4 数列在日常经济生活中的应用-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　§４　数列在日常经济生活中的应用 [基础达标练] １．某工厂２０２１年年底制订生产计划,要使工厂 的总产值到２０２８年年底在原有基础上翻两 番,则总产值年平均增长率为 (　　) A．２ １ ４－１　　　　　　B．２ ２ ７－１ C．３ １ ４－１ D．３ １ ５－１ ２．现存入银行８万元,年利率为２􀆰５０％,若采用 １年期自动转存业务,则５年末的本利和是 (　　) A．８×１􀆰０２５３ 万元 B．８×１􀆰０２５４ 万元 C．８×１􀆰０２５５ 万元 D．８×１􀆰０２５６ 万元 ３．某工厂购买一台机器价格为a万元,实行分期 付款,每期付款b万元,每期为一月,共付１２ 次,若按月利率０􀆰５％,每月复利一次,则a,b 满足 (　　) A．b＝a１２ B．b＝a (１＋０．５％)１２ １２ C．b＝a (１＋０．５％) １２ D．a１２＜b＜ a(１＋０．５％)１２ １２ ４．我国古代数学典籍«九章算术»第七章“盈不 足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺, 两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日一尺,大鼠日自 倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何”,翻译 过来就是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两 边相对分别打洞穿墙,大、小鼠第一天都进一 尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠减半,则几天后 两鼠相遇,这个问题体现了古代对数列问题的 研究,现将墙的厚度改为１２００尺,则需要几 天时间才能打穿(结果取整数) (　　) A．１２ B．１１ C．１０ D．９ ５．已知甲、乙两车间的月产值在２０２２年１月份 相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产 值,乙以后每个月比前一个月增加产值的百分 比相同．到２０２２年７月份发现两车间的月产 值又相同,比较甲、乙两个车间２０２２年４月份 月产值的大小,则 (　　) A．甲大于乙 B．甲等于乙 C．甲小于乙 D．大小不确定 ６．据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率 为b,２０２１年产生的垃圾量为a吨,由此预测, 该区下一年的垃圾量为　　　　吨,２０２６年 的垃圾量为　　　　吨． ７．某单位拿出一定的经费奖励科研人员,第一名 得全部资金的一半多一万元,第二名得剩下的 一半多一万元,以名次类推都得剩下的一半多 一万元,到第６名恰好将资金分完,则需要拿 出资金　　　　万元． ８．为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出 口总量不能超过８０吨,该矿区计划从２０２２年 开始出口,当年出口a吨,以后每年出口量均 比上一年减少１０％． (１)以２０２２年为第一年,设第n年出口量为an 吨,试求an 的表达式; (２)国家计划１０年后终止该矿区的出口,问 ２０２２年最多出口多少吨? (０􀆰９１０≈０􀆰３５,保留 一位小数) [能力提升练] ９．(多选题)计算机病毒危害很大,一直是计算机 学家研究的对象．当计算机内某文件被病毒感 染后,该病毒文件就不断地感染其他未被感染 文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机 病毒传染指数C０ 即一个病毒文件在一分钟内 平均所传染的文件数,某计算机病毒的传染指 数C０＝２,若一台计算机有１０５ 个可能被感染 的文件,如果该台计算机有一半以上文件被感 染,则该计算机将处于瘫疾状态．该计算机现 只有一个病毒文件,如果未经防毒和杀毒处 理,则下列说法中正确的是 (　　) A．在第３分钟内,该计算机新感染了１８个 文件 B．经过５分钟,该计算机共有２４３个病毒文件 C．１０分钟后,该计算机处于瘫痪状态 D．该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文 件数成公比为２的等比数列 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 １０．用分期付款方式购买家用电器一件,价格为 １１５０元,购买当天先付１５０元,以后每月这 一天都交付５０元,并加付欠款利息,月利率 为１％．若交付１５０元后的第一个月开始算分 期付款的第一个月,全部欠款付清后,买这件 家电实际付款　　　　元． １１．近几年,我国在电动汽车领域有了长足的发 展,电动汽车的核心技术是动力总成,而动力 总成的核心技术是电机和控制器,我国永磁 电机的技术已处于国际领先水平．某公司计 划今年年初用１９６万元引进一条永磁电机生 产线,第一年需要安装、人工等费用２４万元, 从第二年起,包括人工、维修等费用每年所需 费用比上一年增加８万元,该生产线每年年 产值保持在１００万元．则引进该生产线后总 盈利的最大值为　　　　． １２．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学, 该商场向他提供了三种付酬方案:第一种,每 天支付３８元;第二种,第一天支付４元,第二 天支付８元,第三天支付１２元,以此类推;第 三种,第一天支付０􀆰４元,以后每天比前一天 翻一番(即增加一倍)．他选择哪种方案领取 报酬更合算? [素养培优练] １３．某地本年度旅游业收入估计为４００万元,由 于该地出台了一系列措施,进一步发展旅游 业,预计今后旅游业的收入每年会比上一年 增加１ ４ ． (１)求n年内旅游业的总收入; (２)试估计大约几年后,旅游业的总收入超过 ８０００万元． １４．去年某地产生的生活垃圾为２０万吨,其中１４ 万吨垃圾以填埋方式处理,６万吨垃圾以环 保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增 ５％,同时,通过环保方式处理的垃圾量每年 增加１􀆰５万吨．记从今年起每年生活垃圾的 总量(单位:万吨)构成数列{an},每年以环保 方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列 {bn}． (１)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; (２)为了确定处理生活垃圾的预算,请求出从 今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量 的计算公式,并计算从今年起５年内通过填 埋方式处理的垃圾总量(精确到０􀆰１万吨)． (参考数据１．０５４≈１．２１５,１．０５５≈１．２７６,１． ０５６≈１．３４０) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 第一章　数列 １２．解:(１)证明:对２an＝an－１－n－１两边加２n得 ２(an＋ n)＝an－１＋n－１, 所以an＋n＝ １ ２ [an－１＋(n－１)],即bn＝ １ ２bn－１． 因为b１＝a１＋１＝－ １ ２ ＋１＝ １ ２ ,所以数列{bn}是首 项、公比均为１ ２ 的等比数列,所以bn＝ １ ２( ) n ． (２)nbn＝n􀅰 １ ２( ) n ＝n ２n ． Tn＝ １ ２ ＋ ２ ２２ ＋３ ２３ ＋４ ２４ ＋􀆺＋n－１ ２n－１ ＋n ２n ① １ ２ Tn＝ １ ２２ ＋２ ２３ ＋３ ２４ ＋４ ２５ ＋􀆺＋n－１ ２n ＋ n ２n＋１ ② ①－②得１２ Tn＝ １ ２ ＋ １ ２２ ＋１ ２３ ＋􀆺＋１ ２n － n ２n＋１ ＝１ －１ ２n － n ２n＋１ ,所以Tn＝２－ n＋２ ２n ． (３)由(１)得an＝ １ ２( ) n －n,所以cn＝n． c２n＋cn＋１ c２n＋cn ＝n ２＋n＋１ n２＋n ＝１＋ １n(n＋１)＝１＋ １ n－ １ n＋１ , P２０２３ ＝ １＋ １ １－ １ ２( ) ＋ １＋ １ ２－ １ ３( ) ＋ １＋１３－ １ ４( ) ＋􀆺＋ １＋ １ ２０２３－ １ ２０２４( ) ＝２０２４－ １ ２０２４． 所以不超过P２０２３的最大的整数是２０２３． １３．解:(１)设等差数列{an}的公差为d, 依题意有 ２a１＋３d＝８, a１＋４d＝３a１＋３d,{ 解得 a１＝１, d＝２,{ 从而{an}的通项公式为an＝２n－１． (２)因为bn＝ ２ anan＋１ ＝ １２n－１－ １ ２n＋１ , 所 以 Sn ＝ １ １－ １ ３( ) ＋ １ ３－ １ ５( ) ＋ 􀆺 ＋ １ ２n－１－ １ ２n＋１( )＝１－ １ ２n＋１． 令１－ １２n＋１＞ ２０２０ ２０２１ ,解得n＞１０１０,故取n＝１０１１． １４．解:(１)因为{an}是首项为１的等比数列且a１,３a２,９a３ 成等差数列, 所以６a２＝a１＋９a３,两边同时除以a１ 得９q２－６q＋１＝ ０,解得q＝１３ , 所以an＝ １ ３( ) n－１ ,bn＝ nan ３ ＝ n ３n ． (２)法一:由(１)可得Sn＝ １× １－１３n( ) １－１３ ＝３２ (１－１ ３n ), Tn＝ １ ３＋ ２ ３２ ＋􀆺＋n－１ ３n－１ ＋n ３n ,① １ ３Tn＝ １ ３２ ＋２ ３３ ＋􀆺＋n－１ ３n ＋ n ３n＋１ ,② ①－② 得 ２３Tn ＝ １ ３ ＋ １ ３２ ＋ １ ３３ ＋ 􀆺 ＋ １ ３n － n ３n＋１ ＝ １ ３ １－ １ ３n( ) １－１３ － n ３n＋１ ＝１２ １－ １ ３n( )－ n ３n＋１ , 所以Tn＝ ３ ４ １－ １ ３n( )－ n ２􀅰３n , 所以Tn－ Sn ２＝ ３ ４ １－ １ ３n( )－ n ２􀅰３n －３４ １－ １ ３n( ) ＝－ n ２􀅰３n ＜０, 所以Tn＜ Sn ２． 法二:因为bn－ an ２＝ ２n－３ ２×３n ＝ n－１ ２×３n－１ － n ２×３n ,所以Tn－ Sn ２＝∑ b i＝１ bn－ an ２( )＝∑ n i＝１ n－１ ２×３n－１ － n ２×３n( )＝ － n ２×３n ＜０． 所以Tn＜ Sn ２． §４　数列在日常经济生活中的应用 １．B　[设２０２１年年底总产值为a,年平均增长率为x,则a (１＋x)７＝４a,得x＝２ ２ ７ －１．] ２．C　[定期自动转存属于复利问题,５年末的本利和是８ ×(１＋２􀆰５０％)５＝８×１􀆰０２５５ 万元．] ３．D　[∵b􀅰(１＋１􀆰００５＋１􀆰００５２＋􀆺＋１􀆰００５１１)＝a(１＋ ０􀆰００５)１２,∴１２b＜a(１＋０􀆰００５)１２．∴b＜a (１＋０．５％)１２ １２ ． 又显然１２b＞a即b＞a１２ ． ] ４．B　[大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成等比数列{an}, {bn},a１＝b１＝１,数列 an{ } 的公比为q１＝２,数列{bn}的 公比为q２＝ １ ２ ,设需要n天能打穿墙,则(a１＋a２＋􀆺＋ an)＋(b１＋b２＋􀆺＋bn)＝ １－２n １－２ ＋ １－ １２( ) n １－１２ ＝２n＋１－ １ ２n－１ ,n＝１０时,２n＋１－ １ ２n－１ ＝１０２５－ １ ２９ ≈１０２５＜ １２００,n＝１１时,２n＋１－ １ ２n－１ ＝２０４９－ １ ２１０ ≈２０４９＞ １２００,因此需要１１天才能打穿．] ５．