信息必刷卷03（山东济南专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（济南专用） 考情速递 中考·新动向：从近年来的济南中考数学试卷来看，命题越来越注重对学生综合能力和实践能力的考查。试题逐渐从单纯的知识点考查转向对知识的理解、应用和创新能力的考查。例如，2024年济南中考数学试卷中，试题情境更加丰富多样，涉及到生活实际、科技发展、传统文化等多个领域，要求学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。题目呈现方式更加灵活多样，不再局限于传统的文字叙述和符号表达，而是增加了图表、图象、实物模型等直观呈现方式。如2025年济南市高新区一模数学试卷中的第2题，通过给出“月壤砖”的示意图，考查学生对其俯视图的判断，要求学生具备较强的空间想象能力和对几何体三视图的理解能力。此外，试题还呈现出一定的开放性和探究性，鼓励学生自主思考和探索，如2024年济南市中考数学试卷中的第25题，要求学生通过自主探究发现规律并进行证明。 中考·新考法：在常规考点的基础上，命题者会设置一些新颖的设问方式或进行知识的融合考查。例如，2025年济南市槐荫区九年级中考一模数学试题中的第24题，将反比例函数与几何知识相结合，要求学生在理解反比例函数图象和性质的基础上，能够运用相似三角形、勾股定理等几何知识进行综合分析和解答。除了对常规考点的创新考查外，还会出现一些非常规考点的创新糅合。例如，2024年济南市中考数学试卷中的第25题，以矩形为载体，融合了相似三角形、旋转、勾股定理等多个知识点，要求学生具备较强的综合运用能力和创新思维能力。 命题·大预测：试卷结构稳定，难度分布合理：基础题占比较大：试卷中选择题和填空题的比例较高，且基础题部分注重知识点的直接考查，旨在帮助学生建立信心。中高难度题拉开差距：解答题部分通过设置复杂情境和综合应用题来区分学生能力，尤其是动态几何、函数综合题等，仍是考查重点。 跨学科融合与情境化题目增加：跨学科融合：试卷中出现了如化学实验（概率题）、传统文化（三视图）、新能源汽车（函数与实际应用）等跨学科融合题目，预计2025年中考将继续加强对跨学科融合的考查。情境化题目：试题情境更加丰富多样，涉及到生活实际、科技发展、传统文化等多个领域，要求学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。 动态几何与函数综合题仍是重点：动态几何：如动点问题、几何折叠问题等，需要学生具备较强的逻辑推理能力和空间想象能力。函数综合题：涉及动点轨迹、面积最值、相似三角形等知识点，仍是考查的重点。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图①，先沿着长方体左右两边的对角线将上方部分剪去，得到如图②的几何体，再用沿着图②图形的前后两个面的对角线将右边部分剪去，得到如图③的几何体它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“阳马”．图③“阳马”的俯视图是（    ） A． B． C． D． 3．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中，都与地面平行，，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．根据中国汽车工业协会的数据，2024年前三季度，中国新能源汽车产、销量分别为万辆和万辆，同比增长和，占新车总销量的．如图是印有新能源车标的三张卡片，它们除正面图案之外完全相同，把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 7．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 8．对于实数a，b，定义运算“★”：，已知关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如图，是等腰直角三角形，，O是的中点，连接并延长至D，使得，连接和．①以点D为圆心，的长为半径画弧交于点E；②分别以点C、E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，接．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 10．对于、，定义一种新运算“”，当时，，当时，，下列说法： ①已知，，的值与的取值无关，则，； ②对于任意的实数、，若，， 则； ③满足的整数解共有种． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．分解因式： ． 12．如图，把图中的一个白色方格涂黑，和原来的两个黑色方格恰好构成一个轴对称图形的概率是 ． 13．如图，，在边上，，，则的度数为 ． 14．甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，的值为 ． 15．如图，在矩形中，，，连接，把线段绕点逆时针方向旋转得线段．在边上取点，使，连接交延长线于点，则线段长为 ． 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分）计算：； 17．（7分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来 18．（7分）已知：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，且，延长分别交延长线于点H、G． (1)求证：； (2)联结，如果，求证：四边形是正方形． 19．（8分）【研究背景】今年春晚，《秧》的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞．高精度激光雷达、深度相机、激光 技术等先进技术，实现了实时捕捉环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用． 【数据采集】如图，在测试机器人宇树 爬坡(坡角)能力的过程中，当机器人行走至 点时，测得小腿与斜坡的夹角，大腿 与小腿 的夹角，． 【数据应用】已知机器人的小腿 的长度为，大腿上 点与 点的连线与水平面 垂直．根据上述数据，计算大腿 的长度(结果精确到，参考数据：) 20．（8分）如图，为的直径，A为上一点，交于于点E，过点A作的切线交的延长线于点P，连接，．    (1)求证：平分； (2)若，的半径为5，求的长． 21．（9分）寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数一共是多少？ 22．（10分）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． 营养成分表 营养成分表 项目 每 项目 每 热量 热量 蛋白质 蛋白质 脂肪 脂肪 碳水化合物 碳水化合物 钠 钠 (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 23．（10分）如图正比例函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出时的取值范围； (3)若点是第二象限反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点、交直线于点，若三个点、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点、、三点为“和谐点”，直接写出使点、、三点成为“和谐点”的的坐标． 24．（12分）已知y1是自变量x的函数，当（k为常数，）时，称函数为函数的“k级函数”．点和点分别在函数和的图象上，此时称点B为点A关于的“k级点”． 例如：函数，当时，，则函数是函数的“2级函数”．点为点关于的“2级点”． (1)如图，点在反比例函数的图象上，当点 B 为点A关于的“1级点”时，求点B的坐标； (2)函数为函数的“k级函数”． ①求a的值； ②若点A在函数的图象上，点B为点A关于的“k级点”，当点A在点B上方时，请直接写出自变量x的取值范围 ； (3)函数为函数的“级函数”，点C在函数的图象上，点为点C关于的“级点”． ①当时，的取值范围是，求t的值； ②点M，N在函数的图象上，它们的横坐标分别为a，，以线段为对角线作矩形．当矩形与函数的图象有且只有三个公共点时，设第三个公共点为K，若矩形的边长度为5，请直接写出点K的纵坐标 ． 25．（12分）【中考新考法】综合与探究 【问题情境】“综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题． 【深入探究】（2）在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究： ①“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． ②“智慧小组”准备的菱形纸片的对角线，，他们也将绕点按逆时针方向旋转，其点的对应点为，并过点作交直线于点，当时，请直接写出的长度．        2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷03（济南专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A B D C C C B A C 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把答案直接填写在横线上 11. 12. 13. 14.5 15.6 三、解答题:本大题有10个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（7分） 【答案】6 【解析】解：原式（5分） ．（7分） 17．（7分） 【答案】，解集在数轴上表示见详解 【解析】 解：由①得 ，（2分） 由②得 ，（4分） 原不等式组的解集为；（6分） 解集在数轴上表示为： （7分） 18．（7分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴，（2分） ∴， ∴，即；（3分） （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，（4分） ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（5分） ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形．（7分） 19．（8分） 【答案】43cm 【解析】解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴是等边三角形，（2分） ∴ ∴ ∴（3分） ∵， 在中，，（5分）（7分） ∴（8分） 20．（8分） 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解析】（1）解：连接，如图：    ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∵是的切线，（2分） ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分；（4分） （2）解：由（1）可知，，， ∴，（5分） ∵，， ∴， ∴，（6分） ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴，（7分） ∴．（8分） 21．（9分） 【答案】(1)，，40； (2)上午观众时间段的观众对电影的评分较高，理由见解析； (3)此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 【解析】（1）解：∵上午的数据中，出现4次，出现次数最多， ∴；（1分） ， ， ∵， ∴下午的中位数在C组， ∴，（2分） ， ∴，（3分） 故答案为：，，40； （2）解：∵上午的平均数，中位数，众数均高于下午， ∴上午观众时间段的观众对电影的评分较高；（6分） （3）解：（人）， 答：此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人．（9分） 22．（10分） 【答案】(1)选用种食品包，种食品包 (2)选用种食品包，种食品包 【解析】（1）解：设选用种食品包，种食品包， 根据题意，得（3分） 解方程组，得 故选用种食品包，种食品包．（5分） （2）解：设选用种食品包，则选用种食品包， 根据题意，得． ∴．（6分） 设总热量为，则．（7分） ∵， ∴随的增大而减小．（8分） ∴当时，最小． ∴． 故选用种食品包，种食品包．（10分） 23．