2.2两条直线的位置关系___探索直线平行的条件和平行线的性质 讲义 2024—2025学年北师大版数学七年级下册

专题2.2 相交线与平行线：探索直线平行的条件和平行线的性质 知识点01：平行公理、推论及画法 1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 平行线的表示: 我们通常用符号“//”表示平行。 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③移：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 特别解读: 1. 经过直线上一点不可以做已知直线的平行线. 2. 画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线. 3. 移动是要始终保持紧靠. 3．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 4．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c。 平行线具有传递性。 a b c 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 知识点02：认识同位角、内错角、同旁内角（三线八角） 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示。 (1)同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 结构特征：形如字母“F”. (2)内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线l的两旁，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 结构特征：形如字母“Z”、“N”. (03)同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 结构特征：形如字母“U”、“C”. 注意： （1）同位角、内错角、同旁内角的判断要明确被截线和截线. （2）同位角、内错角、同旁内角体现的是一种位置关系，而不是数量关系. （3）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的. 知识点03：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 判定方法 （4）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线. 判定方法 （5）在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。 判定方法 （6）在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。 知识点7：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 题型01：平行线公理及推论 1.下列说法正确的是（　　） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．平角是一条直线 D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线 2.下列说法正确的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．永不相交的两条直线叫做平行线 C．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点 D．两点确定一条直线 3.下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c 4.下列说法中，正确的个数为（　　） （1）过一点有无数条直线与已知直线平行 （2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c （3）如果两线段不相交，那么它们就平行 （4）如果两直线不相交，那么它们就平行 A．1个A B．2个 C．3个 D．4个 5.若AB∥CD，AB∥EF，则　　∥　　，理由是　 　． 6．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（　　） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．没有确定关系 7．已知在同一平面内，有三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则直线a与直线c之间的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．垂直 D．平行或相交 8．在同一平面内，直线a、b、c中，若a⊥b，b∥c，则a、c的位置关系是　 ． 9．经过直线外一点，有且只有 　 　直线与这条直线平行． 10．下列说法中，正确的是（    ） A．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行 B．不相交的两条直线一定平行 C．有且只有一条直线垂直已知直线 D．连接直线外一点与直线各点的线段中，垂线段最短 11．下列说法正确的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； B．平面内，不相交的两条直线必平行； C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行； D．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离． 12．下列说法中，正确的个数有（  ） （1）过一点有无数条直线与已知直线平行 （2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c （3）在同一平面内，两条不重合的线段，如果它们不相交，那么就平行 （4）在同一平面内，两条不重合的直线，如果它们不相交，那么就平行 A．个 B．个 C．个 D．个 13．下列说法错误的是（   ） A．，则 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交 14．下列说法正确的是（　　） A．a、b、c是直线，若，则 B．a、b、c是直线，若，则 C．a、b、c是直线，若，则 D．a、b、c是直线，若，则 15.下列说法正确的个数是（    ）． （1）两条直线不相交就平行； （2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行； （5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直． A．0 B．1 C．2 D．4 16.如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（_______________________________________） 又因为（已知） 所以______________________（_______________________________________） 题型02：同位角，内错角，同旁内角 1．如图，在所标识的角中，对顶角是 　 ____ ；同位角是 　 ____ ；同旁内角是 　________　． 2． 如图所标的5个角中，∠1与 　 　是同位角，∠5与 　____　是同旁内角． 3．如图，∠1的同旁内角有 　　个． 4．如图所示，∠B和∠DCE是直线AB，DC被直线　 　所截形成的同位角；∠A的内错角有　 ． 5．如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠1与∠A是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠B与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是 　 　．（只填序号） 6.如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 7.如图，关于图中角与角的位置关系，描述有误的是（　　） A．∠1与∠3是对顶角 B．∠2与∠5是同位角 C．∠3与∠4是内错角 D．∠1与∠4是同旁内角 8.图中∠1与∠2是同位角的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9. 如图所示，直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是 　 _____ 　； 直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是 　 ________ 　； 图中∠4的内错角是 　 ____________ 　． 10.如图，直线l1、l2被直线l3所截，则∠1和∠2是 　__________ 　角． 11.如图，若AB，AF被ED所截，则∠1与 　 　是内错角． 12.如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是 　 　（填序号）． 题型03：平行线判定方法（同位角） 1.如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（     ） 12题图 A． B． C． D． 2.如图，点，，分别在的边，，上，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 3.如图，与交于点O，下列条件中①；②；③；④，能判断的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.根据要求完成下面的填空： 如图，直线，被所截，若已知．      （__________________）， 又（已知）， _______________________， ∴____________________（__________________________________）． 5.请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据： 如图，，与平行吗？为什么？      解：．理由如下： ∵（已知），∴________° 即________°（__________________________________） 又∵（__________________________________）， 且（已知） ∴（__________________________________） ∴（__________________________________） 6.如图，已知，，，．与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空或填写理由．    解：与平行；与平行，理由如下： ， （________）（________）（______________________________）； 又 （________） 同理可得（________） ∴（________）（________）（_____________________________）． 题型04：平行线判定方法（内错角） 1.如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　） A． B． C． D． 3.如图，下列能判定的条件有（　　） ① ② ③  ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图，交于，交于，交于，，，试判断和的位置关系，并说明为什么． 5.推理填空： 已知：如图于B，于C，，求证：．    证明：∵于B，于C （已知） ∴ ∴与互余，与互余 又∵（ ）， ∴ ＝ （ ） ∴（ ）． 6．如图，直线交于点O，分别平分和，已知，且． (1)求的度数；(2)试说明的理由． 题型05：平行线判定方法（同旁内角） 1.如图，以下四个条件：①； ②；③；④平分∠且，其中能判断直线的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2.如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 3.如图，直线，被所截得的同旁内角为，，要使，只要使（　　） A． B． C． D．， 4.如图，已知直线被直线所截，平分，平分，，吗？为什么？ 解：∵平分，平分（已知）， ∴___________，___________， ∴___________（_________________________________）， ∵（_________________________________）， ∴___________°， ∴． 5.如图，．试说明，根据图形，完成下列推理： ∵（已知） ∴（等量代换） ∴________//_________（___________________________） ∵相交， ∴（________________________） ∵ ∴ ∴___________（_______________________________） 6.完成下面的证明． 已知：如图，直线a，b，c被直线l所截，，．求证：．    证明：∵， ∴______（______________________________）． ∵， ∴______（______________________________）． ∴（______________________________）． 题型06：平行线判定方法（垂直于同一直线） 1.下列说法正确的是（         ） A．在同一平面内，，，是直线，且，，则 B．在同一平面内，，，是直线，且，，则 C．在同一平面内，，，是直线，且，，则 D．在同一平面内，，，是直线，则，，则 2.直线、、在同一平面内，下面的四个结论： 如果ab，ac，那么bc； 如果，，那么ac； 如果ab，，那么； 如果与相交，与相交，那么与相交． 正确的结论为（  ） A． B． C． D． 2.下列说法正确的是（    ） A．，，是同一平面内直线，且a// b，//，则// B．，，是同一平面内直线，且，，则 C．，，是同一平面内直线，且//，，则// D．，，是同一平面内直线，且，//，则// 题型07：平行线判定综合题： 1.如图，下列各组条件中，能得到AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠B＝∠D D．∠1+∠2+∠B＝180° 2.如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 3.如图，能判定AD∥BC的条件是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠2 C．∠2＝∠3 D．∠2＝∠4 4.如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件： ①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°． 其中能判断a∥b的条件是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①③④ 5.如图，∠B+∠BAD＝180°，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．请将下面的证明过程补充完整． 证明： ∵∠B+∠BAD＝180°（已知）， ∠1+∠BAD＝180°（ 　 　 　　 　　）， ∴∠1＝∠B（ 　 　 　　 　 　）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝　 　（ 　 　 　　 　 　）． ∴AB∥CD（ 　 　 　　 　 　）． 6.填写下列空格：已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD． 证明：∵CE平分∠ACD（已知）， ∴　 　（ 　 　 　 　）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝　 　（ 　 　 　 　）． ∴AB∥CD（ 　 　 　 　）． 7.在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠1+∠2＝180°（ 　　 　 　）， ∠2+∠3＝180°（平角的定义）， ∴　 　＝∠3（ 　 　 　 　）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4（ 　 　 　 　）， ∴c∥d（ 　 　 　）． 8.如图，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于点E，∠CFB＝∠EDO．证明：CF∥DO． 9.已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，CD与EF相交于点H，且∠BDC+∠DHF＝180°，∠DEF＝∠B．求证：DE∥BC． 10.已知：如图，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．求证：AD∥EF． 11.已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN． 12.如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由． 解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知）， ∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的性质）， 所以∠BAG＝∠AGC（ 　　 　　 　　 ）． 因为EA平分∠BAG， 所以∠1＝∠BAG（ 　 　　 　　 　）． 因为FG平分∠AGC， 所以∠2＝　 　　 　　 　， 得∠1＝∠2（等量代换）， 所以 　 　（ 　　　 　　 　）． 13.完成下面的证明：已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC． 证明：∵AB⊥AC（已知）， ∴∠　 　＝90° （ 　 　）， ∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）， ∴∠1+∠BAC+∠B＝　 　（ 　 　）， 即∠　 　+∠B＝180°， ∴AD∥BC （ 　 　）． 14.已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明： ∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（　 　　 　　 　）． ∵∠ABC＝∠ADC（　 　　 　　 　）， ∴∠　　 ＝∠　　 （等量代换）． ∵∠1＝∠3（　　　　 　　 ）， ∴∠2＝∠　 　（　 　　 　　 　）． ∴AB∥DC（　 　　 　　 　）． 15.如图，点E为直线AB上一点，∠B＝∠ACB，BC平分∠ACD，求证：AB∥CD． 16.如图，∠DAC＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．证明：AD∥BC． 17.如图所示，已知∠EAD＝∠C，AD平分∠CAE，求证：AD∥BC． 18.已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数．（2）求证：BE∥CD． 19.如图，∠AED＝40°，∠1＝20°，EF平分∠AED，则EF∥BD吗？请说明理由． 题型08：平行线的判定和性质综合 1.如图，在△ABC中，过点A作DE∥BC，AC平分∠BAE，∠B＝70°．求∠C的度数． 2.如图所示，已知直线DE∥BC，GF⊥AB于点F，∠1＝∠2，判断CD与AB的位置关系．并说明理由． 3.如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°．求∠AGD的度数． 4.如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．（1）判断∠FAB与∠BDC的大小关系，并说明理由； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝76°，求∠BCD的度数． 5.如图AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE＝50°，求：∠BHF的度数． 6.如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠1＝∠2，求证：∠3＝∠4． 7.已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由． （2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数． 题型09：平行线性质直接应用 1.如图，a∥b．∠1＝58°，则∠2的度数为（　　） A．58° B．112° C．120° D．132° 2.如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝55°，则∠2等于（　　） A．55° B．65° C．125° D．135° 3.如图，AB∥CD，∠C＝30°，∠E＝20°，则∠A的度数是（　　） A．10° B．50° C．40° D．45° 4.如图，AB∥CD，∠FGB＝155°，FG平分∠EFD，则∠BEF的大小为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 5.如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有 ．    6.如图所示，已知，点在线段上（不与点、点重合），连接，若，．则的值为（　　）      A． B． C． D． 题型10：平行线性质与三角板结合 1.一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）的摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝45°，那么∠BAF的大小为（　　） A．35° B．20° C．15° D．10° 2.一副直角三角板如图放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°），如果点C在FD的延长线上，点B在DE上，且AB∥CF，则∠DBC的度数为（　　） A．10° B．15° C．18° D．30° 3.如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 4.一副三角尺如图所示摆放，∠α 的大小为（    ）度 A．90 B．100 C．105 D．120 5.含的三角板和含的三角板如图摆放，若，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 题型11：平行线性质与折叠结合 1.如图，一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别落到点A'，B'处．若∠A′EF＝130°，则∠BFE的度数为（　　） A．50° B．65° C．70° D．80° 2.如图，矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处．若∠DBC＝20°，则∠A'EB的大小为（　　） A．70° B．35° C．45° D．55° 3.如图，将长方形ABCD沿线段OG折叠到OB'C'G的位置，∠OGC'等于100°，则∠DGC'的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 4.把长方形ABCD沿EF按如图所示折叠后，点A、B分别落在A'、B'处．若∠B′FC＝50°，则∠AEF的度数是（　　） A．114° B．115° C．116° D．120° 5.如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C'、D'的位置．若∠AED'＝52°，则∠EFB等于（　　） A．70° B．64° C．55° D．52° 6.如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BDC′，DC′与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．10° C．15° D．25° 7.如图，已知长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 题型12：平行线性质的实际应用 1.如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线m与出射光线n平行，若入射光线m与镜面的夹角，且，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2.图①是某种青花瓷花瓶，图②是其抽象出来的简易轮廓图，已知，，若，则的度数为（    ） A．60° B．65° C．70° D．75° 3.光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，如图，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．若水面和杯底是互相平行的，且，，则 ， ． 4.已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度． 5.如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$