第三章 图形与坐标知识归纳与题型突破（7类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

第三章 图形与坐标知识归纳与题型突破（题型清单） 确定平面上物体的位置 1、有序实数对：有顺序的两个数与组成的实数对，叫做有序实数对，记作． 【注】当时，和是不同的两个有序实数对． 2、首先把物体所在的平面分成若干列和若干行，然后用列数和行数组成一个有序数对，表示平面上物体的位置． 3、方位角：从某个参照点看物体，视线与正北（或正南）方向射线的夹角称为方位角． 4、首先在平面内确定一个点作为参照点，然后用由此点测得的物体的方位角和物体到此点的距离来表示该物体的位置． 平面直角坐标系 1、平面直角坐标系：在平面内有两条公互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；轴和轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面． 2、象限：轴和轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【注】①两条坐标轴不属于任何一个象限． ②如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位． 3、点的坐标 对于坐标平面内的一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数、分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序实数对叫做点的坐标，记作． 【注】①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． ②横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来． 4、坐标平面内特殊点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征 点在第一象限； 点在第二象限； 点在第三象限； 点在第四象限． （2）坐标轴上点的坐标特征 点在轴上，为任意实数； 点在轴上，为任意实数； 点即在轴上，又在轴上，即点的坐标为． （3）两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征 点在第一、三象限夹角的角平分线上； 点在第二、四象限夹角的角平分线上． （4）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 平行于轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数； 平行于轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数． （5）坐标平面内对称点的坐标特征 点关于轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点关于轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点关于点的对称点是． 5、用坐标表示距离 （1）点到轴的距离是；点到直线的距离是； （2）点到轴的距离是；点到直线的距离是； （3）点到原点的距离是；点到点的距离 【注】特别地，当平行于轴时，；当平行于轴时，． 坐标与图形的位置 1、利用平面直角坐标系，既可以表示图形的位置，也可以描述图形的形状． 2、建立平面直角坐标系的方法很多，在不同的平面直角坐标系中，同一个图形的顶点坐标也不同，应根据具体情况建立适当的平面直角坐标系． 坐标与图形的变化 1、点的平移 将点向右（或向左）平移个单位可得对应点或； 将点向上（或向下）平移个单位可得对应点或． 2、关于x轴成轴对称的两个图形，各对应顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴成轴对称的两个图形，各对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等． 3、将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘k（或），所得图形的形状不变，各边扩大到原来的k倍（或缩小到原来的），且连接各对应顶点的直线相交于一点． 题型一　平面直角坐标系中点的坐标特征 例题：（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)已知直线平行于轴，且，求的长． (3)试判断点是否可能在第二象限，并说明理由． 巩固训练 1．（2025七年级下·贵州·专题练习）下列四个点中，在第二象限的点是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·贵州·专题练习）若点的坐标满足，则点P的位置在（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点在（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 4．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）若，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2025·山东滨州·一模）若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知点与点的连线平行于轴，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．（2025·河南洛阳·一模）若点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如果a，b，c为一个三角形的三边，那么点在第 象限． 11．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）若，，则点在第 象限． 12．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）已知，则点在第 象限． 13．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）已知点在第二象限，则m的取值范围为 ． 14．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，则m的值为 ． 15．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）已知点在第三象限，则点在第 象限． 题型二　点到坐标轴的距离 例题：（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知到轴和轴的距离相等，则等于 ． 巩固训练 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知点平面内不同的两点A和B到x轴的距离相等，则a的值为（　　） A． B． C．2或 D．1或 2．（七年级下·河南周口·期中）在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知点到x轴的距离小于到y轴的距离，则a的范围是（    ） A． B． C． D．或 5．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）两个单项式与的和是一个单项式，点到横轴的距离是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）在平面直角坐标系内，点到轴的距离是 ． 7．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是 ． 8．（23-24七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点到y轴的距离是2，则a的值是 ． 题型三　用方位角和距离描述两个物体的相对位置 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图为某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，敌方战舰A，B，C分别用三点A，B，C表示，小岛用H表示． (1)对于我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是______，______．要确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？______； (2)距离我方潜艇20海里的敌方战舰有______； (3)要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：______和______．对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在______方向，距离为______；敌方战舰B在______方向，距离为______；敌方战舰C在______方向，距离为______． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）下列各项能准确表示学校图书馆相对于旗杆的位置的是（   ） A．南偏东且距离旗杆 B．距离旗杆 C．南偏东 D．北偏西且距离旗杆 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，小明在处，小华在处，．对于小华的位置，下列描述能确定位置的是（   ） A．小华在小明的北偏东方向 B．小华在小明的北偏东方向，相距为处 C．小华在小明的北偏东方向 D．小华在小明的北偏东方向，相距为处 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是（小圆半径是），若小艇在游船的正南方向处，则下列关于小艇A、B的位置的描述，正确的是（    ） A．小艇在游船的北偏东，且距游船处 B．小艇在游船的北偏西，且距游船处 C．小艇在游船的正南方向，且距游船处 D．小艇在小艇的北偏西，且距游船处 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，用方向和距离描述学校相对于小明家的位置正确的是（   ） A．学校在小明家南偏西方向1200米处 B．学校在小明家北偏东方向1200米处 C．学校在小明家北偏东方向1200米处 D．学校在小明家南偏西方向1200米处 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）外婆生病住院，洋洋想去医院看望外婆，如图是外婆家、洋洋家、医院的大致位置，则下列说法正确的是（   ） A．医院在洋洋家北偏东方向，距离400米处 B．外婆家在医院北偏西方向，距离300米处 C．洋洋家在医院南偏西方向，距离400米处 D．医院在外婆家南偏东方向，距离400米处 6．（2024七年级下·云南·专题练习）如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距离学校1200米处 B．北偏东方向上的1200米处 C．南偏西方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 题型四　平面直角坐标系中几何图形的面积问题 例题：（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）2018年12月，贵阳轨道交通1号线全线开通，2023年12月，贵阳轨道交通3号线开通．贵阳轨道交通实现了从无到有，从“一条线”到“一张网”，畅通了城市发展脉络，逐步融入贵阳市民生活．下图是贵阳轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1．若延安西路的坐标为，贵医的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)若省医的坐标为，河滨公园的坐标为，请在图中标出这两个站点的位置； (3)设贵医、延安西路、河滨公园和省医所在位置分别为A，B，C，D，连接，求四边形的面积． 巩固训练 1．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中． (1)写出各顶点的坐标； (2)求出的面积； (3)点P为x轴上一动点，当与面积相等时，求点P的坐标． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，运动时间为（秒）． (1)当点运动时，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围； (2)点，连接，在（1）条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）空间观念如下图所示的是某中学分布图的一部分，教学楼的坐标为，图书馆的坐标为． (1)在图中建立平面直角坐标系； (2)若体育馆的坐标为，食堂的坐标为，请在图中标出体育馆和食堂的位置； (3)顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂、教学楼得到四边形，求四边形的面积． 题型五　轴对称的坐标表示 例题：（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若A、B关于轴对称，求的值； (2)若A、B关于轴对称，求的值． 巩固训练 1．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）若点与点关于轴对称，则 ． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，点，关于x轴对称，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·吉林·期中）点关于x轴对称的点在第 象限． 5．（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知点，，A、B两点关于轴对称，则 ， ． 6．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）已知和关于y轴对称，则的值为 ． 7．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）已知：点与点关于轴对称，则的值为 ． 题型六　平移的坐标表示 例题：（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，线段的两端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为 ． 巩固训练 1．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段．若点的对应点为，则点的对应点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则n的值为（   ） A． B．1 C． D．3 4．（24-25七年级上·山东威海·期末）在直角坐标系中，将点先向下平移3个单位，再向左平移5个单位得到点．若点的横坐标与纵坐标互为相反数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点A在第二象限，轴，，则点A的坐标为 ． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为 ． 7．（23-24八年级下·山西运城·期中）点向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为 ． 题型七　规律探究型问题 例题：（2025·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2024次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·辽宁阜新·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是和将绕点顺时针旋转得到，将绕点旋转一定的角度，得到、再绕点旋转一定的角度得到……，由此可知点的坐标为(　　)    A． B． C． D． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 图形与坐标知识归纳与题型突破（题型清单） 确定平面上物体的位置 1、有序实数对：有顺序的两个数与组成的实数对，叫做有序实数对，记作． 【注】当时，和是不同的两个有序实数对． 2、首先把物体所在的平面分成若干列和若干行，然后用列数和行数组成一个有序数对，表示平面上物体的位置． 3、方位角：从某个参照点看物体，视线与正北（或正南）方向射线的夹角称为方位角． 4、首先在平面内确定一个点作为参照点，然后用由此点测得的物体的方位角和物体到此点的距离来表示该物体的位置． 平面直角坐标系 1、平面直角坐标系：在平面内有两条公互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；轴和轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面． 2、象限：轴和轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【注】①两条坐标轴不属于任何一个象限． ②如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位． 3、点的坐标 对于坐标平面内的一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数、分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序实数对叫做点的坐标，记作． 【注】①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． ②横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来． 4、坐标平面内特殊点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征 点在第一象限； 点在第二象限； 点在第三象限； 点在第四象限． （2）坐标轴上点的坐标特征 点在轴上，为任意实数； 点在轴上，为任意实数； 点即在轴上，又在轴上，即点的坐标为． （3）两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征 点在第一、三象限夹角的角平分线上； 点在第二、四象限夹角的角平分线上． （4）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 平行于轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数； 平行于轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数． （5）坐标平面内对称点的坐标特征 点关于轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点关于轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点关于点的对称点是． 5、用坐标表示距离 （1）点到轴的距离是；点到直线的距离是； （2）点到轴的距离是；点到直线的距离是； （3）点到原点的距离是；点到点的距离 【注】特别地，当平行于轴时，；当平行于轴时，． 坐标与图形的位置 1、利用平面直角坐标系，既可以表示图形的位置，也可以描述图形的形状． 2、建立平面直角坐标系的方法很多，在不同的平面直角坐标系中，同一个图形的顶点坐标也不同，应根据具体情况建立适当的平面直角坐标系． 坐标与图形的变化 1、点的平移 将点向右（或向左）平移个单位可得对应点或； 将点向上（或向下）平移个单位可得对应点或． 2、关于x轴成轴对称的两个图形，各对应顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴成轴对称的两个图形，各对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等． 3、将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘k（或），所得图形的形状不变，各边扩大到原来的k倍（或缩小到原来的），且连接各对应顶点的直线相交于一点． 题型一　平面直角坐标系中点的坐标特征 例题：（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)已知直线平行于轴，且，求的长． (3)试判断点是否可能在第二象限，并说明理由． 【答案】(1)点的坐标为 (2)18 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查坐标与图形，解一元一次不等式组，掌握坐标平面内点的坐标特征是解题的关键． （1）根据题意得出，求出，即可得出答案； （2）根据题意得出，求出，即可得出答案； （3）根据题意列出不等式组，再求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）直线平行于轴， ， 解得， ， ； （3）不可能； 理由：若点在第二象限， 则， 不等式组无解， 点不可能在第二象限． 巩固训练 1．（2025七年级下·贵州·专题练习）下列四个点中，在第二象限的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，根据第二象限的点的坐标特征判断即可． 【详解】解：A、在第四象限，故此选项不符合题意； B、在第一象限，故此选项不符合题意； C、在第二象限，故此选项符合题意； D、在第三象限，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（2025七年级下·贵州·专题练习）若点的坐标满足，则点P的位置在（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，根据不等式易得x，y异号，第二象限点的符号为；第四象限点的符号为，那么可得点P所在象限． 【详解】解：， ；或， ∴点P的位置在第二、四象限， 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点在（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限内点的坐标特征为，第二象限内点的坐标特征为，第三象限内点的坐标特征为，第四象限内点的坐标特征为，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0．因为点在轴上，故，则，即可作答． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴点在二象限， 故选：B． 4．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了判断点所在的象限，已知点所在的象限求参数，先由点在第二象限，得出，则，即横坐标，纵坐标都为正数，得点在第一象限，即可作答． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴ 即点在第一象限， 故选：A 5．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）若，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标的特点．首次根据判断点纵坐标为正，然后根据平面直角坐标系中象限内点的坐标的特点，即可得出点所在的象限． 【详解】解：∵， ∴点所在的象限是第二象限． 故选：B． 6．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限是解题的关键． 根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：，， 在平面直角坐标系中，点位于第一象限， 故选A． 7．（2025·山东滨州·一模）若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，在数轴上表示不等式的解集，先根据第一象限内点的符号特征，列出不等式组，求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，解得：， 数轴表示如图： 故选：D． 8．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知点与点的连线平行于轴，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，解题的关键是掌握平行于轴的直线上点的坐标特征． 根据平行于轴的直线上点的坐标特征得到，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵轴， ∴点和点的纵坐标相同， 即， ∴， 故选：． 9．（2025·河南洛阳·一模）若点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查第二象限内点的坐标特点、解一元一次不等式组等知识点，属于基础题，熟练掌握各个象限内点的坐标特点是解题关键．根据点P在第二象限知它的横坐标小于0，纵坐标大于0，列一元一次不等式组，求解集即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 故选：A． 10．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如果a，b，c为一个三角形的三边，那么点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了三角形的三边关系及点的坐标特点，首先根据三角形的三边关系判断点P的纵坐标的符号，然后根据点的坐标的特点确定点P的位置即可． 【详解】解：∵a，b，c为一个三角形的三边， ∴，， ∴，， 则点在第二象限， 故答案为：二． 11．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）若，，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点．牢记四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限，本题根据这些进行解答即可解决. 【详解】解：∵，， ∴，， ∴点在第二象限， 故答案为：二 12．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）已知，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了非负数的性质、判断点所在的象限，由非负数的性质求出，，即，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，，即， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 13．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）已知点在第二象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解法，点所在的象限特征，先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．解题的关键是熟练掌握不等式组的解法，属于中考常考题型． 【详解】解：点在第二象限， ， 解得：， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，则m的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了第四象限内的点的坐标特点，点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，再由第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴且， ∴， ∴， 故答案为：0． 15．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）已知点在第三象限，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系各象限的符号特征， 根据第三象限的符号特征可知，再求出a，b的取值范围，然后结合各象限符号特征得出答案． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 解得， ∴点在第四象限． 故答案为：四． 题型二　点到坐标轴的距离 例题：（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知到轴和轴的距离相等，则等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．根据到轴和轴的距离相等列方程，并解方程即可． 【详解】解：由题意得， 或 解得或 故答案为：或． 巩固训练 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知点平面内不同的两点A和B到x轴的距离相等，则a的值为（　　） A． B． C．2或 D．1或 【答案】C 【分析】此题考查点到坐标轴的距离：点到x轴的距离是点纵坐标的绝对值，据此列得，求出a值即可． 【详解】解：因为点和到轴的距离相等， 所以．即或． 当时，，； 当时，，． 当时，，，两点不同； 当时，，，两点不同，均符合题意， 所以的值为或， 故选C 2．（七年级下·河南周口·期中）在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标平面内点的坐标的特点与点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值. 根据“点M在第二象限”可知，点M的横坐标为负，纵坐标为正，根据“点M到轴的距离为，到轴的距离为”可分别得出点M横坐标与纵坐标的绝对值，即可得出坐标 【详解】解：∵点M在第二象限， ∴点M的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∵点M到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点M的坐标是， 故选：C 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知点到x轴的距离小于到y轴的距离，则a的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为该点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点的横坐标的绝对值，据此可得，由此可得答案． 【详解】解：∵点到x轴的距离小于到y轴的距离， ∴， ∴或， 故选；D． 5．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）两个单项式与的和是一个单项式，点到横轴的距离是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项和点的坐标．根据同类项定义，求出字母的值即可判断． 【详解】解：因为两个单项式与的和是一个单项式， 所以这两个单项式是同类项，，， 解得，，， 所以点到横轴的距离是7， 故选：B． 6．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）在平面直角坐标系内，点到轴的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，平面直角坐标系中点到轴的距离是这个点的纵坐标的绝对值，点到轴的距离是这个点的横坐标的绝对值． 【详解】解：点到轴的距离是点的横坐标的绝对值， 点到轴的距离是． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．先根据题意得出P点坐标，根据平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论． 【详解】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2， ∴ ∵平行于x轴， ∴设， ∵， ∴或， ∴点Q的坐标是或． 故答案为：或． 8．（23-24七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点到y轴的距离是2，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，根据点到y轴的距离是2，得，则，即可作答． 【详解】解：∵点到y轴的距离是2， ∴， 解得． 故答案为：． 题型三　用方位角和距离描述两个物体的相对位置 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图为某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，敌方战舰A，B，C分别用三点A，B，C表示，小岛用H表示． (1)对于我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是______，______．要确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？______； (2)距离我方潜艇20海里的敌方战舰有______； (3)要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：______和______．对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在______方向，距离为______；敌方战舰B在______方向，距离为______；敌方战舰C在______方向，距离为______． 【答案】(1)敌方战舰，小岛，的距离 (2)敌方战舰 (3)方向角，距离，正南，20海里，北偏东，30海里，正东，20海里 【分析】（1）根据题意，我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是敌方战舰，小岛．要确定敌方战舰B的位置，还需要知道两舰之间的距离的长度解答即可； （2）根据比例尺，测量计算，得到距离我方潜艇20海里的敌方战舰有正东方向20海里的敌方战舰C和正南20海里的敌方战舰A； （3）要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：方向角和距离．对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在正南方向，距离为20海里；敌方战舰B在北偏东方向，距离为30海里；敌方战舰C在正东方向，距离为20海里． 本题考查了位置的确定，方向角和距离是确定位置的一种重要方式，熟练掌握是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是敌方战舰，小岛．要确定敌方战舰B的位置，还需要知道两舰之间的距离的长度， 故答案为：敌方战舰，小岛，的距离． （2）解：根据比例尺，测量计算，得到距离我方潜艇20海里的敌方战舰有正东方向20海里的敌方战舰C和正南20海里的敌方战舰A， 故答案为：敌方战舰． （3）解：要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：方向角和距离． 对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在正南方向，距离为20海里；敌方战舰B在北偏东方向，距离为30海里；敌方战舰C在正东方向，距离为20海里． 故答案为：方向角，距离，正南，20海里，北偏东，30海里，正东，20海里． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）下列各项能准确表示学校图书馆相对于旗杆的位置的是（   ） A．南偏东且距离旗杆 B．距离旗杆 C．南偏东 D．北偏西且距离旗杆 【答案】A 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，采用数形结合的思想是此题的关键，结合图形即可得解． 【详解】解：由图知，能准确表示学校图书馆相对于旗杆的位置的是南偏东且距离旗杆， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，小明在处，小华在处，．对于小华的位置，下列描述能确定位置的是（   ） A．小华在小明的北偏东方向 B．小华在小明的北偏东方向，相距为处 C．小华在小明的北偏东方向 D．小华在小明的北偏东方向，相距为处 【答案】D 【分析】本题考查用方向角和距离表示实际问题，根据方向角的定义，结合距离表示位置即可． 【详解】解：由图和题意可知：小华在小明的北偏东方向，相距为处； 故选D． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是（小圆半径是），若小艇在游船的正南方向处，则下列关于小艇A、B的位置的描述，正确的是（    ） A．小艇在游船的北偏东，且距游船处 B．小艇在游船的北偏西，且距游船处 C．小艇在游船的正南方向，且距游船处 D．小艇在小艇的北偏西，且距游船处 【答案】D 【分析】本题考查了主要坐标确定位置：是熟练掌握平面内特殊位置的点的坐标特征．理解方向角的表示方法．利用方向角的表示方法对各选项进行判断． 【详解】解：由图可知： 小艇A在游船的北偏东，且距游船，故选项A描述错误； 小艇B在游船的北偏西，且距游船，故选项B描述错误； 小艇在游船的正南方向，且距游船．故选项C描述错误； 连接，如图： ∵， ∴， 故小艇在小艇的北偏西，且距游船处 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，用方向和距离描述学校相对于小明家的位置正确的是（   ） A．学校在小明家南偏西方向1200米处 B．学校在小明家北偏东方向1200米处 C．学校在小明家北偏东方向1200米处 D．学校在小明家南偏西方向1200米处 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据方向角的定义解答即可． 【详解】解：如图所示：， 则学校在小明家的北偏东方向上的1200米处． 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）外婆生病住院，洋洋想去医院看望外婆，如图是外婆家、洋洋家、医院的大致位置，则下列说法正确的是（   ） A．医院在洋洋家北偏东方向，距离400米处 B．外婆家在医院北偏西方向，距离300米处 C．洋洋家在医院南偏西方向，距离400米处 D．医院在外婆家南偏东方向，距离400米处 【答案】B 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，理解确定位置需要两个元素是解答本题的关键．根据图形逐项分析即可． 【详解】解：A．医院在洋洋家北偏东方向，距离400米处，故不正确； B．外婆家在医院北偏西方向，距离300米处，正确； C洋洋家在医院南偏西方向，距离400米处，故不正确； D．医院在外婆家南偏东方向，距离300米处，故不正确； 故选B． 6．（2024七年级下·云南·专题练习）如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距离学校1200米处 B．北偏东方向上的1200米处 C．南偏西方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【答案】C 【分析】本题考查了方向角，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：用点表示小明家，点表示学校，射线表示正北方向，过的直线表示南北方向， ， ∵， ∴， ∴小明家相对于学校的位置为南偏西方向上的1200米处， 故选：C． 题型四　平面直角坐标系中几何图形的面积问题 例题：（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）2018年12月，贵阳轨道交通1号线全线开通，2023年12月，贵阳轨道交通3号线开通．贵阳轨道交通实现了从无到有，从“一条线”到“一张网”，畅通了城市发展脉络，逐步融入贵阳市民生活．下图是贵阳轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1．若延安西路的坐标为，贵医的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)若省医的坐标为，河滨公园的坐标为，请在图中标出这两个站点的位置； (3)设贵医、延安西路、河滨公园和省医所在位置分别为A，B，C，D，连接，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据延安西路的坐标为，贵医的坐标为，建立坐标系即可； （2）根据（1）中坐标系描点即可； （3）由（2）依次连接，根据求解即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：如图所示，为所求： （3）解：根据题意，如图，依次连接， ． 巩固训练 1．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中． (1)写出各顶点的坐标； (2)求出的面积； (3)点P为x轴上一动点，当与面积相等时，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)7 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、求三角形面积等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）在平面直角坐标系中确定点的坐标，即可获得答案； （2）利用割补法求出的面积； （3）根据题意，可得，解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：由图可知，，，； （2）； （3）根据题意，可得， 解得， ∵P点在x轴上， 或． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，运动时间为（秒）． (1)当点运动时，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围； (2)点，连接，在（1）条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；为或时 【分析】本题考查了坐标与图形性质，数形结合，是解题的关键． （1）分当点在线段上时和当点在线段上时两种情况讨论，即可得到结论； （2）当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，轴，轴 ∴，， ∴，， 当点P在线段上时， ，， ； 当点在线段上时， 点走过的路程． （2）解：存在两个符合条件的t值， 当点在线段上时， ， ， 解得：； 当点在线段上时， ， ， 解得：， 综上所述：当为或时． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）空间观念如下图所示的是某中学分布图的一部分，教学楼的坐标为，图书馆的坐标为． (1)在图中建立平面直角坐标系； (2)若体育馆的坐标为，食堂的坐标为，请在图中标出体育馆和食堂的位置； (3)顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂、教学楼得到四边形，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)10． 【分析】本题考查了坐标确定位置，平面直角坐标系的定义，网格结构中不规则四边形的面积的求解，熟记概念并熟练运用网格结构是解题的关键． （1）根据点的坐标，向左1个单位，向下2个单位为坐标原点，建立平面直角坐标系即可； （2）根据平面直角坐标系标注体育馆和食堂即可； （3）根据四边形所在的矩形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算即可得解． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示； ； （2）解：体育馆，食堂，如图所示； （3）解：四边形的面积 ． 题型五　轴对称的坐标表示 例题：（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若A、B关于轴对称，求的值； (2)若A、B关于轴对称，求的值． 【答案】(1)6 (2)1 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，代数式求值，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． （1）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出的值，然后代入代数式进行计算即可； （2）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； 【详解】（1）由题意得 解得 （2）由题意得 解得 巩固训练 1．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是坐标平面内的点关于坐标轴的对称规律及点的坐标在每个象限内的坐标特征，解题关键是熟练掌握点的对称规律． 先确定点关于轴的对称点坐标，再根据点的坐标在每个象限内的坐标特征即可得解． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标是， 点关于轴的对称点在第二象限． 故选：． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标不变，求得，的值，进而求得的值，即可求解，求得，的值是解题的关键． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得，， ． 故答案为：9． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，点，关于x轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，直接利用关于x轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴，， 则． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·吉林·期中）点关于x轴对称的点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，判断点所在的象限，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此得到点关于x轴对称的点的坐标，再判断出点P对应点所在的象限即可得到答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，故点关于x轴对称的点在第二象限， 故答案为：二． 5．（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知点，，A、B两点关于轴对称，则 ， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，根据关于x轴对称点的坐标特点变化规律“横坐标不变，纵坐标互为相反数”，进行作答即可． 【详解】解：∵ A、B两点关于轴对称，且点，， ∴， 故答案为：， 6．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）已知和关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点关于轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数，比较简单．根据平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，据此即可求得与的值，从而代入求解得出答案． 【详解】解：和关于轴对称， ，， ， ． 故答案为：1． 7．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）已知：点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了点的坐标关于坐标轴对称，代数式求值，掌握两点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出、的值，然后代入运用乘方解答即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， 解得：， ． 故答案为：1． 题型六　平移的坐标表示 例题：（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，线段的两端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据点A及点的对应点的坐标，得出平移的方向和距离，据此可解决问题． 【详解】  解：∵，且平移后点A的对应点的坐标为， ∴线段向右平移了2个单位，向下平移了一个单位， ∴的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 巩固训练 1．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形性质及坐标与图形，根据平行四边形的性质得出，，再根据点的坐标求出点C的坐标即可． 【详解】解：∵平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，， ∴， ∴点C的横坐标，纵坐标点D的纵坐标， 即点C的坐标是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段．若点的对应点为，则点的对应点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据点A、M的坐标确定出平移规律，然后求出点N的坐标即可． 【详解】解：∵点的对应点为， ∴平移规律为向右3个单位，向上2个单位， ∵点， ∴对应点N的横坐标为， 纵坐标为， ∴点N的坐标为． 故选：B． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则n的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，由题意可得平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，从而得出，，即可得解，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵将线段平移至，点，，点，， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，， 故选：D． 4．（24-25七年级上·山东威海·期末）在直角坐标系中，将点先向下平移3个单位，再向左平移5个单位得到点．若点的横坐标与纵坐标互为相反数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了点的平移和点的坐标等知识．根据点的平移方式求出，再根据点的横坐标与纵坐标互为相反数得到，即可求出答案． 【详解】解：∵将点先向下平移3个单位，再向左平移5个单位得到点． ∴，即， ∵点的横坐标与纵坐标互为相反数， ∴， 解得 故选：A 5．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点A在第二象限，轴，，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，再根据点A在第二象限，，即可确定横坐标． 【详解】解：∵点，轴， ∴点A的纵坐标为4， ∵点A在第二象限，， ∴则点A的横坐标为， ∴点A的坐标为， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，两点距离计算公式，先由两点距离计算公式求出的长，进而由菱形的性质得到，轴，据此可得答案． 【详解】解：∵，的坐标分别为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点A和点D都在x轴上， ∴轴， ∵， ∴， 故答案为；． 7．（23-24八年级下·山西运城·期中）点向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据平移的性质可得答案． 本题考查坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵点向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到点Q， ∴点Q的坐标为． 故答案为：． 题型七　规律探究型问题 例题：（2025·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：∵正六边形边长为1，中心与原点O重合，轴， ∴， ∴， ∴第1次旋转结束时，在x轴的正半轴上，点A在第四象限，此时点A的坐标为， 第2次旋转结束时，正好与原来点A的坐标关于原点对称，则此时点A的坐标为， 第3次旋转结束时，在x轴的负半轴上，点A在第二象限，此时点A的坐标为， 第4次旋转结束时，点A回到原来的位置，此时点A的坐标为， ∴4次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，与旋转有关的点的坐标规律探索，根据题意可得每旋转八次点的对应点就与旋转前点A的位置重合，那么与的位置重合，进而可得的位置与点A绕点O顺时针旋转后点C对应点的位置相同，即的位置，过点作x轴的垂线，垂足为D，证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次点的对应点就与旋转前点A的位置重合， ∵， ∴与的位置重合， ∵是点A绕点O顺时针旋转得到的， ∴的位置与点A绕点O顺时针旋转后点C对应点的位置相同，即的位置， 如图所示，过点作x轴的垂线，垂足为D， 由旋转的性质可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2024次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移．由于，因此点向右平移即即可到达点，根据点的坐标就可求出点的坐标． 【详解】解：连接，如图所示． 四边形是菱形， ． ， 是等边三角形． ， 画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示． 由图可知：每翻转次，图形向右平移． ， 点向右平移即到点． 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：C． 3．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2022次旋转后矩形的位置是解题的关键． 过点作轴于点，连接，根据已知条件求出点的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点的坐标，发现规律，进而求出第2022次旋转结束时，点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点的坐标为； 则第2次旋转结束时，点的坐标为； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为； 则第4次旋转结束时，点(的坐标为； 发现规律：旋转4次一个循环， 则第2022次旋转结束时，点的坐标为． 故选：C． 4．（22-23八年级下·辽宁阜新·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是和将绕点顺时针旋转得到，将绕点旋转一定的角度，得到、再绕点旋转一定的角度得到……，由此可知点的坐标为(　　)    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转运动方式可知：旋转3次完成一周，此时点A的角标增加2次，向右平移12个单位，根据规律和坐标变化特点即可得出结论． 【详解】解：∵点、的坐标分别是和 ∴ ∴， 由题意，第一次旋转后， 第二次旋转后， 第三次旋转后， 第四次旋转后， ， 由此可知：旋转3次完成一周，此时点A的角标增加2次，向右平移12个单位， ， 故点对应坐标时点向右平移， ∴点的坐标为， 故选：A． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$