精品解析：湖北孝感高级中学阳光实验班2024年 招生数学试题

湖北省孝感高级中学2024年阳光实验班考试试卷 数学 ★祝大家考试顺利★ 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在县（市、区）、毕业学校、报名号、考号、姓名填写在答题卡上指定的位置． 2．本试卷各题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本试卷上答题无效． 3．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设与交于点E．由于阴影部分的面积，又，所以关键是求．为此，连接．根据易证，得出．在直角中，由正切的定义得出．再利用三角形的面积公式求出． 【详解】解：设与交于点E，连接． 在与中，， ， ∴（）， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴阴影部分的面积． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度． 2. 若，，则代数式的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据，，得，结合 ，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ， ∴ ． 故选：A． 3. 如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为 （ ） A. 2π B. 4π C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，连接O′C，O′B，O′D，OO′， ∵O′D⊥AC，∴O′D=O′B．∵O′C平分∠ACB，∴∠O′CB=∠ACB=×60°=30°． ∵O′C=2O′B=2×2=4，∴BC=．故选C． 4. 已知，，且，则的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得是一元二次方程的两个根，利用根与系数关系定理，变形计算解答即可． 本题考查了构造方程，根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5. 某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑，其中甲电脑因供不应求，连续两次提价10%，而乙电脑因外观过时而滞销，只得连续两次降价10%，最后甲、乙两种电脑均以9801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台与价格不升不降比较，商场的盈利情况是（　　） A. 前后相同 B. 少赚598元 C. 多赚980.1元 D. 多赚490.05元 【答案】B 【解析】 【详解】解：设甲、乙电脑的原来价格分别是a元、b元． ①a（1+10%）2=9801，解得：a=8100； ②b（1﹣10%）2=9801，解得：b=12100 则8100+12100=20200，9801×2=19 602 　20 200﹣19 602=598 即少赚598元． 故选B． 点睛：做这类题要能够根据题意列出方程求得原来的价格，再进一步比较． 6. 如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题需先根据题意，求出BC，AC的长，再分别计算出当x=0和x=1时，y的值，即可求得y与x的函数图象． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2， ∴, 当x=0时，y的值是． 当x=1时，D为AB的中点， ∴，， ∵DE⊥CD， ∴， ∵当x=2时，CD的垂线与CA平行，虽然x不能取到2，但y应该是无穷大， ∴y与x的函数关系图象大致是B选项． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象．能得出关键点的函数值，并依此判断是解题关键． 7. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（） A. cm B. 9 cm C. cm D. cm 【答案】C 【解析】 【详解】连接OA、OB、OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°， ∵在Rt△ADO和Rt△BCO中， ∴Rt△ADO≌Rt△BCO， ∴OD=OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC， 设AD=acm，则OD=OC=DC=AD=acm， 在△AOD中，由勾股定理得：OA=OB=OE=acm， ∵小正方形EFCG的面积为16cm2， ∴EF=FC=4cm， 在△OFE中，由勾股定理得：(a)2=42+(a+4)2， 解得：a=-4（舍去），a=8， a =4（cm）， 故选C． 8. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积为（ ）m2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图，计算表面积；通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可． 【详解】解：圆锥的母线长为， ∴该几何体的表面积为， 故选：C． 9. 函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2-a2 等代数式的值中，正数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】图像开口向下a＜0，c＜0，对称轴>0，当x=1时，y>0，当x=-1时y<0，由以上信息即可判断． 【详解】解：观察图形，显然，a＜0，c＜0，b＞0， ∴ ab＜0，bc＜0， 由−＜1，得b＜-2a，所以2a+b＜0； 由a-b+c＜0得（a+c）2-b2=（a+b+c）（a-b+c）＜0； 由a+b+c＞0得a+b＞-c＞0， 因此（a+b）2-c2＞0，|b|＞|a|，b2-a2＞0． 综上所述，仅有（a+b）2-c2，b2-a2为正数． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，难度一般，认真观察图形分析出a、b、c的正负是关键． 10. 小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解． 【详解】解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道， 由题意得，， ①×2﹣②得，z﹣x=20， 所以，难题比容易题多20道． 故选B． 【点睛】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便． 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 11. 函数的最小值为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查绝对值，一次函数的性质，正确分类是解题的关键．分三类：当时，当时，当时，分别去绝对值，合并同类项，得到一次函数的解析式，根据一次函数的性质确定最小值，据此求解． 【详解】解：当时，，时，的最小值为； 当时，； 当时，，时，的最小值为． 故答案为：． 12. 已知关于x的方程有两个正整数根（m是整数），那么该方程的两根之和等于____________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的问题，因式分解法解一元二次方程，难度较大，解题的关键在于先求出该方程的两个根． 先由因式分解法解出，再根据有两个正整数根（m是整数）求解即可． 【详解】解：由题意得，， 原方程化为：， 解得：， ∵两个正整数根（m是整数）， ∴， 解得：或4， 当符合题意； 当，不符合题意，舍， ∴两根之和为， 故答案为：5． 13. 已知点A、B的坐标分别为，若二次函数的图象与线段恰有一个公共点，则实数a的取值范围是__________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与直线的交点问题，解题的关键在于分类讨论，找出临界位置分析． 先求出直线表达式为，当当抛物线与线段相切时，联立两个函数解析式，根据求出此时的值，再求出恰好经过点时的值，即可求出符合题意的取值范围． 【详解】解：当， ∴二次函数的图象与轴交于点， 故不经过点， 设直线表达式为：， 则， 解得：， 所以直线表达式为， ①当抛物线与线段相切时，如图： ∴， 整理得，， 则 解得：或， 当，切点在线段延长线上，故不符合题意， 当抛物线经过点时，此时与线段有两个交点，如图： 将代入得，， 解得：， 当时，符合题意，如图： 综上：a的取值范围是或， 故答案为：或． 14. 长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为_______ 【答案】或． 【解析】 【分析】根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽．当＜a＜1时，矩形的长为1，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为1-a，a．由1-a＜a可知，第二次操作时所得正方形的边长为1-a，剩下的矩形相邻的两边分别为1-a，a-（1-a）=2a-1．由于（1-a）-（2a-1）=2-3a，所以（1-a）与（2a-1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论．又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①1-a＞2a-1；②1-a＜2a-1．对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值． 【详解】解：由题意，可知当＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1-a，所以第二次操作时正方形的边长为1-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1-a，2a-1． 故答案为1-a； 此时，分两种情况： ①如果1-a＞2a-1，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a-1． ∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形， ∴矩形的宽等于1-a， 即2a-1=（1-a）-（2a-1），解得a=； ②如果1-a＜2a-1，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为1-a． 则1-a=（2a-1）-（1-a），解得a=． 综上所述：a的值是或． 15. 某校高一（1）班的一次数学测试成绩的分数段统计表和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： 分数段 人数 2 7 10 ● 2 （1）频率分布直方图中 间的矩形的高为_____________ （2）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率为_______________． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】本题考查的知识点是古典概型 及其概率计算公式，频率分布直方图； （1）先分析出分数在之间的频数，结合频率分布直方图中该组的频率，可由样本容量得到全班人数，再由茎叶图求出数在之间的频数，结合频率分布直方图中矩形的 频数高，得到频率分布直方图中间的矩形的高； （2）先对分数在之间的分数进行编号，并统计出从中任取两份的所有基本事件个数，及至少有一份分数在之间的所有基本事件个数，代入概率计算公式可得答案． 【详解】解：（1）分数在之间的频数为，频率为， ∴全班人数为人， 又∵分数在之间的频数为， 频率分布直方图中间的矩形的高为， 故答案为：； （2）将之间的个分数编号为，之间的个分数编号为，在之间的试卷中任取两份的基本事件为：， 共个，其中，至少有一个在之间的基本事件有个， 故至少有一份分数在之间的频率是， 故答案为：． 16. 把自然数按下图的次序排在直角坐标系中，每个自然数就对应着一个坐标． 例如1的对应点是原点，3的对应点是，16的对应点是，则点对应的数是_____；2012的对应点的坐标是_______． 【答案】 ①. 43 ②. 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，找到所有奇数的平方数所在位置是解题的关键．观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上．依此先确定49的坐标为，再根据图的结构求得对应的数．先确定2025的坐标为，再根据图的结构求得2012的坐标． 【详解】解：观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上．设横坐标为，则第四象限的角平分线对应点坐标为，对应的数为， （1）当时，， ∴对应的数是， ， 向左6个数是43. 故点对应的数是43. （2）， 由得， 所以2025的坐标为． ，， 所以2004的坐标是． 故答案为：43 ． 三、解答题（本大题共5小题，第17—19题每小题12分，第20题13分，第21题15分，共64分） 17. 已知实数满足等式，求分式 的值． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查已知字母的值求分式的值，根据已知等式得，求出x，y的值，根据分式混合运算法则计算后，将字母的值代入求出结果． 【详解】解：由 得， 所以 于是 原式 ． 18. 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 空调 彩电 冰箱 工 时 产值（千元） 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？ 【答案】每周应生产空调器、彩电、冰箱分别为30台，270台，60台时，才能使产值最高，最高产值是1050千元. 【解析】 【分析】首先设每周应生产空调x台，冰箱y台，则生产彩电（360―x―y）台，根据工时求出x和y的关系，然后根据产值得出一次函数关系式，根据一次函数的性质求出最值． 【详解】设每周应生产空调x台，冰箱y台，则生产彩电（360―x―y）台 由每周工时可知：x＋y＋（360-x-y）＝120 整理可得，y＝360-3x，360-x-y＝2x，不妨设每周产值W，则W＝4x＋3y＋2（360-x-y）＝1080-x 另据360-3x≥0，2x≥60，得30≤x≤120且x为整数 ∴W是关于x的一次函数，且W随x的增大而减小，当x＝30时，W有最大值， W最大＝1080－30＝1050， 每周应生产空调器、彩电、冰箱分别为30台，270台，60台时，才能使产值最高，最高产值是1050千元. 19. 如图，是的直径，是的切线，切点为延长交于点连接，作，作D于点，交于点 （1）求证：是的切线； （2）如果的半径是，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． （1）连接OC．欲证是的切线，只需证明即可； （2）连接在中利用勾股定理求得，从而求得；然后由相似三角形的对应边成比例求得，再利用圆周角定理证得，根据相似三角形的对应边成比例求得，所以 【小问1详解】 证明：连接 ∵是的切线， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接； ∵，， ∴在中， ∴ ∵， ∴， ∴ 即． ∴ ∵是直径， ∴ ∴ ∵， ∴． ，即， ∴ ∴ ． 20. 已知二次函数，当时，y的最大值为，求a的值． 【答案】或 【解析】 【详解】本题考查了二次函数的最值，关键是掌握用分类讨论的思想进行解题． 本题是关于二次函数最值的“逆向问题”，由题设知，二次函数的对称轴是，而x的取值范围是，所以要对是否在x的取值范围内讨论求解． 解：二次函数的对称轴为直线， （1）若，即，抛物线开口向上，则当时，， ∵二次函数最大值， ∴， 解得：； （2）若，，抛物线开口向上，则当时，， ∵二次函数最大值， ∴， 解得：； 综上所述，或． 21. 在中，，，M是上的动点（不与A、B重合），过点M作交于点N．以为直径作，并在内作内接矩形，令． （1）用含x的代数式表示的面积S． （2）在动点M的运动过程中，记与梯形重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值． 【答案】（1） （2），2 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解答即可． （2）分点P在的内部及上和外部两种情况，分别计算解答即可． 【小问1详解】 解法1：， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵矩形， ∴． 解法2：∵，，， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴． 【小问2详解】 解：随着点M运动，点P在上时，连接，根据题意， 为直径， 故， ， ∴， ∴， ①当时， 当时，. ②当时，设，分别交于E，F. 四边形是矩形. 四边形是平行四边形， . 由, ∴， ∴， ∴， ∴ 当 当. 综上所述， 当时，y取最大值2. 【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的性质，三角形相似的判定和性质，二次函数求最值，分类思想的应用，清楚分类的标准，二次函数的最值，三角形相似的判定和性质是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省孝感高级中学2024年阳光实验班考试试卷 数学 ★祝大家考试顺利★ 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在县（市、区）、毕业学校、报名号、考号、姓名填写在答题卡上指定的位置． 2．本试卷各题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本试卷上答题无效． 3．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 2. 若，，则代数式的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 3. 如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为 （ ） A. 2π B. 4π C. D. 4 4. 已知，，且，则的值为（ ） A 2 B. 0 C. D. 5. 某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑，其中甲电脑因供不应求，连续两次提价10%，而乙电脑因外观过时而滞销，只得连续两次降价10%，最后甲、乙两种电脑均以9801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台与价格不升不降比较，商场的盈利情况是（　　） A. 前后相同 B. 少赚598元 C. 多赚980.1元 D. 多赚490.05元 6. 如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（） A cm B. 9 cm C. cm D. cm 8. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积为（ ）m2 A. B. C. D. 9. 函数图像大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2-a2 等代数式的值中，正数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 11. 函数的最小值为_____________． 12. 已知关于x的方程有两个正整数根（m是整数），那么该方程的两根之和等于____________． 13. 已知点A、B的坐标分别为，若二次函数的图象与线段恰有一个公共点，则实数a的取值范围是__________________． 14. 长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为_______ 15. 某校高一（1）班的一次数学测试成绩的分数段统计表和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： 分数段 人数 2 7 10 ● 2 （1）频率分布直方图中 间的矩形的高为_____________ （2）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率为_______________． 16. 把自然数按下图的次序排在直角坐标系中，每个自然数就对应着一个坐标． 例如1的对应点是原点，3的对应点是，16的对应点是，则点对应的数是_____；2012的对应点的坐标是_______． 三、解答题（本大题共5小题，第17—19题每小题12分，第20题13分，第21题15分，共64分） 17. 已知实数满足等式，求分式 值． 18. 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 空调 彩电 冰箱 工 时 产值（千元） 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？ 19. 如图，是的直径，是的切线，切点为延长交于点连接，作，作D于点，交于点 （1）求证：是的切线； （2）如果的半径是，，求的长． 20. 已知二次函数，当时，y的最大值为，求a的值． 21. 在中，，，M是上的动点（不与A、B重合），过点M作交于点N．以为直径作，并在内作内接矩形，令． （1）用含x的代数式表示的面积S． （2）在动点M的运动过程中，记与梯形重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$