精品解析：吉林省长春市德惠市第三中学2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

德惠三中2024-2025学年度第一学期 九年级阶段练习数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可列一元一次不等式，解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得， ， 故选：A． 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得：， 故选：． 3. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的加法乘除运算，根据二次根式的性质，二次根式的加法乘除运算法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 4. 如图，直线，直线分别与直线相交于点和点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理解答即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5. 若点在二次函数图象的对称轴上，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是正确确定抛物线的对称轴． 根据函数解析式可确定对称轴为，点在对称轴上，因此的横坐标为，进而可得答案． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为， 点在二次函数图象的对称轴上， 点的横坐标为， 故选：． 6. 电线杆直立在水平的地面上，是电线杆的一根拉线，测得，，则拉线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：在中，，， 则：； 故选B． 7. 如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为12，则面积为（ ） A. 54 B. 32 C. 27 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质， 根据可得，即可得出，再结合可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 故选：C. 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于点C、BD⊥y轴于点D，则图中阴影部分图形的面积和为（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先把原点坐标代入解析式，求出k的值，得到B点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和=矩形OCBD的面积，从而根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：把（0，0）代入， 得， 解得k=6， ∴抛物线解析式为， ∴B点坐标为， ∵BC⊥x轴于C， 结合抛物线的对称性可得： ∴图中阴影部分图形的面积和=矩形OCBD的面积=3×6=18． 故选：A． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的对称性，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每空3分，共18分） 9. ______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数， 根据，再计算即可. 【详解】解：原式. 故答案为：. 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键． 由根与系数的关系可直接求得的值． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ． 故答案为：． 11. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可； 【详解】解：由可设，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键． 12. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：由题意，得． 故答案为：． 13. 已知点都在函数的图象上，则的大小关系为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式，得出图象的对称轴是轴，再根据二次函数的性质，得出图象开口向下，当时，随的增大而增大，再根据二次函数的对称性和增减性即可得到答案．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点关于对称轴的对称点的坐标是，且， ∴， 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象如图，有下列4个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置、抛物线与x轴交点的个数确定，解题关键是熟练运用二次函数的图象和性质． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ， ∵与轴的交点为在轴的正半轴上， ， ∵对称轴为直线得， ，且、异号， 即， ， 故①错误、③正确； 根据图象得，抛物线与轴有两个交点， ，即，故②正确； ∵对称轴为直线，得， ，故④正确； 故答案为： ②③④. 三、简答题（共78分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，主要考查学生的计算能力． 求出的值，代入公式求出即可． 【详解】解： ，，， ， ， ， ． 16. 如图，三张扑克牌分别为红桃3、红桃5和红桃7．背面完全相同，将三张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，甲、乙两人进行摸牌游戏，甲先从中随机抽取一张，记下数字后再放回洗匀．乙再从中随机抽取一张． （1）甲抽到扑克牌上的数字是偶数．这一事件是________事件．（填“确定“或”随机”） （2）用函树状图或列表的方法，求甲，乙两人抽到的扑克牌上的数字相同的概率． 【答案】（1）确定 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率． （1）确定事件指在一定条件下一定发生(或一定不发生)的事件，随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，据此判断即可； （2）列举出所有情况，让甲乙两人抽到同一张扑克牌的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【小问1详解】 解：甲抽到扑克牌上的数字是偶数，是一定不发生的事件，这一事件是确定事件； 故答案为：确定； 【小问2详解】 解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，甲，乙两人抽到的扑克牌上的数字相同的有3种情况， ∴甲，乙两人抽到的扑克牌上的数字相同的概率． 17. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率． 【答案】该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20% 【解析】 【分析】设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2022年投入资金金额=2020年投入资金金额(1+年平均增长率)，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到正确的等量关系． 18. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角： （1）由等边对等角，得，结合，即可作答； （2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵， ∴ 解得 19. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）网格中的形状是________； （2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等： （3）在图②中的边上确定一点E，连结，使： （4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2． 【答案】（1）直角三角形 （2） 点D即为所求作，使与全等： （3） 如图所示，点E即为所作，且使：     （4） 如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．     【解析】 【分析】（1）运用勾股定理分别计算出AB，AC，BC的长，再运用勾股定理逆定理进行判断即可得到结论； （2）作出点A关于BC的对称点D，连接BD，CD即可得出与全等： （3）过点A作AE⊥BC于点E，则可知： （4）作出以AB为斜边的等腰直角三角形，作出斜边上的高，交AB于点P，交BC于点Q，则点P，Q即为所求． 【小问1详解】 ∵ ∴, ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为C． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）顶点C的坐标为______； （3）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数的关系式， 对于（1），将点代入得出方程组，求出解即可； 对于（2），根据关系式，求出解即可； 对于（3），令，再结合图像的对称轴和开口方向解答即可》 【小问1详解】 解：∵点在抛物线的图像上， ∴， 解得， ∴二次函数的关系式为； 【小问2详解】 解：， ∴这个抛物线的顶点坐标为. 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，， 解得. ∵抛物线的开口向下，对称轴是， ∴当时，. 21. 