信息必刷卷02（山东统考专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（山东统考专用） 考情速递 中考·新动向：山东中考在试题结构、考查内容和命题形式上均出现新动向，这些变化旨在让考试更契合教育发展趋势，全面考查学生能力与素养。纯数学情境类题目占比下降，科学探究、人文社科类占比上升，跨学科综合类占比也有所上升或保持稳定，反映数学考试从纯数学知识向应用能力转变，数学与多领域结合愈发紧密。 中考·新考法：考查内容多元融合：数学文化与传统文化融合：常以古代数学名著、建筑工艺、历史文化等为背景出题；跨学科知识融合：数学与物理、化学、生物、天文等学科知识结合，考查学生综合运用知识的能力；社会热点融合：将社会热点话题融入试题，像科技成果、民生工程等。 命题·大预测：本试卷纯数学问题所占比重50％左右，注重数学知识与其他领域相结合。重基础的考查、重能力的考查以及注重学生对于应用数学知识解决实际问题的考查。 传统文化融合：4； 社会热点融合： 7、8； 关注科学技术：3； 跨学科融合：2、6； 关注学生学习力：22； 设问方式改变：9； 安全教育：17。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，绝对值最大的是（    ） A． B． C． D．3 2．下列乐谱符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 4．李明周末到洛阳市博物馆参观，他发现一件镇馆之宝的主视图和左视图相同，李明看到的镇馆之宝可能是（   ） A．兽面纹铜方鼎 B．曹魏白玉杯 C．唐三彩黑釉马 D．子申父己铜鼎 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他手绘了如图2所示的图形．图2中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形．若，，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（   ） A． B． C． D． 7．2023年12月8日，山东济南到河南郑州的高速铁路全线通车，将两城之间的“V字形”路线变成了“一字形”路线，为郑州、济南建设“强省会”提供更多可能．已知通车前从济南西站到郑州东站的路程约为，通车后总路程缩短了，速度提升到了原来的2倍，时间缩短了90分钟．设通车前的平均速度为，那么 满足的分式方程为（    ）． A． B． C． D． 8．如图，E为菱形对角线上一点，．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路） 在上述四个方案中最短的道路系统是方案（　　） A．一 B．二 C．三 D．四 10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．因式分解： ． 12．如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是 ． 13．如图，矩形的两边，在坐标轴上，且，，分别为，的中点，与交于点，且四边形的面积为，则经过点的双曲线的解析式为 ． 14．一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，到直线的距离达到最大； ③的最小值为； ④达到最小值时， 你认为小王同学得到的结论正确的是 15．如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中满足． 17．（8分）安全使用电瓶车可以大幅度减少交通事故造成人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计表． (1)表中a的值是______________． (2)小星认为：宣传活动后骑电瓶车“从不戴”安全头盔的有178人，比宣传前增加了1人，因此交警部门宣传活动没有效果，小星分析数据的方法合理吗？结合统计表谈谈你的看法． (3)宣传活动后，交警在一家有4名成员的家中，有2男2女，从4名成员中随机抽取2人进行问卷调查，请用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率． 18．（8分）数学活动课上，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图1，已知四边形是平行四边形，①连接，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线，分别交、、于点E、O、F，连接、． 若，平分，，求四边形的面积． 同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G． 若，求的值． 19．（9分）解答： 如何设计摇椅椅背有坐垫长度？ 素材一 某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图．其中为椅背，为坐垫，、D为焊接点，且与平行，支架所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心．设计方案中，要求两点离地面高度均为5厘米，两点之间距离为70厘米． 素材二 经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度； （2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点时（如图3），点比点在竖直方向上至少高出12厘米．（） 任务一 计算底座半径 根据素材求底座半径． 任务二 探究摇摆规律 计算图3中点距离地面的高度． 任务三 设计椅背、坐垫长度 求椅背的长度范围． 20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过两点，与反比例函数的图像在第一象限内交于点M，若的面积是2． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点P是x轴上一点，且满足是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 21．（10分）（1）【问题探究】 如图1，在正方形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心，为半径作．求证：是的切线；    （2）【知识迁移】 如图2，在菱形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心的与相切于点． ①与的位置关系为 ； ②若，，求阴影部分面积． 22．（10分）某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究． 【合作探究】 如图1，在中，点为上一点，．求证：； 【内化迁移】 如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点．．若．求的长； 【学以致用】 如图3，在菱形中，．点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交的延长线于点．若，请直接写出的长． 23．（13分）如图Ⅰ，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，且，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图Ⅱ，已知点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接交轴于点，连接，．若，求点的坐标； (3)如图Ⅲ，将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线，新抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为． 请直接写出新抛物线的表达式，并直接判断点是否在新抛物线上（不必说明理由）； 过点作直线与新抛物线交于点（点异于新抛物线与轴的交点），与抛物线交于另一点．问是否存在直线，使得的内切圆的圆心在直线上？若存在，请求出直线的表达式：若不存在，请说明理由． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（山东统考专用） 考情速递 中考·新动向：山东中考在试题结构、考查内容和命题形式上均出现新动向，这些变化旨在让考试更契合教育发展趋势，全面考查学生能力与素养。纯数学情境类题目占比下降，科学探究、人文社科类占比上升，跨学科综合类占比也有所上升或保持稳定，反映数学考试从纯数学知识向应用能力转变，数学与多领域结合愈发紧密。 中考·新考法：考查内容多元融合：数学文化与传统文化融合：常以古代数学名著、建筑工艺、历史文化等为背景出题；跨学科知识融合：数学与物理、化学、生物、天文等学科知识结合，考查学生综合运用知识的能力；社会热点融合：将社会热点话题融入试题，像科技成果、民生工程等。 命题·大预测：本试卷纯数学问题所占比重50％左右，注重数学知识与其他领域相结合。重基础的考查、重能力的考查以及注重学生对于应用数学知识解决实际问题的考查。 传统文化融合：4； 社会热点融合： 7、8； 关注科学技术：3； 跨学科融合：2、6； 关注学生学习力：22； 设问方式改变：9； 安全教育：17。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，绝对值最大的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的性质分别计算比较即可． 【详解】解：∵， ∴绝对值最大的数是． 故选：C． 2．下列乐谱符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，再进行逐一判断即可． 【详解】解：A、选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项符合题意； C、选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：B． 3．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式（其中为正整数，的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数）． 确定和的值来用科学记数法表示0.0000000256． 【详解】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则． 原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以， 那么0.0000000256用科学记数法表示为， 故选：B． 4．李明周末到洛阳市博物馆参观，他发现一件镇馆之宝的主视图和左视图相同，李明看到的镇馆之宝可能是（   ） A．兽面纹铜方鼎 B．曹魏白玉杯 C．唐三彩黑釉马 D．子申父己铜鼎 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看，左视图是从左边看，然后一一判断即可． 【详解】解：．主视图和左视图不相同，故该选项不符合题意； ．主视图和左视图相同 ，故该选项符合题意； ．主视图和左视图不相同，故该选项不符合题意； ．主视图和左视图不相同，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，平方差公式，积的乘方运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，幂的乘方，平方差公式，积的乘方运算法则判定即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选：D ． 6．小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他手绘了如图2所示的图形．图2中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形．若，，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键， 两个正六边形为相似图形，所以我们要求面积比，则可求边长比，因此只需求出小正六边形的边长即可，根据这一特殊角，解即可得解． 【详解】解：设小正六边形的边长为，则， ∵是小正六边形的外角， ∴， 将作简化图如下， 过作于点， 在中，，， ∴ 在中，， ， 整理得． 解得，（舍）， ．．小正六边形得边长为5， 小正六边形与圆内接正六边形是相似图形， ∴相似比为， ∴面积比为， 故选：D． 7．2023年12月8日，山东济南到河南郑州的高速铁路全线通车，将两城之间的“V字形”路线变成了“一字形”路线，为郑州、济南建设“强省会”提供更多可能．已知通车前从济南西站到郑州东站的路程约为，通车后总路程缩短了，速度提升到了原来的2倍，时间缩短了90分钟．设通车前的平均速度为，那么 满足的分式方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据通车前行驶所需时间-通车后行驶所需时间，列方程即可． 【详解】解：设通车前的平均速度为x千米/小时，则通车后运行速度为千米/小时， 根据题意，得：， 故选：C． 8．如图，E为菱形对角线上一点，．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，连接交于点，勾股定理求出的长，锐角三角函数求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：连接交于点，则，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 9．某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路） 在上述四个方案中最短的道路系统是方案（　　） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题考查了作图-设计，正方形的性质，解直角三角形等知识，设正方形的边长为，分别计算出四种情况下需铺设的公路长，比较即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设正方形边长为， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴方案一需铺设公路为：， 方案二：需铺设公路为：， 方案三需铺设公路为：， 方案四如图所示： ∵， ∴ ∵， ，， ∴， ∴方案四需铺设公路， 综上，方案四需铺设公路最短， 故选：D． 10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键. 根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象． 【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1， 由平移得：， ， ， 图像为开口向上的抛物线，A选项不符合题意； ②当时，与重叠部分为四边形，如图2， 由平移得：，，， ， ， ， 在中，， ； 图像为开口向下的抛物线；C选项不符合题意； ③当时，与重叠部分为，如图3， 则，且， 是等边三角形，作于， ， ， ， 图像为开口向上的抛物线，B选项符合题意； 故答案为：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12．如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据题意分两种情况讨论：当方程是一元一次方程时和当方程是一元二次方程时，然后根据一元二次方程有实数根得到，据此列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：当方程是一元一次方程时， 根据题意得，， ∴； 当方程是一元二次方程时， ∵关于x的方程有实数根 ∴ 解得． 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 13．如图，矩形的两边，在坐标轴上，且，，分别为，的中点，与交于点，且四边形的面积为，则经过点的双曲线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，反比例函数的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，交于，过作于，设，，由题意可知：，，，，证明，，，然后根据相似三角形的性质和解方程求出点坐标即可． 【详解】解：过作，交于，过作于， 设，， 由题意可知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（负值已舍去） ∴，， ∴的坐标为， ∴， ∴经过的双曲线的解析式就是， 故答案为：． 14．一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，到直线的距离达到最大； ③的最小值为； ④达到最小值时， 你认为小王同学得到的结论正确的是 【答案】①②③ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由折叠的性质得到，可判断结论①正确；连接，得到，由可判断③；当达到最小值时，点在线段上，证明，得到，求出，可判断④；在中， 随着的增大而增大，当最大时，有最大值，有最大值，此时点与点重合，作于点，于点，得到，当取得最大值时，有最小值，可判断②． 【详解】解：正方形纸片的边长为，， ， 根据折叠的性质可知， 当点在线段上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动， 故结论①正确； 如图，连接， ， ， ， ， 的最小值为， 故结论③正确； 当达到最小值时，点在线段上， 由折叠可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论④错误； 在中，， 随着的增大而增大， ， 当最大时，有最大值，有最大值，此时点与点重合， 如图，作于点，于点， ， 四边形是矩形， ， 当取得最大值时，也是最大值， ， 有最小值， 在中，有最大值， 即有最大值， 此时点到的距离最大， 故结论②正确； 综上所述，正确的结论有个， 故答案为∶①②③． 15．如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接，求得，，，分别得到，， ，，推导得到，滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，由此得到滚动2024次后停止滚动，则，据此求解即可． 【详解】解：连接， 由题意得，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ， 同理， ， ， 滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到， ∴滚动2024次后停止滚动，则时，， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【分析】本题主要考查了特殊角的三角形函数值、零指数幂、化简绝对值、二次根式运算、解一元二次方程以及分式化简求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先根据零指数幂运算法则、绝对值的性质、二次根式性质以及特殊角的三角形函数值进行运算，然后相加减即可； （2）首先解方程，可得；运算分式括号内部分并将除法转换为乘方，然后完成化简运算，结合分式有意义的条件确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）原式（2分） ；（4分） （2）根据题意，， 解得，（5分） 原式（6分） ，（7分） ∵，， ∴且， ∴当时，原式．（8分） 17．（8分）安全使用电瓶车可以大幅度减少交通事故造成人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计表． (1)表中a的值是______________． (2)小星认为：宣传活动后骑电瓶车“从不戴”安全头盔的有178人，比宣传前增加了1人，因此交警部门宣传活动没有效果，小星分析数据的方法合理吗？结合统计表谈谈你的看法． (3)宣传活动后，交警在一家有4名成员的家中，有2男2女，从4名成员中随机抽取2人进行问卷调查，请用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】(1) (2)不合理，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，统计表与条形统计图，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）由总人数减去情况的人数即可； （2）从统计表中综合分析； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：；（2分） （2）解：不合理，（3分） 虽然“从不戴”安全头盔的有178人，比宣传前增加了1人，但是之前“每次戴”的人数68人，现在已经896人了，之前“经常戴”的人数245人，现在已经702人，增加更加明显；而之前“偶尔戴”的人数510人，现在降为224人，减少明显，说明宣传有效果，不能仅仅凭“从不戴”安全头盔的人数分析，需要综合分析才可以；（5分） （3）解：画树状图如下： （6分） 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到一男一女的结果数有8种， ∴恰好抽到一男一女的概率是．（8分） 18．（8分）数学活动课上，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图1，已知四边形是平行四边形，①连接，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线，分别交、、于点E、O、F，连接、． 若，平分，，求四边形的面积． 同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G． 若，求的值． 【答案】四边形的面积为；的值为 【分析】本题考查了平行四边形的性质、作图—基本作图、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，证明为等边三角形，得出，，由作图可得，垂直平分，证明，得出，推出四边形为菱形，求出，，再由菱形的面积公式计算即可得解；由平行四边形的性质可得，，，则，由作图可得，平分，垂直平分，得出，由等角对等边可得，从而可得，，证明，由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 由作图可得，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为；（4分） ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 由作图可得，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．（8分） 19．（9分）解答： 如何设计摇椅椅背有坐垫长度？ 素材一 某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图．其中为椅背，为坐垫，、D为焊接点，且与平行，支架所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心．设计方案中，要求两点离地面高度均为5厘米，两点之间距离为70厘米． 素材二 经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度； （2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点时（如图3），点比点在竖直方向上至少高出12厘米．（） 任务一 计算底座半径 根据素材求底座半径． 任务二 探究摇摆规律 计算图3中点距离地面的高度． 任务三 设计椅背、坐垫长度 求椅背的长度范围． 【答案】任务一：125厘米；任务二：19.6厘米；任务三：． 【分析】任务一：过点作垂直地面于，过点作于，的延长线于地面交于点，可得厘米，厘米，设底座半径厘米，则厘米，然后在中由勾股定理求出即可得出答案； 任务二：过点作垂直地面于，于，设，则四边形为矩形，进而得，，然后在和中由勾股定理列出关于的方程，解方程求出即可得出答案； 任务三：（1）过作于，过点作于，先求出，设椅背厘米，则坐垫，根据椅背长度小于坐垫长度得，在中求出厘米，在中求出（厘米），然后点比点在竖直方向上至少高出12厘米得，由此解得，据此可得椅背的长度范围． 【详解】解：任务一：过点作垂直地面于，过点作于，的延长线于地面交于点，如图所示： 可得厘米，厘米， 设底座半径厘米，则厘米， 厘米， 在中，厘米，厘米，厘米， 由勾股定理得：， 即：，（2分） 解得：， 底座半径的长度为125厘米；（3分） 任务二：过点作垂直地面于，于，如图所示： 设， 底座与地面相切于点， 垂直地面于点， 四边形为矩形， ， 由任务一可知：， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ，（5分） 解得：， 点距离地面的高度为19.6厘米；（6分） 任务三：过作于，过点作于，如图所示： ， ， 由任务②可知：厘米，厘米， 在中，， ， 椅背和坐垫的材料总长度为160厘米， 设椅背厘米，则坐垫， 椅背长度小于坐垫长度， ， 解得：， 在中，， 厘米， 在中，， （厘米）， 点比点在竖直方向上至少高出12厘米， ， 即：， ， ，（8分） 解得：， 又， ， 即：， 椅背的长度范围是：．（9分） 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，圆的有关计算，切线的性质等，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法与技巧，难点是根据题意，结合图形正确的作出辅助线构造直角三角形． 20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过两点，与反比例函数的图像在第一象限内交于点M，若的面积是2． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点P是x轴上一点，且满足是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、反比例与几何的综合、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）先运用待定系数法可得，设，如图1：作轴于点D．再根据三角形的面积公式求得，然后代入即可求得反比例函数解析式； （2）分和两种情况，分别运用解直角三角形、坐标与图形即可解答． 【详解】（1）解：∵直线过两点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为，（2分） ∴设，如图1：作轴于点D． ∵， ∴，即，解得：， ∴将代入得，解得：． ∵在双曲线上， ∴，解得：． ∴反比例函数的表达式为：．（4分） （2）解：①如图1：当时，过点作交x轴于点P， ∵， ∴． ∴， ∴在中，， ∴， ． ∴当，此时点P的坐标为．（6分） ②如图2，当时，过点作交x轴于点P， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴当，此时点P的坐标为．（8分） 综上，点P的坐标为或．（9分） 21．（10分）（1）【问题探究】 如图1，在正方形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心，为半径作．求证：是的切线；    （2）【知识迁移】 如图2，在菱形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心的与相切于点． ①与的位置关系为 ； ②若，，求阴影部分面积． 【答案】（1）见解析；（2）①相切；② 【分析】（1）如图，过点作于点，根据等边对等角，正方形的性质可得，则，结合为的半径，点在上，即可求解； （2）①如图，过点作于点，连接，根据与相切于点，菱形的性质得到，，结合切线的定义即可求解；②如图，过点作于点，由锐角三角函数的计算设，由菱形的性质可得，则，在中，由勾股定理得，则，，由即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图，过点作于点，    ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，（2分） 又∵为的半径， ∴点在上， ∴是的切线；（3分） （2）①如图，过点作于点，连接，    ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴与相切， 故答案为：相切；（6分） ②如图，过点作于点，    在中，， ∴， 设， ∴， 由菱形的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴，，（7分） ∴， ∵，（8分） ∴， 解得，（9分） ∴．（10分） 【点睛】本题主要考查正方形，菱形的性质，等边对等角，切线的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算，扇形面积的计算方法，掌握以上知识，数形结合思想是解题的关键． 22．（10分）某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究． 【合作探究】 如图1，在中，点为上一点，．求证：； 【内化迁移】 如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点．．若．求的长； 【学以致用】 如图3，在菱形中，．点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交的延长线于点．若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】（1）证明，列出比例式即可得出结论； （2）平行四边形的性质，得到，证明，得到，求出的值即可； （3）连接交于点，延长与的延长线交于点，证明四边形为平行四边形，得到，，旋转，得到，证明，得到，求出，过点作，三角函数求出的长，勾股定理求出的长，再根据，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，（1分） ∴， ∴；（3分） （2）解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，（4分） ∴， ∴，（5分） ∵， ∴， ∴；（7分） （3）连接交于点，延长与的延长线交于点， ∵菱形，， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作于H，则：，， 在中，， ∴．（10分） 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，构造三角形相似是解题的关键． 23．（13分）如图Ⅰ，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，且，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图Ⅱ，已知点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接交轴于点，连接，．若，求点的坐标； (3)如图Ⅲ，将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线，新抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为． 请直接写出新抛物线的表达式，并直接判断点是否在新抛物线上（不必说明理由）； 过点作直线与新抛物线交于点（点异于新抛物线与轴的交点），与抛物线交于另一点．问是否存在直线，使得的内切圆的圆心在直线上？若存在，请求出直线的表达式：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为； (3)，点在新抛物线上；存在，． 【分析】（）由，得出点的坐标为，点的坐标为，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出直线的表达式为，得出，故有，然后由面积可得， 将代入抛物线中，得，（舍去），从而求解； （）由二次函数的平移和二次函数的性质即可求解； 设直线的表达式为，然后将新抛物线的表达式与直线的表达式为联立和将抛物线的表达式与直线l的表达式为联立，求出点，点，分别过点，作轴于点，轴于点，证明，则，所以，解得，，再由点在直线的左侧，点在轴的右侧，则，最后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将，，代入， 得，（1分） 解得， ∴抛物线的表达式为；（3分） （2）解：由抛物线：， ∴顶点的坐标为， 当时，， 解得，， ∴与轴的交点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，， 代入中，得， 解得， ∴直线的表达式为，（4分） ∴直线与轴的交点的坐标为， ∴，， ∴， 根据等底等高的三角形的面积相等得， ∴， ∵， ∴， ∴的边上的高与的边上的高的比， ∴， 将代入抛物线中，得，（舍去）， ∴点的坐标为；（6分） （3）解：∵将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线， ∴新抛物线的表达式：，（8分） 当时，， ∴点在新抛物线上；（9分） 存在，理由如下： ∵直线过点， ∴设直线的表达式为， 将新抛物线的表达式：与直线的表达式为联立， 得 解得（舍去），， ∴点坐标为， 将抛物线的表达式与直线l的表达式为联立， 得， 解得（舍去），， 所以，点坐标为， 如图，分别过点，作轴于点，轴于点， ∵的内切圆的圆心在直线上， ∴直线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵点在直线的左侧，点在轴的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴直线的表达式为．（13分） 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，内切圆等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷02（山东统考专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B B D D C B D B 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案直接填写在横线上 11. 