精品解析：重庆市巴渝学校2024-2025学年九年级上学期第一次定时作业数学试题

2024-2025学年度（上）第一次学业检测 九年级数学试卷 一、单选题 1. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】A、的分母含字母，故其是分式，故A符合题意； B、是单项式，故B不符合题意； C、是单项式，故C不符合题意； D、是多项式，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 2. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 3. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数的图象经过点，求出反比例函数解析式，由此求解即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ． ∴反比例函数解析式为 、，函数图象不过此点，故本选项错误； 、，函数图象不经过此点，故本选项错误； 、，函数图象经过此点，故本选项正确； 、，函数图象不过此点，故本选项错误． 故选． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键． 4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，若，则为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键．直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ ∴的值应在4和5之间． 故选：C． 6. 若，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数和一次函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，故A、C选项不合题意， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故B选项不合题意，D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，掌握它们的性质是解题的关键． 7. 下列结论正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理、菱形的判定定理、正方形的判定定理，根据矩形的判定定理、菱形的判定定理、正方形的判定定理逐项分析即可得出答案，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理、正方形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x， 由题意得：， 故选：A． 9. 如图，在正方形中，点E，F分别在，上，满足，连接，，点P，Q分别是，的中点，连接．若．则可以用α表示为（　　） A. α B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，则，，如图，连接，则，，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形中， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 如图，连接， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 10. 有如下的一列等式： ，，其中为正整数，的各项系数均不为．交换任意两项的系数得到的新多项式称为“友好多项式”那么以下说法正确的有（ ） ①多项式有个不同的“友好多项式”； ②求多项式所有不同的“友好多项式”之和，其中的系数为：； ③若，那么的所有系数之和为； ④若，那么当时，． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，整式的加减计算，根据“友好多项式”的定义求出多项式的“友好多项式”即可判断①；根据①所求把所得的6个多项式的“友好多项式”中的的系数相加即可判断②；令，可得，据此可判断③；令得到，则，令得到，则，据此可判断④． 【详解】解：由“友好多项式”的定义可得，多项式的“友好多项式”有：，，，，，，共个，故①正确； 多项式所有不同的“友好多项式”之和的的系数为：，故②错误； ∵（n为偶数），（n为奇数）， ∴当时，（n为偶数）， （n为奇数）， 又∵当时，， ∴若，那么的所有系数之和为，故③正确； 当时，①， 当时，②， ∴得， ∴，故④正确； ∴正确的有3个， 故选：D． 二、填空题 11. 计算：2cos45°﹣（+1）0＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式＝2×﹣1 ＝﹣1． 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂，熟记特殊角的三角函数值，掌握运算法则是解题的关键． 12. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义方程的根就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把代入方程就得到一个关于的方程，就可以求出的值． 【详解】解：把代入，得 ， 解得． 故答案为：． 13. 若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意，分别求出a、b、c的值，然后进行判断，即可得到答案. 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，． ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，、分别在边、上，若，，，则的长为 ______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握由平行线判定三角形相似以及相似三角形对应边成比例是解题的关键． 通过平行线判定三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例关系来求解BC的长度． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，，则， ∴， ∴ ， 解得， 故答案为：． 15. 如图为反比例函数上的两点，、为反比例函数上的两点，轴，连结并延长交轴于点且轴，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设点A，根据反比例函数及其图像的特点依次表示出B、C、D的坐标，再根据即可得出结果． 【详解】解：∵点A在反比例函数上， 设点A， ∵轴， ∴B点的横坐标为a，C、D点纵坐标为， ∴B，C，D， ∴E点的横坐标为， ∵点E在反比例函数上， ∴E， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数与几何综合，解题的关键是根据题意写出各点坐标． 16. 若关于x的一元一次不等式组有解且最多4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式解的情况确定字母的取值范围，解含参数的分数方程等知识，综合性强，难度较大．先求出一元一次不等式组的解集，根据它有解且最多4个整数解，求得的取值范围；解分式方程得，根据其解为整数，结合求得所有符合条件的的值，将这些值相加即可． 【详解】解：由题意得关于x的一元一次不等式组得， ∵原不等式组有解且最多4个整数解， ． 解分式方程得解为， ∵当是原分式方程无解， ． ，且， ∵为整数， 或4， 当时，， 当时，， ∴． 故答案为： 17. 如图，在矩形中，为边的四等分点（），连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，则______，点到的距离为________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，由四边形是矩形，得，，，，再由折叠性质和勾股定理求出，过作于点，由折叠性质和勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴， ∴， ∵为边的四等分点（）， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知：，， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 由勾股定理得：，， ∴，解得：， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 故答案为：，． 18. 阅读材料：一个四位自然数（为数位上的数字且均不为0），把这个四位数分成两个两位数和，若，则称该数为“60”数．例如：四位数4218，把它分成两个两位数42和18，因为，所以4218为“60”数．四位数5324，把它分成两个两位数53和24，因为，所以5324不是“60”数．根据材料，最小的“60”数是______．已知是一个“60”数，去掉它的千位数字后得到一个三位数，去掉它的个位数字后得到一个三位数，若与的和能被11整除，则满足条件的的最大值为______． 【答案】 ①. 1149 ②. 4317 【解析】 【分析】本题考查了新定义，根据题目所给“60数”的定义，即可得出最小的“60”数；根据“60数”的定义得出，整理得，根据两个两位数相加为整十数，则个位相加必为10得出，进而得出，则a最大为4，此时，求出，根据与的和能被11整除，得出能被11整除，则，即可求出d的值，进而得出b的值． 【详解】解：∵为数位上的数字且均不为0， ∴最小的“60”数是1149， ， ∵是一个“60”数， ∴， ∴，， ∴， ∴，整理得：， 则a最大为4，此时， ∵，， ∴ ， ∵与的和能被11整除， ∴能被11整除， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的的最大值为4317． 故答案为：1149，4317． 三、解答题 19. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可作答． （2）先通分括号内，再进行除法运算，根据分式性质进行化简，即可作答． 【详解】解：（1）， ∴， ∴或， 解得：； （2） 20. 某校开展学生科技活动，为了解学生的科技知识水平组织了知识竞答活动，从七年级和八年级各随机抽取20名学生的竞答成绩（单位：分），进行整理、描述和分析（比赛成绩用表示，共分成4组：：，：，：，：）．下面给出了部分信息： 七年级学生组的竞答成绩为：，，，，，，，． 八年级被抽取学生的竞答成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七、八年级抽取的竞答成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 80 80 中位数 83 众数 82 七年级抽取的竞答成绩扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级学生共有2000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有多少人？ 【答案】（1）81.5；83；40 （2） 八年级掌握情况较好，理由如下： 由样本数据可知：八年级的中位数83大于七年级的中位数82，所以八年级水平高于七年级． （3）七八年级学生竞答成绩不低于90分的人数为500人 【解析】 【分析】（1）根据频数=样本容量×所占百分数，变形计算，计算A，C,D的频数，再根据众数，中位数的定义计算解答． （2）比较中位数，众数的大小作出决策． （3）利用样本估计总体思想解答即可． 本题考查了中位数，众数、样本估计，扇形统计图，熟练掌握统计图的意义，准确计算中位数，众数是解题的关键． 【小问1详解】 C的频数为： (人)，D的频数为： (人)， ∴， ∴A的频数为（人）， 故n为40； 出现次数最多是数据是83， 故b为83； 根据中位数是第10个数据，第11个数据的平均数，即， 故答案为：；83，40． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 估计该校七八年级学生竞答成绩不低于90分的人数为： （人） ∴校七八年级学生竞答成绩不低于90分的人数为500人． 21. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，重外数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可先证得到的图形是平行四边形继而得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在菱形中，于点．用尺规过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：菱形中，于点，于点． 求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，，___①_____ 又 ． ，___②____ ， ___③___ ， 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 进一步思考，如果“菱形”改为“平行四边形”还有相同的结论么？请你写出你猜想的结论： ______________________________④__________________________________ 【答案】 （1）如图所示，即为所求作； （2）①；②；③；④过平行四边形的一条对角线的两端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作法作图即可； （2）由菱形的性质可证，证明得，进而可证四边形是矩形；如果“菱形”改为“平行四边形”，同理可证四边形是矩形 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 22. 某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． （1）求A，B两款电器每台的售价； （2）经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 【答案】（1）A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元 （2）每台A款电器应降价40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元，根据“顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台”列出分式方程，解方程即可； （2）设每台A款电器应降价m元，根据每月销售A款电器的利润达到10800元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【小问1详解】 解：设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元； 【小问2详解】 解：设每台A款电器应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽可能减少库存， 取． 答：每台A款电器应降价40元． 23. 如图1，在四边形中，，，，，点在四边形的边上，且沿着点运动．设点的运动路程为，记围成的面积为，，． （1）请直接写出与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）如图2，平面直角坐标系中已画出函数的图象，请在同一坐标系中画出函数的图象，并根据函数图象，写出函数的一条性质； （3）结合与的函数图象，直接写出当时，的取值范围．（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 【答案】（1） （2） 函数图象如下所示： ①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而不变，当时，随的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，三角形面积公式，画一次函数图象，一次函数与反比例函数的交点问题等，解题的关键是熟练运用数形结合思想． （1）分“点P在上运动，点P在上运动，点P在上运动”三种情况，利用三角形面积公式分别计算即可； （2）根据（1）中所求关系式描点、连线即可； （3）求出两个函数图象的交点的横坐标，结合函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 当点在上运动时，如图， 过点作于点，过点作于点， 由题意得：，则， 则，则； 当点在上运动时，过点作于点， 则；当点在上运动时， 同理可得，，故； 【小问2详解】 解：函数图象如下所示： ∴①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而不变，当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：解：将与联立，得， 解得或（舍去）； 将与联立，得， 解得或（舍去）； 由图可知，当时，x的取值范围是． 24. 某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） （1）求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） （2）小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 【答案】（1）A、C两地之间距离为1930米 （2）小华先到达C地 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，过D作于E；分别在，中利用勾股定理求出，即可求得结果； （2）设两人速度为1，由（1）的计算可得的长；由题意得是等腰直角三角形，由（1）的结论及勾股定理求得，即可求得；比较即可谁先到达C地． 【小问1详解】 解：如图，连接，过D作于E； 由题意得：； 在中，则， ， 由勾股定理得：， 米； 则米； 在中，， 则米，由勾股定理得：米， (米)； 【小问2详解】 解：由（1）的计算知，米， 米； 由题意得分别在东南方向、西南方向，则， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 米， 米； ， ，即小华的路程更小， 又∵两人速度相同， 所以小华先到达C地． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）将点B沿x轴负半轴平移5个单位长度得到点E，连接，交反比例函数图象于点D，连接．若在y轴上有一动点F，直线上有一动点P．当最小时，求周长的最小值以及点F的坐标； （3）如图2，将线段以D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上是否存在一点Q，使得？直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2）周长最小值为， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点作轴的垂线，垂足为，过作轴于点交于点，可求直线表达式为：，联立直线表达式和反比例函数解析式，求得，则，,故，则，当点三点共线时取得最小值，此时的点即为点，同上可求直线的表达式为：，因此，则由两点距离公式求得过点作轴的对称点记为，则，因为，即求的最小值，因此，当三点共线时，取得最小值为，故周长最小值为，同上可求直线的表达式为：，即可得到； （3）过点作轴的垂线，过点作垂线的垂线交于点，可证明，求得，记直线与直线交于点R，导角得到，则，过点作于点，则，则，可求直线表达式为：，则，可求直线表达式为：，联立直线表达式和反比例函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 将代入 得，， ∴， 将代入 得，， ∴反比例函数解析式为：; 【小问2详解】 解：过点作轴的垂线，垂足为，过作轴于点交于点， 由题意得，， 设直线表达式为：， 代入点得：， 解得：， ∴设直线表达式为：， 联立直线表达式和反比例函数解析式 得：， 解得：或（舍）， ∴，则 ∴在中，由勾股定理得， ∴, ∴， ∴，当点三点共线时取得最小值， 此时的点即为点， 同上可求直线的表达式为：， ∴， ∴ 过点作轴的对称点记为，则， ∵， ∴即求的最小值， ∴， 当三点共线时，取得最小值为， ∴周长最小值为， 同上可求直线的表达式为：， 当时，， ∴． 【小问3详解】 解：过点作轴的垂线，过点作垂线的垂线交于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 记直线与直线交于点R， ∵，， ∴， ∴， 过点作于点， 则，则， 由，同上可求直线表达式为： ∴， 由，同上可求直线表达式为：， 联立直线表达式和反比例函数解析式 得，， 解得： ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，解直角三角形，两点之间距离公式，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握“胡不归”以及“将军饮马”是解题的关键． 26. 如图，△ABC为等腰三角形，．点、点分别在射线、射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转至，使得点恰好在射线上，旋转角为． （1）当点、点重合时，过点E作EH⊥BC，交射线BA于H，如图1，若，，，求线段的长度； （2）当点、点重合时，如图2，与交于点，若，求证：； （3）当，时，如图3，点是射线上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接．将沿直线翻折至所在平面内得到，直线与射线交于点．在点运动过程中，当最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：在上截取，连接，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，推出是等边三角形，进而得到是含的直角三角形，是等腰三角形，进行求解即可； （2）在上截取，连接，，推出四边形是平行四边形，进而得到，进一步得出，从而得到，进而得证； （3）作于，作，且，连接，证明，从而得到，得到点在与垂直的直线上运动，作，最短，即点在处，进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图 ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴ ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，作于，作，且，连接， ∵线段绕点顺时针旋转至线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在与垂直的直线上运动， 作，最短，此时点在处， 将沿翻折至，交射线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴， 即：当最小时，． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．本题的综合性较强，对思维能力要求较高，熟练掌握相关知识点，添加合适的辅助线，证明三角形全等，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（上）第一次学业检测 九年级数学试卷 一、单选题 1. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，若，则为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 8 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 若，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 下列结论正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E，F分别在，上，满足，连接，，点P，Q分别是，的中点，连接．若．则可以用α表示为（　　） A. α B. C. D. 10. 有如下的一列等式： ，，其中为正整数，的各项系数均不为．交换任意两项的系数得到的新多项式称为“友好多项式”那么以下说法正确的有（ ） ①多项式有个不同的“友好多项式”； ②求多项式所有不同的“友好多项式”之和，其中的系数为：； ③若，那么的所有系数之和为； ④若，那么当时，． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题 11. 计算：2cos45°﹣（+1）0＝_____． 12. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值为_______． 13. 若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是_______． 14. 如图，、分别在边、上，若，，，则的长为 ______． 15. 如图为反比例函数上的两点，、为反比例函数上的两点，轴，连结并延长交轴于点且轴，若，则__________． 16. 若关于x的一元一次不等式组有解且最多4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为_________. 17. 如图，在矩形中，为边的四等分点（），连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，则______，点到的距离为________． 18. 阅读材料：一个四位自然数（为数位上的数字且均不为0），把这个四位数分成两个两位数和，若，则称该数为“60”数．例如：四位数4218，把它分成两个两位数42和18，因为，所以4218为“60”数．四位数5324，把它分成两个两位数53和24，因为，所以5324不是“60”数．根据材料，最小的“60”数是______．已知是一个“60”数，去掉它的千位数字后得到一个三位数，去掉它的个位数字后得到一个三位数，若与的和能被11整除，则满足条件的的最大值为______． 三、解答题 19. （1）解方程：； （2）计算：． 20. 某校开展学生科技活动，为了解学生的科技知识水平组织了知识竞答活动，从七年级和八年级各随机抽取20名学生的竞答成绩（单位：分），进行整理、描述和分析（比赛成绩用表示，共分成4组：：，：，：，：）．下面给出了部分信息： 七年级学生组的竞答成绩为：，，，，，，，． 八年级被抽取学生的竞答成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七、八年级抽取的竞答成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 80 80 中位数 83 众数 82 七年级抽取的竞答成绩扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级学生共有2000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有多少人？ 21. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，重外数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可先证得到的图形是平行四边形继而得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在菱形中，于点．用尺规过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：菱形中，于点，于点． 求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，，___①_____ 又 ． ，___②____ ， ___③___ ， 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 进一步思考，如果“菱形”改为“平行四边形”还有相同的结论么？请你写出你猜想的结论： ______________________________④__________________________________ 22. 某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． （1）求A，B两款电器每台的售价； （2）经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 23. 如图1，在四边形中，，，，，点在四边形的边上，且沿着点运动．设点的运动路程为，记围成的面积为，，． （1）请直接写出与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）如图2，平面直角坐标系中已画出函数的图象，请在同一坐标系中画出函数的图象，并根据函数图象，写出函数的一条性质； （3）结合与的函数图象，直接写出当时，的取值范围．（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 24. 某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） （1）求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） （2）小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）将点B沿x轴负半轴平移5个单位长度得到点E，连接，交反比例函数图象于点D，连接．若在y轴上有一动点F，直线上有一动点P．当最小时，求周长的最小值以及点F的坐标； （3）如图2，将线段以D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上是否存在一点Q，使得？直接写出点Q的坐标． 26. 如图，△ABC为等腰三角形，．点、点分别在射线、射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转至，使得点恰好在射线上，旋转角为． （1）当点、点重合时，过点E作EH⊥BC，交射线BA于H，如图1，若，，，求线段的长度； （2）当点、点重合时，如图2，与交于点，若，求证：； （3）当，时，如图3，点是射线上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接．将沿直线翻折至所在平面内得到，直线与射线交于点．在点运动过程中，当最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $