信息必刷卷02（江苏无锡专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（无锡专用） 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C D D B C C B 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分） 【答案】2（m+1）（m﹣1） 【解析】解：原式＝2（m2﹣1） ＝2（m+1）（m﹣1）， 12．（3分） 【答案】3.5×106 【解析】解：3500000＝3.5×106． 13．（3分） 【答案】6． 【解析】解：设这个正多边形的边数是n，则其内角和为（n﹣2）×180°， 根据题意，得：360°+360°＝（n﹣2）×180°， 解得n＝6， 14．（3分） 【答案】假 【解析】解：当|x|＝|y|时，x＝±y， 则命题“如果|x|＝|y|，那么x＝y”是假命题， 15．（3分） 【答案】y＝﹣3（x﹣2）2+1（答案不唯一） 【解析】解：该二次函数的表达式可以为y＝﹣3（x﹣2）2+1， 16．（3分） 【答案】x＝1 【解析】解：原方程去分母得：2x﹣3x+1＝0， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，x（3x﹣1）≠0， 则原分式方程的解为x＝1， 17．（3分） 【答案】8 【解析】 解：设点B坐标为（m，），则C（m，0）， ∵A（2，0）， ∴AC＝m﹣2， 由对称可知：AD＝m﹣2，∠DAB＝∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°， 作DG⊥x轴，垂足为G， ∴AG，DG＝（）， ∴D（2，）， ∵点D在反比例函数图象上， ∴（2）×（）＝k①， 在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°， ∴BCAC，即 （m﹣2）②， 由①②解得k＝8， 18．（3分） 【答案】3， 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠CDF＝∠EBF， ∵AE＝2EB， ∴AB＝CD＝3EB， ∵∠CFD＝∠EFB， ∴△CFD∽△EFB， ∴； 如图，过P作PG∥AB交DB于点G， 则∠FGP＝∠FGE＝60°， ∴∠DGP＝120°＝∠DPB， ∴△DGP∽△DPB， ∴， ∴DG•DB＝DP2＝6， 设DB＝x，则DG， ∵3， ∴DF， ∴GF＝DF﹣DGx， ∵， ∴GP＝x， 过D作DM⊥PG，交PG的延长线于点M，则∠DGM＝60°， ∴GM，DM， ∴PM＝MG+GP＝x， 在Rt△DPM中，DM2+PM2＝DP2， ∴（）2+（x）2＝6， 整理的x4﹣16x2+52＝0， 解得x2＝8+2或8﹣2（舍去）， ∵， ∴BP； 三．解析题（共10小题，满分96分） 19．（8分） 【答案】（1）2；（2） 【解析】解：（1） ＝﹣2+2﹣11 2； （2） • • ． 20．（8分） 【答案】（1）；（2）不等式组的解集为：﹣3＜x≤2 【解析】解：（1）2x（x﹣2）＝1， 2x2﹣4x﹣1＝0， a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， b2﹣4ac ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1） ＝16+8 ＝24， ∴， ； （2）， 由①得：6x≤12， x≤2， 由②得：4x+2＞3x﹣1， 4x﹣3x＞﹣1﹣2， x＞﹣3， ∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2． 21．（8分） 【解析】证明：（1）∵AB＝5，OA＝4，OB＝3， ∴OA2+OB2＝16+9＝25＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∴DB⊥AC； （2）∵AB＝DC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵DB⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形． 22．（9分） 【解析】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中恰好走进自己座位所在教室的结果有1种， ∴恰好走进自己座位所在教室的概率为． 故答案为：． （2）将3间教室分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中两人恰好都走进自己座位所在教室的结果有1种， ∴两人恰好都走进自己座位所在教室的概率为． 23． 【解析】解：（1）样本容量为：100÷25%＝400， 故C所占百分比为：20%， 所以D所占百分比为：1﹣25%﹣18%﹣20%﹣15%﹣12%＝10%， D的人数为：400×10%＝40， 补全条形统计图如下： （2）“B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为：360°×（18%+20%）＝136.8°， 故答案为：136.8； （3）4500×25%＝1125（名）， 答：估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数约1125名． 24．（9分） 【解析】解：（1）如图，连接AE，作线段AE的垂直平分线，交AE于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆，交BC于点P1，P2， 此时∠AP1E＝∠AP2E＝90°， ∴∠AP1B+∠CP1E＝90°，∠AP2B+∠CP2E＝90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠AP1B+∠BAP1＝90°，∠AP2B+∠BAP2＝90°， ∴∠CP1E＝∠BAP1，∠CP2E＝∠BAP2， 则点P1，P2均满足题意． （2）设BP＝x，则CP＝10﹣x， ∵∠B＝∠C＝90°，∠BAP＝∠CPE， ∴△ABP∽△PCE， ∴， 即， 解得x＝2或8， 经检验，x＝2或8是原方程的解且符合题意， ∴BP的长为2或8． 25．（10分） 【解析】解：（1）设B种型号字帖的单价为x元，则A种型号字帖的单价为（x+5）元， 由题意得：， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意， ∴x+5＝30， 答：A种型号字帖的单价为30元，B种型号字帖的单价为25元； （2）设能买到相同数量的这两种字帖各m本， 由题意得：（30+25）×0.9m≤480， 解得：m≤9， ∵m为正整数， ∴m的最大值为9， 答：李飞答对了问题，则他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各9本． 26．（9分） 【解析】（1）证明：连接OC． ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠2． 又∵∠3＝∠1+∠2， ∴∠3＝2∠1． 又∵∠4＝2∠1， ∴∠4＝∠3， ∴OC∥DB． ∵CE⊥DB， ∴OC⊥CF． 又∵OC为⊙O的半径， ∴CF为⊙O的切线； （2）解：连接AD．如图所示： ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠FED， ∴CF∥AD， ∴∠BAD＝∠F， ∴sin∠BAD＝sinF， ∴ABBD＝10， ∴OB＝OC＝5， ∵OC⊥CF， ∴∠OCF＝90°， ∴sinF， 解得：OF， ∴BF＝OF﹣OB5． 27．（10分） 【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝90°，AB＝CD， ∵CE＝2CD， ∴DF垂直平分CE， ∴FE＝FC＝2， ∵DF＝DC， ∴DF＝DE， ∴△DCF和△DEF为等腰直角三角形， ∴DE＝DC＝DFEF． ∴AB＝CD， ∵ADAB， ∴AD， ∴AF＝AD﹣DF． 故答案为：；； （2）①DM和DN的数量关系为DM＝DN，理由： 连接DF，如图， ∵将Rt△EFC绕点D逆时针旋转，点C的对应点为G，使点F在矩形内部， ∴FD⊥EG，FD＝DE＝DG＝CD，△DGF和△DEF为等腰直角三角形， ∴∠DFE＝∠G＝45°，∠FDG＝90°， ∴∠FDN+∠NDG＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠FDN+∠MDF＝90°， ∴∠MDF＝∠NDG． 在△MDF和△NDG中， ， ∴△MDF≌△NDG（ASA）， ∴DM＝DN． ②图3中所有与图1中AF相等的线段有：DM，DN．理由： 连接DF，过点M作MH⊥ED于点H，如图， 由（2）①知：DM＝DN， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝90°，AB＝CD， ∵ADAB， ∴ADCD， ∴tan∠DAC， ∴∠DAC＝30°． ∴∠ACD＝60°， ∵FD＝CD， ∴△DFC为等边三角形， ∴FC＝CD，∠FDC＝60°， ∴∠FDA＝30°， ∴∠MDE＝60°． ∵MH⊥ED，∠E＝45°， ∴HM＝HE． 设HM＝HE＝x，则HD＝HM•tan∠HMD＝HM•tan30°x， ∴DE＝DH+HE＝（1）x， 由（1）知：DE＝CD， ∴（1）x， ∴x． ∴HD（）． ∴DM＝2HD． ∴DN＝DM． 综上，图3中所有与图1中AF相等的线段有：DM，DN． 28．（13分） 【解析】解：（1）将x＝0代入，得y1＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， ∵OC＝OB＝2OA， ∴A（﹣1，0），B（2，0）， 则y1＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2）， 则﹣2a＝﹣2，则a＝1， 故y1＝x2﹣x﹣2； （2）连BC，过P作 PE⊥x，交BC于点F． ∴PE∥y轴， ∴∠DOC＝∠DPF，∠DCO＝∠DFP， ∴△DOC∽△DPF， ∴， 设BC直线方程为 y＝kx+b， 将B（2，0），C（0，﹣2）代入，得， 解得， ∴y＝x﹣2， 设P（t，t2﹣t﹣2），则F（t，t﹣2）， ∴PF＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）， ， ∵0＜t＜2， ∴当t＝1时，取得最大值，此时点P的坐标为（1，﹣2），即的最大值为； （3）由题意，得y1与y2关于E（3，4）中心对称， ∵N的顶点为， ∴y2的顶点为， ∵M为直线BC上一点，N为抛物线对称轴上一点， ∴设M（m，m﹣2），， ∵B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形， ∴当BE为边时 ①平行四边形EBMN时，，m﹣2＝n﹣4， ∴，， ∴， ②平行四边形EBNM时，，n＝m﹣2﹣4， ∴，， ∴； 当BE为对角线时 BE中点为，MN中点为， ∴，， ∴， 则M（，）， 综上，M． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（无锡专用） 考情速递 中考·新动向：根据2024年无锡市中考数学的命题分析，整体题型较往年变化不大，但《无锡市2025年中考改革方案》提出，中考更注重考察学生的综合素质和创新能力，并适当提高难度和深度，所以在备考过程中，在掌握基础的前提下，需要更加注重综合题型和创新题型的训练。 中考·新考法：去年中考出现创新题型（第10题），并且对于动态几何图形的变化（第27题）和动点个数的分析（第28题）都进一步加深。 命题·大预测：1.基础抓牢（占比65%）；2.突破中档题型（占比20%），主要以函数和几何为主，尤其是相似和三角函数考察居多；3.冲刺压轴题（占比15%），主要是几何综合和二次函数综合题型，几何重点在翻折、旋转与三角函数结合的综合题，函数的重点在二次函数的各类存在性问题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）|﹣2025|的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x＝3 3．（3分）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（3分）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？ 译文：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过x日与乙相逢，可列方程．（　　） A．1 B．1 C． D．1 6．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为8πcm，侧面积为72πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 8．（3分）如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，点C，D，E恰好在一条直线上．若CD＝2，BC＝1，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，sin∠CEF=，则△AEF的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（3分）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点（1，﹣1）， ，，都是“方形点”． 下列结论： ①直线y＝﹣5x+3上存在“方形点”； ②抛物线y＝x2+x﹣3上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“方形点”（2，﹣2），当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤4； 其中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）在实数范围内分解因式：2m2﹣2＝ 　 　 ． 12．（3分）月球的直径约为3500000米，将3500000这个数用科学记数法表示应为　 　 ． 13．（3分）如果一个正多边形的内角和比另一个多边形的外角和多360°，则这个正多边形的边数是　 　 ． 14．（3分）命题“如果|x|＝|y|，那么x＝y”是　 　 命题（填“真”或“假”）． 15．（3分）一条抛物线的顶点坐标为（2，1），且开口向下，则该二次函数的函数表达式可以为 　 　 ． 16．（3分）方程的解为　 　 ． 17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B在反比例函数的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°．将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 　 　 ． 18．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E在边AB上，AE＝2EB，连结CE交对角线BD于F，点P在线段CF上，连结DP，PB，若∠DPB＝120°，，则　 　 ，PB＝　 　 ． 三．解答题（共10小题，满分96分） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 20．（8分）（1）解方程：2x（x﹣2）＝1； （2）解不等式组： 21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，且DC＝AB，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，OA＝4，OB＝3． （1）求证：DB⊥AC； （2）求证：四边形ABCD是菱形． 22．（9分）小马和小虎第一次参加初三数学培优班学习，却忘记了自己所在的教室．已知培优班共设置3间教室，且每间教室都贴有座位表． （1）小马随机走进一间教室，恰好走进自己座位所在教室的概率为　 　 ； （2）小马和小虎各自随机走进一间教室，求两人恰好都走进自己座位所在教室的概率． 23．（12分）近年来，研学旅行作为一种寓教于乐的教学方式多次被写入国家级政策文件．某校学生会负责该校学生的一次研学活动，为设计出同学们最感兴趣的研学路线，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 调查问卷 1．你最感兴趣的研学类型是_____（单选） A．研学+历史B．研学+科学C．研学+艺术 D．研学+农业E．研学+外文F．研学+工业 （1）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中C，D的百分比； （2）“B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为　 　 ▫； （3）若该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数． 24．（9分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠BAP＝∠CPE． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若CE＝2，试确定BP的长． 25．（10分）汉字是中华文化的重要载体和鲜明标志，是中华民族的形成和发展重要的纽带．为进一步加强中小学规范汉字书写，九年级（1）班需要购买一部分字帖供同学们参考使用．班长李飞来到文具店，发现有A，B两种型号字帖供顾客选择．以下是两人的对话： 李飞：您好，我一共有480元钱，打算购买这两种字帖，它们的单价分别是多少啊？ 店员：A型号字贴的单价比B型号字贴的单价贵5元，你花400元买B型号字贴的本数与花480元买A型号字贴的本数相同．现店里推出答题优惠活动，答对即可享九折优惠． （1）请根据两人的对话信息，求出A，B两种型号字帖的单价． （2）若李飞答对了问题，则他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各多少本？ 26．（9分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线CE与AB交于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当BD＝6，sinF时，求BF的长． 27．（10分）综合与探究 问题情境 如图1，在矩形ABCD中，ADAB，延长CD至点E，使得CE＝2CD．点F是AD边上一点，且DF＝DC，连接EF，CF． 操作发现 （1）若EF＝2，则CD的长为 　 　 ，AF的长为 　 　 ． 拓展探索 （2）如图2，将Rt△EFC绕点D逆时针旋转，点C的对应点为G，使点F在矩形内部．若EF，FG分别与AD，DC相交于点M，N． ①请判断DM和DN的数量关系，并说明理由． ②如图3，在Rt△EFG旋转过程中，若点F恰好在矩形对角线AC上．请探索并直接写出图3中所有与图1中AF相等的线段． 28．（13分）如图1，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝OB＝2OA． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，连BC，点P为直线BC下方抛物线上一点，连PO交BC于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）作抛物线y1关于直线y＝4上一点对称的函数图象y2，且y1与y2只有一个公共点E（E在y轴右侧），M为直线BC上一点，N为抛物线y2对称轴上一点，若以B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求M的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（无锡专用） 考情速递 中考·新动向：根据2024年无锡市中考数学的命题分析，整体题型较往年变化不大，但《无锡市2025年中考改革方案》提出，中考更注重考察学生的综合素质和创新能力，并适当提高难度和深度，所以在备考过程中，在掌握基础的前提下，需要更加注重综合题型和创新题型的训练。 中考·新考法：去年中考出现创新题型（第10题），并且对于动态几何图形的变化（第27题）和动点个数的分析（第28题）都进一步加深。 命题·大预测：1.基础抓牢（占比65%）；2.突破中档题型（占比20%），主要以函数和几何为主，尤其是相似和三角函数考察居多；3.冲刺压轴题（占比15%），主要是几何综合和二次函数综合题型，几何重点在翻折、旋转与三角函数结合的综合题，函数的重点在二次函数的各类存在性问题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）|﹣2025|的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【分析】根据相反数、绝对值的定义解答即可求得答案． 【解答】解：|﹣2025|＝2025， 2025的相反数是﹣2025． 故选：B． 2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x＝3 【分析】根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案． 【解答】解：由分式有意义，得 x﹣3≠0， 解得x≠3， 故选：A． 3．（3分）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式的定义逐项分析即可． 【解答】解：A、与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； B、与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与是同类二次根式，符合题意． 故选：D． 4．（3分）某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】除去x以后的三个数从小到大排列为：8，10，10．讨论x与8和10的大小关系，就可以确定这组数的中位数的值，根据中位数与平均数相等就可以得到一个关于x的方程，从而求出x的值． 【解答】解：这组数据的总和应该是10+10+x+8，那么这组数据的平均数应该是， 当x≤8时，数据的排列顺序是x，8，10，10．因此中位数应该是（8+10）÷2＝9，即9，解得x＝8． 当8≤x＜10时，数据的排列顺序应该是8，x，10，10．因此中位数应该是，即，解得x＝8． 当x≥10时，数据的排列顺序应该是8，10，10，x．因此中位数应该是10．即10，解得x＝12． 综上所述，x的值应该是8或12． 由于选项中只有8， 故选：C． 5．（3分）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？ 译文：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过x日与乙相逢，可列方程．（　　） A．1 B．1 C． D．1 【分析】设甲经过x日与乙相逢，则乙已出发（x+2）日，根据甲行驶的路程+乙行驶的路程＝齐国到长安的距离（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：设甲经过x日与乙相逢，则乙已出发（x+2）日， 依题意，得：1． 故选：D． 6．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 7．（3分）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为8πcm，侧面积为72πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【分析】根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°， ∵圆锥的底面圆周长为8π cm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为8π cm， 由题意得：， 解得， 扇形的圆心角为80°， 故选：B． 8．（3分）如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，点C，D，E恰好在一条直线上．若CD＝2，BC＝1，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据旋转的性质得出DE＝BC＝1，∠CAE＝90°，AC＝AE，再根据等腰直角三角形的性质求出AC的长即可． 【解答】解：∵将△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到△ADE， ∴DE＝BC＝1，∠CAE＝90°，AC＝AE， ∴△ACE是等腰直角三角形，CE＝CD+DE＝2+1＝3， ∴ACCE． 故选：C． 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，sin∠CEF，则△AEF的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】利用解直角三角形、三角形相似求得EF、AE的长，利用面积公式求解即可． 【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D， ∵EF⊥AB， ∴CD∥EF， ∴∠DCE＝∠CEF， 在Rt△CDE中，sin∠DCE＝sin∠CEF， 设DE＝3x，则CE＝5x， ∴CD4x， 在Rt△ABC中，BE＝EA， ∴CE＝BE＝EA＝5x， ∴AB＝2BE＝10x， ∴BD＝BE﹣DE＝2x， 在Rt△BCD中，BC2＝BD2+CD2，BC＝4， ∴42＝（4x）2+（2x）2 ∴x， ∵Rt∠CDA＝Rt∠FEA，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△AFE， ∴ ∴， ∴EF， ∵AE＝5x＝2， ∴ ＝5． 故选：C． 10．（3分）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点（1，﹣1）， ，，都是“方形点”． 下列结论： ①直线y＝﹣5x+3上存在“方形点”； ②抛物线y＝x2+x﹣3上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“方形点”（2，﹣2），当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤4； 其中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【分析】令y＝﹣x，则﹣x＝﹣5x+3，求出x、y的值即可判断①；令y＝﹣x，则﹣x＝x2+x﹣3，求出x、y的两对值，再结合勾股定理求出这两点之间的距离，即可判断②；把（2，﹣2）代入y＝ax2+3x+c，求出a、c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“方形点”，结合Δ＝b2﹣4ac求出a、c的值，得出y＝﹣x2+3x﹣4，化为顶点式，可得出该二次函数的最值，再根据当y＝﹣8时，求出x的值即可判断③． 【解答】解：①令y＝﹣x，则﹣x＝﹣5x+3， 解得，x， ∴y，即点（，）在直线y＝﹣5x+3上， 故①正确； ②令y＝﹣x，则﹣x＝x2+x﹣3，解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴当x＝﹣3，时y＝3；当x＝1，时y＝﹣1 ∴抛物线y＝x2+x﹣3上的2个“方形点”为（﹣3，3），（1，﹣1）， ∴点（﹣3，3）与（1，﹣1）之间的距离4； 故②正确； ③∵点（2，﹣2）是二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的“方形点”． ∴﹣2＝4a+6+c， ∴c＝﹣4a﹣8， ∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“方形点”． ∴ax2+3x+c＝﹣x（即ax2+4x+c＝0）有且只有一个根， ∴Δ＝16﹣4ac＝0， ∴16﹣4a（﹣4a﹣8）＝0， 解得，a＝﹣1， c＝﹣4×（﹣1）﹣8＝﹣4 ∴y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x）2， 二次函数图象的对称轴为直线x，函数的最大值为， 当y＝﹣8时，﹣x2+3x﹣4＝﹣8， 解得，x1＝﹣1，x2＝4， 当m≤4时，函数的最大值为，最小值为﹣8． 故③不正确， 故选：B． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）在实数范围内分解因式：2m2﹣2＝ 　2（m+1）（m﹣1）　 ． 【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝2（m2﹣1） ＝2（m+1）（m﹣1）， 故答案为：2（m+1）（m﹣1）． 12．（3分）月球的直径约为3500000米，将3500000这个数用科学记数法表示应为　3.5×106　 ． 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【解答】解：3500000＝3.5×106． 故答案为：3.5×106． 13．（3分）如果一个正多边形的内角和比另一个多边形的外角和多360°，则这个正多边形的边数是　6　 ． 【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比另一个多边形的外角的和大1080°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数． 【解答】解：设这个正多边形的边数是n，则其内角和为（n﹣2）×180°， 根据题意，得：360°+360°＝（n﹣2）×180°， 解得n＝6， 故答案为：6． 14．（3分）命题“如果|x|＝|y|，那么x＝y”是　假　 命题（填“真”或“假”）． 【分析】根据绝对值的概念判断即可． 【解答】解：当|x|＝|y|时，x＝±y， 则命题“如果|x|＝|y|，那么x＝y”是假命题， 故答案为：假． 15．（3分）一条抛物线的顶点坐标为（2，1），且开口向下，则该二次函数的函数表达式可以为 　y＝﹣3（x﹣2）2+1（答案不唯一）　 ． 【分析】根据二次函数的顶点式，结合开口方向求解即可． 【解答】解：该二次函数的表达式可以为y＝﹣3（x﹣2）2+1， 故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2+1（答案不唯一）． 16．（3分）方程的解为　x＝1　 ． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：2x﹣3x+1＝0， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，x（3x﹣1）≠0， 则原分式方程的解为x＝1， 故答案为：x＝1． 17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B在反比例函数的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°．将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 　8　 ． 【分析】作DG⊥x轴，垂足为G，利用对称性质和解直角三角形解答即可得到结果． 【解答】 解：设点B坐标为（m，），则C（m，0）， ∵A（2，0）， ∴AC＝m﹣2， 由对称可知：AD＝m﹣2，∠DAB＝∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°， 作DG⊥x轴，垂足为G， ∴AG，DG＝（）， ∴D（2，）， ∵点D在反比例函数图象上， ∴（2）×（）＝k①， 在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°， ∴BCAC，即 （m﹣2）②， 由①②解得k＝8， 故答案为：8． 18．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E在边AB上，AE＝2EB，连结CE交对角线BD于F，点P在线段CF上，连结DP，PB，若∠DPB＝120°，，则　3　 ，PB＝　　 ． 【分析】证△CFD∽△EFB，再根据线段之间的数量关系即可得解； 过P作PG∥AB交DB于点G，证△DGP∽△DPB，可得到，所以DG•DB＝DP2＝6，以及BP，因此我们可求出DB•GP，设参，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠CDF＝∠EBF， ∵AE＝2EB， ∴AB＝CD＝3EB， ∵∠CFD＝∠EFB， ∴△CFD∽△EFB， ∴； 如图，过P作PG∥AB交DB于点G， 则∠FGP＝∠FGE＝60°， ∴∠DGP＝120°＝∠DPB， ∴△DGP∽△DPB， ∴， ∴DG•DB＝DP2＝6， 设DB＝x，则DG， ∵3， ∴DF， ∴GF＝DF﹣DGx， ∵， ∴GP＝x， 过D作DM⊥PG，交PG的延长线于点M，则∠DGM＝60°， ∴GM，DM， ∴PM＝MG+GP＝x， 在Rt△DPM中，DM2+PM2＝DP2， ∴（）2+（x）2＝6， 整理的x4﹣16x2+52＝0， 解得x2＝8+2或8﹣2（舍去）， ∵， ∴BP； 故答案为：3，． 三．解答题（共10小题，满分96分） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则，数的开方法则，绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可； （2）先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解：（1） ＝﹣2+2﹣11 2； （2） • • ． 20．（8分）（1）解方程：2x（x﹣2）＝1； （2）解不等式组： 【分析】（1）先把方程化成一元二次方程的一般形式，然后求出其判别式，再利用求根公式求出方程的解即可； （2）先解各个不等式，求出它们的解集，最后根据判断不等式组解集的口诀“大小小大中间找”判断不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）2x（x﹣2）＝1， 2x2﹣4x﹣1＝0， a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， b2﹣4ac ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1） ＝16+8 ＝24， ∴， ； （2）， 由①得：6x≤12， x≤2， 由②得：4x+2＞3x﹣1， 4x﹣3x＞﹣1﹣2， x＞﹣3， ∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2． 21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，且DC＝AB，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，OA＝4，OB＝3． （1）求证：DB⊥AC； （2）求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）由勾股定理的逆定理可证∠AOB＝90°，即可求解； （2）由题意可证四边形ABCD是平行四边形，由菱形的判定可得结论． 【解答】证明：（1）∵AB＝5，OA＝4，OB＝3， ∴OA2+OB2＝16+9＝25＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∴DB⊥AC； （2）∵AB＝DC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵DB⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形． 22．（9分）小马和小虎第一次参加初三数学培优班学习，却忘记了自己所在的教室．已知培优班共设置3间教室，且每间教室都贴有座位表． （1）小马随机走进一间教室，恰好走进自己座位所在教室的概率为　　 ； （2）小马和小虎各自随机走进一间教室，求两人恰好都走进自己座位所在教室的概率． 【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中恰好走进自己座位所在教室的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好都走进自己座位所在教室的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中恰好走进自己座位所在教室的结果有1种， ∴恰好走进自己座位所在教室的概率为． 故答案为：． （2）将3间教室分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中两人恰好都走进自己座位所在教室的结果有1种， ∴两人恰好都走进自己座位所在教室的概率为． 23．（12分）近年来，研学旅行作为一种寓教于乐的教学方式多次被写入国家级政策文件．某校学生会负责该校学生的一次研学活动，为设计出同学们最感兴趣的研学路线，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 调查问卷 1．你最感兴趣的研学类型是_____（单选） A．研学+历史B．研学+科学C．研学+艺术 D．研学+农业E．研学+外文F．研学+工业 （1）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中C，D的百分比； （2）“B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为　136.8　 ▫； （3）若该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数． 【分析】（1）根据A的人数及其所占百分比可得样本容量，用C的人数除以样本容量可得C所占百分比，再用“1”分别减去其它分别所占百分比可得D所占百分比；用样本容量乘D所占百分比可得D的人数，即可补全条形统计图； （2）用360°乘“B”与“C”所占百分比之和即可； （3）利用样本估计总体列式解答即可． 【解答】解：（1）样本容量为：100÷25%＝400， 故C所占百分比为：20%， 所以D所占百分比为：1﹣25%﹣18%﹣20%﹣15%﹣12%＝10%， D的人数为：400×10%＝40， 补全条形统计图如下： （2）“B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为：360°×（18%+20%）＝136.8°， 故答案为：136.8； （3）4500×25%＝1125（名）， 答：估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数约1125名． 24．（9分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠BAP＝∠CPE． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若CE＝2，试确定BP的长． 【分析】（1）连接AE，作线段AE的垂直平分线，交AE于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆，交BC于点P1，P2，则点P1，P2均满足题意． （2）设BP＝x，则CP＝10﹣x，由题意得△ABP∽△PCE，可得，代入求出x的值即可． 【解答】解：（1）如图，连接AE，作线段AE的垂直平分线，交AE于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆，交BC于点P1，P2， 此时∠AP1E＝∠AP2E＝90°， ∴∠AP1B+∠CP1E＝90°，∠AP2B+∠CP2E＝90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠AP1B+∠BAP1＝90°，∠AP2B+∠BAP2＝90°， ∴∠CP1E＝∠BAP1，∠CP2E＝∠BAP2， 则点P1，P2均满足题意． （2）设BP＝x，则CP＝10﹣x， ∵∠B＝∠C＝90°，∠BAP＝∠CPE， ∴△ABP∽△PCE， ∴， 即， 解得x＝2或8， 经检验，x＝2或8是原方程的解且符合题意， ∴BP的长为2或8． 25．（10分）汉字是中华文化的重要载体和鲜明标志，是中华民族的形成和发展重要的纽带．为进一步加强中小学规范汉字书写，九年级（1）班需要购买一部分字帖供同学们参考使用．班长李飞来到文具店，发现有A，B两种型号字帖供顾客选择．以下是两人的对话： 李飞：您好，我一共有480元钱，打算购买这两种字帖，它们的单价分别是多少啊？ 店员：A型号字贴的单价比B型号字贴的单价贵5元，你花400元买B型号字贴的本数与花480元买A型号字贴的本数相同．现店里推出答题优惠活动，答对即可享九折优惠． （1）请根据两人的对话信息，求出A，B两种型号字帖的单价． （2）若李飞答对了问题，则他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各多少本？ 【分析】（1）设B种型号字帖的单价为x元，则A种型号字帖的单价为（x+5）元，根据花400元买B型号字贴的本数与花480元买A型号字贴的本数相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设能买到相同数量的这两种字帖各m本，根据答对即可享九折优惠，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设B种型号字帖的单价为x元，则A种型号字帖的单价为（x+5）元， 由题意得：， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意， ∴x+5＝30， 答：A种型号字帖的单价为30元，B种型号字帖的单价为25元； （2）设能买到相同数量的这两种字帖各m本， 由题意得：（30+25）×0.9m≤480， 解得：m≤9， ∵m为正整数， ∴m的最大值为9， 答：李飞答对了问题，则他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各9本． 26．（9分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线CE与AB交于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当BD＝6，sinF时，求BF的长． 【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线； （2）连接AD．解直角三角形即可求得OF，进而得到答案． 【解答】（1）证明：连接OC． ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠2． 又∵∠3＝∠1+∠2， ∴∠3＝2∠1． 又∵∠4＝2∠1， ∴∠4＝∠3， ∴OC∥DB． ∵CE⊥DB， ∴OC⊥CF． 又∵OC为⊙O的半径， ∴CF为⊙O的切线； （2）解：连接AD．