精品解析：2025年辽宁省铁岭市铁岭县中考模拟数学 试题（一 ）

2025年铁岭县中考模拟考试 数学试卷（一） （本试卷共23道题满分120分 考试时间共120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 几种气体的沸点（标准大气压）如下表： 气体 氢气 氮气 氧气 氦气 沸点温度（℃） 其中沸点最低的气体是（ ） A. 氢气 B. 氮气 C. 氧气 D. 氦气 2. 小明家有一个老物件，把它抽象成如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 在年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 中国的航天技术已跨入世界先进行列．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一．在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹(图1)，抽象得到图2，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一个暗箱中放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中只有个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算的值是（ ） A. 15 B. 10 C. 4 D. 3 8. 如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中．分别以点B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与交于点M，O，N，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程=1的解是_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，将沿轴负方向平移后，得到．若，则点的对应点的坐标是______． 13. 如图，与交于点，且．若，则__________． 14. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，在轴的正半轴上，与y轴交于点E，与轴交于点．若的面积为6，则的值是__________． 15. 如图，抛物线的顶点为对称轴为直线．点的坐标为，是抛物线上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，当点落在直线上时，点的坐标为_____． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 18. 为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”．为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级20名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． b．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示： c．七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示： 年纪 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 n 7 八年级 m 8 p 请你根据以上提供信息，解答下列问题： （1）上表中m＝______，n＝______，p＝______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共400名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数． 19. 某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 20. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部B的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果精确到）（参考数据： ，） 21. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）当，时，求长． 22. 【问题初探】 （）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，求证：； 小创同学从与均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为； 小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路：如图，在线段上截取，连接，通过证明，将转化为；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，过点作交于点，探究与数量关系； （）如图，在（）的条件下，当时，若，，求的长． 23. 定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个顶点，则函数是的“勾股函数”，函数经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为，，且，当自变量满足时，此时函数的最大值记为，最小值记为，则称是的“”值． 已知：在平面直角坐标系中，，轴． （1）如图，若点的坐标为，． ①一次函数是的“勾股函数”吗？若是，说明理由并求出的“”值；若不是，请说明理由． ②是否存在反比例函数是的“勾股函数”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （2）若点A的坐标为，点B的坐标为，二次函数是的“勾股函数” ①若二次函数经过两点，求的“”值． ②若二次函数经过两点，且的“”值，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年铁岭县中考模拟考试 数学试卷（一） （本试卷共23道题满分120分 考试时间共120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 几种气体的沸点（标准大气压）如下表： 气体 氢气 氮气 氧气 氦气 沸点温度（℃） 其中沸点最低的气体是（ ） A. 氢气 B. 氮气 C. 氧气 D. 氦气 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较， 根据负数相比较，绝对值大的反而小，即可得出答案． 【详解】解：由， ∵， ∴， 所以沸点最低的气体是氦气． 故选：D． 2. 小明家有一个老物件，把它抽象成如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是简单几何体的三视图，根据从上面看到的是带直径的圆可得答案． 【详解】解：这个几何体的俯视图是： 故选：D 3. 在年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，有理数的除法，熟练掌握大数的科学记数法的表示方法是解题的关键．先求得前三日平均每天的票房为元，再利用科学记数法表示． 【详解】解：亿， 前三日平均每天的票房为（元）， ， 故选：C． 4. 中国的航天技术已跨入世界先进行列．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，掌握运算法则是解题的关键． 6. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一．在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹(图1)，抽象得到图2，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 延长交于点F，利用平行线的性质和三角形外角性质计算即可． 【详解】如图，延长交于点F， ， ，，， ∴，， 故选：C． 7. 一个暗箱中放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中只有个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算的值是（ ） A. 15 B. 10 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】因为除了颜色其他完全相同的球，在摸的时候出现的机会是均等的，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的可能性稳定在20%，可知红球占总球数大约就是20%，问题就转化成了一个数的20%是2，求这个数，用除法计算即可． 