ∵是以为底的等腰三角形， ∴ 则 解得 ∴P的坐标为或； （3）设点， ∵ ∴ ∴ ∴使得中有一个角是的2倍 则为直角三角形 当时，如图，过点Q作轴于点D， ∵ ∴ ∴ ∵，，，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴； 当时，如图，过点Q作轴于点F， 同理： ∵，， ∴， ∴，则， ∴； 当时，该情况不存在 ∴Q点的坐标为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及等腰三角形的判定、二次函数的最值，解直角三角形等知识，考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强． 5．（2023·湖南永州·二模）如图，在等腰三角形中，，点是底边上任意一点不与、重合，过C作于D，为AB边上的高过点作，，垂足为、，由等面积法可知，即，从而可得：．即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高．      (1)如图1，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作、的垂线，垂足分别为、．求的值； (2)如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点不与点，重合，过点分别作直线、的垂线，垂足分别为、，以、为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长； (3)如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线，垂足分别为点、、．若，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)平行四边形的周长为 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求得，设到的距离为，等面积法求得，根据题意，即可求解； （2）根据折叠的性质，得出是等腰三角形，勾股定理求得即等腰三角形腰上的高，结合平行四边形的性质即可求解； （3）根据三角形的面积公式，根据，求得，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， 设到的距离为， 则， ∴， ∵等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高． ∴ （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合， ∴，，， ∴ ∴ ∴是等腰三角形， 在与中， ∴ ∴， 在中，, 即等腰三角形，腰上的高为， 依题意，， ∴平行四边形的周长为； （3）解：如图所示，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．    【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握题中结论是解题的关键． 【题型二】等边三角形性质与判定综合 1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 【中考真题】 1．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可． 【详解】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则： （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用三角形相似及可得，再利用三角形的外角性质结合可求得； （2）作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：(已知)， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ， ，， 如图，过点作的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． 5．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H． (1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________； (2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值； (3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由． 【答案】(1)菱形 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，则四点共圆，由三线合一定理得到，则为过的圆的直径，再由，得到为过的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明，推出四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形； （2）由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可推出，进而可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，则可设，则，，由勾股定理得到，可得，则当时，有最大值，最大值为； （3）过点B作于M，过点E作于N，连接，则，，，证明，进而可证明，得到，则，即． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵点E是的中点， ∴， ∴为过的圆的直径， 又∵， ∴为过的圆的直径， ∴点H为圆心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴两张纸片重叠部分的形状是菱形； （2）解：∵都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等边三角形， 过点E作， ∴设，则，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点B作于M，过点E作于N，连接， ∵都是边长为的等边三角形， ∴，， ∴由勾股定理可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键． 【模拟训练】 1．（2025·河北保定·一模）菱形中，，，是中点，是上的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，等边三角形的判定和性质，轴对称最短路径问题，解决本题的关键是掌握菱形的性质； 根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质、勾股定理定理计算即可； 【详解】如图，连接，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ， ，，， 由勾股定理得：， ， 是中点， ， ，， ， ， 根据两点之间，线段最短可知此时的周长最小， 的周长的最小值， ， 为等边三角形， 为中点， 为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 的周长的最小值； 故选：D 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧．若，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了求不规则图形面积，扇形面积公式，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，设两弧交于点F，过点F作于点E，连接，，首先证明出是等边三角形，然后求出，，然后求出，然后利用代数求解即可． 【详解】解：如图所示，设两弧交于点F，过点F作于点E，连接，， ∵四边形是正方形， ∴ ∴是等边三角形 ∵ ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含角直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，作轴于点，可证明是等边三角形，得到，得出，求出，根据勾股定理求出，得到点的坐标为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，作轴于点， 菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 故选：A． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在和中，，，，D为边上一点（不与点B，C重合），连接． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解答的关键． （1）先证明是等边三角形得到，再推出，进而证明得到，即可得出结论； （2）证明得到，，利用等腰直角三角形的性质得到，进而有，利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：． 理由如下：∵， ∴，又，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（2025·新疆阿克苏·一模）如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使．连接． (1)求证：； (2)过点作，交于点，连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质及判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质及判定是解决此题的关键． （1）根据已知等边三角形的性质可推出是等边三角形，从而再利用判定； （2）由已知可得四边形是平行四边形，从而得到，由（1）知得到，从而可得到，进而即可得证； 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）证明：， 四边形是平行四边形， ， 由(1)知， ， ， 为等边三角形． 【题型三】直角三角形性质与判定综合 易错点01：若题目中没有指明边的类型，注意分类讨论，已知的两边为两条直角边，或已知的两边为一条斜边，一条直角边. 解题大招01：因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以我们在图形中至少可以找到三条相等的线段，进而可以运用等腰三角形的性质解决问题. 解题大招02：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.这个性质常常用于计算三角形的边长也是证明一边(30°角所对的直角边)等于另一边(斜边)的一半的重要依据.当已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形. 解题大招03：若图中没有含特征线段的直角三角形，则需添加辅助线，构造满足条件的直角三角形. 【中考真题】 1．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是， 故选：D． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    【答案】 【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设，，    ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴ ∴，则， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 5．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【模拟训练】 1．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，利用三角形中位线定理得到．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ． ， 故选：B． 2．（2025·湖北襄阳·二模）如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先根据点A的坐标求出的长，再由直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长，求出，进而可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设点B的对应点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D， ∵点A的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：B． 3．（2025·安徽滁州·一模）如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，取的中点，连接，，先证明为等腰直角三角形，得出，然后得出当时，取最小值，则也取最小值，最后直角三角形的性质和勾股定理求出的值即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，， ，， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 当时，取最小值，此时的值也最小， ， ， ， ∴， 的最小值为， 此时，的最小值为． 故选：A． 4．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交，于点，，，连接．若长的最小值为，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】由菱形的性质得，根据“垂线段最短”知：当长取最小值时，由含角的直角三角形的性质得，继而得到，最后根据锐角三角函数的定义即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形且， ∴， ∵为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，且长的最小值为， ∴，即， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，含角的直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，垂线段最短等知识点，解题的关键是正确理解垂线段最短的意义． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，设交于点，则即为的最小值，由轴对称的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，在中，根据勾股定理可得，即，进而可得，，，由平行四边形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点， 则即为的最小值， 由轴对称的性质可得： ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握轴对称——最短路线问题是解题的关键． 【题型四】勾股定理及应用 易错点01：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 易错点02：应用勾股定理时，要分清直角边和斜边. 解题大招01：勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一，若图中没有含特征线段的直角三角形，则需添加辅助线，构造满足条件的直角三角形. 解题大招02：解决“翻折”问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或通过勾股定理列方程使问题得以解决. 【中考真题】 1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 2．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 3．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 4．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，可求得，，从而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， 故选：A． 5．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．   中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 6．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 7．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 【模拟训练】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知在矩形中，，，点E在直线上，且，则 ． 【答案】3或27 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，分两种情况：点在点右侧，点在点左侧，利用矩形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】在矩形中，，，，， 当点在点右侧时，，则； 当点在点左侧时，，则； 综上，的长为3或27， 故答案为：3或27． 2．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，点C为线段的中点，将线段绕点B逆时针旋转一定角度后，点A、C同时落在反比例函数（，）的图像上，则 ． 【答案】 【分析】首先勾股定理求出，然后设旋转后，，由点C在反比例函数图象上得到，表示出，然后根据得到，然后代入求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∴ ∵将线段绕点B逆时针旋转一定角度后，点A、C同时落在反比例函数（，）的图像上， ∴设旋转后 ∵点C为线段的中点 ∴旋转后，即 ∴ 整理得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴将代入整理得， ∴（负值舍去） 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线交于点，分别过点作，，垂足分别为点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能否是菱形？简要说明你的理由； (3)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形不能是菱形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由于点E，于点F，得，，由平行四边形的性质得，且，则，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形； （2）由于点E，得，即，可知四边形不能是菱形； （3）由全等三角形的性质得，，因为，所以，则，由，，根据勾股定理得，求得，则，求得，则，所以 【详解】（1）证明：于点E，于点F， ，， 四边形是平行四边形， ，且， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形不能是菱形， 理由：四边形是平行四边形， 点E与点F不能重合， 于点E， ， ， 四边形不能是菱形． （3）解：由（1）得， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得或不符合题意，舍去， ， ， ， ， 平行四边形的面积为． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 查漏补缺02 三角形及特殊三角形 （3考点9大题型） 考点一：三角形的基础 【题型一】三角形的三边关系 易错点01：所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 易错点02：如遇到等腰三角形求边长，要注意分类讨论. 解题大招01：判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 解题大招02：已知等腰三角形两边长，但没有明确腰，底分别是多少，需要进行讨论，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 解题大招03：已知等腰三角形周长和一条边的长，需分情况讨论已知的边长是腰还是底，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 【中考真题】 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 2．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 3．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（    ） A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 4．（2023·福建·中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 5．（2023·河北·中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）． 7．（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为 8．（2021·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数． 【模拟训练】 1．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，四边形中，，，，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·江苏镇江·一模）等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．4 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）若，，是某三角形的三边长，则可取的最大整数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是（     ） A．9 B．15 C．12或15 D．不能确 6．（2025·河北石家庄·一模）如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（   ） A．4 B． C．9 D．11 7．（2025·山东日照·一模）线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为 ． 8．（2021·湖南·一模）已知a，b，c是的三条边的长，化简： ． 9．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】 小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】 她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是： ． （2）的取值范围是 【模型应用】 （3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【题型二】三角形“五线”的性质 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 图形语言 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 用途举例 1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等． 线段名称 三角形的中位线 三角形的垂直平分线 图形语言 性质 ∵DE是∆ABC的中位线 ∴DE=BC DE∥BC ∵直线l是AB的垂直平分线 ∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90° 用途举例 1）线段平行．2）线段关系． 1）线段相等．2）角度相等． 解题大招01：条件中有中点,想到作中线,更要想到作中位线.中点必定与中线或者中位线相联系. 解题大招02：1）高与面积有关:①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线. ②高相等，面积之比等于底边之比. 2)高与勾股定理的联系：有高就有直角,想到勾股定理. 【中考真题】 1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 2．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 4．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：①；②垂直平分线段；③；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 7．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 8．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．    9．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 10．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是 ． 11．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    12．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 13．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 (1)求的长；(2)求的周长． 【模拟训练】 1．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，过点作于点，过点作于点，若，则的高与的比是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·模拟预测）的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法不正确的是（　　）    A． B． C． D． 4．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，D，E，F分别为三边上一点，且交于点G，若，则（   ） A．50 B．54 C．60 D．63 5．（2024·贵州·模拟预测）如图，在等腰直角中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，为上一动点，当最小时，的长为(    ) A．1 B． C． D．2 6．（2024·广东·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接；若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 7．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 8．（2024·吉林长春·模拟预测）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材页的部分内容． 例  如图，在中，分别是边的中点，相交于点．求证：． 证明  连接． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 证明：连接， 【结论应用】 （）如图②，在中，，，分别是边的中点，相交于点．若，则______． （）如图③，在中，分别是边的中点，相交于点．过点作交于点，如果的面积是，那么的面积是_____． 【题型三】三角形内角和与外角 易错点01：任意多边形的外角和都为360°，与边数无关. 1）三角形的内角和为180°； 2）直角三角形中两锐角和为90°； 3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 【中考真题】 1．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形 7．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 8．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 9．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【模拟训练】 10．（2025·天津河东·一模）如图，中，若，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心．大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；③作射线，与相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·广东深圳·一模）为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务．图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构示意图．支架和与地面平行，．当为多少度时，平行于支撑杆？（　　） A．15 B．60 C．70 D．115 12．（2025·山西·一模）如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 13．（2025·山东济南·一模）如图，在中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，取的中点，连接；任取一点，使点和点位于边的两侧，以点为圆心，以的长为半径作弧，与边相交于点和，再分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，作直线，交于点．若且，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（2025·安徽滁州·一模）如图，四边形是的内接四边形，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·广东清远·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 16．（2025·河北石家庄·模拟预测）将一副三角尺按图所示方式摆放，它们共用顶点，，分别交于点，．若，，，，则的度数是 ． 17．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则 ． 18．（2025·陕西西安·二模）如图，在正八边形中，连接，交于点P，则的度数为 ． 19．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，分别为边，上的点，将沿着翻折，得到，与相交于点，连接．当为等腰直角三角形时，的度数为 ． 考点二： 全等三角形 【题型一】全等三角形的判定 易错点01：若△ABC≌ΔDEF，则前后对应关系确定；若△ABC与△DEF全等，则前后对应关系不确定. 易错点02：三角形判定中，有两种不能判定三角形全等的方法：SSA和AAA. 解题大招01：判定两个三角形全等的思路： 解题大招02：证三角形全等时，常用的隐含条件： 1）公共角(或公共边)； 2）对顶角相等； 3）等角加(或减)等角仍是等角； 4）角平分线得两等角； 5）平行线得同位角、内错角相等. 【中考真题】 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（   ）    A．为矩形两条对角线的交点 B． C． D． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 5．（2024·四川广安·中考真题）如图，菱形中，点E，F分别是，边上的点，．求证：． 6．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．添加条件后，请证明． 7．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证：(1)； (2)四边形为平行四边形． 【模拟训练】 1．（2025·山东聊城·一模）如图，在中，，相交于点O，，． 过点A作交于点E，记长为x，长为y． 当x，y的值发生变化时，代数式的值是（   ） A．12 B．16 C．8 D．6 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，点、、分别在、、上，连接、、、、，其中，，若，则一定等于（　　） A． B． C． D． 3．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，在与中，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北衡水·模拟预测）如图，某同学用一个等边三角形和一个正五边形设计了一个宝石徽章，其中为两个图形的公共边，连接，交于点，下列说法错误的是（    ） A． B． C．是等腰三角形 D．垂直平分 5．（2025·贵州遵义·一模）小方在学习画角平分线后，想到用三角尺也能画出的角平分线，如图，她将两块三角尺的一直角边分别与角的两边、重合，移动三角尺使得，另两条直角边相交于点，则点一定在的角平分线上．这种做法的理由是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，点，点在对角线上．要使，可添加的条件为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，点D、E、F分别是的边、、的中点，连接、、，则图中与全等的三角形（不含）共有 个． 8．（2024广州市模拟预测）已知，．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在上由点B向点D运动．它们运动的时间为． (1)如图①，，，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【题型二】全等三角形的性质与判定 【中考真题】 1．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接． (1)若，求的长； (2)求证：是的切线． 4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为． (1)求，的值； (2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值． 5．（2024·新疆·中考真题）【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 6．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 【模拟训练】 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，在和中，与相交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 2．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，． (1)求证； (2)若，求矩形的面积． 3．（2025·吉林长春·一模）已知四边形是正方形，点为平面内一点，连结，将绕点顺时针旋转得到，连结，已知点为的中点，连结． (1)如图①，若点为边上一点，易知线段和的数量关系为_____（不需要证明）． (2)如图②，若点是正方形的内部一点，可证（1）中线段和的数量关系仍然成立，以下是小明的部分证明过程，请补充完整． 证明：延长到点，使，连结，如图③， 为的中点， ， 又，， ， ．．．．．． (3)若点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，连结，当时，线段的最大值为_____． 考点三： 特殊三角形 【题型一】等腰三角形性质与判定综合 易错点01：等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 易错点02：“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 易错点03： 解题大招01：等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 解题大招02：等腰三角形的高、中线、角平分线可知一推二. 解题大招03：平行平分出等腰. 解题大招04：证明两个角相等的方法：1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明. 2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决. 解题大招05：已知双腰上的高求定值的证明利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的中动点只能在底边所在直线上运动，此时连接该点和底边所对顶点，能将原图形分割成两个底相等的三角形. 【中考真题】 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 2．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 4．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为 ．    5．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 6．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】（2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】（3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 7．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 8．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【模拟训练】 1．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在中，，设，，且是定值，点是上一点，点为中点，连接，将线段沿绕点顺时针旋转，得到线段交于点，若点关于直线的对称点恰为点，则下列线段长为定值的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知如图，在等腰三角形中，，，在上取一点E，使，的延长线交线段的垂直平分线于点D，，则①；②；③；④．以上结论正确的是 ． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，若为等腰直角三角形，则的值为 ． 4．（2025·湖北恩施·一模）已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（2023·湖南永州·二模）如图，在等腰三角形中，，点是底边上任意一点不与、重合，过C作于D，为AB边上的高过点作，，垂足为、，由等面积法可知，即，从而可得：．即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高．      (1)如图1，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作、的垂线，垂足分别为、．求的值； (2)如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点不与点，重合，过点分别作直线、的垂线，垂足分别为、，以、为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长； (3)如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线，垂足分别为点、、．若，直接写出的面积． 【题型二】等边三角形性质与判定综合 1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 【中考真题】 1．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则： （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 5．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H． (1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________； (2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值； (3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由． 【模拟训练】 1．（2025·河北保定·一模）菱形中，，，是中点，是上的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧．若，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在和中，，，，D为边上一点（不与点B，C重合），连接． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 5．（2025·新疆阿克苏·一模）如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使．连接． (1)求证：； (2)过点作，交于点，连接，求证：是等边三角形． 【题型三】直角三角形性质与判定综合 易错点01：若题目中没有指明边的类型，注意分类讨论，已知的两边为两条直角边，或已知的两边为一条斜边，一条直角边. 解题大招01：因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以我们在图形中至少可以找到三条相等的线段，进而可以运用等腰三角形的性质解决问题. 解题大招02：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.这个性质常常用于计算三角形的边长也是证明一边(30°角所对的直角边)等于另一边(斜边)的一半的重要依据.当已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形. 解题大招03：若图中没有含特征线段的直角三角形，则需添加辅助线，构造满足条件的直角三角形. 【中考真题】 1．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    5．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【模拟训练】 1．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．（2025·湖北襄阳·二模）如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽滁州·一模）如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 4．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交，于点，，，连接．若长的最小值为，则的长为 ． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为 ． 【题型四】勾股定理及应用 易错点01：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 易错点02：应用勾股定理时，要分清直角边和斜边. 解题大招01：勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一，若图中没有含特征线段的直角三角形，则需添加辅助线，构造满足条件的直角三角形. 解题大招02：解决“翻折”问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或通过勾股定理列方程使问题得以解决. 【中考真题】 1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 3．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ． 7．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【模拟训练】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知在矩形中，，，点E在直线上，且，则 ． 2．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，点C为线段的中点，将线段绕点B逆时针旋转一定角度后，点A、C同时落在反比例函数（，）的图像上，则 ． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线交于点，分别过点作，，垂足分别为点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能否是菱形？简要说明你的理由； (3)若，，，求平行四边形的面积． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$