12. 13. 14. ①②③ 15. 三、解答题:本大题有8个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（8分） 【答案】（1）；（2），当时，原式 【解析】解：（1）原式（2分） ；（4分） （2）根据题意，， 解得，（5分） 原式（6分） ，（7分） ∵，， ∴且， ∴当时，原式．（8分） 17．（8分） 【答案】(1) (2)不合理，见解析 (3) 【解析】（1）解：由题意得，， 故答案为：；（2分） （2）解：不合理，（3分） 虽然“从不戴”安全头盔的有178人，比宣传前增加了1人，但是之前“每次戴”的人数68人，现在已经896人了，之前“经常戴”的人数245人，现在已经702人，增加更加明显；而之前“偶尔戴”的人数510人，现在降为224人，减少明显，说明宣传有效果，不能仅仅凭“从不戴”安全头盔的人数分析，需要综合分析才可以；（5分） （3）解：画树状图如下： （6分） 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到一男一女的结果数有8种， ∴恰好抽到一男一女的概率是．（8分） 18．（8分） 【答案】四边形的面积为；的值为 【解析】解：∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 由作图可得，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为；（4分） ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 由作图可得，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．（8分） 19．（9分） 【答案】任务一：125厘米；任务二：19.6厘米；任务三：． 【解析】解：任务一：过点作垂直地面于，过点作于，的延长线于地面交于点，如图所示： 可得厘米，厘米， 设底座半径厘米，则厘米， 厘米， 在中，厘米，厘米，厘米， 由勾股定理得：， 即：，（2分） 解得：， 底座半径的长度为125厘米；（3分） 任务二：过点作垂直地面于，于，如图所示： 设， 底座与地面相切于点， 垂直地面于点， 四边形为矩形， ， 由任务一可知：， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ，（5分） 解得：， 点距离地面的高度为19.6厘米；（6分） 任务三：过作于，过点作于，如图所示： ， ， 由任务②可知：厘米，厘米， 在中，， ， 椅背和坐垫的材料总长度为160厘米， 设椅背厘米，则坐垫， 椅背长度小于坐垫长度， ， 解得：， 在中，， 厘米， 在中，， （厘米）， 点比点在竖直方向上至少高出12厘米， ， 即：， ， ，（8分） 解得：， 又， ， 即：， 椅背的长度范围是：．（9分） 20．（9分） 【答案】(1)， (2)或 【解析】（1）解：∵直线过两点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为，（2分） ∴设，如图1：作轴于点D． ∵， ∴，即，解得：， ∴将代入得，解得：． ∵在双曲线上， ∴，解得：． ∴反比例函数的表达式为：．（4分） （2）解：①如图1：当时，过点作交x轴于点P， ∵， ∴． ∴， ∴在中，， ∴， ． ∴当，此时点P的坐标为．（6分） ②如图2，当时，过点作交x轴于点P， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴当，此时点P的坐标为．（8分） 综上，点P的坐标为或．（9分） 21．（10分） 【答案】（1）见解析；（2）①相切；② 【解析】解：（1）证明：如图，过点作于点，    ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，（2分） 又∵为的半径， ∴点在上， ∴是的切线；（3分） （2）①如图，过点作于点，连接，    ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴与相切， 故答案为：相切；（6分） ②如图，过点作于点，    在中，， ∴， 设， ∴， 由菱形的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴，，（7分） ∴， ∵，（8分） ∴， 解得，（9分） ∴．（10分） 22．（10分） 【答案】（1）见解析（2）（3） 【解析】（1）证明：∵，， ∴，（1分） ∴， ∴；（3分） （2）解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，（4分） ∴， ∴，（5分） ∵， ∴， ∴；（7分） （3）连接交于点，延长与的延长线交于点， ∵菱形，， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作于H，则：，， 在中，， ∴．（10分） 23．（13分） 【答案】(1)； (2)点P的坐标为； (3)，点在新抛物线上；存在，． 【解析】（1）解：∵， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将，，代入， 得，（1分） 解得， ∴抛物线的表达式为；（3分） （2）解：由抛物线：， ∴顶点的坐标为， 当时，， 解得，， ∴与轴的交点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，， 代入中，得， 解得， ∴直线的表达式为，（4分） ∴直线与轴的交点的坐标为， ∴，， ∴， 根据等底等高的三角形的面积相等得， ∴， ∵， ∴， ∴的边上的高与的边上的高的比， ∴， 将代入抛物线中，得，（舍去）， ∴点的坐标为；（6分） （3）解：∵将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线， ∴新抛物线的表达式：，（8分） 当时，， ∴点在新抛物线上；（9分） 存在，理由如下： ∵直线过点， ∴设直线的表达式为， 将新抛物线的表达式：与直线的表达式为联立， 得 解得（舍去），， ∴点坐标为， 将抛物线的表达式与直线l的表达式为联立， 得， 解得（舍去），， 所以，点坐标为， 如图，分别过点，作轴于点，轴于点， ∵的内切圆的圆心在直线上， ∴直线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵点在直线的左侧，点在轴的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴直线的表达式为．（13分） 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，内切圆等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$