（10分） 【答案】(1) (2)或 (3) 【解析】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于， ， ， ， ∴反比例函数的表达式为，（3分） （2）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， ； 观察图象，时，的取值范围是：或 ；（6分） （3）解：设，则， 如图1， 当在点的下方时，则， 解得， ， ， 如图2， 当在点的上方时，，则， 解得 ， ， ， ∴点的坐标为或．（10分） 24．（12分） 【答案】(1) (2)①；② (3)①的值为或；②或 【解析】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 则点的纵坐标为， ；（1分） （2）解：①∵函数为函数的“k级函数”， ， 则， 解得；（3分） ②设，则， 根据题意可得， 解得， 故答案为：；（5分） （3）解：①∵函数为函数的“级函数”， ， ∵点为点C关于的“级点”， 设点的纵坐标为， ， 解得， ， ∵点C在函数的图象上， ， ， ∴， ， ∴当时，， 当时，， 对称轴为直线， 当时，， 当，即在对称轴左侧时， 则当时，取最小值， 即， 解得（舍去）， ；（7分） 当，即在对称轴右侧时， 则当时，取最小值， 即，解得， ， ，即， 成立， 综上，的值为或；（9分） ②， 则函数的对称轴为直线， 矩形与函数的图象有且只有三个公共点， 在函数的对称轴的两侧， 即，解得， 情况一：当点在点的上边时， 如图，当的纵坐标比大时， 则，解得，故情况不存在， 如图，当的纵坐标比小时， ， 则点的纵坐标比点的纵坐标大， 即， 解得（负值舍去）， 把代入函数可得， 故点的纵坐标等于点的纵坐标为； 情况二：当点在点的下边时，当的纵坐标比大时， ， 则点的纵坐标比点的纵坐标小， 即， 解得（负值舍去）， 把代入函数可得， 故点的纵坐标等于点的纵坐标加为， 综上，点的纵坐标为或， 故答案为：或．（12分） 25．（12分） 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①；②17.6或1.6 【解析】（1）解：四边形为菱形，理由： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形（3分） 由旋转的性质可知， ∴平行四边形为菱形；（4分） （2）①解：由题意得可得，， ∴， 设， ∵菱形， ∴ ∴在中，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 解得：，（6分） ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，（7分） 设， ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴；（9分） ②∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设边上的高为 则， ∴， 当时，而菱形中，， ∴点共线， ∵，， ∴，即 由旋转得， 当点在右侧时，如图： ∴； 当点在左侧时，如图： ∴， 综上所述：当时，的长度为17.6或1.6．（12分） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（济南专用） 考情速递 中考·新动向：从近年来的济南中考数学试卷来看，命题越来越注重对学生综合能力和实践能力的考查。试题逐渐从单纯的知识点考查转向对知识的理解、应用和创新能力的考查。例如，2024年济南中考数学试卷中，试题情境更加丰富多样，涉及到生活实际、科技发展、传统文化等多个领域，要求学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。题目呈现方式更加灵活多样，不再局限于传统的文字叙述和符号表达，而是增加了图表、图象、实物模型等直观呈现方式。如2025年济南市高新区一模数学试卷中的第2题，通过给出“月壤砖”的示意图，考查学生对其俯视图的判断，要求学生具备较强的空间想象能力和对几何体三视图的理解能力。此外，试题还呈现出一定的开放性和探究性，鼓励学生自主思考和探索，如2024年济南市中考数学试卷中的第25题，要求学生通过自主探究发现规律并进行证明。 中考·新考法：在常规考点的基础上，命题者会设置一些新颖的设问方式或进行知识的融合考查。例如，2025年济南市槐荫区九年级中考一模数学试题中的第24题，将反比例函数与几何知识相结合，要求学生在理解反比例函数图象和性质的基础上，能够运用相似三角形、勾股定理等几何知识进行综合分析和解答。除了对常规考点的创新考查外，还会出现一些非常规考点的创新糅合。例如，2024年济南市中考数学试卷中的第25题，以矩形为载体，融合了相似三角形、旋转、勾股定理等多个知识点，要求学生具备较强的综合运用能力和创新思维能力。 命题·大预测：试卷结构稳定，难度分布合理：基础题占比较大：试卷中选择题和填空题的比例较高，且基础题部分注重知识点的直接考查，旨在帮助学生建立信心。中高难度题拉开差距：解答题部分通过设置复杂情境和综合应用题来区分学生能力，尤其是动态几何、函数综合题等，仍是考查重点。 跨学科融合与情境化题目增加：跨学科融合：试卷中出现了如化学实验（概率题）、传统文化（三视图）、新能源汽车（函数与实际应用）等跨学科融合题目，预计2025年中考将继续加强对跨学科融合的考查。情境化题目：试题情境更加丰富多样，涉及到生活实际、科技发展、传统文化等多个领域，要求学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。 动态几何与函数综合题仍是重点：动态几何：如动点问题、几何折叠问题等，需要学生具备较强的逻辑推理能力和空间想象能力。函数综合题：涉及动点轨迹、面积最值、相似三角形等知识点，仍是考查的重点。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，根据数轴上的点确定式子的符号，不等式的性质，理解并掌握数轴的特点是解题的关键． 根据数轴上点的特点得到，结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项正确，符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 2．如图①，先沿着长方体左右两边的对角线将上方部分剪去，得到如图②的几何体，再用沿着图②图形的前后两个面的对角线将右边部分剪去，得到如图③的几何体它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“阳马”．图③“阳马”的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何体的俯视图．根据题意观察图形即可得到本题答案． 【详解】 解：∵图③“阳马”的俯视图是， 故选：A． 3．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中，都与地面平行，，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方运算法则、合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式分别运算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 6．根据中国汽车工业协会的数据，2024年前三季度，中国新能源汽车产、销量分别为万辆和万辆，同比增长和，占新车总销量的．如图是印有新能源车标的三张卡片，它们除正面图案之外完全相同，把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， ∴两次抽取的卡片图案相同的概率为． 故选∶C． 7．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，求出的值，代入整式方程中，求出的值即可． 【详解】解：， 方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选：C． 8．对于实数a，b，定义运算“★”：，已知关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先求得，根据题意得出关于x的一元二次方程，然后根据根的判别式得出，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程恰好有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：B． 9．如图，是等腰直角三角形，，O是的中点，连接并延长至D，使得，连接和．①以点D为圆心，的长为半径画弧交于点E；②分别以点C、E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，接．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，求得，得到，求得， 根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵O是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．对于、，定义一种新运算“”，当时，，当时，，下列说法： ①已知，，的值与的取值无关，则，； ②对于任意的实数、，若，， 则； ③满足的整数解共有种． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算及整式的加减，完全平方公式，整式的加减，根据新定义运算列出式子，再根据整式加减运算和代数式求值解题即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴，，故①正确； ∵，， ∴ ，故②正确； ③∵， ∴， 即， ∵，， ∴满足的整数解为，，共种，故③错误； 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．如图，把图中的一个白色方格涂黑，和原来的两个黑色方格恰好构成一个轴对称图形的概率是 ． 【答案】 【分析】由在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有14种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 本题主要考查了利用轴对称设计图案，概率公式的应用，概率=所求情况数与总情况数之比，同时也考查了轴对称的定义． 【详解】解：由题意可得，共种等可能情况，其中构成轴对称图形的有如下10种情况： 所以概率 故答案为： 13．如图，，在边上，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由三角形全等得到，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， 是的外角，， ， 故答案为：． 14．甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，由图可求出乙的速度，即可求出甲的速度，进而即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图可得，乙车的速度是， ∴甲车的速度是， ∴， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，，，连接，把线段绕点逆时针方向旋转得线段．在边上取点，使，连接交延长线于点，则线段长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，根据旋转的性质可知：，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，，从而可求，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可得． 【详解】解：如下图所示，过点作的延长线于点， 四边形是矩形， ，， ， ， 根据旋转的性质可知：，， ，， ， 在和中， ， ，， ， ，，， 在和中， ， 又， ， ． 故答案为： ． 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分）计算：； 【答案】6 【分析】本题考查实数的混合运算，先运算零指数次幂、负整数指数次幂、绝对值和二次根式的化简以及特殊角的三角函数值，然后进行合并即可． 【详解】解：原式（5分） ．（7分） 17．（7分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来 【答案】，解集在数轴上表示见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示解集；分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，解集在数轴上表示出来，即可求解；掌握不等式组的解法，并会在数轴上的表示解集是解题的关键． 【详解】 解：由①得 ，（2分） 由②得 ，（4分） 原不等式组的解集为；（6分） 解集在数轴上表示为： （7分） 18．（7分）已知：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，且，延长分别交延长线于点H、G． (1)求证：； (2)联结，如果，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，再证明推出，则； （2）先导角证明，则可证明，证明，进而可证明，，再证明，得到，即可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴，（2分） ∴， ∴，即；（3分） （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，（4分） ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（5分） ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形．（7分） 19．（8分）【研究背景】今年春晚，《秧》的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞．高精度激光雷达、深度相机、激光 技术等先进技术，实现了实时捕捉环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用． 【数据采集】如图，在测试机器人宇树 爬坡(坡角)能力的过程中，当机器人行走至 点时，测得小腿与斜坡的夹角，大腿 与小腿 的夹角，． 【数据应用】已知机器人的小腿 的长度为，大腿上 点与 点的连线与水平面 垂直．根据上述数据，计算大腿 的长度(结果精确到，参考数据：) 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；延长交于点，根据已知条件得出延长交于点，进而解，求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴是等边三角形，（2分） ∴ ∴ ∴（3分） ∵， 在中，，（5分）（7分） ∴（8分） 20．（8分）如图，为的直径，A为上一点，交于于点E，过点A作的切线交的延长线于点P，连接，．    (1)求证：平分； (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接， 根据垂径定理，再得到，根据是的切线，得到，进一步得到，即可得出结论； （2）利用解直角三角形得到，再判定，得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图：    ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∵是的切线，（2分） ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分；（4分） （2）解：由（1）可知，，， ∴，（5分） ∵，， ∴， ∴，（6分） ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴，（7分） ∴．（8分） 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理，解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． 21．（9分）寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数一共是多少？ 【答案】(1)，，40； (2)上午观众时间段的观众对电影的评分较高，理由见解析； (3)此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体． （1）根据中位数，众数的定义，即可求出a和b的值，先求出下午a组的人数所占百分比，即可求出m的值； （2）根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论； （3）将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可． 【详解】（1）解：∵上午的数据中，出现4次，出现次数最多， ∴；（1分） ， ， ∵， ∴下午的中位数在C组， ∴，（2分） ， ∴，（3分） 故答案为：，，40； （2）解：∵上午的平均数，中位数，众数均高于下午， ∴上午观众时间段的观众对电影的评分较高；（6分） （3）解：（人）， 答：此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人．（9分） 22．（10分）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． 营养成分表 营养成分表 项目 每 项目 每 热量 热量 蛋白质 蛋白质 脂肪 脂肪 碳水化合物 碳水化合物 钠 钠 (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)选用种食品包，种食品包 (2)选用种食品包，种食品包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设选用种食品包，种食品包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用种食品包，则选用种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设选用种食品包，种食品包， 根据题意，得（3分） 解方程组，得 故选用种食品包，种食品包．（5分） （2）解：设选用种食品包，则选用种食品包， 根据题意，得． ∴．（6分） 设总热量为，则．（7分） ∵， ∴随的增大而减小．（8分） ∴当时，最小． ∴． 故选用种食品包，种食品包．（10分） 23．（10分）如图正比例函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出时的取值范围； (3)若点是第二象限反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点、交直线于点，若三个点、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点、、三点为“和谐点”，直接写出使点、、三点成为“和谐点”的的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式和方程的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）由 的的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式， （2）根据反比例函数和正比例函数图象的中心对称性求得B点的坐标；再由图象即可求解； （3）根据“和谐点”的定义分两种情况，当在点的下方时，是线段的中点，当在点的上方时，是线段的中点，利用中点坐标公式列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于， ， ， ， ∴反比例函数的表达式为，（3分） （2）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， ； 观察图象，时，的取值范围是：或 ；（6分） （3）解：设，则， 如图1， 当在点的下方时，则， 解得， ， ， 如图2， 当在点的上方时，，则， 解得 ， ， ， ∴点的坐标为或．（10分） 24．（12分）已知y1是自变量x的函数，当（k为常数，）时，称函数为函数的“k级函数”．点和点分别在函数和的图象上，此时称点B为点A关于的“k级点”． 例如：函数，当时，，则函数是函数的“2级函数”．点为点关于的“2级点”． (1)如图，点在反比例函数的图象上，当点 B 为点A关于的“1级点”时，求点B的坐标； (2)函数为函数的“k级函数”． ①求a的值； ②若点A在函数的图象上，点B为点A关于的“k级点”，当点A在点B上方时，请直接写出自变量x的取值范围 ； (3)函数为函数的“级函数”，点C在函数的图象上，点为点C关于的“级点”． ①当时，的取值范围是，求t的值； ②点M，N在函数的图象上，它们的横坐标分别为a，，以线段为对角线作矩形．当矩形与函数的图象有且只有三个公共点时，设第三个公共点为K，若矩形的边长度为5，请直接写出点K的纵坐标 ． 【答案】(1) (2)①；② (3)①的值为或；②或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，反比例函数，一次函数的性质，熟练利用分类讨论，正确画出图形是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）①根据题意可得，对应左边两边未知数的系数即可解答； ②表示出点的纵坐标，按照题意列不等式即可解答； （3）①根据点为点C关于的“级点”求得点的坐标，即可求得的解析式，分类讨论，按照题意求解即可； ②分类讨论，分点在点的左边或点在点的右边，分别求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 则点的纵坐标为， ；（1分） （2）解：①∵函数为函数的“k级函数”， ， 则， 解得；（3分） ②设，则， 根据题意可得， 解得， 故答案为：；（5分） （3）解：①∵函数为函数的“级函数”， ， ∵点为点C关于的“级点”， 设点的纵坐标为， ， 解得， ， ∵点C在函数的图象上， ， ， ∴， ， ∴当时，， 当时，， 对称轴为直线， 当时，， 当，即在对称轴左侧时， 则当时，取最小值， 即， 解得（舍去）， ；（7分） 当，即在对称轴右侧时， 则当时，取最小值， 即，解得， ， ，即， 成立， 综上，的值为或；（9分） ②， 则函数的对称轴为直线， 矩形与函数的图象有且只有三个公共点， 在函数的对称轴的两侧， 即，解得， 情况一：当点在点的上边时， 如图，当的纵坐标比大时， 则，解得，故情况不存在， 如图，当的纵坐标比小时， ， 则点的纵坐标比点的纵坐标大， 即， 解得（负值舍去）， 把代入函数可得， 故点的纵坐标等于点的纵坐标为； 情况二：当点在点的下边时，当的纵坐标比大时， ， 则点的纵坐标比点的纵坐标小， 即， 解得（负值舍去）， 把代入函数可得， 故点的纵坐标等于点的纵坐标加为， 综上，点的纵坐标为或， 故答案为：或．（12分） 25．（12分）【中考新考法】综合与探究 【问题情境】“综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题． 【深入探究】（2）在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究： ①“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． ②“智慧小组”准备的菱形纸片的对角线，，他们也将绕点按逆时针方向旋转，其点的对应点为，并过点作交直线于点，当时，请直接写出的长度．        【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①；②17.6或1.6 【分析】（1）由题意得，再由菱形的性质得到，则先证明四边形为平行四边形，由菱形得到邻边相等，即可证明为菱形； （2）①导角证明，则，设，而，则，解方程即可； ②可得，，则，设边上的高为，由面积法求得，当时，而菱形中，，故点共线，而，，则，即，由旋转得，，再分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形（3分） 由旋转的性质可知， ∴平行四边形为菱形；（4分） （2）①解：由题意得可得，， ∴， 设， ∵菱形， ∴ ∴在中，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 解得：，（6分） ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，（7分） 设， ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴；（9分） ②∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设边上的高为 则， ∴， 当时，而菱形中，， ∴点共线， ∵，， ∴，即 由旋转得， 当点在右侧时，如图： ∴； 当点在左侧时，如图： ∴， 综上所述：当时，的长度为17.6或1.6．（12分） 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理等知识点，难度较大，正确画出图形是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$