11.1-11.3 不等式与一元一次不等式（导图+知识梳理+8大考点讲练+优选真题分层练 共47题）-2024-2025学年苏科版数学七年级下册同步培优知识讲练（2024 新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册同步培优重点难点知识讲练（2024 新教材） 11.1-11.3 不等式、一元一次不等式的概念、解一元一次不等式 【第11章 一元一次不等式】 （思维导图+知识梳理+8个考点讲练+优选真题难度分层练 共47题） 同学你好，本套讲义针对最新本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识精讲 复习回顾 2 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：不等式基本性质应用错 3 易错知识点02：解集表示与数轴标注错误 3 重点难点 考点讲练 4 考点讲练01不等式的定义 4 考点讲练02 考点讲练02 不等式的解集 4 考点讲练03 不等式的性质 5 考点讲练04 一元一次不等式的定义 6 考点讲练05求一元一次不等式的解集 6 考点讲练06 求一元一次不等式的整数解 8 考点讲练07 在数轴上表示不等式的解集 9 考点讲练08 求一元一次不等式解的最值 10 考点讲练09 求一元一次不等式解的最值 11 培优拔尖 分层训练 14 基础夯实真题练 14 培优拔尖真题练 15 知识点梳理01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 【易错点剖析】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 易错知识点01：不等式基本性质应用错 1.忽略变号条件 错误表现：不等式两边乘（或除以）负数时未改变不等号方向。 示例：解不等式 -3x > 6，误解得 x > -2（正确应为 x < -2）。 避错策略：操作前先判断系数符号，负数运算后立即翻转不等号。 2.混淆等式与不等式性质 错误表现：将等式移项规则直接用于不等式，未注意变号限制。 示例：由 5x - 3 < 2x + 6 移项得 3x < 9（正确，但若两边乘负系数需变号）。 易错知识点02：解集表示与数轴标注错误 1.解集边界点标注混淆 错误表现： 含“≤”或“≥”时未用实心点，含“<”或“>”时误用实心点。 示例：解集x≤3在数轴上误标为空心点。 避错策略：口诀“实心包含，空心不包”，结合符号判断。 2.方向标注错误 错误表现：数轴上解集方向画反（如 x > 2 向右却标向左）。 避错策略：遵循“同大向右，同小向左”规则。 考点讲练01不等式的定义 【典例精讲】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练1】（22-23七年级下·河北廊坊·期末）下列式子属于不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练2】（21-22八年级下·福建三明·阶段练习）下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点讲练02 考点讲练02 不等式的解集 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 【变式训练1】（2024七年级·全国·竞赛）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【变式训练2】（22-23七年级上·北京·期中）小光在一条东西方向的马路上行走，向东走5米记作米． (1)则向西走米记作___________米； (2)小光从出发点出发，前4次行走依次记作，，，（单位：米），则他第5次需要向___________走___________米，才能恰好回到出发点； (3)小光从出发点出发，将连续的4次行走依次记作，，，（单位：米）．如果此时他位于出发点西侧，则的取值范围是___________．此时小光共行走了多少米？（用含m的代数式表示，并化简） 考点讲练03 不等式的性质 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）已知，是否一定有？请说明理由． （2）已知，是否一定有？请说明理由． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·课后作业）用“”或“”填空： （1） ；     （2） ； （3）若，则有 ， ； （4）若，则 ， ． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．两个不等式结合是否也具有一些特殊的性质？请解答下列问题： (1)完成下列填空（填“”或“”）； 已知，可得________； 已知，可得________； 已知，可得________． (2)一般地，如果，那么________（用“”或“”填空），请你利用不等式的性质说明上述不等式的正确性． 考点讲练04 一元一次不等式的定义 【典例精讲】（22-23七年级下·吉林长春·期中）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2023七年级下·全国·专题练习）若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 【变式训练2】（21-22八年级下·陕西渭南·期中）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 考点讲练05求一元一次不等式的解集 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【变式训练1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）定义：若一个方程（组）的解也是一个一元一次不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式的“友好解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)方程的解一元一次不等式的“友好解”；（填“是”或“不是”） (2)若关于x，y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围； (3)方程的解是不等式的“友好解”，求m的最小整数值． 【变式训练2】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 考点讲练06 求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】（24-25七年级下·上海·阶段练习）关于的方程的解是，求关于的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解． 【变式训练1】（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 【变式训练2】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第69页的部分内容． 已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． 写出这道题完整的解题过程． 【拓展探究】若关于的方程组的解满足，求的最小整数值． 考点讲练07 在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）解下列不等式，并把解集表示在数轴上 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1) ； (2)； (3)． 