精品解析：广东省深圳市宝安区振兴学校2024-2025学年九年级上学期期中模拟数学试题

2024-2025学年度九年级第一学期期中质量检测 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．据此判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误； B、分母含有未知数，不是一元二次方程，故此选项错误； C、是一元二次方程，故此选项正确； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：C． 2. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ） 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850 “射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85 A. 0.84 B. 0.85 C. 0.86 D. 0.87 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，根据大量的试验结果稳定在0.85即可得出结论． 【详解】解：根据表格知，从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.85， 则该运动员“射中九环以上”的概率是0.85． 故选：B． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 4. 如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，根据题意逐一对选项分析即可得出答案． 【详解】解：A、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故A错误； B、因为，所以为菱形，但不能证明为正方形，故B正确； C、因为，所以为矩形，又因为所以为正方形，故C错误； D、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故D错误； 故选：B． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故选：B． 6. 菱形中，对角线、交于点O，，，则菱形的高长度为（ ） A. B. C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，孰练掌握菱形的相关性质，勾股定理是解决本题的关键． 根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 8. 如图，中，平分，交于E，交于F，若，则四边形的周长是（　　） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，根据、即可得出四边形为平行四边形，再根据平分即可得出，即，从而得出平行四边形为菱形，根据菱形的性质结合即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形，． ∵平分， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形． ∵， ∴． 故选：A． 9. 如图，在和中，，，M是的中点，连接，，若，则的面积为（　　） A. 12 B. C. 15 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 过M作于E，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：过M作于E， ，M是的中点， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 的面积为 ， 故选：A． 10. 边长为2的正方形中，M是的中点，以为折痕将翻折，使B落在E处，延长交于F，求的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对折叠性质、勾股定理、三角形的全等判定和性质，熟练掌握对折的性质是解题的关键； 根据翻折的性质，及正方形的性质得，在证明，得，分别表示出，，，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：四边形是边长为2的正方形， ，， 以为折痕将翻折得， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 设，， M是的中点， ， ， 在中， ， 即， 解得：， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如果直角三角形的斜边长8，那么斜边中线的长是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的斜边长为8， ∴它斜边上的中线长为， 故答案为：4． 12. 一元二次方程的一次项系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据题意，将所给方程化为一般形式即可解决问题，熟知一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【详解】解：由题知，原方程可化为：， 所以此一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 13. 不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为4， ∴两次摸出的球都是黄球的概率为． 故答案为： 14. 如图，以矩形的顶点为圆心，长为半径画弧交的延长线于；过点作交于点，连接，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得，，则，再证明四边形是平行四边形，由作图得，则四边形是菱形，所以，则，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， 由作图得， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 15. 如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案 【详解】∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵，点是的中点， ∴ 故答案为： 三、解答题 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），， （2），， 【解析】 【分析】本题主要解一元二次方程： （1）二次系数为1，一次项系数为偶数，利用配方法解方程容易； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，即可解方程． 【小问1详解】 解： ， ， ∴， ∴，， 【小问2详解】 ， ， ∴， ∴，， 17. 如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，． 为边上的中点， ， ，， 四边形是平行四边形． 为边上的中点，， ， ， 四边形是矩形． （2） 解：四边形是正方形， 理由：，， 是等腰直角三角形． 为边AB上的中点． ． 由（1），可知四边形是矩形， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，可得，再利用平行四边的性质得到，且证明四边形是平行四边形，即可解答； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为． （1）直接写出袋中黄球的个数； （2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率． 【答案】（1）袋中黄球的个数1个 （2）“取出至少一个红球”的概率为 【解析】 【分析】本题考查了概率的实际应用，掌握概率公式以及树状图或列表法是解题关键． （1）设袋中的黄球个数为x个，根据任意摸出一个球是蓝球的概率为，即可建立方程求解； （2）画出树状图，根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：设袋中的黄球个数为x个， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴袋中黄球的个数1个； 【小问2详解】 解：画树状图得： 一共有种等可能的情况数，其中“取出至少一个红球”的有种， 则“取出至少一个红球”概率是． 19. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分． （1）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论． （2）根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 20. 某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价； （1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率； （2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？ 【答案】（1）20% （2）当该商品每个销售定价为75元时，进货250个 【解析】 【分析】（1）设该小家电出厂平均每年下调的百分率为，则2020年该小家电出厂价是每台，则2021年该小家电出厂价是每台，根据到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元可列方程为，解方程即可； （2）根据利润售价进价，进而求出即可． 【小问1详解】 设平均每年下调的百分率为，根据题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：平均每年下调的百分率为20%； 【小问2详解】 设每个商品的定价是元， 由题意可得： 解得：，， 当时，进货个，不符合题意，舍去； 当时，进货个，符合题意． 答：当该商品每个销售定价为75元时，进货250个． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键． 21. 下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个内角为45°角的菱形”的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：菱形，使． 作法： ①作的角平分线； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点E； ③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连结、． 则四边形即为所求作的菱形． （1）请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）填空： ①四边形是菱形的依据__________________； ②连结、，四边形的形状是______，依据是__________________． 【答案】（1） 如图所示，     （2）①四条边都相等的四边形是菱形；②平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据作法可知：，由此即可得出四边形是菱形 （2）根据菱形和矩形性质可证明，，继而判定四边形是平行四边形. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由作法可知：， ∴四边形是菱形， 依据是：四条边都相等的四边形是菱形； ②连结、， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 故答案为：①四条边都相等的四边形是菱形；②平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【点睛】本题考查了基本尺规作图（作线段等于已知线段）、平行四边形的判定和性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质、正确的识别图形是解题的关键． 22. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 （1）如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． （4）如图，正方形中，，，求的面积． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）； （3）； （4）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （2）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （3）由（2）得，，设，则，求出，，最后用面积公式即可求解； （4）过作，交延长线于点，由四边形是正方形得，，根据同角的余角相等得，证明，根据全等三角形的性质得，最后用面积公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：由（2）知：，， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （4）解：如图，过作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级第一学期期中质量检测 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ） 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850 “射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85 A. 0.84 B. 0.85 C. 0.86 D. 0.87 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 菱形中，对角线、交于点O，，，则菱形的高长度为（ ） A. B. C. 12 D. 13 7. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，平分，交于E，交于F，若，则四边形的周长是（　　） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 9. 如图，在和中，，，M是的中点，连接，，若，则的面积为（　　） A. 12 B. C. 15 D. 24 10. 边长为2的正方形中，M是的中点，以为折痕将翻折，使B落在E处，延长交于F，求的长为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如果直角三角形的斜边长8，那么斜边中线的长是______． 12. 一元二次方程的一次项系数是______． 13. 不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率是______． 14. 如图，以矩形的顶点为圆心，长为半径画弧交的延长线于；过点作交于点，连接，则_________． 15. 如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为___________． 三、解答题 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 18. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为． （1）直接写出袋中黄球的个数； （2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率． 19. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 20. 某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价； （1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率； （2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？ 21. 下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个内角为45°角的菱形”的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：菱形，使． 作法： ①作的角平分线； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点E； ③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连结、． 则四边形即为所求作的菱形． （1）请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）填空： ①四边形是菱形的依据__________________； ②连结、，四边形的形状是______，依据是__________________． 22. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 （1）如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． （4）如图，正方形中，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $