信息必刷卷02（山东济南专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（济南专用） 考情速递 中考·新动向：从近年来的济南中考数学试卷来看，命题越来越注重对学生综合能力和实践能力的考查。试题逐渐从单纯的知识点考查转向对知识的理解、应用和创新能力的考查。例如，2024年济南中考数学试卷中，试题情境更加丰富多样，涉及到生活实际、科技发展、传统文化等多个领域，要求学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。题目呈现方式更加灵活多样，不再局限于传统的文字叙述和符号表达，而是增加了图表、图象、实物模型等直观呈现方式。如2025年济南市高新区一模数学试卷中的第2题，通过给出“月壤砖”的示意图，考查学生对其俯视图的判断，要求学生具备较强的空间想象能力和对几何体三视图的理解能力。此外，试题还呈现出一定的开放性和探究性，鼓励学生自主思考和探索，如2024年济南市中考数学试卷中的第25题，要求学生通过自主探究发现规律并进行证明。 中考·新考法：在常规考点的基础上，命题者会设置一些新颖的设问方式或进行知识的融合考查。例如，2025年济南市槐荫区九年级中考一模数学试题中的第24题，将反比例函数与几何知识相结合，要求学生在理解反比例函数图象和性质的基础上，能够运用相似三角形、勾股定理等几何知识进行综合分析和解答。除了对常规考点的创新考查外，还会出现一些非常规考点的创新糅合。例如，2024年济南市中考数学试卷中的第25题，以矩形为载体，融合了相似三角形、旋转、勾股定理等多个知识点，要求学生具备较强的综合运用能力和创新思维能力。 命题·大预测：从试卷的整体结构来看，选择题和填空题部分注重基础知识的考查，如相反数、三视图、科学记数法等，这些题目难度较低，旨在帮助学生建立信心。而解答题部分则逐渐增加难度，从简单的计算题到复杂的几何证明和函数综合题，体现了中考命题“基础为主，能力为重”的特点。预计2025年济南中考数学命题将继续保持这一趋势，基础题占比较大，但也会通过设置一定数量的中高难度题目来拉开学生之间的差距。 跨学科融合与情境化题目增多：试卷中出现了如化学实验（概率题）、传统文化（鲁班锁三视图）、新能源汽车（函数与实际应用）等跨学科融合和情境化题目。这些题目不仅考查学生的数学知识，还要求学生能够将数学知识与其他学科知识或实际生活情境相结合。预计2025年中考将继续加强对跨学科融合和情境化题目的考查，尤其是与生活实际、科技发展、传统文化相关的题目。 动态几何与函数综合题仍是重点：试卷中的解答题部分，如动点问题、几何折叠问题、函数与几何综合题等，依然是考查的重点。这些问题需要学生具备较强的逻辑推理能力、空间想象能力和综合运用知识的能力。预计2025年中考将继续保持对动态几何和函数综合题的重视，尤其是涉及动点轨迹、面积最值、相似三角形等知识点的题目。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中与2互为相反数的是（    ） A． B． C． D． 2．图1是我国古代的鲁班锁，图2是其中的一个构件，则该构件的主视图是（   ） A． B． C． D． 3．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线三个星期后达到了33700000．将33700000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，． 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 7．在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氯化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，按下列步骤利用尺规作图： ①以C为圆心，适当长度为半径画弧，分别与交于H，G； ②分别以H，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线； ③分别以B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点； ④作直线，分别交于点D，E； ⑤连接． 则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．根据乘联会数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源车国内月销量达到万辆，预计年第一季度新能源车国内总销量可以达到万辆．若设年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，依题意，可列出方程为（  ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，动点，同时从出发，点以每秒3个单位长度沿向终点运动；点以每秒1个单位长度沿向终点运动，当其中一动点运动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的图像是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 30 50 100 300 800 点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483 “点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60 由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为 ．（结果保留整数） 12．如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆，连接，，作．若劣弧的长为，则 ． 13．如图，射线与函数（，）图象相交于点A，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，x轴相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线，交函数图象于点，连接，则的面积是 ． 14．如图，点是为直径的半圆上一点，连接，将沿直线翻折，翻折后的圆弧恰好经过点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分）计算：． 17．（7分）解不等式组： 18．（7分）在中，点E是上一点，连接，，且，延长至点F，使得，连接．求证：． 19．（8分）2025年央视春节联欢晚会中机器人参与表演的《秧》令人印象深刻，随着科技发展，机器人逐步走进我们的生活，给生产活动带来了极大的助力．