【变式训练2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）数学课堂上，李老师设计了“接力游戏”，规则：每个同学只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集． 接力游戏 老师：． 甲同学：； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学：； 戊同学：． 请根据上面的“接力游戏”，解答下列问题． (1)在“接力游戏”中，出现错误的是同学，这一步错误的原因是； (2)在“接力游戏”中，该不等式的正确解集是，并把它的解集在数轴上表示出来． 考点讲练08 求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【变式训练1】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【变式训练2】（21-22七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 考点讲练09 求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【变式训练1】（18-19七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【变式训练2】（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 基础夯实真题练 1．（24-25七年级下·上海崇明·阶段练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，是一元一次不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知数轴上两点A，B表示的数分别为，1，那么关于x的不等式的解集，下列说法正确的是（   ） A．若点A 在点B 的左侧，则解集为 B．若点A 在点 B 的右侧，则解集为 C．若解集为，则点A必在点 B的左侧 D．若解集为，则点A 必在点B 的右侧 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是 ． 6．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m的值是 ． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）把下列不等式变形成或（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 9． （22-23八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式有多少个解？有多少个整数解？有多少个正整数解？ 培优拔尖真题练 11．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）下列表述正确的是（   ） A．如果且，那么 B．如果，那么 C．如果，且，那么 D．如果，那么 13．（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 14．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）关于的一元一次不等式至少有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）关于的一元一次方程的解是非正数，则的最小值是 ． 16．（2024七年级下·安徽·专题练习）当 时，不等式是一元一次不等式． 17．（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 19． （24-25七年级下·全国·课后作业）不等式负整数解有多少个？ 20．（24-25八年级上·福建厦门·期中）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）． (1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）； (2)若，求满足这个不等式的的最大值； (3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下册同步培优重点难点知识讲练（2024 新教材） 11.1-11.3 不等式、一元一次不等式的概念、解一元一次不等式 【第11章 一元一次不等式】 （思维导图+知识梳理+8个考点讲练+优选真题难度分层练 共47题） 同学你好，本套讲义针对最新本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识精讲 复习回顾 2 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：不等式基本性质应用错 3 易错知识点02：解集表示与数轴标注错误 3 重点难点 考点讲练 4 考点讲练01不等式的定义 4 考点讲练02 考点讲练02 不等式的解集 5 考点讲练03 不等式的性质 7 考点讲练04 一元一次不等式的定义 10 考点讲练05求一元一次不等式的解集 11 考点讲练06 求一元一次不等式的整数解 15 考点讲练07 在数轴上表示不等式的解集 17 考点讲练08 求一元一次不等式解的最值 20 考点讲练09 求一元一次不等式解的最值 23 培优拔尖 分层训练 27 基础夯实真题练 27 培优拔尖真题练 32 知识点梳理01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 【易错点剖析】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 易错知识点01：不等式基本性质应用错 1.忽略变号条件 错误表现：不等式两边乘（或除以）负数时未改变不等号方向。 示例：解不等式 -3x > 6，误解得 x > -2（正确应为 x < -2）。 避错策略：操作前先判断系数符号，负数运算后立即翻转不等号。 2.混淆等式与不等式性质 错误表现：将等式移项规则直接用于不等式，未注意变号限制。 示例：由 5x - 3 < 2x + 6 移项得 3x < 9（正确，但若两边乘负系数需变号）。 易错知识点02：解集表示与数轴标注错误 1.解集边界点标注混淆 错误表现： 含“≤”或“≥”时未用实心点，含“<”或“>”时误用实心点。 示例：解集x≤3在数轴上误标为空心点。 避错策略：口诀“实心包含，空心不包”，结合符号判断。 2.方向标注错误 错误表现：数轴上解集方向画反（如 x > 2 向右却标向左）。 避错策略：遵循“同大向右，同小向左”规则。 考点讲练01不等式的定义 【典例精讲】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了不等式的辩别．熟练掌握不等式的特征，是解答此题的关键．不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“”表示不相等关系的式子也是不等式． 根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论． 【规范解答】在①；②；③；④；⑤；⑥中， 不等式有②；③；⑤；⑥，共4个； 是等式； ④是代数式． 故选：C． 【变式训练1】（22-23七年级下·河北廊坊·期末）下列式子属于不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路点拨】根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，对各式进行判断即可． 