如图所示： ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠FED， ∴CF∥AD， ∴∠BAD＝∠F， ∴sin∠BAD＝sinF， ∴ABBD＝10， ∴OB＝OC＝5， ∵OC⊥CF， ∴∠OCF＝90°， ∴sinF， 解得：OF， ∴BF＝OF﹣OB5． 27．（10分）综合与探究 问题情境 如图1，在矩形ABCD中，ADAB，延长CD至点E，使得CE＝2CD．点F是AD边上一点，且DF＝DC，连接EF，CF． 操作发现 （1）若EF＝2，则CD的长为 　　 ，AF的长为 　　 ． 拓展探索 （2）如图2，将Rt△EFC绕点D逆时针旋转，点C的对应点为G，使点F在矩形内部．若EF，FG分别与AD，DC相交于点M，N． ①请判断DM和DN的数量关系，并说明理由． ②如图3，在Rt△EFG旋转过程中，若点F恰好在矩形对角线AC上．请探索并直接写出图3中所有与图1中AF相等的线段． 【分析】（1）利用矩形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可； （2）①连接DF，利用旋转的性质，矩形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； ②连接DF，过点M作MH⊥ED于点H，利用直角三角形的边角关系定理求得∠ACD＝60°，可得△DFC为等边三角形，于是∠MDE＝60°；设HM＝HE＝x，则HD＝HM•tan∠HMD＝HM•tan30°x，利用（1）的条件求得x值，进而求得DM＝DN． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝90°，AB＝CD， ∵CE＝2CD， ∴DF垂直平分CE， ∴FE＝FC＝2， ∵DF＝DC， ∴DF＝DE， ∴△DCF和△DEF为等腰直角三角形， ∴DE＝DC＝DFEF． ∴AB＝CD， ∵ADAB， ∴AD， ∴AF＝AD﹣DF． 故答案为：；； （2）①DM和DN的数量关系为DM＝DN，理由： 连接DF，如图， ∵将Rt△EFC绕点D逆时针旋转，点C的对应点为G，使点F在矩形内部， ∴FD⊥EG，FD＝DE＝DG＝CD，△DGF和△DEF为等腰直角三角形， ∴∠DFE＝∠G＝45°，∠FDG＝90°， ∴∠FDN+∠NDG＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠FDN+∠MDF＝90°， ∴∠MDF＝∠NDG． 在△MDF和△NDG中， ， ∴△MDF≌△NDG（ASA）， ∴DM＝DN． ②图3中所有与图1中AF相等的线段有：DM，DN．理由： 连接DF，过点M作MH⊥ED于点H，如图， 由（2）①知：DM＝DN， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝90°，AB＝CD， ∵ADAB， ∴ADCD， ∴tan∠DAC， ∴∠DAC＝30°． ∴∠ACD＝60°， ∵FD＝CD， ∴△DFC为等边三角形， ∴FC＝CD，∠FDC＝60°， ∴∠FDA＝30°， ∴∠MDE＝60°． ∵MH⊥ED，∠E＝45°， ∴HM＝HE． 设HM＝HE＝x，则HD＝HM•tan∠HMD＝HM•tan30°x， ∴DE＝DH+HE＝（1）x， 由（1）知：DE＝CD， ∴（1）x， ∴x． ∴HD（）． ∴DM＝2HD． ∴DN＝DM． 综上，图3中所有与图1中AF相等的线段有：DM，DN． 28．（13分）如图1，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝OB＝2OA． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，连BC，点P为直线BC下方抛物线上一点，连PO交BC于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）作抛物线y1关于直线y＝4上一点对称的函数图象y2，且y1与y2只有一个公共点E（E在y轴右侧），M为直线BC上一点，N为抛物线y2对称轴上一点，若以B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求M的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明△DOC∽△DPF，则，得到，即可求解； （3）当BE为边时：①平行四边形EBMN时，，m﹣2＝n﹣4，即可求解；②平行四边形EBNM时，同理可解；当BE为对角线时，由中点坐标公式即可求解． 【解答】解：（1）将x＝0代入，得y1＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， ∵OC＝OB＝2OA， ∴A（﹣1，0），B（2，0）， 则y1＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2）， 则﹣2a＝﹣2，则a＝1， 故y1＝x2﹣x﹣2； （2）连BC，过P作 PE⊥x，交BC于点F． ∴PE∥y轴， ∴∠DOC＝∠DPF，∠DCO＝∠DFP， ∴△DOC∽△DPF， ∴， 设BC直线方程为 y＝kx+b， 将B（2，0），C（0，﹣2）代入，得， 解得， ∴y＝x﹣2， 设P（t，t2﹣t﹣2），则F（t，t﹣2）， ∴PF＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）， ， ∵0＜t＜2， ∴当t＝1时，取得最大值，此时点P的坐标为（1，﹣2），即的最大值为； （3）由题意，得y1与y2关于E（3，4）中心对称， ∵N的顶点为， ∴y2的顶点为， ∵M为直线BC上一点，N为抛物线对称轴上一点， ∴设M（m，m﹣2），， ∵B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形， ∴当BE为边时 ①平行四边形EBMN时，，m﹣2＝n﹣4， ∴，， ∴， ②平行四边形EBNM时，，n＝m﹣2﹣4， ∴，， ∴； 当BE为对角线时 BE中点为，MN中点为， ∴，， ∴， 则M（，）， 综上，M． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$