如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，墙长25m，另外三边围栏总长60m，平行于墙的一边的长为xm，自行车棚的面积为Sm2 （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求车棚的面积S的最大值及此时x的值． 【答案】（1）， （2）当时， 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），根据长乘以宽得出面积即可； 对于（2），将关系式配成顶点式，再讨论最值即可. 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：, ∵抛物线开口向下，对称轴是， ∴当时，函数值y随着x的增大而增大， ∴当时. 22. 【性质结论】如图①，在中，，是斜边的中线，则与的数量关系为________． 【性质应用】如图②，在中，，为边上一点（点不与点、重合），于点，点为的中点，连结、、． （1）求证：． （2）若，则的大小为________度． 【性质延伸】如图③，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，点到四边形四个顶点的距离均为，则的值为________． 【答案】【性质结论】； 【性质应用】（1）证明：∵，点为的中点， ， ， ， 是中点， ， ． （2）40； 【性质延伸】 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 性质结论：由直角三角形的性质可得出结论； 性质应用：（1）由直角三角形的性质可得出结论； （2）证出，由三角形内角和定理可得出答案； 性质延伸：连接，取的中点，连接，由（性质应用）可知，求出的长，由勾股定理可得出答案． 【详解】性质结论：由直角三角形的性质得出， 故答案为：； 性质应用：（1）略 （2）解：∵， ， ， ， ， 故答案为：40． 性质延伸：连接，取的中点，连接， 由（性质应用）可知， 则点到四边形四个顶点的距离均为， 设，则， ， ， ， ， ， ， ∴点到四边形四个顶点的距离， 故答案为：． 23. 如图，已知在中，，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿的方向运动，点到达点时，停止运动．点是点的关于点的对称点，过点M作于点，以为边作，设点的运动时间为秒（）． （1）______； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）是否存在这样的值，使得为菱形？若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）时，；时，； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用勾股定理即可求解； （）分当在上时，当在上时两种情况分析即可； （）分当在上时，当在上时两种情况，然后根据相似三角形的判定与菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，当在上时，即时，则， ∵点是点的关于点的对称点， ∴， ∴， 如图，当在上时，即时，则， ∵点是点的关于点的对称点， ∴， ∴， 综上可知：时，；时，； 【小问3详解】 解：如图，当在上时，即时，由上得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵为菱形， ∴， ∴， ∴， 如图，当在上时，即时，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵为菱形， ∴， ∴， ∴， 综上可知：当或时，为菱形． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．点C、D也在这条抛物线上，点C横坐标为m，点D的横坐标为． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当点 C、D关于此抛物线的对称轴对称时，在x轴上确定点E，连结CE、DE，求的最小值； （3）当时，，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用．考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据点 C、D关于此抛物线的对称轴对称，求出值，进而求出的坐标，作点D关于x轴的对称点，则其坐标为．连接交x轴于点E，则点E为所求，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）根据二次函数的性质，得到在顶点处取得最大值，求出时，的值，即可得出结论； 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点、， ∴， 解得：； ∴该抛物线所对应的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由（2）可知，抛物线的对称轴为直线， 点 C、D关于此抛物线的对称轴对称时， ， 解得． ∴点C的坐标为、点D的坐标为． 作点D关于x轴的对称点，则其坐标为．连接交x轴于点E，则点E为所求．如图所示： 此时：． 【小问3详解】 解：由得抛物线的顶点为． ∴时，在顶点处取得最大值， 当时，，解得，． ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德惠三中2024-2025学年度第一学期 九年级阶段练习数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线分别与直线相交于点和点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若点在二次函数图象的对称轴上，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 6. 电线杆直立在水平的地面上，是电线杆的一根拉线，测得，，则拉线的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为12，则面积为（ ） A. 54 B. 32 C. 27 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于点C、BD⊥y轴于点D，则图中阴影部分图形的面积和为（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 二、填空题（每空3分，共18分） 9. ______ 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _______． 11. 若，则__________． 12. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为______． 13. 已知点都在函数的图象上，则的大小关系为 _____________． 14. 已知二次函数的图象如图，有下列4个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有______． 三、简答题（共78分） 15. 解方程：． 16. 如图，三张扑克牌分别为红桃3、红桃5和红桃7．背面完全相同，将三张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，甲、乙两人进行摸牌游戏，甲先从中随机抽取一张，记下数字后再放回洗匀．乙再从中随机抽取一张． （1）甲抽到扑克牌上的数字是偶数．这一事件是________事件．（填“确定“或”随机”） （2）用函树状图或列表的方法，求甲，乙两人抽到的扑克牌上的数字相同的概率． 17. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率． 18. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 19. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）网格中的形状是________； （2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等： （3）在图②中的边上确定一点E，连结，使： （4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为C． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）顶点C的坐标为______； （3）当时，直接写出x的取值范围． 21. 如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，墙长25m，另外三边围栏总长60m，平行于墙的一边的长为xm，自行车棚的面积为Sm2 （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求车棚的面积S的最大值及此时x的值． 22. 【性质结论】如图①，在中，，是斜边的中线，则与的数量关系为________． 【性质应用】如图②，在中，，为边上一点（点不与点、重合），于点，点为的中点，连结、、． （1）求证：． （2）若，则的大小为________度． 【性质延伸】如图③，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，点到四边形四个顶点的距离均为，则的值为________． 23. 如图，已知在中，，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿的方向运动，点到达点时，停止运动．点是点的关于点的对称点，过点M作于点，以为边作，设点的运动时间为秒（）． （1）______； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）是否存在这样的值，使得为菱形？若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．点C、D也在这条抛物线上，点C横坐标为m，点D的横坐标为． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当点 C、D关于此抛物线的对称轴对称时，在x轴上确定点E，连结CE、DE，求的最小值； （3）当时，，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $