精品解析：江苏省高邮市2024-2025学年高一下学期期中学情调研测试数学试卷

2024-2025学年第二学期高一年级期中学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的零点是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 7. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点D是边的中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关向量的说法，正确的有（ ） A. 若是等边三角形，则向量，的夹角为60° B. 两个非零向量，若，则与共线且反向 C. 若，，则可作为平面向量的一组基底 D. 已知非零向量，满足，则A，B，C，D四点构成一个梯形 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（ ） A. 四边形ABCD的面积为 B. 该外接圆的半径为 C. 过D作交BC于F点，则 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知向量，的夹角为45°，且，，则______. 13. 已知，则______． 14. 在非钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是的重心且，则角______；若，，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，其中，. （1）求； （2）求. 16. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求在方向上的投影向量（用坐标表示）. 17. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，，. （1）求线段AC的长度； （2）求的值. 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在区间上有相异两解，. ①求实数m的取值范围； ②当时，函数取最大值，设，求. 19. “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B； （2）若，求的值； （3）若，，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高一年级期中学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的零点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出零点即可. 【详解】由，得， 所以函数的零点是. 故选：C 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，逆用差角的余弦公式求解. 【详解】. 故选：C 3. 设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线定理列方程，解方程即可. 【详解】由已知，， 则， 又，，三点共线， 则与共线，， 即，解得， 故选：D. 4. 的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二倍角公式化简以及，再利用诱导公式化简即可代入化简. 【详解】， ， 因，则， 则. 故选：A. 5. 如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算直接化简可得解. 【详解】由已知为线段上一点， 设，， 则， 又， 则， 所以， 则， 解得， 故选：D. 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到答案. 【详解】有两组解，需满足，即，， 所以a的值可以为8，B正确，ACD错误. 故选：B 7. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理可得，根据基本不等式可得最值. 【详解】由已知， 则在中，由正弦定理可得， 则，即， 又由余弦定理可知， 所以，当且仅当，即时等号成立， 又， 所以， 故选：A. 8. 在中，点D是边的中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合坐标表示运用向量加法法则将问题转化为求的最小值，建系求解即可. 【详解】因为D为的中点， 所以， 所以 不妨以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，则，， 设，则， 所以，.即：的最小值为. 故选：D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关向量的说法，正确的有（ ） A. 若是等边三角形，则向量，的夹角为60° B. 两个非零向量，若，则与共线且反向 C. 若，，则可作为平面向量的一组基底 D. 已知非零向量，满足，则A，B，C，D四点构成一个梯形 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量夹角的定义可判断A；左右同时平方可得即可判断B；利用向量共线的坐标运算判断C；由向量共线可得所在直线平行或共线可判断D. 【详解】对于A，因是等边三角形，则， 由向量夹角的定义可知，，的夹角为120°，故A错误； 对于B，，可得，即， 即，则， 因，则，则与共线且反向，故B正确； 对于C，因，则与不共线，则可作为平面向量的一组基底，故C正确； 对于D，由，则，则直线或四点共线，故D错误. 故选：BC 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据题中关系式整理即可；对于B：根据两角和差公式运算求解；对于C：根据象限角的符号性分析判断；对于D：根据倍角公式结合齐次式问题运算求解. 【详解】对于选项A：因为，整理可得，即，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：因为， 则，可得， 可知可能为第一、二、三，四象限，即的符号无法判断，故C错误； 对于选项D：因为，故D正确； 故选：ABD. 11. 如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（ ） A. 四边形ABCD的面积为 B. 该外接圆的半径为 C. 过D作交BC于F点，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：在中，利用余弦定理结合圆的性质可得，进而可求得，，再利用面积公式运算求解；对于B：可知四边形的外接圆为即为的外接圆，利用正弦定理求外接圆半径；对于C：根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，进而可得结果.对于D：根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，进而可得结果； 【详解】 对于A：连接，由题意可知，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以， 且，则，即， 所以四边形的面积 ， 故A错误； 对B：该四边形的外接圆为即为的外接圆，设外接圆的半径为， 在中，由正弦定理可得， 即，故B正确； 对于C：由题意可得：， 过作，垂足，则为的中点，可得， 在方向上的投影向量即为， 所以，故C正确； 对于D：过作，垂足，则为的中点，可得， 过作，垂足，可得， 故，即在方向上的投影向量为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知向量，的夹角为45°，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模的运算法则，结合向量的数量积求解即可. 【详解】因为向量，的夹角为45°，且，， 所以 . 故答案为：. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分析待求角与已知角的关系，利用诱导公式和二倍角公式直接求解即可. 【详解】， ． 故答案为：. 14. 在非钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是的重心且，则角______；若，，则______. 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据题意结合三角恒等变换可得，即可得角A；根据重心可得，根据数量积运算律运算求解即可. 【详解】因为，则， 整理可得， 显然，则，即， 又因为，可得； 因为点P是的重心，则， 可得， 即，整理可得，解得或（舍去）. 故答案为：；2. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，其中，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据同角三角函数的基本关系求，再利用二倍角的正切求的值. （2）结合，利用两角差的正弦公式求值. 【小问1详解】 ，， . 【小问2详解】 ，，所以 16. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求在方向上的投影向量（用坐标表示）. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）法一：设，根据，求得，进而得到的坐标； 法二：设，根据且，列出方程组，求得的值，得到的坐标； （2）由与垂直，得到，列出方程求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：法一：因为，可设， 因为，可得，解得， 所以或. 法二：设， 因为且，可得，解得或， 所以或. 【小问2详解】 解：因为与垂直，可得， 所以，可得，解得， 所以向量在方向上的投影向量. 17. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，，. （1）求线段AC的长度； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助面积公式可先求出，再借助余弦定理即可得解； （2）借助正弦定理可得，则可得，再利用正弦定理即可得. 【小问1详解】 ，， ，， 在中，由余弦定理得： ，； 【小问2详解】 在中，由正弦定理得：， ，， ，， 在中，由正弦定理得：， ，. 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在区间上有相异两解，. ①求实数m的取值范围； ②当时，函数取最大值，设，求. 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换得到，根据最小正周期得到，从而得到函数解析式； （2）①转化为与的图象在区间上有两个交点，求出，画出在区间上的图象，数形结合得到； ②解法一：由对称性可得，所以，则有，从而得到方程，平方求出，所以，由三角恒等变换得到； 解法二：由对称性可得，所以，由辅助角公式得到时，取最大值，则，由三角恒等变换得到. 【小问1详解】 由题 ， 因为的最小正周期为，且，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 ①由，即， 关于x的方程在区间上有相异两解，， 也即函数与的图象在区间上有两个交点， 由，得， 又在上单调递增，在上单调递减， 作出在区间上的图象如图， 由图可知，要使函数与的图象在区间上有两个交点， 则有，所以实数m的取值范围. ②解法一：由①和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称， 则有，所以， 则有，即， 也即，整理得，所以， 故 解法二：由①和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称， 则有，所以， ，其中， 则当，即时，取最大值， 则， 则有 19. “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B； （2）若，求的值； （3）若，，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，用正弦的和差公式和辅助角公式化简计算即可； （2）由余弦定理解得，再利用费马点和三角形面积公式化简即可； （3）设，，，通过代入余弦定理化简，通过题意代入化简，用重要不等式进行求解最小值即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即， 所以，所以， 即，又所以，得； 【小问2详解】 由即①， 由余弦定理得②， 由①②得，由且点为的费马点， 则， 故， 化简得：， 即； 【小问3详解】 设，，， 在，，中，由余弦定理得， ， ， 又则得，， 即， 由，则， 故， 即有，解得或（舍去）， 当且仅当且且，解得时，等号成立， 故实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $