精品解析：江苏无锡市宜兴市宜城中学2026～2027学年度秋学期九年级 数学 第一次小练习

宜兴市宜城中学2026～2027学年度秋学期 九年级 数学 第一次小练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，A，B，C是上的三个点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 4. 设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（ ） A. 5 B. 5或4 C. D. 5或 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的正整数a个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，关于的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A. 增大，增大了 B. 减小，减小了 C. 增大，增大了25mL D. 减小，减小了25mL 7. 如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形花园，其面积为，在花园侧面中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），设边的长为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作轴于点D，交于点E．若E为的中点，则的面积是（ ） A. 5 B. 6 C. D. 4 9. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，则m可取的值有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为___________． 12. 如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 13. 已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是___________（写出一种可能的情况即可）． 14. 如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是___________． 15. 如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则___________． 16. 如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三点，那么弦所对的圆周角的度数是___________． 17. 设，，，是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形可以是平行四边形；②四边形可以是菱形；③四边形可以是矩形；④四边形不可能是正方形．其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号） 18. 关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为________． （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知y与成反比例函数关系，且当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求y的值． 21. 如图，已知． （1）尺规作图：求作，使经过，，三点； （2）仅用没有刻度的直尺作的内接矩形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 22. 已知关于的方程 （1）若该方程的一个根为－2，求m的值及该方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 23. 如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． （1）若点B是的中点，求证：； （2）若，，求的半径r． 24. 小新和同学们调查发现，一般情况下，某音乐平台的排行榜中，一首歌曲的播放量（万）随时间（天）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分）； （1）求出线段和双曲线的函数关系式； （2）第5天与第30天相比较，何时歌曲的播放量更大？ （3）一首歌要保持在热搜榜，播放量需要不少于400万，那么可以保持几天？请说明理由． 25. 根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”． 素材1 经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯； 素材2 为了去库存，决定月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯元．当每杯售价元时，月销售量杯，经试验，发现该款水果茶每降价元，月销售量就会增加杯． 问题解决 任务1 确定水果茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到元，该款水果茶应该降价多少元？ 26. 在平面直角坐标系中，函数和直线（为常数，且）的图象如图所示，若函数与的图象有一个交点． （1）___________，___________； （2）直接写出不等式的解集； （3）过动点作平行于x轴的直线，分别交函数和的图象于点B、C，在点P的运动过程中，点P、B、C三点中一点是另外两点所连线段的中点，求此时n的值． 27. 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，线段的长为？ （2）是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 28. 已知：、、不在同一直线上． （1）若点、、在半径为的⊙上， i）如图①，当时，则=___________，=___________； ii）当时，则等腰面积为___________． （2）若定长线段的两个端点分别在的两边、（、均与不重合）滑动，如图②，当，时，分别作，，交点为，试探索在整个滑动过程中，、两点间的距离是否保持不变？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜兴市宜城中学2026～2027学年度秋学期 九年级 数学 第一次小练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、，即是一元二次方程，不符合题意； 故选：D． 2. 如图，A，B，C是上的三个点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理，得，结合，得． 【详解】解：根据圆周角定理，得， 又， 故． 3. 在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数的取值范围，对于反比例函数，当时，图象任意一支上都随的增大而减小，进行解答；即可． 【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 4. 设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（ ） A. 5 B. 5或4 C. D. 5或 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵的两条直角边长分别为6，8． ∴斜边长． ∴外接圆半径． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的正整数a个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由关于的一元二次方程有实数根，可得 且，再解不等式组结合为正整数，即可得到答案． 【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根， 且 且． 又为正整数， ，，， 所以满足条件的值有个， 故选：C 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式，掌握利用一元二次方程根的情况求解参数的范围是解题的关键． 6. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，关于的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A. 增大，增大了 B. 减小，减小了 C. 增大，增大了25mL D. 减小，减小了25mL 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键． 先求出反比例函数解析式，分别计算当时，当时，的值即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 随的增大而减小， 当时，；当时，， 若压强由减压至，则气体体积的变化情况是增大了， 故选：． 7. 如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形花园，其面积为，在花园侧面中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），设边的长为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设边的长为，则，根据矩形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设边的长为，则， 根据题意，得． 故选项A符合题意． 8. 如图，的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作轴于点D，交于点E．若E为的中点，则的面积是（ ） A. 5 B. 6 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，；根据轴可推出点B的纵坐标为，横坐标为，再由求解即可． 【详解】解：设， ∵E为的中点， ∴； ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为， ∴， ∴ ． 9. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，则m可取的值有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】设两方程的公共根为 ，由方程 左边因式分解，得公共根只能是 或 ；分两类把公共根代入方程 求出 的值，再逐一检验两方程是否恰有一个公共根，从而确定 可取值的个数． 【详解】解：设公共根为 ， 由 ，得 ，即 ， 或 ． ①当 时，代入 ，得 ，即 ，解得 或 ； 当 时，方程 的根为 ，，方程 的根为 ，，两方程有且只有一个公共根； 当 时，方程 的根为 ，，方程 的根为 ，，两方程有且只有一个公共根； ②当 时，代入 ，得 ，即 ， 分解因式得 ，解得 或 ； 当 时，，方程 的根为 ，， 不是它的根，两方程有且只有一个公共根； 当 时，，方程 的根为 ，， 不是它的根，两方程有且只有一个公共根； 综上， 可取的值有 ，，，，共 个． 10. 如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．由题意知，，，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 12. 如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 13. 已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是___________（写出一种可能的情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性，分情况讨论两点所在象限，得到满足的的范围，任取符合范围的计算坐标即可． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象分布在第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． 已知，分情况讨论： ① 当时，，两点都在第一象限，由函数增减性可得，满足条件， 取，代入得， 因此符合要求． 验证得，，满足条件． ②当即时，，两点都在第三象限，由函数增减性可得，满足条件， ∴取，得到的坐标也符合要求． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．连接，根据是的直径，得到，利用直角三角形两锐角互余求出，根据圆周角定理得到． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ． 15. 如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由点的坐标为可得， 由点，在格点上可得， 解得， ． 16. 如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三点，那么弦所对的圆周角的度数是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心．分别求出，根据勾股定理的逆定理得出，进而即可求解． 【详解】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，设是优弧上一点， 由图可得：，， ∴， 故， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴弦所对的圆周角的度数是或． 17. 设，，，是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形可以是平行四边形；②四边形可以是菱形；③四边形可以是矩形；④四边形不可能是正方形．其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用反比例函数的对称性，结合特殊四边形的判定定理，通过反证法逐一判断每个结论即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象关于原点成中心对称， ∴ 过原点作任意两条直线，分别交图象于和，可得， ∴ 四边形是平行四边形，故①正确． 假设四边形是菱形， 则，对角线交点为原点，设，， 由，根据勾股定理逆定理得， 代入坐标化简得，无实数解，因此不存在这样的菱形，故②错误． ∵ 反比例函数关于直线对称， 可找到四个点满足，例如，四个点都在函数图象上，此时四边形是矩形， 因此四边形可以是矩形，故③正确． ∵ 正方形是特殊的菱形，已经证明四边形不可能是菱形， ∴ 四边形不可能是正方形，故④正确． 综上，正确结论为①③④． 18. 关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为________． （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程有两个相等实数根的判别式条件，代入a与b、c的关系，变形得到所求代数式的值． （2）先由系数和为0得是方程的根，结合重根条件与根与系数的关系，推导m与n的数量关系，代入代数式计算． 【详解】解：（1）一元二次方程有两个相等的实数根， ， ，， ， ， ； （2）， 是方程的一个根， 方程有两个相等的实数根， 方程的两个根均为1， 根据根与系数的关系，两根之和为， ， 将，代入得， 整理得， ，为非零实数， ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）二次项系数为 ，先把常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，用配方法把方程化为 后直接开平方求解； （2）移项时注意 ，移项后各项含公因式 ，用因式分解法把方程化为两个一次因式的积等于零求解． 【小问1详解】 解：移项，得 ， 配方，得 ，即 ， 由此可得 ， 即 ，． 【小问2详解】 解：移项，得 ， ∵， ∴， 提公因式，得 ， ∴ 或 ， 解得 ，． 20. 已知y与成反比例函数关系，且当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，求函数值，是解决问题的关键． （1）设该函数的解析式为根据时，，求得，即得； （2）把代入（1）中所得解析式即得． 【小问1详解】 ∵y与成反比例函数关系， ∴设该函数的解析式为， ∵时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为：； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，． 21. 如图，已知． （1）尺规作图：求作，使经过，，三点； （2）仅用没有刻度的直尺作的内接矩形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）分别作线段，的垂直平分线 两条垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画圆 ∴即为所求 （2）作直径，，连接、、 矩形即为所求 【解析】 【分析】（1）分别作线段，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画圆即可； （2）作直径，，连接、、，则矩形即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知关于的方程 （1）若该方程的一个根为－2，求m的值及该方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），另一根为0； （2）证明：△， 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）直接把代入方程求出的值，故可得出方程，求出方程的解即可； （2）求出△的值，再比较出其大小即可． 【详解】（1）解：将代入方程得， ，解得； 方程为，解得或， 即另一根为0； （2）略 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的根的判别式△：解题的关键是掌握：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根． 23. 如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． （1）若点B是的中点，求证：； （2）若，，求的半径r． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦及圆心角间的关系，勾股定理，掌握垂径定理是解决本题的关键． （1）证明，可得，即可证明； （2）由垂径定理可得，然后设的半径为r，由勾股定理即可列出方程，解方程即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接, 设的半径为r，， 则， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 24. 小新和同学们调查发现，一般情况下，某音乐平台的排行榜中，一首歌曲的播放量（万）随时间（天）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分）； （1）求出线段和双曲线的函数关系式； （2）第5天与第30天相比较，何时歌曲的播放量更大？ （3）一首歌要保持在热搜榜，播放量需要不少于400万，那么可以保持几天？请说明理由． 【答案】（1）线段所在的直线的解析式为，双曲线的函数关系式为； （2）第5天播放量更大； （3）播放量不少于400万，那么可以保持天． 【解析】 【分析】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）根据（1）求出的和的函数表达式，再分别求第5天和第30天的播放量指数，最后比较判断； （3）分别求出播放量等于400万的两个时间，再求得两个时间之差+1，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设线段所在的直线的解析式为， 把代入得， 解得， ． 当时，， 当时， 设、所在双曲线的解析式为， 把代入得，， ， 线段所在的直线的解析式为， 双曲线的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时， ， 第5天播放量更大； 【小问3详解】 解：当时，，解得， 当时，，解得， ， 播放量不少于400万，那么可以保持天． 25. 根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”． 素材1 经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯； 素材2 为了去库存，决定月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯元．当每杯售价元时，月销售量杯，经试验，发现该款水果茶每降价元，月销售量就会增加杯． 问题解决 任务1 确定水果茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到元，该款水果茶应该降价多少元？ 【答案】任务1：该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是 任务2：应该降价元 【解析】 【分析】任务1：设该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是根据该奶茶店月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2：设该款水果茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，根据为了使该店月份“满杯杨梅”的利润达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】任务1：设该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是， 根据题意得：， 解得：， (不符合题意，舍去)． 答：该店“满杯杨梅”5月份到月份销售量的月平均增长率是； 任务2：设该款水果茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得： (不符合题意，舍去)． 答：应该降价元． 26. 在平面直角坐标系中，函数和直线（为常数，且）的图象如图所示，若函数与的图象有一个交点． （1）___________，___________； （2）直接写出不等式的解集； （3）过动点作平行于x轴的直线，分别交函数和的图象于点B、C，在点P的运动过程中，点P、B、C三点中一点是另外两点所连线段的中点，求此时n的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把交点 代入反比例函数 求 ，再代入一次函数 求 ． （2）由 得不等式 ，结合两函数图象交点横坐标直接写出解集． （3）过 作水平直线 ，分别与 、 交于 、，则三点纵坐标相同，分 、、 分别为中点三种情况，用中点坐标公式列方程求解并检验 ． 【小问1详解】 解： 点 在函数 （）的图象上， ． 又点 在直线 上， ，解得 ． 【小问2详解】 解：由（1）知 ，不等式 即为 ． 函数 与 的交点横坐标为 和 ． 结合图象，当 或 时，直线 在双曲线 下方或与它相交， 不等式 的解集为 或 ． 【小问3详解】 解：设 （），过点 作平行于 轴的直线 ． 点 在 上， ． 点 在 上， ． 点 、、 均在直线 上，分三种情况讨论： ① 当 是线段 的中点时，， 即 ，整理得 ， 解得 ，均满足 ． ② 当 是线段 的中点时，， 即 ，整理得 ， 解得 ，其中 舍去， ． ③ 当 是线段 的中点时，， 即 ，整理得 ． ， 方程无实数解． 综上所述， 的值为 、 或 ． 27. 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，线段的长为？ （2）是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）或时，线段的长为 （2） 不存在，理由： 由题意：， 整理得， ， 方程无解，故不存在； （3）存在， 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用勾股定理构建方程求解； （2）根据题意构建方程，再利用根的判别式求解即可； （3）建立如图平面直角坐标系．，利用中点坐标公式表示出点的坐标，根据点在的垂直平分线，可得，构建方程求解． 【小问1详解】 解：由题意，，， ， ， ，， ， 解得或， 故或时，线段的长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，建立如图平面直角坐标系． 由题意，，， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， 解得或（舍去）． 故时，点在的垂直平分线上． 28. 已知：、、不在同一直线上． （1）若点、、在半径为的⊙上， i）如图①，当时，则=___________，=___________； ii）当时，则等腰面积为___________． （2）若定长线段的两个端点分别在的两边、（、均与不重合）滑动，如图②，当，时，分别作，，交点为，试探索在整个滑动过程中，、两点间的距离是否保持不变？请说明理由． 【答案】（1）i），；ii）或或 （2）解：、 两点间的距离保持不变，理由如下： 如图②-1，连接 ，取 的中点 ，连接 、． ，， ． 在 中， 为斜边 的中点， ． 同理，在 中，． ，即点 、、、 都在以 为圆心、 为直径的圆上． ，且 与 同对弧 ， 由圆周角定理得 ． 在 中，，，作 于点 ， 则 ，，． 设 ，则 （ 角所对直角边等于斜边的一半）． 在 中，由勾股定理 ， 即 ，解得 ，（负值舍去）． ，． 故在整个滑动过程中， 为定值，即 、 两点间的距离不变． 【解析】 【分析】（1）i 、、 在 上，由圆周角定理把 转化为圆心角 ，再由等腰直角三角形或勾股定理求 ； ii 对 的等腰 按顶角顶点分类，分别用勾股定理求面积． （2）通过连接 并取中点 ，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”把 、、、 四点转化到以 为直径的同一个圆上，进而用圆周角定理与勾股定理把动线段 的长度化为定圆中的定弦计算． 【小问1详解】 解：i 与 同对弧 ， 由圆周角定理得 ． 又 ，在 中，． ii 当 时，等腰 分三种情况讨论： ① ：作 于点 ，则 为 中点，． 在 中，． 在 的垂直平分线上，且 、 可在 同侧或异侧， 故 到直线 的距离为 或 ． 或 ． ② ：如图①-1，则弦 ，所以 ． 、 分居 两侧时，． 作 于点 ，则 为 中点，． 在 中，， ． 由勾股定理，， ． 又 中 ，， 以 为底， 且经过点 （等腰三角形三线合一）． 在 中，． ． ③ ：与 ② 对称，同样可得 ． 综上所述，等腰 的面积为 或 或 ． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $