专题03 图形与坐标（考点清单，知识导图+4个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（湘教版）

清单03 图形与坐标（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 求平面直角坐标系内点的坐标 (1)平面直角坐标系的定义:在平面内画两条互相垂直的数轴,其中一条叫横轴(x轴),另一条叫纵轴(y轴),它们的交点O是这两条数轴的原点.通常,横轴向右为正方向,纵轴向上为正方向,这样建立的两条数轴构成了平面直角坐标系. (2)建立了平面直角坐标系后,平面上的点与有序实数对一一对应. 清单02 建立恰当的平面直角坐标系确定点的坐标 构建的平面直角坐标系不同,则点的坐标也不同,在建立平面直角坐标系时,应使点的坐标简明. 方法技巧：建立平面直角坐标系的常见方法 (1)以某些特殊的线段所在的直线为x轴或y轴(如高线、中线等). (2)把对称图形的对称轴作为工轴或y轴. (3)以某个已知点为原点建立平面直角坐标系。 清单03 轴对称与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a.-b),关于y轴的对称点的坐标为(-a,b). 清单04 平移与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,将点(a,b)向右(或向左)平移k个单位长度,其像的坐标为(a+k,b)(或(a-k,b));将点(a,6)向上(或向下)平移k个单位长度,其像的坐标为(a,b+k)(或(a,b-k)). 【考点题型一】写出直角坐标系中点的坐标（） 【例1】如图所示，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质和勾股定理．根据菱形的性质可以得出和的长度，根据勾股定理即可得出的长度，即可得出点C的坐标． 【详解】解：∵A，B的坐标分别为，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标是， 故选：C． 【变式1-1】已知点在第三象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据第三象限的点的坐标特征为，并结合点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，即可得解． 【详解】解：∵点在第三象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3， ∴点P的坐标为， 故选：A． 【变式1-2】已知点，解答下列各题． (1)点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标． (2)若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标， 对于（1），根据直线轴，可知点Q和点P的横坐标相同，可求出，进而得出答案； 对于（2），根据点P到x轴的距离为2，可得，再分两种情况求出a值，即可得出答案． 【详解】（1）解：点Q的坐标为，直线轴， 点Q和点P的横坐标相同， 即， 解得，                          当时，， 点P的坐标为； （2）解：点P到x轴的距离为2， ， 即或， 解得或，                           当，， 点P的坐标为， 当，， 点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或. 【变式1-3】已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，则点P的坐标为_____ (2)若，且轴，则点P的坐标为_____ (3)若点P到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解此题的关键． （1）由点的坐标特点可知，点在轴上，即点P的纵坐标为0，即可求出a值，然后代入可求出点点P的横坐标． （2）根据轴，可得出点P的横坐标等于点Q的横坐标，即可求出a的值，进一步即可求出点P的纵坐标． （3）根据题意得出，求出a的值，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得： ∴， 所以点P的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意可得：， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：； （3）∵点到轴、轴的距离相等， ∴， 解得：或， 把代入； 把代入． 综上，的值为2026或． 【考点题型二】求点到坐标轴的距离（） 【例2】在平面直角坐标系中，如果点在轴上，距离原点4个单位长度，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了坐标平面上各象限内与坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离；根据点在在轴上，距离原点4个单位长度，则点P可在x轴正半轴或负半轴两种情况求解即可． 【详解】解：∵在轴上，距离原点4个单位长度， ∴当点P可在x轴正半轴上时，坐标为；当点P可在x轴负半轴上时，坐标为； 故答案为：或． 【变式2-1】若点的坐标为，则它到轴的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．根据点的坐标的意义以及关于x轴、y轴对称的点的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴它到轴的距离为； 故答案为：5． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，点，点，若轴，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：∵点，点，且轴， ∴， 解得， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定于：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． ①在点中，为点的“等距点”的是 ； ②若点的坐标且两点为“等距点”，则点的坐标 ； 【答案】 E， 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． ①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可. 【详解】解：①点到x、y轴的距离中最大值为3， 与A点是“等距点”的点是E、F． ②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有， 这些点中与A符合“等距点”的是． 故答案为①E、F；②； 【考点题型三】判断点所在的象限（） 【例3】点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特征，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴点所在的象限是第二象限； 故选B． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知点，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查求点所在的象限，根据点的符号特征，进行判断即可． 【详解】解：∵点， ∴点的符号特征为：； 故点在第四象限； 故选D． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，点所在的象限是第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 先由平方的非负性确定横坐标的正负，再根据每个象限内点的符号特点即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 而纵坐标， ∴点所在的象限是第四象限， 故答案为：四． 【考点题型四】已知点所在的象限求参数（） 【例4】若平面直角坐标系内的点M在第四象限，且M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的位置，熟练掌握坐标系中点的特征是解题关键．根据平面直角坐标系中点的特征并结合题意写出即可． 【详解】解：点M在第四象限，到x轴的距离即为纵坐标的相反数，到y轴的距离即为横坐标值， ∵M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2， ∴点M的坐标为， 故选：C． 【变式4-1】点在第三象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点所在的象限和解一元一次不等式组，能根据点的位置得出不等式组是解此题的关键．根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵在第三象限， ∴， 解得， 故选：C． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，点在第二象限，到轴，轴的距离分别为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，根据第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数，以及点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值，进行解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， 又∵点到轴，轴的距离分别为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点 的坐标为， 故答案为：． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，点位于第二象限（m为整数），则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵点位于第二象限， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴． 故答案为． 【考点题型五】点坐标规律探索（） 【例5】如图，在平面直角坐标系中有一系列格点，其中，且，是整数．记，如，即，，即，，即，…，以此类推，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可． 本题考查了坐标的规律，熟练掌握规律的探索是解题的关键． 【详解】解：第1圈有1个点，即，这时； 第2圈有8个点，即到，这时； 第3圈有16个点，即到，这时； 依次类推，第n圈，； 由规律可知：是在第23圈上，且，则：即，故A选项不正确，不符合题意； 是在第23圈上，且，即，故选项B正确，符合题意； 第n圈，，所以，故C，D选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】如图，小球起始位置位于处，沿图中所示的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，解题的关键是理解题意，根据小球的运动轨迹得出小球点坐标每六次为一循环． 由图可得，点第一次碰撞后的点的坐标为，第二次碰撞后的点的坐标为，第三次碰撞后的点的坐标为，第四次碰撞后的点的坐标为，第五次碰撞后的点的坐标为，第六次碰撞后的点的坐标为，则小球点坐标每六次为一循环，即可得． 【详解】解：由图可得，点第一次碰撞后的点的坐标为， 第二次碰撞后的点的坐标为， 第三次碰撞后的点的坐标为， 第四次碰撞后的点的坐标为， 第五次碰撞后的点的坐标为， 第六次碰撞后的点的坐标为， ∴小球点坐标每六次为一循环， ∵ ∴小球第次碰到球桌边时，小球的位置是． 故选：C． 【变式5-2】如图，一个点在第一，四象限及轴上运动，在第1次，它从原点运动到点，用了1秒，然后按图中箭头所示方向运动，即，它每运动一次需要1秒，那么第2025秒时点所在的位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据已知得出点的横坐标等于运动秒数，纵坐标从，0，1，0依次循环，即可得出答案．此题主要考查了数字变化规律以及坐标性质，根据已知得出点坐标的变化规律是解题关键． 【详解】解：∵一个点在第一，四象限及轴上运动，在第1次，它从原点运动到点，用了1秒，然后按图中箭头所示方向运动，即，它每运动一次需要1秒， ∴第4秒时点所在位置的坐标是：， ∴第5秒运动点的坐标为：，第6秒运动点的坐标为：，第7秒运动点的坐标为：，第8秒运动点的坐标为：， ∴点的横坐标等于运动秒数，纵坐标从，0，1，0依次循环， ∴第2025秒时点所在位置的坐标是：横坐标为：2025， ∵，纵坐标为：， ∴第2025秒时点所在位置的坐标是：． 故答案为： 【变式5-3】在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的希望点．已知点的希望点为，点的希望点为，点的希望点为，这样依次得到，，，，…，，若点的坐标为，请计算点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了点坐标规律探究，正确理解题意求出，，，的坐标，得到规律是解题的关键．分别求出，，，的坐标，得到规律，由此得到答案． 【详解】解：∵点的坐标是，点的希望点为， ∴， 即， ∵点的希望点为， ∴ 即， 同理得，，……， ∴点坐标每4个为一个循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标是， 故答案为：． 【考点题型六】实际问题中用坐标表示位置（） 【例6】若在象棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点，“象”位于点，则“炮”位于点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据已知点的坐标，建立直角坐标系，进而求出“炮”所在的点的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立如下坐标系： 由图可知：“炮”位于点； 故选B． 【变式6-1】如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ②当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ③当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ④当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】题目主要考查平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键 根据天安门的坐标和点的平移规律，一一进行判断即可. 【详解】解：根据图象得，①是以每个方格1个单位长度读出点的坐标即可，故正确； ②是以每个方格2个单位长度读出点的坐标即可，故正确； ③是在②的基础上，将所有点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，故③正确； ④是在当表示天安门的点的坐标为，每个小方格表示的单位长度为3，在①基础上，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故④正确． 故选：D 【变式6-2】七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具，可以阐明若干重要几何关系，其原理便是古算术中的“出入相补原理”．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图，是由七巧板拼成的正方形，若点Q的坐标为，点P的坐标为则点G的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：确定平面直角坐标系如图所示： 则， ∴点G的坐标为， 故选：C． 【变式6-3】如图是一副象棋残局，将棋盘建立直角坐标系，若两个“卒”的坐标分别为，，那么“马”的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置；由棋子两个“卒”的坐标分别为，确定平面直角坐标系原点的位置，根据原点位置再确定棋子“马”所在的点的坐标即可． 【详解】解：如图建立如图所示的平面直角坐标系： ∴棋子“马”所在的点的坐标为． 故选：D． 【考点题型七】由平移的方式确定点的坐标（） 【例7】在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位，再向左平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求解即可． 【详解】解：∵点向下平移3个单位，再向左平移2个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 故选：D． 【变式7-1】如图，在直角坐标系中，已知点，，线段向上平移后，的对应点分别为，若四边形是正方形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，平移的坐标变换，熟练掌握坐标平移变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据正方形的性质求得，再根据坐标平移变换规律求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∵线段向上平移后，的对应点分别为， ∴， ∴ 故选：B． 【变式7-2】在直角坐标系中，点关于轴的对称点为，将点向左平移3个单位得到点，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与轴对称，坐标与平移，根据关于轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到的坐标，再根据平移规则，求出的坐标即可． 【详解】解：由题意，， 将点向左平移3个单位得到点，则：， 即：； 故答案为：． 【变式7-3】已知平面直角坐标系中，两点，将线段平移至，A点与C点对应，若，则D点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了7，纵坐标加2，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案． 【详解】解：∵平移后对应点C的坐标为， ∴点的横坐标加上了7，纵坐标加2， ∵， ∴点坐标为， 即， 故答案为：． 【考点题型八】已知图形的平移，求点的坐标（） 【例8】把平面直角坐标系中的一点向上平移2个单位长度后，点P的对应点刚好落在x轴上，则m的值为（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了点的平移，轴上点的坐标特征，求得的坐标是解题的关键．根据平移写出点的坐标，根据轴上的点的纵坐标为0即可求解． 【详解】解：∵把平面直角坐标系中的一点向上平移2个单位长度后，点P的对应点为，点在轴上， ∴ ∴． 故选：B． 【变式8-1】已知 ，将线段 平移至，若，，则 的值为（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查平移的坐标与图形变化．熟练掌握平移规律是解题的关键． 根据点平移的性质“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”解答即可． 【详解】解：由题可得， 解得：， ∴， 故选：D． 【变式8-2】如图，的边在x轴上，，将沿y轴向上平移得到，若恰好经过边的中点M，则点A的对应点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，直角三角形的性质，勾股定理，平移的性质，分别过点作，垂足分别为，利用直角三角形的性质及勾股定理求出，，可得沿y轴向上平移个单位得到，根据平移的性质即可解答． 【详解】解：分别过点作，垂足分别为， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴沿y轴向上平移个单位得到， ∴，即， 故选：D． 【变式8-3】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段向左平移2个单位长度，得到线段，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化—平移，熟练掌握横平移的规律是解答本题的关键． 根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答即可． 【详解】解：∵将线段向左平移2个单位长度，得到线段， ∴点A向左平移2个单位长度，得到点， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A 【考点题型九】平移综合题（） 【例9】在平面直角坐标系中，已知． (1)过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为，，则点的坐标为___________ (2)以原点为圆心，为半径画弧，与轴正半轴交于点，则三角形的面积为___________． (3)平移三角形，使点移动到． ①平移后，原点的对应点为的坐标为___________； ②画出平移后的三角形； ③四边形的面积___________． 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析；③1 【分析】本题考查了坐标系中画图形的平移，平移后点的坐标，平移的性质等知识； （1）根据点A的坐标及题意即可求得点C的坐标； （2）利用面积法求出，则，从而得的长，利用三角形面积公式即可求解； （3）①根据平移即可确定点O平移后的坐标； ②根据所给的平移，确定B、D平移后的坐标，再依次连接各对应点即可； ③由平移的性质知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的面积计算即可． 【详解】（1）解：点的坐标为； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴； 而，， 则， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：①由题意知，平移为向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度， 则平移后，原点的对应点为的坐标为； 故答案为：； ②平移后的三角形如图所示； ③如图，由平移知，四边形是平行四边形，其面积为：； ∴四边形的面积为1； 故答案为：1． 【变式9-1】阅读理解，解答下列问题： 在平面直角坐标系中，对于点若点B的坐标为，则称点B为点A的“k级牵挂点”，如点的“2级牵挂点”为，即． (1)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标； (2)已知点Q的“4级牵挂点”为，求Q点的坐标； (3)已知点的“2级牵挂点”在x轴上，求点的坐标； (4)如果点的“2级牵挂点”在第二象限，当c取最大整数时，过点作轴于点，连接，将向右平移4个单位长度得到，其中、、的对应点分别为、Q、D，连接，直接写出四边形的面积为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由题意知道，从而写出点的坐标； （2）由题意知道，然后写出点Q的坐标； （3）由题意可以得到关于m的方程，解方程求出m的值后即可求出点的坐标； （4）由题意可以用c表示的坐标，根据在第二象限可以求得c的取值范围，得到c的最大整数值，由题意作出四边形后可以求得其面积． 【详解】（1）解：∵点的“级牵挂点”为， ∴，， 即； （2）解：∵点Q的“4级牵挂点”为， 设点Q的坐标为，则， ， 解得， ∴点Q的坐标为； （3）解：∵点的“2级牵挂点”为， ∴，， 即， ∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； （4）解：∵点的“2级牵挂点” 为， ∴，， 即， ∵点在第二象限 ， ∴， 解得， ∴c的最大整数为， ∴，如图： ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义——点的“k级牵挂点”．熟练掌握新定义，直角坐标系中坐标轴上的点的坐标特征，各象限的点的坐标特征，图形平移及图形面积的计算，通过阅读材料归纳出级牵挂点的计算方法是解题关键． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且，满足． (1)直接写出，，的坐标：_____，_____，_____； (2)平移线段得到线段，连接，则四边形是平行四边形，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，点在四边形内部，满足． （提示：，分别表示三角形，三角形的面积） ①求，满足的数量关系； ②若，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)84 (3)①；② 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移、非负数的性质、解一元一次方程，熟练掌握点平移的性质，再由三角形面积公式求出三角形面积，由面积建立等量关系求解是关键． （1）利用算术平方根和绝对值的非负性求得a、b值即可求解； （2）利用坐标与图形性质及平行四边形的面积公式求解即可； （3）①设，由点平移可求，分别求出，，由已知可得； ②分别求出，，再由已知可得，求出m即可求Q点坐标． 【详解】（1）解：∵，满足， ∴，， 解得,， ∴，，； （2）解：由（1）得，， ∴求平行四边形的面积为； （3）解：①设， ，，， ， ∵平移线段至线段， ∴， ∵，， ∵， ， ， ②由①得， 由图可得：， ， ， ， ， ． 【变式9-3】在平面直角坐标系中，点A 的坐标 (1)若点 A 在x轴上，求点 A 的坐标； (2)若点 A 在过点 且与y轴平行的直线上，求点 A 的坐标； (3)若将点 A 沿与x轴平行的直线平移2个单位后恰好落在y轴上，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及坐标的平移，正确理解平面直角坐标系中点的坐标特征及坐标的平移是解题的关键． （1）根据x轴上点的纵坐标为0列方程求解，得到x的值，再代入即可； （2）根据点 A 和点 B的坐标轴相等，求得x的值，再代入即可； （3）分点A在y轴左侧和右侧两种情况，根据平移的规律列方程求解即可． 【详解】（1）解: 若点A在x轴上， ， 解得 ， ； 点 A 的坐标为； （2）解：点A在过点 )且与y轴平行的直线上， ， 解得， ， 点 A 的坐标为； （3）解：当点A在y轴左侧时， ， 解得， 当点A在y轴右侧时， ， 解得， 故x的值为： 或 ． 【考点题型十】坐标与图形的变化--轴对称（） 【例10】已知A、B两点关于y轴对称，若点，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解题关键是掌握坐标点的特征：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横、纵坐标互为相反数．利用关于y轴对称的点的坐标特征求解，即可得到答案． 【详解】解：点A与点B关于y轴对称，且点A的坐标为， ， 故选：C． 【变式10-1】平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标为， 故选：B． 【变式10-2】在平面直角坐标系中，点，关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，直接利用关于轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出的值，进而即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点，关于轴对称， ∴，， ∴， 故选：． 【变式10-3】在解放军建军90周年阅兵中，多架飞机排出“90”字样列阵长空，象征人民军队走过了90年的光辉历程．如图，以飞机D，E所在的直线为x轴、过点A且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机B的坐标为，飞机C与飞机B到x轴的距离相等．且到y轴的距离也相等，则飞机C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了关于坐标轴对称的点的坐标．根据关于y轴轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数进行解答即可． 【详解】解：∵由题意可知飞机B和飞机C关于y轴轴对称，飞机B的坐标为， ∴飞机C的坐标为， 故选：B． 【变式10-4】一束光线从点发出，经过轴上的点C反射后到达轴上点，则光线从A点到B点经过的路线长是（   ） A．6 B．8 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的轴对称及勾股定理的应用，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等难度题目．作关于轴的对称点，连接，交轴于点，作，，先证明点三点在同一直线上，在中，利用勾股定理即可求出，也就求出了从点到点经过的路线长． 【详解】解：如图，作关于轴的对称点，连接，交轴于点， 作，交轴于点， 则关于轴的对称点坐标是，，， 由光线反射的性质可得：， ， 点三点在同一直线上， ， ， 故光线从点到点所经过的路程． 故选：C 【考点题型十一】坐标系中的动点问题（） 【例11】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以、为边作矩形；动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动；当移动时间为8秒时，的值（   ） A．30 B． C．60 D．120 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，二次根式的乘法，利用数形结合的是思想解决问题是关键．连接、，先根据坐标求出，由矩形的性质可知，，当移动时间为8秒时，，，进而得到点、的坐标，从而求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 以、为边作矩形， ，， 当移动时间为8秒时，，， ， ，， ， ， 故选：D． 【变式11-1】如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律变化问题，由已知坐标可得点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化，据此解答即可求解，由已知坐标找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化， ∴点的横坐标为， ， ∴点的纵坐标为， 的坐标为， 故答案为：． 【变式11-2】如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C坐标分别为、，且轴，交y轴于M点，交x轴于N，一动点P从A出发，以个单位/秒的速度沿折线向终点D运动． (1)B点坐标为_________，D点坐标为_________，长方形的面积为_________； (2)如图1，当点P在线段上时，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使三角形的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)，；30； (2)，理由见解析 (3)存在，或24 【分析】本题考查坐标与图形，平行线的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）根据长方形的性质，结合点的坐标，求出的坐标，进而求出的长，利用面积公式求出长方形的面积即可； （2）作，根据平行线的性质，进行求解即可； （3）分P在线段上，P在线段上，P在线段上，三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴，，， ∵轴， ∴轴，轴， ∵点A、C坐标分别为、， ∴，， ∴， ∴长方形的面积为； （2），理由如下： 作， ， ， ， ， 即； （3）存在． ①当P在线段段时， 由题意，得：， ， 三角形的面积等于长方形面积的， ； ②当P在线段段时，三角形的面积不变，不等于长方形面积的，不合题意，舍去 ③当P在线段段时， ， ， 三角形的面积等于长方形面积的， ， 解得； 或24． 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C． (1)点C的坐标为__________； (2)P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标． 【答案】(1)； (2)或或； (3)． 【分析】本题考查平面直角坐标系点的坐标和线段长度间的关系，算术平方根的意义等知识，解决问题的关键是转化面积相等的条件． （1）根据平面直角坐标系的坐标特征，进而求得点坐标； （2）由三角形面积公式，求得的长，分为当点到O点之前和到O点之后进行分类讨论，进一步求得结果； （3）先由一次函数和求出M点坐标，由得出，进而求得点坐标． 【详解】（1）解： ，，且轴，轴， ； 故答案为：； （2）当点P 在线段BO上运动时， 由得， ， ， 当P、Q都未到达O点时 ∴ ∴或， 当P到达O点，Q点未达到O点时， 此时 综上所述：或或； （3）设点， ，，， 直线的解析式是：， ， ，且M在线段AB上 ∴ ∴ 解得∴ ， ， ， ∴， ． 【考点题型十二】坐标与旋转规律问题（） 【例12】如图，将折线绕点顺时针旋转得到一段新的折线，再将新的折线绕点顺时针旋转……以此类推，得到一段连续的折线，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标规律探究，观察图象可知，，的纵坐标以为一组进行循环，进而求出的坐标即可． 【详解】解：由题意，如图， 可知：在轴上，且，的纵坐标以为一组进行循环， ∴，即一个循环，横坐标增加5，且在一个循环内横坐标的变化为， ∴， ∴， ∵， ∴的纵坐标为，横坐标为：， ∴， 故选C． 【变式12-1】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律，是解题的关键．根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：B． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转中的坐标规律探究，根据题意，每旋转6次回到原位置，利用判断第2025次旋转后，点所在的位置，进行求解即可． 【详解】解：∵，，点， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转次，回到原来的位置， ∵， ∴第2025次旋转后，与第三次旋转后的位置相同，如图： 作轴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故第2025次旋转后，点的坐标为； 故选D． 【变式12-3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．连接，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，……，以此类推，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、图形规律、含30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，发现坐标点的变化规律成为解题的关键． 如图：过P作轴于A，过作轴于B，依次求得、、、、、，进而得到规律、、、、、，然后运用规律求解即可． 【详解】解：如图：过P作轴于A，过作轴于B， ∵点的坐标为， ∴，，即， ∵将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段， ∴，， ∴，，即， 同理：，，，，， ∴，，，，，， ∵， ∴． 故答案为：． 一、单选题 1．如图，P1、P2、P3这三个点中，在第二象限内的有（    ） A．P1、P2、P3 B．P1、P2 C．P1、P3 D．P1 【答案】D 【详解】解：由图可知，P1在第二象限，点P2在y轴的正半轴上，点P3在x轴的负半轴上，所以，在第二象限内的有P1．故选D． 2．如图是丁丁画的一张脸的示意图，如果用表示左眼，用表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，由坐标系中点的特征解题即可． 【详解】建立平面直角坐标系，如图， 嘴的坐标为 故选：B． 【点睛】本题考查坐标确定位置，其中涉及建立直角坐标系，各象限点的坐标的特征等，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．下列说法错误的是(　　) A．平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同 B．平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同 C．若点P(a，b)在x轴上，则a＝0 D．(－3，4)与(4，－3)表示两个不同的点 【答案】C 【分析】根据平行于轴的直线上的所有点的纵坐标相同；平行于轴的直线上的所有点的横坐标相同；与表示两个不同的点；若点在轴上，则，等知识进行判断即可． 【详解】解：若点在轴上，则，故C错误，符合题意； 平行于轴的直线上的所有点的纵坐标相同，平行于轴的直线上的所有点的横坐标相同，与表示两个不同的点，故A，B，D说法正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了对平面坐标中点的位置的理解，解题的关键是注意平行于坐标轴的直线上点的坐标特点：平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于轴的直线上所有点的横坐标相等． 4．点P在第三象限，且它到x轴、y轴的距离分别为3和4，则点P的坐标为(　　) A．(4，－3 ) B．(3，4) C．(－3，4) D．(－4，－3) 【答案】D 【分析】根据点P所在的象限确定其横、纵坐标的符号，再由点P到x轴、y轴的距离即可确定点P的坐标． 【详解】因为点P在第三象限，所以其横、纵坐标都为负数， 又因为点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4， 所以点P的横坐标为-4，纵坐标为-3， 所以点P的坐标为（-4，-3）， 故选D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一、二、三、四象限内各点的符号分别为（+，+）、（-，+）、（-，-）、（+，-）． 5．在平面直角坐标系中，将点P(3，6)向左平移4个单位，再向下平移8个单位后，得到的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】因为将P（3,6）向左平移4个单位长度,再向下平移8个单位长度后,得到的点坐标是(－1,－2), 根据坐标系内点的坐标特征可得,点(－1,－2)在第三象限, 故选C. 6．若点A(1，2)关于x轴对称的点是B，点B关于y轴对称的点是C，则点C的坐标是(　　) A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，－2) D．(－2，1) 【答案】A 【分析】根据关于x轴和y轴对称点的性质即可解答． 【详解】点A（1，2）关于x轴对称的点B的坐标是（1，-2）． 点B（1，-2）关于y轴对称的点C的坐标是：（-1，-2）， 故选A． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 7．已知点A(1，0)，B(0，2)，点P在x轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标是(   ) A．(﹣4，0) B．(6，0) C．(﹣4，0)或(6，0) D．(0，12)或(0，﹣8) 【答案】C 【分析】设出P点坐标根据两点距离公式表示PA的长，在用三角形的面积公式求出a的值即可． 【详解】解：设P（a，0）， ∴PA＝|a﹣1|， ∵△PAB的面积为5， ∴ ×2×|a﹣1|＝5， |a﹣1|＝5， a﹣1＝±5， a﹣1＝5，a﹣1＝﹣5， ∴a＝6或a＝﹣4， ∴P（6，0）或（﹣4，0）； 故选C． 二、填空题 8．若点M(a－2，2a＋3)是y轴上的点，则a的值是 ． 【答案】2 【分析】根据y轴上的点的横坐标为0即可解答. 【详解】∵点M（a-2，2a+3）是y轴上的点， ∴点M的横坐标是0，即a-2=0， 解得：a=2 ． 故答案为2 ． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，熟知x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0是解决问题的关键． 9．已知点，且，，则点P在第 象限； 【答案】三 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据有理数的乘法、有理数的加法，可得a、b的符号，根据第三象限内点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案． 【详解】解：∵点，且，， ∴，， 点在第三象限， 故答案为：三． 10．如图，若棋盘中“帅”的坐标是(0，1)，“卒”的坐标是(2，2)，则“马”的坐标是 ． 【答案】（－2，2） 【分析】根据“帅”和“卒”的坐标得出原点的位置，即可求得“马”的坐标． 【详解】如图所示：“马”的坐标是：（-2，2）． 故答案为：（-2，2）． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 11．一只小虫在小方格组成的网格线上爬行，它的起始位置是点A(2，2)，先爬到点B(2，4)，再爬到点C(5，4)，最后爬到点D(5，6)，则小虫共爬了 个单位． 【答案】7 【分析】由题意可知，它初始位置是A（2，2），向右爬行2个单位到 B（2，4），再向上再爬行3个单位到C（5，4），最后向右爬行2个单位到D（5，6），由此即可解答． 【详解】从A（2，2），爬行到B（2，4），爬行了4-2=2个单位， 再爬行到C（5，4），又爬行了5-2=3个单位， 最后爬行到D（5，6），又爬行了6-4=2个单位， 所以小虫一共爬行了：2+3+2=7个单位． 故答案为7. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的位置的变化，注意小虫是沿横坐标爬行还是沿纵坐标爬行即可，题目比较简单． 12．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点，则a与b的数量关系是 ．    【答案】a+b=0 【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号，可得a与b的数量关系为互为相反数． 【详解】解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上， ∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|， 又∵点P（a，b）第二象限内， ∴b=-a，即a+b=0， 故答案为：a+b=0． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，解题时注意：第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，得出P点位置是解题关键． 13．已知一个正方形的一边上两个顶点O，A的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则另外两个顶点的坐标是 ． 【答案】（0，2），（2，2）或（0，－2），（2，－2） 【分析】已知正方形的一边上两个顶点O、A的坐标分别是（0，0）、（2，0），由此可得正方形的边长为2，根据正方形的性质即可得正方形另外两点的横坐标分别为2、0，纵坐标为2或-2，由此即可求得另外两个顶点的坐标. 【详解】∵正方形的一边上两个顶点O、A的坐标分别是（0，0）、（2，0）， ∴正方形的边长AO=2-0=2， ∴另两点的横坐标分别为2、0，纵坐标为2或-2， ∴另外两个顶点的坐标分别为（2，2），（0，2）或（2，-2），（0，-2）． 故答案为（2，2），（0，2）或（2，-2），（0，-2）． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，正方形的性质，根据已知点的坐标求出正方形的边长是解题的关键． 14．线段AB的长为5，点A在平面直角坐标系中的坐标为(3，－2)，点B的坐标为(3，x)，则点B的坐标为 ． 【答案】（3，3）或（3，﹣7） 【详解】∵线段AB的长为5，点A的坐标为（3，－2），点B的坐标为（3，x）， ∴点B在点A的左边时，横坐标为x=－2－5=－7， 点B在点A的右边时，横坐标为x=－2+5=3， ∴点B的坐标为（3，3）或（3，-7）． 故答案是（3，3）或（3，-7）． 15．如图，在平面内，线段，P为线段上的动点，三角形纸片的边所在的直线与线段垂直相交于点P，且满足．若点P沿方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为 ．    【答案】 【分析】先得到点C运动的路径为线段，点E运动的路径为，再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段，点E运动的路径为， 由平移的性质可知， 在中，∵， ∴ =， 故答案为：．    【点睛】主要考查轨迹、平移变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，点A关于x轴对称的点的坐标为(7x＋6y－13，y－x－4)，点A关于y轴对称的点的坐标为(4y＋2x－1，6x－4y＋5)，求点A的坐标． 【答案】点A的坐标是（－，）. 【分析】根据A点关于x轴的对称点的坐标与A点关于y轴对称点的坐标，可得7x＋6y－13＋4y＋2x－1＝0，y－x－4＋6x－4y＋5＝0，由此求得x、y的值，由此即可求得点A的坐标． 【详解】由题意，得7x＋6y－13＋4y＋2x－1＝0，y－x－4＋6x－4y＋5＝0， 解得x＝, y＝, 7x＋6y－13＝－，6x－4y＋5＝， ∴点A的坐标是（－，）. 【点睛】本题考查了关于x轴、关于y轴对称点的坐标，熟练运用点关于对称轴对称的规律是解决问题的关键． 17．如图是某镇的部分单位的示意图，图中每个小正方形的边长均为1，若用(2，5)表示图上镇政府的位置，用(－1，3)表示图上供电所的位置，试在图上建立平面直角坐标系，并用坐标表示出其他各单位的位置． 【答案】见解析. 【分析】根据镇政府及供电所的坐标，建立平面直角坐标系，再用坐标表示出其他各单位的位置即可． 【详解】根据镇政府及供电所的坐标，建立平面直角坐标系，如图所示.其他各单位的坐标为小学（3，6），中学（5，6），市场（4，2），公司（5，1），化工厂（－1，1）. 【点睛】本题考查了坐标确定位置，根据镇政府及供电所的坐标建立平面直角坐标系是解题关键． 18．在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：A(0，3)，B(1，－3)，C(3，－5)，D(－3，－5)，E(3，5)，F(5，7)，G(5，0). (1)点A到原点O的距离是________； (2)将点C沿x轴的负方向平移6个单位，它与点________重合； (3)连接CE，则直线CE与y轴是什么关系？ (4)点F到x轴、y轴的距离分别是多少？    【答案】（1）3；（2）D；（3）平行；（4）7，5 【分析】（1）根据A点坐标可得出A点在x轴上，即可得出A点到原点的距离； （2）根据点的平移的性质得出平移后的位置； （3）利用图形性质得出直线CE与坐标轴的位置关系； （4）利用F点的横纵坐标得出点F分别到x、y轴的距离． 【详解】（1）如图所示：A点到原点的距离是3； 故答案为3；    （2）将点C向x轴的负方向平移6个单位，它与点D重合； 故答案为D； （3）如图所示：CE∥y轴或CE⊥x轴； 故答案为CE∥y轴或CE⊥x轴； （4）点F到x轴的距离为7个单位，到y轴的距离为5个单位． 【点睛】此题主要考查了点的坐标性质以及平移的性质，根据坐标系得出各点的位置是解题关键． 19．如图，在直角坐标系中． (1)请写出各顶点的坐标； (2)若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出的坐标，并在图中画出平移后图形； (3)求出的面积． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)7 【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （2）根据网格结构找出平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出的坐标； （3）利用所在矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可． 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系的特点可得： ； （2）平移后的图形如图所示： 根据平移特点，向上平移2个单位纵坐标加2，再向左平移1个单位横坐标减1， 得：； （3）由三角形的面积等于三角形所在矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积， 得： ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系、平移作图和三角形面积公式，熟练掌握平移的规律特点及利用三角形所在矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积巧解三角形的棉结是解题的关键． 20．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3……已知A(1，2)，A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)；B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，将△OA3B3变换成△OA4B4后，点A4的坐标是________，点B4的坐标是________； (2)若按(1)中找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，推测点An的坐标是________，点Bn的坐标是________． 【答案】（1）每次变换后三角形的底边拉长为原来的2倍；（16，2）；（32，0）；（2）（2n，2）；（2n＋1，0）. 【分析】（1）观察图形，结合题意即可解答；（2）根据图形写出点A系列的坐标与点B系列的坐标，根据具体数值找到规律即可． 【详解】（1）每次变换后三角形的底边拉长为原来的2倍，（16，2），（32，0）； （2）∵A(1，2)，A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)…纵坐标不变为2，横坐标都和2有关，为2n， ∴An（2n，2）； ∵B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)…纵坐标不变为0，横坐标都和2有关为2n+1， ∴B的坐标为Bn（2n+1，0）； 故答案为（2n，2）；（2n+1，0）． 【点睛】本题考查了坐标与图形，依次观察各点的横纵坐标，得到规律是解决本题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 图形与坐标（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 求平面直角坐标系内点的坐标 (1)平面直角坐标系的定义:在平面内画两条互相垂直的数轴,其中一条叫横轴(x轴),另一条叫纵轴(y轴),它们的交点O是这两条数轴的原点.通常,横轴向右为正方向,纵轴向上为正方向,这样建立的两条数轴构成了平面直角坐标系. (2)建立了平面直角坐标系后,平面上的点与有序实数对一一对应. 清单02 建立恰当的平面直角坐标系确定点的坐标 构建的平面直角坐标系不同,则点的坐标也不同,在建立平面直角坐标系时,应使点的坐标简明. 方法技巧：建立平面直角坐标系的常见方法 (1)以某些特殊的线段所在的直线为x轴或y轴(如高线、中线等). (2)把对称图形的对称轴作为工轴或y轴. (3)以某个已知点为原点建立平面直角坐标系。 清单03 轴对称与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a.-b),关于y轴的对称点的坐标为(-a,b). 清单04 平移与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,将点(a,b)向右(或向左)平移k个单位长度,其像的坐标为(a+k,b)(或(a-k,b));将点(a,6)向上(或向下)平移k个单位长度,其像的坐标为(a,b+k)(或(a,b-k)). 【考点题型一】写出直角坐标系中点的坐标（） 【例1】如图所示，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知点在第三象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知点，解答下列各题． (1)点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标． (2)若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标． 【变式1-3】已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，则点P的坐标为_____ (2)若，且轴，则点P的坐标为_____ (3)若点P到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【考点题型二】求点到坐标轴的距离（） 【例2】在平面直角坐标系中，如果点在轴上，距离原点4个单位长度，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】若点的坐标为，则它到轴的距离为 ． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，点，点，若轴，则点的坐标是 ． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定于：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． ①在点中，为点的“等距点”的是 ； ②若点的坐标且两点为“等距点”，则点的坐标 ； 【考点题型三】判断点所在的象限（） 【例3】点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知点，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】在平面直角坐标系中，点所在的象限是第 象限． 【考点题型四】已知点所在的象限求参数（） 【例4】若平面直角坐标系内的点M在第四象限，且M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】点在第三象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，点在第二象限，到轴，轴的距离分别为，则点的坐标为 ． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，点位于第二象限（m为整数），则m的值为 ． 【考点题型五】点坐标规律探索（） 【例5】如图，在平面直角坐标系中有一系列格点，其中，且，是整数．记，如，即，，即，，即，…，以此类推，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，小球起始位置位于处，沿图中所示的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，一个点在第一，四象限及轴上运动，在第1次，它从原点运动到点，用了1秒，然后按图中箭头所示方向运动，即，它每运动一次需要1秒，那么第2025秒时点所在的位置的坐标是 ． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的希望点．已知点的希望点为，点的希望点为，点的希望点为，这样依次得到，，，，…，，若点的坐标为，请计算点的坐标为 ． 【考点题型六】实际问题中用坐标表示位置（） 【例6】若在象棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点，“象”位于点，则“炮”位于点（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ②当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ③当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ④当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 【变式6-2】七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具，可以阐明若干重要几何关系，其原理便是古算术中的“出入相补原理”．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图，是由七巧板拼成的正方形，若点Q的坐标为，点P的坐标为则点G的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图是一副象棋残局，将棋盘建立直角坐标系，若两个“卒”的坐标分别为，，那么“马”的坐标是（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】由平移的方式确定点的坐标（） 【例7】在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位，再向左平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在直角坐标系中，已知点，，线段向上平移后，的对应点分别为，若四边形是正方形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】在直角坐标系中，点关于轴的对称点为，将点向左平移3个单位得到点，则的坐标为 ． 【变式7-3】已知平面直角坐标系中，两点，将线段平移至，A点与C点对应，若，则D点的坐标为 ． 【考点题型八】已知图形的平移，求点的坐标（） 【例8】把平面直角坐标系中的一点向上平移2个单位长度后，点P的对应点刚好落在x轴上，则m的值为（   ） A． B． C．0 D．2 【变式8-1】已知 ，将线段 平移至，若，，则 的值为（    ） A． B． C．6 D．9 【变式8-2】如图，的边在x轴上，，将沿y轴向上平移得到，若恰好经过边的中点M，则点A的对应点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式8-3】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段向左平移2个单位长度，得到线段，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】平移综合题（） 【例9】在平面直角坐标系中，已知． (1)过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为，，则点的坐标为___________ (2)以原点为圆心，为半径画弧，与轴正半轴交于点，则三角形的面积为___________． (3)平移三角形，使点移动到． ①平移后，原点的对应点为的坐标为___________； ②画出平移后的三角形； ③四边形的面积___________． 【变式9-1】阅读理解，解答下列问题： 在平面直角坐标系中，对于点若点B的坐标为，则称点B为点A的“k级牵挂点”，如点的“2级牵挂点”为，即． (1)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标； (2)已知点Q的“4级牵挂点”为，求Q点的坐标； (3)已知点的“2级牵挂点”在x轴上，求点的坐标； (4)如果点的“2级牵挂点”在第二象限，当c取最大整数时，过点作轴于点，连接，将向右平移4个单位长度得到，其中、、的对应点分别为、Q、D，连接，直接写出四边形的面积为 ． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且，满足． (1)直接写出，，的坐标：_____，_____，_____； (2)平移线段得到线段，连接，则四边形是平行四边形，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，点在四边形内部，满足． （提示：，分别表示三角形，三角形的面积） ①求，满足的数量关系； ②若，求点的坐标． 【变式9-3】在平面直角坐标系中，点A 的坐标 (1)若点 A 在x轴上，求点 A 的坐标； (2)若点 A 在过点 且与y轴平行的直线上，求点 A 的坐标； (3)若将点 A 沿与x轴平行的直线平移2个单位后恰好落在y轴上，求x的值． 【考点题型十】坐标与图形的变化--轴对称（） 【例10】已知A、B两点关于y轴对称，若点，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】在平面直角坐标系中，点，关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】在解放军建军90周年阅兵中，多架飞机排出“90”字样列阵长空，象征人民军队走过了90年的光辉历程．如图，以飞机D，E所在的直线为x轴、过点A且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机B的坐标为，飞机C与飞机B到x轴的距离相等．且到y轴的距离也相等，则飞机C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式10-4】一束光线从点发出，经过轴上的点C反射后到达轴上点，则光线从A点到B点经过的路线长是（   ） A．6 B．8 C．10 D． 【考点题型十一】坐标系中的动点问题（） 【例11】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以、为边作矩形；动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动；当移动时间为8秒时，的值（   ） A．30 B． C．60 D．120 【变式11-1】如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为 ． 【变式11-2】如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C坐标分别为、，且轴，交y轴于M点，交x轴于N，一动点P从A出发，以个单位/秒的速度沿折线向终点D运动． (1)B点坐标为_________，D点坐标为_________，长方形的面积为_________； (2)如图1，当点P在线段上时，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使三角形的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值；若不存在说明理由． 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C． (1)点C的坐标为__________； (2)P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标． 【考点题型十二】坐标与旋转规律问题（） 【例12】如图，将折线绕点顺时针旋转得到一段新的折线，再将新的折线绕点顺时针旋转……以此类推，得到一段连续的折线，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．连接，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，……，以此类推，则点的坐标为 ． 一、单选题 1．如图，P1、P2、P3这三个点中，在第二象限内的有（    ） A．P1、P2、P3 B．P1、P2 C．P1、P3 D．P1 2．如图是丁丁画的一张脸的示意图，如果用表示左眼，用表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（    ）． A． B． C． D． 3．下列说法错误的是(　　) A．平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同 B．平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同 C．若点P(a，b)在x轴上，则a＝0 D．(－3，4)与(4，－3)表示两个不同的点 4．点P在第三象限，且它到x轴、y轴的距离分别为3和4，则点P的坐标为(　　) A．(4，－3 ) B．(3，4) C．(－3，4) D．(－4，－3) 5．在平面直角坐标系中，将点P(3，6)向左平移4个单位，再向下平移8个单位后，得到的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若点A(1，2)关于x轴对称的点是B，点B关于y轴对称的点是C，则点C的坐标是(　　) A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，－2) D．(－2，1) 7．已知点A(1，0)，B(0，2)，点P在x轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标是(   ) A．(﹣4，0) B．(6，0) C．(﹣4，0)或(6，0) D．(0，12)或(0，﹣8) 二、填空题 8．若点M(a－2，2a＋3)是y轴上的点，则a的值是 ． 9．已知点，且，，则点P在第 象限； 10．如图，若棋盘中“帅”的坐标是(0，1)，“卒”的坐标是(2，2)，则“马”的坐标是 ． 11．一只小虫在小方格组成的网格线上爬行，它的起始位置是点A(2，2)，先爬到点B(2，4)，再爬到点C(5，4)，最后爬到点D(5，6)，则小虫共爬了 个单位． 12．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点，则a与b的数量关系是 ．    13．已知一个正方形的一边上两个顶点O，A的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则另外两个顶点的坐标是 ． 14．线段AB的长为5，点A在平面直角坐标系中的坐标为(3，－2)，点B的坐标为(3，x)，则点B的坐标为 ． 15．如图，在平面内，线段，P为线段上的动点，三角形纸片的边所在的直线与线段垂直相交于点P，且满足．若点P沿方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为 ．    三、解答题 16．在平面直角坐标系中，点A关于x轴对称的点的坐标为(7x＋6y－13，y－x－4)，点A关于y轴对称的点的坐标为(4y＋2x－1，6x－4y＋5)，求点A的坐标． 17．如图是某镇的部分单位的示意图，图中每个小正方形的边长均为1，若用(2，5)表示图上镇政府的位置，用(－1，3)表示图上供电所的位置，试在图上建立平面直角坐标系，并用坐标表示出其他各单位的位置． 18．在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：A(0，3)，B(1，－3)，C(3，－5)，D(－3，－5)，E(3，5)，F(5，7)，G(5，0). (1)点A到原点O的距离是________； (2)将点C沿x轴的负方向平移6个单位，它与点________重合； (3)连接CE，则直线CE与y轴是什么关系？ (4)点F到x轴、y轴的距离分别是多少？    19．如图，在直角坐标系中． (1)请写出各顶点的坐标； (2)若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出的坐标，并在图中画出平移后图形； (3)求出的面积． 20．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3……已知A(1，2)，A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)；B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，将△OA3B3变换成△OA4B4后，点A4的坐标是________，点B4的坐标是________； (2)若按(1)中找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，推测点An的坐标是________，点Bn的坐标是________． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$