【详解】解：根据题意得： 2÷20%=10（个）， 答：可以估算a值是10； 故选B． 【点睛】考查了利用频率估计概率，解题关键是首先通过实验得到事件的频率，然后利用频率估计概率． 8. 如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再根据图象求解． 【详解】解：当时，， 解得：， ， 由图象得：不等式的解集为：， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数与一次不等式，理解数形结合思想是解题的关键． 9. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设马每匹x两，牛每头y两，由“马四匹、牛六头，共价四十八两”可得，根据“马二匹、牛五头，共价三十八两，”可得，即可求解． 【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可得 故选B 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意列出方程组是解题的关键． 10. 如图，在矩形中．分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与交于点M，O，N，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，中垂线的性质，解直角三角形，先证明，得到，解直角三角形求出的长即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∴ 由作图可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程=1的解是_______． 【答案】x=1 【解析】 【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可． 【详解】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1， 解得x=1． 检验：当x=1时，x+1=2≠0． 所以原方程的解为x=1． 故答案为：x=1． 【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，将沿轴负方向平移后，得到．若，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：∵的顶点的坐标分别为，，， ∴， ∴点平移至点C的坐标为，即． 故答案为： 13. 如图，与交于点，且．若，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，在轴的正半轴上，与y轴交于点E，与轴交于点．若的面积为6，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数解析式． 设，，则，，根据，得到，再由点在反比例函数的图象上，即可解答． 【详解】解：设，， ∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案： 15. 如图，抛物线的顶点为对称轴为直线．点的坐标为，是抛物线上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，当点落在直线上时，点的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，解一元二次方程，先求出抛物线解析式为，设，过点作于点，过点作交的延长线于点，证明，然后根据性质和解一元二次方程即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解析 ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵是抛物线上一点， ∴设， 如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，解得，， ∴点的里沶为或， 故答案：或． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，分式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据有理数的乘方，绝对值的意义，立方根的意义求解即可； （2）先算括号内，再把除法变成乘法进行运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： = ． 17. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 【答案】（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生 （2）至少种植甲作物5亩 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用， （1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生； 【小问2详解】 解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， 答：至少种植甲作物5亩． 18. 为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”．为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级20名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． b．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示： c．七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示： 年纪 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 n 7 八年级 m 8 p 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）上表中m＝______，n＝______，p＝______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共400名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数． 【答案】（1）7.5，7，7.5 （2）八年级，理由见解析 （3）360人 【解析】 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的计算方法求解即可得出m、n、p的值； （2）从中位数、众数的角度回答即可； （3）求出七、八年级的总体合格率，利用总体乘以合格率计算即可即可． 【小问1详解】 解：由条形图得：（分）， 七年级20名学生的测试成绩排序为： 5、5、6、6、6、7、7、7、7、7、7、8、8、8、9、9、9、9、10、10， 七年级学生成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此七年级学生成绩的众数为7分，即n=7； 八年级学生成绩是20名学生测试成绩中位数位于，11两个位置数据的平均数， 从小到大排列后处在中间位置的两个数的测试成绩为7分，8分 平均数为（分）， 因此八年级学生成绩的中位数是7.5分，即p=7.5； 故答案为：7.5，7，7.5； 【小问2详解】 解：根据表格七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 7 7 八年级 7.5 8 7.5 ∵七年八年学生测试成绩平均数相同，八年级学生测试成绩中位数与众数都比七年级学生测试成绩高 ∴八年级学生掌握垃圾分类知识较好； 【小问3详解】 解：∵6分及6分以上为合格 七年级与八年级学生测试成绩合格人数分别为：18人, 占七八年各随机抽取20名学生的测试成绩的百分比为： 该校七、八年级共400名学生参加此次测试活动成绩合格的学生有（人）， 答：我校七、八年级400名学生中测试成绩合格的大约有360人． 【点睛】本题考查了条形统计图、统计表，中位数、众数、平均数的意义，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握中位数、平均数、众数、样本的百分比含量的计算方法是正确解答的前提． 19. 某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1） （2）这种干果每千克应降价25元或5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键． （1）设一次函数解析式为：由题意得出：当，；当，；得出方程组，解方程组即可； （2）由题意得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：（1）设一次函数解析式为： 当，；当，， ， 解得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得，， 整理得， 解得：，， 答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元． 20. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部B的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果精确到）（参考数据： ，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，再利用含角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， 在中，的坡度为，， ∴， ∴， ∴， 即的长为； 小问2详解】 过点作，垂足为， 根据题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度的意义，角的直角三角形，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识点．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 21. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直径对的圆周角是直角，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到．根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到．求得．连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ． ． ， ． ∵， ． ． ． 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ． ． ∴． ． ． 如图，连接， 平分， ． ． ． 是的直径， ． ． ． 22. 【问题初探】 （）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，求证：； 小创同学从与均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为； 小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路：如图，在线段上截取，连接，通过证明，将转化为；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，过点作交于点，探究与的数量关系； （）如图，在（）的条件下，当时，若，，求的长． 【答案】（）证明见解析；（）；（）． 【解析】 【分析】（）选择小创同学的解题思路：由等腰直角三角形的性质可得，，，，进而得到，，即可得到，得到，即可求证； 选择小新同学的解题思路：在线段上截取，连接，可得，又根据等腰直角三角形的性质可得，进而得，，由得，得到，即可证明，得到； （）同理（）小新同学的解题思路解答即可求解； （）延长，相交于点，过点作的延长线于点，过点作于，在在线段上截取，连接，过点作于，则，，由得，，，解直角三角形得，，由可得，得到，由得到，得，，设，则，，由得，得，即得，，由（）知，可证，得到，解直角三角形求出，得到，即可求解． 【详解】解：（）选择小创同学的解题思路： ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择小新同学的解题思路： 如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （）如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）如图，延长，相交于点，过点作的延长线于点，过点作于，在线段上截取，连接，过点作于，则，， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴，， 又由（）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又由（）知，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个顶点，则函数是的“勾股函数”，函数经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为，，且，当自变量满足时，此时函数的最大值记为，最小值记为，则称是的“”值． 已知：在平面直角坐标系中，，轴． （1）如图，若点的坐标为，． ①一次函数是的“勾股函数”吗？若是，说明理由并求出的“”值；若不是，请说明理由． ②是否存在反比例函数是的“勾股函数”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （2）若点A的坐标为，点B的坐标为，二次函数是的“勾股函数” ①若二次函数经过两点，求的“”值． ②若二次函数经过两点，且的“”值，直接写出的值． 【答案】（1）（1）①一次函数是的“勾股函数”，2；②5 （2）①存在，；②的值为4或或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二次函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． （1）①先求出A、B的坐标，然后根据的“勾股函数”的定义判断即可；根据一次函数的性质求出， ，最后根据的“”定义求解即可； ②根据的“勾股函数”的定义判断即可； （2）①先求出点C的坐标，然后根据待定系数法求出的解析式，根据二次函数的性质求出， ，最后根据的“”定义求解即可； ②先求出顶点坐标，然后分情况讨论：第一种情况，点B在点A上方，即，（i）当点B和点A在对称轴左侧；（ii）当对称轴在点A和点C之间，即；第二种情况，点B在点A下方，即，（i）当点B和点A在对称轴右侧，即，解得；（ii）当对称轴在点A和点C之间，即，讨论即可． 小问1详解】 解：①一次函数是的“勾股函数”， 由轴，点C坐标为，，可得： 点A的坐标为，点B的坐标为， ∵和这两点都在直线上， ∴一次函数是的“勾股函数”， ∵， ∴一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， ∴的“”值为2； ②存在，理由如下： ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴点A和点B在同一个反比例函数图象上， ∴反比例函数是的“勾股函数”，且； 【小问2详解】 解：①∵点A的坐标为，点B的坐标为，，轴， ∴， ∵二次函数经过A，C两点， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴当或2时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， ∴，即的“”值为； ②∵二次函数经过A，B两点， ∴将，代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 由， ∴顶点坐标为：， 第一种情况，点B在点A上方，即， （i）当点B和点A在对称轴左侧，即，解得， 此时随x的增大而减小， ∴，， ∴， ∴， 解得：， （ii）当对称轴在点A和点C之间，即， 此时最大，顶点y值最小， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴，都舍掉； 第二种情况，点B在点A下方，即， （i）当点B和点A在对称轴右侧，即，解得， 此时随x的增大而增大， ∴，， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴； （ii）当对称轴在点A和点C之间，即， 此时最大，顶点y值最小， ∴， ∴， 解得：，， 又， ∴； 综上所述，m的值为4，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$