A　[设甲以后每个月比前一个月增加相同的产值a,乙 每个月比前一个月增加产值的百分比为x,甲、乙两车间 的月产值在２０２２年１月份同为m, 则由题意得m＋６a＝m􀅰(１＋x)６,① ４月份甲的产值为 m＋３a,４月份乙的产值为 m􀅰(１＋ x)３,由①知,(１＋x)６＝１＋６am ,即４月份乙的产值为 m １＋６am ＝ m ２＋６ma ． 因为(m＋３a)２－(m２＋６ma)＝９a２＞０, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 所以m＋３a＞ m２＋６ma ,即４月份甲的产值大于乙的 产值．] ６．解析:２０２１年产生的垃圾量为a吨,下一年的垃圾量在 ２０２１年的垃圾量的基础之上增长了ab吨,所以下一年 的垃圾量为a(１＋b)吨;２０２６年 是 从２０２１年 起 再 过５ 年,所以２０２６年的垃圾量是a(１＋b)５ 吨． 答案:a(１＋b)　a(１＋b)５ ７．解析:设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一 个数列{an},则a１ 为全部资金,第一名领走资金后剩a２, a２＝ １ ２a１－１ ,依次类推,an＋１＝ １ ２ an－１ ,∴an＋１＋２＝ １ ２ (an＋２)．∴{an＋２}是一个等比数列,公比为 １ ２ ,首 项为a１＋２．∴an＋２＝(a１＋２)􀅰 １ ２( ) n－１ ． ∴an＝(a１＋２)􀅰 １ ２ n－１ ( ) －２．∴第６名领走资金后剩 余为a７＝(a１＋２)× １ ２( ) ６－２＝０．∴a１＝１２６,即全部 资金为１２６万元． 答案:１２６ ８．解:(１)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项a１ ＝a,公比q＝１－１０％＝０􀆰９, ∴an＝a􀅰０􀆰９n－１． (２)１０ 年 的 出 口 总 量 S１０ ＝ a(１－０．９１０) １－０．９ ＝１０a (１－ ０􀆰９１０)． ∵S１０≤８０,∴１０a(１－０􀆰９１０)≤８０, 即a≤ ８ １－０．９１０ ,∴a≤１２􀆰３．故 ２０２２ 年 最 多 出 口 １２􀆰３吨． ９．ABC　[设第n＋１分钟之内新感染的文件数为an＋１,前 n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn,则an＋１＝２(Sn ＋１),且a１＝２,由an＋１＝２(Sn＋１)可得an＝２(Sn－１＋ １),两式相减得:an＋１－an＝２an, 所以an＋１＝３an,所以每分钟内新感染的病毒构成以a１ ＝２为首项,３为公比的等比数列, 所以an＝２×３n－１,在第３分钟内,该计算机新感染了a３ ＝２×３３－１＝１８个文件,故选项 A 正确;经过５分钟,该 计算机共有１＋a１＋a２＋a３＋a４＋a５＝１＋ ２×(１－３５) １－３ ＝ ３５＝２４３个病毒文件,故选项 B正确;１０分钟后,计算机 感染 病 毒 的 总 数 为 １＋a１ ＋a２ ＋ 􀆺 ＋a１０ ＝１＋ ２×(１－３１０) １－３ ＝３ １０＞１２×１０ ５, 所以计算机处于瘫痪状态,故选项 C 正确;该计算机瘫 痪前,每分钟内新被感染的文件数成公比为３的等比数 列,故选项 D不正确;故选:ABC] １０．解析:购买时付了１５０元,欠款１０００元．每月付５０元, 分２０次付完,设每月付款数顺次组成数列{an},则a１＝ ５０＋１０００×０􀆰０１＝６０,a２＝５０＋(１０００－５０)×０􀆰０１＝ ６０－０􀆰５,a３＝５０＋(１０００－５０×２)×０􀆰０１＝６０－０􀆰５× ２,类推,得an＝６０－０􀆰５(n－１)(１≤n≤２０)． 所以付款数{an}组成等差数列,公差d＝－０􀆰５,全部贷 款付清后,付款总数为 １５０＋S２０＝１５０＋２０a１＋ ２０×１９ ２ × －０．５( ) ＝１５０＋２０×６０－２０×１９４ ＝１２５５． 答案:１２５５ １１．解析:设引进设备n年后总盈利为f(n)万元,设除去设 备引进费用,第n年的成本为an 万元, 则由题意,知{an}为等差数列,其中首项a１＝２４,公差d＝ ８,前n年成本之和为 ２４n＋n (n－１) ２ ×８[ ] 万元, 故f(n)＝１００n－[２４n＋４n(n－１)＋１９６]＝－４n２＋８０n －１９６＝－４(n－１０)２＋２０４,n∈N＋ , 所以当n＝１０时,f(n)max＝２０４,即总盈利的最大值为 ２０４万元． 答案:２０４ １２．解:设该学生能工作n天,每天领的工资为an 元,所有 的工资为Sn 元,则第一种方案:an(１)＝３８,Sn(１)＝３８n; 第二种方案:an(２)＝４n,Sn(２)＝４(１＋２＋􀆺＋n)＝２n２ ＋２n; 第三种方 案:an(３)＝０􀆰４×２n－１,Sn(３)＝ ０．４(１－２n) １－２ ＝ ０􀆰４(２n－１)． 令Sn(１)≥Sn(２),即３８n≥２n２＋２n,解得０≤n≤１８． 令Sn(１)≥Sn(３),即３８n≥０􀆰４(２n－１)． 利用计算器求得小于或等于９天时,第一种方案领取报 酬高, 所以当n＜１０时,选择第一种方案领取报酬． 因为当n≥１０时,Sn(１)≤Sn(３),Sn(２)≤Sn(３), 所以当n≥１０时,选择第三种方案领取报酬． １３．解:(１)设第n年的旅游业收入估计为an 万元,则a１＝ ４００,an＋１＝ １＋ １ ４( ) an＝ ５ ４an ,所以an＋１ an ＝５４ , 所以数列{an}是公比为 ５ ４ 的等比数列, 所以Sn＝ a１(１－qn) １－q ＝ ４００ １－ ５４( ) n [ ] １－５４ ＝１６００ ５４( ) n －１[ ] ,即 n 年 内 旅 游 业 总 收 入 为 １６００ ５４( ) n －１[ ] 万元． (２)由(１)知Sn＝１６００ ５ ４( ) n －１[ ] , 令Sn＞８０００,即１６００ ５ ４( ) n －１[ ] ＞８０００, 所以 ５ ４( ) n ＞６,所以lg ５４( ) n ＞lg６, 所以n＞lg６ lg５４ ≈８􀆰０２９６．所以大约第９年后,旅游业总 收入超过８０００万元． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３５􀅰 参考答案 １４．解:(１)由题意,从今年起每年生活垃圾的总量(单位: 万吨)构成数列{an},每年以环保方式处理的垃圾量(单 位:万吨)构成数列{bn}, ∴{an}是以２０(１＋５％)为首项,１＋５％为公比的等比 数列;{bn}是以６＋１．５＝７．５为首项,１．５为公差的等 差数列,∴an＝２０(１＋５％)n,bn＝６＋１．５n． (２)设 今 年 起n 年 内 通 过 填 埋 方 式 处 理 的 垃 圾 总 量 为Sn, ∴Sn＝(a１－b１)＋􀆺＋(an－bn)＝(a１＋a２＋􀆺＋an)－ (b１＋b２＋􀆺＋bn) ＝(２０×１．０５＋２０×１．０５２＋􀆺＋２０×１．０５n)－[７．５＋９ ＋􀆺＋(６＋１．５n)] ＝ (２０×１．０５)×(１－１．０５n) １－１．０５ － n ２ (７．５＋６＋１．５n)＝ ４２０×１．０５n－３４n ２－２７４n－４２０ , 当n＝５时,Sn≈６３．５． ∴今年起５年 内 通 过 填 埋 方 式 处 理 的 垃 圾 总 量 约 为 ６３􀆰５万吨． §５　数学归纳法 １．C　[因为要证明等式的左边是连续正整数,所以当由n ＝k到n＝k＋１时,等式左边增加了[１＋２＋３＋􀆺＋２k ＋(２k＋１)＋２(k＋１)]－(１＋２＋３＋􀆺＋２k)＝(２k＋１) ＋(２k＋２)．] ２．C　[由题意知,n的最小值为３,所以第一步验证n＝３ 是否成立．] ３．C　[因式子右边各分数的分母是连续正整数,则由Sk＝ １ k＋１＋ １ k＋２＋ 􀆺＋１２k ,① 得Sk＋１＝ １ k＋２＋ １ k＋３＋ 􀆺＋１２k＋ １ ２k＋１＋ １ ２(k＋１)．② 由② － ①,得 Sk＋１ －Sk ＝ １ ２k＋１＋ １ ２(k＋１)－ １ k＋１＝ １ ２k＋１－ １ ２(k＋１) ,故Sk＋１＝Sk＋ １ ２k＋１－ １ ２(k＋１)． ] ４．B　[依题意得,由n个圆增加到n＋１个圆,增加了２n个 交点,这２n个交点将新增的圆分成２n段弧,而每一段弧 都将原来的一块区域分成了２块,故增加了２n块区域, 因此f(n＋１)＝f(n)＋２n．] ５．CD　[取n＝１,则２ n－１ ２n＋１ ＝１３ ,n n＋１＝ １ ２ ,２ n－１ ２n＋１ ＞ nn＋１ , 不成立; 取n＝２,则２ n－１ ２n＋１ ＝３５ ,n n＋１＝ ２ ３ ,２ n－１ ２n＋１ ＞ nn＋１ 不成立; 取n＝３,则２ n－１ ２n＋１ ＝７９ ,n n＋１＝ ３ ４ ,２ n－１ ２n＋１ ＞ nn＋１ 成立; 取n＝４,则２ n－１ ２n＋１ ＝１５１７ ,n n＋１＝ ４ ５ ,２ n－１ ２n＋１ ＞ nn＋１ 成立; 下证:当n≥３时,２ n－１ ２n＋１ ＞ nn＋１ 成立． 当n＝３时,２ n－１ ２n＋１ ＝７９ ,n n＋１＝ ３ ４ ,２ n－１ ２n＋１ ＞ nn＋１ 成立; 设当n＝k(k≥３)时,有２ k－１ ２k＋１ ＞ kk＋１ 成立,则当n＝k＋１ 时,有２ k＋１－１ ２k＋１＋１ ＝ ３􀅰２ k－１ ２k＋１ ＋１ ２k－１ ２k＋１ ＋３ ,令t＝２ k－１ ２k＋１ ,则２ k＋１－１ ２k＋１＋１ ＝ ３t＋１ t＋３＝３－ ８ t＋３ ,因为t＞ kk＋１ ,故２ k＋１－１ ２k＋１＋１ ＞３－ ８k k＋１＋３ ＝４k＋１４k＋３ , 因为４k＋１ ４k＋３－ k＋１ k＋２＝ ２k－１ (４k＋３)(k＋２)＞０ ,所以２ k＋１－１ ２k＋１＋１ ＞ k＋１ k＋２＝ k＋１ (k＋１)＋１ , 所以当n＝k＋１时,不等式也成立, 由数学归纳 法 可 知,２ n－１ ２n＋１ ＞ nn＋１ 对 任 意 的n≥３都 成 立．故选:CD．] ６．解析:当n＝k时,左端为:(１＋１)(２＋２)􀆺(k＋k),当n ＝k＋１时,左端为:(１＋１)(２＋２)􀆺(k＋k)(k＋１＋k＋ １),由k到k＋１需添加的因式为:(２k＋２)． 答案:２k＋２ ７．解析:a１＝２,a２＝ ２ ７ ,a３＝ ２ １３ ,a４＝ ２ １９ ,猜测an＝ ２ ６n－５． 答案:an＝ ２ ６n－５ ８．证明:(１)①当n＝１时,左边＝１２＝１, 右边＝(－１)０×１× (１＋１) ２ ＝１ ,左边＝右边,等式成立． ②假设n＝k(k∈N＋ )时,等式成立,即 １２－２２ ＋３２ －４２ ＋ 􀆺 ＋ (－１)k－１k２ ＝ (－１)k－１ 􀅰k(k＋１) ２ ． 则当n＝k＋１时, １２－２２＋３２－４２＋􀆺＋(－１)k－１k２＋(－１)k(k＋１)２＝ (－１)k－１􀅰k (k＋１) ２ ＋ (－１)k(k＋１)２ ＝(－１)k(k＋１)􀅰 (k＋１)－k２[ ] ＝(－１)k􀅰 (k＋１)[(k＋１)＋１] ２ ． ∴当n＝k＋１时,等式也成立, 根据①②可知,对于任何n∈N＋ 等式成立． ９．D　[由题意,n＝k时,最后一项为 １ ２k ,n＝k＋１时,最后 一项为 １ ２k＋１ ＝ １ ２k×２ ＝ １ ２k＋２k 所以由n＝k变到n＝k＋１时,左边增加的项为 １ ２k＋１ ＋ １ ２k＋２ ＋􀆺＋ １ ２k＋２k ,增加了２k 项．] １０．C　[不等式左端共有n＋１项,且分母是首项为n,公差 为１,末项为２n 的等差数列,当n＝k时,左端为 １k ＋ １ k＋１＋ １ k＋２＋ 􀆺＋ １２k ;当n＝k＋１时,左端为 １k＋１＋ １ k＋２＋ １ k＋３＋ 􀆺＋１２k＋ １ ２k＋１＋ １ ２k＋２ ,对比两式,可得 结论．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４５􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册