如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上肢类似．如图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂米，大臂米，移动基座米，当，时： (1)求大、小臂连接处B到移动基座的水平距离； (2)求点C到工作台的高度的长． 参考数据：，， 20．（8分）如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，点在线段上，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（9分）我国在《黄帝内经》以及《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用x表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A．，B．，C．，D．） 【数据的收集与整理】 20名同学听音乐前频数分布表 心率x（次/分） 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 频数 5 a 5 4 各组平均心率（次/分） 64 75 86 95 这20名同学听音乐时的心率在B组的是：71，71，73，74，74，76． 【数据分析】 平均数 中位数 方差 听音乐前 b 78 听音乐时 73 c 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______；______；______； (2)请你结合上表中的两种统计量分析节奏舒缓的音乐对心率的影响； (3)下午在学校的阶梯教室有本年级的100名同学参加这项课题研究，如果该小组在活动时播放该音乐，请估计心率在A组的同学人数． 22．（10分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． (1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴，轴分别交于、两点，点，点为线段的中点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点为线段上一动点（不与点、重合），过点作直线，使得，交于点．若与的面积比为，求点的坐标． 24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A，B两点，对称轴为直线，与y轴交点为点，点D为抛物线上任意一点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，当点D为抛物线的顶点时，求的面积； (3)如图3，当点D在直线下方的抛物线上时，连接交于点E，求最大值． 25．（12分）综合与实践： 【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______； （2）在图1中，连接，求证：； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长； 【综合应用】 （4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷02（济南专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C C C C D C A B 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把答案直接填写在横线上 11.6 12. 13.1 14. 15. 三、解答题:本大题有10个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（7分） 【答案】 【解析】解：原式,（4分） .（7分） 17．（7分） 【答案】 【解析】解：解不等式，得：，（2分） 解不等式，得：，（4分） 故不等式组的解集为：．（7分） 18．（7分） 【答案】见解析 【解析】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，（2分） ∵， ∴，（4分） 在和中， ， ∴，（6分） ∴．（7分） 19．（8分） 【答案】(1)大、小臂连接处B到移动基座的水平距离为3米 (2)点C到工作台的高度的长为米 【解析】（1）解：如图过点B作，交的延长线于点E， ， ， 在中，，（2分） ， 大、小臂连接处B到移动基座的水平距离为3米；（3分） （2）解：延长交的延长线于点F， 由（1）得， 在中，， ， 四边形为矩形， ，（4分） 又， ， ，即， ，（5分） 在中，，（6分） ，（7分） ， 点C到工作台的高度的长为米．（8分） 20．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：连接，由切线的性质得到，（1分） 由等腰三角形的性质得， 根据得，即，， ， ，（3分） 由等腰三角形角平分线性质得；（4分） （2）解：，， ， ， 设，， ，， ， ， ，（6分） ， ， ．（8分） 21．（9分） 【答案】(1)；； (2)从平均数看，节奏舒缓的音乐能使心率降低；从中位数看，节奏舒缓的音乐能对心率无影响；从方差看，节奏舒缓的音乐能使心率更加稳定（答案不唯一） (3)心率在A组的同学人数为人 【解析】（1）解：，（1分） ，（2分） ，（3分） 故答案为：；；； （2）解：从平均数看，节奏舒缓的音乐能使心率降低；（4分） 从中位数看，节奏舒缓的音乐能对心率无影响；（5分） 从方差看，节奏舒缓的音乐能使心率更加稳定；（6分） （3）解：人，（9分） 答：心率在A组的同学人数为人． 22．（10分） 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 (2)购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元 【解析】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得，（2分） 解得，（3分） 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；（5分） （2）解：设购进B款个，则购进A款个，（6分） 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：，（7分） 设总利润为，则，（8分） ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为，（9分） 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．（10分） 23．（10分） 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）解：将点B坐标代入得，， ∴反比例函数的解析式为；（2分） ∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上， ∴，则， ∴点D的坐标为，（3分） 将点D和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为；（5分） （2）解：由得， ∴，， ∴点A的坐标为，（6分） ∵， ∴，（7分） ∵与的面积比为， ∴，（8分） ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为，（10分） 故答案为： 24．（12分） 【答案】(1) (2)15 (3) 【解析】（1）解：根据题意，得，（1分） 将代入得，（2分） 二次函数的表达式为．（3分） （2）解：令得，， 解得， ． 当时， ． 设直线交对称轴于点的解析式为， 把代入解析式得： 解得： 直线的解析式为．（4分） 当时，， ．（5分） ．（7分） （3）解：如图，过点作轴的垂线交于点，则轴， ． ， 设，则，（8分） ．（10分） ， 当时，有最大值，此时的最大值为．（12分） 25．（12分） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）， 【解析】（1）解∶∵，，，D为的中点 ∴，，， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，经检验符合题意；（2分） （2）证明：如图， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，，（3分） ∴，， ∴，（4分） （3）∵，，D为的中点， ∴，， ∴，（5分） 过B作于M，过D作于N， ∵， ∴， ∴，（6分） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，（7分） 解得，经检验，符合题意；（8分） （4）解：∵，，， ∴，，， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 设，则， 过A作于M，过F作于N， ∴，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值为，此时， ∴面积的最大值为，此时的长度为．（12分） 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（济南专用） 考情速递 中考·新动向：从近年来的济南中考数学试卷来看，命题越来越注重对学生综合能力和实践能力的考查。试题逐渐从单纯的知识点考查转向对知识的理解、应用和创新能力的考查。例如，2024年济南中考数学试卷中，试题情境更加丰富多样，涉及到生活实际、科技发展、传统文化等多个领域，要求学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。题目呈现方式更加灵活多样，不再局限于传统的文字叙述和符号表达，而是增加了图表、图象、实物模型等直观呈现方式。如2025年济南市高新区一模数学试卷中的第2题，通过给出“月壤砖”的示意图，考查学生对其俯视图的判断，要求学生具备较强的空间想象能力和对几何体三视图的理解能力。此外，试题还呈现出一定的开放性和探究性，鼓励学生自主思考和探索，如2024年济南市中考数学试卷中的第25题，要求学生通过自主探究发现规律并进行证明。 中考·新考法：在常规考点的基础上，命题者会设置一些新颖的设问方式或进行知识的融合考查。例如，2025年济南市槐荫区九年级中考一模数学试题中的第24题，将反比例函数与几何知识相结合，要求学生在理解反比例函数图象和性质的基础上，能够运用相似三角形、勾股定理等几何知识进行综合分析和解答。除了对常规考点的创新考查外，还会出现一些非常规考点的创新糅合。例如，2024年济南市中考数学试卷中的第25题，以矩形为载体，融合了相似三角形、旋转、勾股定理等多个知识点，要求学生具备较强的综合运用能力和创新思维能力。 命题·大预测：从试卷的整体结构来看，选择题和填空题部分注重基础知识的考查，如相反数、三视图、科学记数法等，这些题目难度较低，旨在帮助学生建立信心。而解答题部分则逐渐增加难度，从简单的计算题到复杂的几何证明和函数综合题，体现了中考命题“基础为主，能力为重”的特点。预计2025年济南中考数学命题将继续保持这一趋势，基础题占比较大，但也会通过设置一定数量的中高难度题目来拉开学生之间的差距。 跨学科融合与情境化题目增多：试卷中出现了如化学实验（概率题）、传统文化（鲁班锁三视图）、新能源汽车（函数与实际应用）等跨学科融合和情境化题目。这些题目不仅考查学生的数学知识，还要求学生能够将数学知识与其他学科知识或实际生活情境相结合。预计2025年中考将继续加强对跨学科融合和情境化题目的考查，尤其是与生活实际、科技发展、传统文化相关的题目。 动态几何与函数综合题仍是重点：试卷中的解答题部分，如动点问题、几何折叠问题、函数与几何综合题等，依然是考查的重点。这些问题需要学生具备较强的逻辑推理能力、空间想象能力和综合运用知识的能力。预计2025年中考将继续保持对动态几何和函数综合题的重视，尤其是涉及动点轨迹、面积最值、相似三角形等知识点的题目。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中与2互为相反数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，还考查了求一个数的绝对值、立方根，算术平方根．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：A. 与2不是相反数，故此选项错误，不符合题意． B. ，2互为相反数，故该选项正确，符合题意；     C. ，与2是同一个数，不是相反数，故此选项错误，不符合题意． D. ，与2是同一个数，不是相反数，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．图1是我国古代的鲁班锁，图2是其中的一个构件，则该构件的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可． 【详解】解：该构件的主视图为： 故选：B． 3．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线三个星期后达到了33700000．将33700000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：将33700000用科学记数法表示为， 故选：C． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的运算， 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答A，再根据完全平方公式计算判断B，然后根据幂的乘方，底数不变，指数相乘计算判断C，最后根据是否是同类项判断D. 【详解】解：因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为不是同类项，不能合并，所以D不正确. 故选：C. 5．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，． 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：由条件可知， ，， ， ， 故选：C 6．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查异分母分式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题关键 先通分，然后计算加减法即可 【详解】解： ， 故选：C 7．在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氯化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液分别用表示，列表如下： （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） 由表可知共有12种可能的结果，其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种， 则抽到的2个都是酸性溶液的概率为． 故选D． 8．如图，在中，按下列步骤利用尺规作图： ①以C为圆心，适当长度为半径画弧，分别与交于H，G； ②分别以H，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线； ③分别以B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点； ④作直线，分别交于点D，E； ⑤连接． 则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，据此可判断A，B正确；由作图可知，是的平分线，得出，结合，可判断D；无法判断C的正误． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，由作图可知，是的平分线， ∴，，故A正确； ∴，故B正确； 由作图可知，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D正确； 无法说明，故C错误． 故选C． 【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握尺规作图是解答本题的关键． 9．根据乘联会数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源车国内月销量达到万辆，预计年第一季度新能源车国内总销量可以达到万辆．若设年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，依题意，可列出方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用月的销量1月的销量（1+平均增长率 ），月的销量1月的销量（1+平均增长率 ），即可得出关于的一元二次方程，即可得解． 【详解】解：设年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：； 故选：A． 10．如图，在中，，，，动点，同时从出发，点以每秒3个单位长度沿向终点运动；点以每秒1个单位长度沿向终点运动，当其中一动点运动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是动点问题函数图象、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解题关键是分段考虑，正确表示出时关于的函数解析式． 分三种情况可得该时间段内关于的函数解析式，结合二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质即可判断正确图象． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴点达到点所需要的时间为：（秒）， 点达到点所需要的时间为：（秒）， ∴，故选项C、D错误； 当时，点在上运动，此时，， 如图，作交于点， ∴， ∴， 根据二次函数的性质可得，此时表示与函数关系的图象应为开口向上的抛物线， 当，点在上运动， 如图，过点作交于点， ， ∴； 根据一次函数的性质此时表示与函数关系的图象是一条斜向上的线段； 当，点在上运动，作交延长线于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据二次函数的性质可得，此时表示与函数关系的图象应为开口向下的抛物线； 则选项错误、选项正确． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 30 50 100 300 800 点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483 “点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60 由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为 ．（结果保留整数） 【答案】6 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据总面积乘以“点落在阴影部分”的频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：估计此二维码中黑色阴影部分的面积为， 故答案为：． 12．如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆，连接，，作．若劣弧的长为，则 ． 【答案】 【分析】先求出中心角，再根据弧长公式求得半径为2，然后解即可． 【详解】解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆圆与正多边形，解直角三角形，中心角的求解，弧长公式，综合性较强，熟练掌握知识点是解题的关键． 13．如图，射线与函数（，）图象相交于点A，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，x轴相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线，交函数图象于点，连接，则的面积是 ． 【答案】1 【分析】由可得，求得，即可得出，由作图方法可知，是的平分线，可得，射线与轴的夹角为，可得出点关于直线对称，可得出，再由，求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ， ， ， 由作图方法可知，是的平分线， ， 射线与轴的夹角为， 点关于直线对称， ， ， ，且， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作角平分线，反比例函数解析式k的几何意义，反比例函数的图象性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 14．如图，点是为直径的半圆上一点，连接，将沿直线翻折，翻折后的圆弧恰好经过点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形，扇形的面积公式等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点，则，根据题意和图形，可知阴影部分的面积扇形的面积，由折叠性质可知，根据正弦求出，通过三角形外角性质得出，最后由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作于点，则， 由图可知，阴影部分的面积扇形的面积， 由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的面积是：， 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设正方形的边长为a，，根据折叠的性质得出，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a， ∴， ∵折叠， ∴， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴ ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算， 根据，再根据二次根式的加减法计算即可. 【详解】解：原式,（4分） .（7分） 17．（7分）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得：，（2分） 解不等式，得：，（4分） 故不等式组的解集为：．（7分） 18．（7分）在中，点E是上一点，连接，，且，延长至点F，使得，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，从而得出，，再证明，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，（2分） ∵， ∴，（4分） 在和中， ， ∴，（6分） ∴．（7分） 19．（8分）2025年央视春节联欢晚会中机器人参与表演的《秧》令人印象深刻，随着科技发展，机器人逐步走进我们的生活，给生产活动带来了极大的助力．如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上肢类似．如图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂米，大臂米，移动基座米，当，时： (1)求大、小臂连接处B到移动基座的水平距离； (2)求点C到工作台的高度的长． 参考数据：，， 【答案】(1)大、小臂连接处B到移动基座的水平距离为3米 (2)点C到工作台的高度的长为米 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的意义是解题的关键． （1）根据锐角的三角函数的意义求解； （2）先根据锐角函数的意义求出，再根据线段的和差求解． 【详解】（1）解：如图过点B作，交的延长线于点E， ， ， 在中，，（2分） ， 大、小臂连接处B到移动基座的水平距离为3米；（3分） （2）解：延长交的延长线于点F， 由（1）得， 在中，， ， 四边形为矩形， ，（4分） 又， ， ，即， ，（5分） 在中，，（6分） ，（7分） ， 点C到工作台的高度的长为米．（8分） 20．（8分）如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，点在线段上，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由切线的性质得到，由等腰三角形的性质得，根据得，由等腰三角形角平分线性质得； （2）根据三角形中位线定理得到，设，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，由切线的性质得到，（1分） 由等腰三角形的性质得， 根据得，即，， ， ，（3分） 由等腰三角形角平分线性质得；（4分） （2）解：，， ， ， 设，， ，， ， ， ，（6分） ， ， ．（8分） 21．（9分）我国在《黄帝内经》以及《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用x表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A．，B．，C．，D．） 【数据的收集与整理】 20名同学听音乐前频数分布表 心率x（次/分） 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 频数 5 a 5 4 各组平均心率（次/分） 64 75 86 95 这20名同学听音乐时的心率在B组的是：71，71，73，74，74，76． 【数据分析】 平均数 中位数 方差 听音乐前 b 78 听音乐时 73 c 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______；______；______； (2)请你结合上表中的两种统计量分析节奏舒缓的音乐对心率的影响； (3)下午在学校的阶梯教室有本年级的100名同学参加这项课题研究，如果该小组在活动时播放该音乐，请估计心率在A组的同学人数． 【答案】(1)；； (2)从平均数看，节奏舒缓的音乐能使心率降低；从中位数看，节奏舒缓的音乐能对心率无影响；从方差看，节奏舒缓的音乐能使心率更加稳定（答案不唯一） (3)心率在A组的同学人数为人 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，平均数，中位数，用样本估计总量，熟知上述概念是解题的关键． （1）根据平均数，中位数的定义即可解答； （2）根据方差，平均数，中位数做出判断即可； （3）利用样本估计总量即可解答． 【详解】（1）解：，（1分） ，（2分） ，（3分） 故答案为：；；； （2）解：从平均数看，节奏舒缓的音乐能使心率降低；（4分） 从中位数看，节奏舒缓的音乐能对心率无影响；（5分） 从方差看，节奏舒缓的音乐能使心率更加稳定；（6分） （3）解：人，（9分） 答：心率在A组的同学人数为人． 22．（10分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． (1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 (2)购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得，（2分） 解得，（3分） 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；（5分） （2）解：设购进B款个，则购进A款个，（6分） 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：，（7分） 设总利润为，则，（8分） ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为，（9分） 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．（10分） 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴，轴分别交于、两点，点，点为线段的中点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点为线段上一动点（不与点、重合），过点作直线，使得，交于点．若与的面积比为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点B坐标代入反比例函数解析式，再由点C为线段的中点求出点D坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）根据题意先求出点A的坐标，再根据三角形相似的判定和性质得出点M为的中点，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将点B坐标代入得，， ∴反比例函数的解析式为；（2分） ∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上， ∴，则， ∴点D的坐标为，（3分） 将点D和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为；（5分） （2）解：由得， ∴，， ∴点A的坐标为，（6分） ∵， ∴，（7分） ∵与的面积比为， ∴，（8分） ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为，（10分） 故答案为： 24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A，B两点，对称轴为直线，与y轴交点为点，点D为抛物线上任意一点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，当点D为抛物线的顶点时，求的面积； (3)如图3，当点D在直线下方的抛物线上时，连接交于点E，求最大值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由题意得：，即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）证明，即，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得，（1分） 将代入得，（2分） 二次函数的表达式为．（3分） （2）解：令得，， 解得， ． 当时， ． 设直线交对称轴于点的解析式为， 把代入解析式得： 解得： 直线的解析式为．（4分） 当时，， ．（5分） ．（7分） （3）解：如图，过点作轴的垂线交于点，则轴， ． ， 设，则，（8分） ．（10分） ， 当时，有最大值，此时的最大值为．（12分） 25．（12分）综合与实践： 【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______； （2）在图1中，连接，求证：； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长； 【综合应用】 （4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）， 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据互为“手拉手等形三角形”定义可得出，，然后证明，根据相似三角形的性质求解即可； （2）类似（1）证明即可； （3）过B作于M，过D作于N，根据，得出，证明，得出，则，证明，得出，代入数值求解即可； （4）类似（1）证明，得出， ，设，则，过A作于M，过F作于N，则，，，，证明，可求出，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶∵，，，D为的中点 ∴，，， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，经检验符合题意；（2分） （2）证明：如图， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，，（3分） ∴，， ∴，（4分） （3）∵，，D为的中点， ∴，， ∴，（5分） 过B作于M，过D作于N， ∵， ∴， ∴，（6分） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，（7分） 解得，经检验，符合题意；（8分） （4）解：∵，，， ∴，，， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 设，则， 过A作于M，过F作于N， ∴，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值为，此时， ∴面积的最大值为，此时的长度为．（12分） 【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，二次函数的性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$