【规范解答】解：根据不等式定义判断，①②⑤为不等式， 故选：． 【考点评析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键． 【变式训练2】（21-22八年级下·福建三明·阶段练习）下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路点拨】不等号把两个式子连接起来所形成的式子叫不等式，根据不等式的定义解答即可． 【规范解答】解：①3＞0是不等式；②4x＋y＜2是不等式；③2x＝3是等式；④ x－1是代数式；⑤是不等式，共有3个不等式． 故答案为B． 【考点评析】本题考查了不等式的定义，即用不等号把两个式子连接起来所形成的式子叫不等式． 考点讲练02 考点讲练02 不等式的解集 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解得定义去判定即可． 【规范解答】， ， A、符合条件，是不等式的一个解，故选项符合题意； B、解集是一个范围，而是一个固定值，故选项不符合题意； C、解集是一个范围，所以不是不等式的唯一解，故选项不符合题意； D、符合条件，是不等式的一个解，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式训练1】（2024七年级·全国·竞赛）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【答案】时，成本最小为元 【思路点拨】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键． 【规范解答】解：依题意有， 即 得：， 得：，解得：， 成本为：， 当时，成本最小为元． 【变式训练2】（22-23七年级上·北京·期中）小光在一条东西方向的马路上行走，向东走5米记作米． (1)则向西走米记作___________米； (2)小光从出发点出发，前4次行走依次记作，，，（单位：米），则他第5次需要向___________走___________米，才能恰好回到出发点； (3)小光从出发点出发，将连续的4次行走依次记作，，，（单位：米）．如果此时他位于出发点西侧，则的取值范围是___________．此时小光共行走了多少米？（用含m的代数式表示，并化简） 【答案】(1) (2)东，4 (3)，小光共行走了米 【思路点拨】（1）向东走为正，则向西走为负； （2）根据最终回到出发点，则4次行走数据之和为0,设第5次行走，记作米，然后列方程求解即可； （3）根据经过4次行走，最终在出发点西侧，则4次数据之和小于零，列出不等式，解不等式，即可得出的取值范围；然后再计算4次数据的绝对值之和，即为小光共行走的距离． 【规范解答】（1）解：已知向东走5米记作米， ∵东西方向相反，向东为正，向西则为负， ∴向西走米记作米， 故答案为： （2）解：设第5次行走，记作米， 则 解方程得 则第5次需要向东走4米， 故答案为：东，4． （3）解：根据题意得 解得， ∴的取值范围是 = = 则小光共行走了米． 【考点评析】本题考查了正负数的应用、绝对值、不等式等知识，熟练掌握相关概念并能应用于实际问题是解题关键． 考点讲练03 不等式的性质 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）已知，是否一定有？请说明理由． （2）已知，是否一定有？请说明理由． 【答案】（1）一定有，理由见解析；（2）不一定有，理由见解析． 【思路点拨】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可判断； （2）根据不等式的性质即可判断． 【规范解答】解：（1）一定有，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）不一定有，理由如下： ①当时，； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·课后作业）用“”或“”填空： （1） ；     （2） ； （3）若，则有 ， ； （4）若，则 ， ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了不等式的基本性质；熟记不等式的基本性质是解决问题的关键．根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【规范解答】解：（1）， ， 故答案为：； （2）， ， 故答案为：； （3）， ， ，， 故答案为：，； （4）， ， ， ， 故答案为：，． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．两个不等式结合是否也具有一些特殊的性质？请解答下列问题： (1)完成下列填空（填“”或“”）； 已知，可得________； 已知，可得________； 已知，可得________． (2)一般地，如果，那么________（用“”或“”填空），请你利用不等式的性质说明上述不等式的正确性． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 【思路点拨】（1）计算比较大小，解答即可． （2）设，仿照前面的计算解答即可． 本题考查了有理数的加减混合运算，不等式的性质，熟练掌握计算和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； 故答案为：，，． （2）证明：可设． ． 又，即， ， ． 故答案为：． 考点讲练04 一元一次不等式的定义 【典例精讲】（22-23七年级下·吉林长春·期中）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【规范解答】、为整式，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中未知数的次数是，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中含有个未知数，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中含有个未知数，未知数的次数是，是一元一次不等式，此选项符合题意； 故选：． 【考点评析】此题考查了一元一次不等式，解题的关键是理解含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式． 【变式训练1】（2023七年级下·全国·专题练习）若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 【答案】C 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【规范解答】解：是关于的一元一次不等式， ， 或． 故选：C． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式的定义，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式． 【变式训练2】（21-22八年级下·陕西渭南·期中）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断即可． 【规范解答】因为中，不含有未知数， 故A不符合题意； 因为是一元一次不等式， 故B符合题意； 因为中，未知数不是整式， 故C不符合题意； 因为中，含有两个未知数， 故D不符合题意； 故选B． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式即含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，熟练掌握定义是解题的关键． 考点讲练05求一元一次不等式的解集 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)，或；，或， (3) 【思路点拨】（1）利用题干中的同解不等式的定义求解； （2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解； （3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式． 本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：解关于的不等式，得， 解不等式，得， 由题意得：， 解得：． （2）解：解不等式， 得：， 不等式得：， ， ， ，是正整数， 为1或4或2， ，或；，或，． （3）解：解不等式， 得：， 由得， 由两个不等式是同解不等式， 故，且， ， ， ， 故， 解得， ， ， 故， 故， 解得， 的解为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）定义：若一个方程（组）的解也是一个一元一次不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式的“友好解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)方程的解一元一次不等式的“友好解”；（填“是”或“不是”） (2)若关于x，y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围； (3)方程的解是不等式的“友好解”，求m的最小整数值． 【答案】(1)是 (2) (3)6 【思路点拨】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于k的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出m的范围，进而求出m的最小整数值即可． 【规范解答】（1）解方程，解得， 解不等式，解得， 满足不等式， 方程的解是一元一次不等式的“友好解”， 故答案为：是； （2）解：， 由②－①，得． 由，得， ∴，解得； （3）解：解方程，得． 由题意，得是不等式的“友好解”， ∴，解得， ∴m的最小整数值为6． 【变式训练2】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【思路点拨】本题主要考查解绝对值不等式，解题的关键是读懂题目中绝对值的几何意义,利用几何意义进行解题． （1）先根据绝对值的定义，再根据题意即可得； （2）将化为后，求出当时，或，根据以上结论即可得； （3）将化为，再根据题意即可得． 【规范解答】（1）解：根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； （2）解：由得到， 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或； （3）解：∵ ∴ 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点的左边的点表示的数的绝对值大于8； 点，之间的点表示的数的绝对值小于8； 点8右边的点表示的数的绝对值大于8． 因此，绝对值不等式的解集是或． ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 考点讲练06 求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】（24-25七年级下·上海·阶段练习）关于的方程的解是，求关于的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解． 【答案】，满足条件的最小整数解为1 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．先将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程可得，再代入不等式可得一个关于的一元一次不等式，解不等式，由此即可得． 【规范解答】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得， ∴关于的不等式为， 不等式的两边同乘以12，得， 解得， 所以满足条件的最小整数解为1． 【变式训练1】（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式，关键是正确理解新定义，根据新定义列出不等式． （1）根据新定义进行列出不等式进行解答便可； （2）根据新定义列出不等式进行解答便可． 【规范解答】（1）解：由，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得 （2）解：根据新运算定义，化简不等式左边得， 化简不等式右边得， 所以， 解得， 所以该不等式的最大整数解为． 【变式训练2】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第69页的部分内容． 已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． 写出这道题完整的解题过程． 【拓展探究】若关于的方程组的解满足，求的最小整数值． 【答案】教材呈现：；拓展探究：m的最小整数值是7． 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组、解一元一次不等式、求一元一次不等式的最小整数解，熟练掌握解二元一次方程组和解一元一次不等式的方法是解题的关键． 教材呈现：先解一元一次方程，然后根据关于x方程的解是非负数列出不等式，解不等式即可求得答案； 拓展探究：先把两个方程相减可得，结合，再建立不等式即可确定m的最小整数值． 【规范解答】教材呈现： 解：， 移项得：， 化系数为1得：， ∵关于x方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∴k的取值范围． 拓展探究： ， 得：； ∵， ∴， 解得：， ∴m的最小整数值是7． 考点讲练07 在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）解下列不等式，并把解集表示在数轴上 【答案】，图见解析 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先去分母、去括号，再移项、合并同类项，将系数化成1得到解集，最后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将解集在数轴表示出来即可． 【规范解答】解： 不等式的解集在数轴上表示如下： 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，解集表示见解析 (2)，解集表示见解析 (3)，解集表示见解析 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式，并在数轴上表示解集； （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，并在数轴上表示解集，即可求解； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，并在数轴上表示解集，即可求解； （3）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，并在数轴上表示解集，即可求解； 掌握解一元一次不等式的步骤，并会在数轴上表示解集是解题的关键． 【规范解答】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图： （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图： （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图： 【变式训练2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）数学课堂上，李老师设计了“接力游戏”，规则：每个同学只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集． 接力游戏 老师：． 甲同学：； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学：； 戊同学：． 请根据上面的“接力游戏”，解答下列问题． (1)在“接力游戏”中，出现错误的是同学，这一步错误的原因是； (2)在“接力游戏”中，该不等式的正确解集是，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)戊；不等式两边同时乘以负数时，不等号方向没有改变； (2)，见解析． 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是不等式两边同乘或除以负数时不等号方向要改变． （1）先分析每个同学的变形步骤，找出错误步骤及原因， （2）正确求解不等式并在数轴上表示解集． 【规范解答】（1）解：戊；不等式两边同时乘以负数时，不等号方向没有改变； （2）解：； 解集在数轴上表示如下 ． 考点讲练08 求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【规范解答】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． 【变式训练1】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3)1 【思路点拨】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 【变式训练2】（21-22七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【思路点拨】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【规范解答】原方程可化为：， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：， 所以整数a的最小值为0． 【考点评析】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键． 考点讲练09 求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【思路点拨】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【规范解答】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 【变式训练1】（18-19七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【答案】(1)①；②见解析；③；④或；⑤； (2)． 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）根据题意即可求得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴或 故答案为：． 如下图： ∵， ∴ 故答案为：； ∵ ∴或； 故答案为：或 ∵ ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【思路点拨】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【规范解答】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 基础夯实真题练 1．（24-25七年级下·上海崇明·阶段练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路点拨】本题考查不等式的概念：用不等号连接的式子，理解不等式的概念是解题的关键．根据不等式的概念判定即可． 【规范解答】解：③没有不等号，不是不等式，④是等式， 则不等式有①，②；⑤，一共有3个， 故选：B． 2．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可． 【规范解答】解：A、未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次不等式，本选项不符合题意； C、是一元一次不等式，本选项符合题意； D、不等式左边不是整式，不是一元一次不等式，本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，是一元一次不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的定义．根据不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式为一元一次不等式． 【规范解答】解：①是一元一次不等式； ②有两个未知数，不是一元一次不等式； ③是分式，则不是一元一次不等式； ④未知数的次数是2，则不是一元一次不等式； ⑤是一元一次不等式； ⑥有两个未知数，不是一元一次不等式； 故正确的有①⑤，共两个， 故选：A． 4．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知数轴上两点A，B表示的数分别为，1，那么关于x的不等式的解集，下列说法正确的是（   ） A．若点A 在点B 的左侧，则解集为 B．若点A 在点 B 的右侧，则解集为 C．若解集为，则点A必在点 B的左侧 D．若解集为，则点A 必在点B 的右侧 【答案】C 【思路点拨】此题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟悉不等式的基本性质．根据不等式的性质化简求值即可． 【规范解答】解：关于的不等式化为， A．若点A 在点B 的左侧，当时，则解集为，当时，则解集为，故不正确； B．若点A 在点 B 的右侧，则，则解集为，故不正确； C．若解集为，则，则点A必在点 B的左侧，故正确； D．若解集为，则，则点A 必在点B 的左侧，故不正确； 故选C． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是 ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查含参数的不等式的解法．由不等式可得，然后由数轴可得，进而可得，即可求出． 【规范解答】解：∵， ∴， 由数轴可得， ∴， ∴， 故答案为：3． 6．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得出，解一元一次方程求解即可得出答案． 【规范解答】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了不等式，用符号“”（或“”），“”（或“”），“”连接的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐个分析即可． 【规范解答】解：①是等式，②是不等式，③是不等式，④是不等式，⑤是代数式，不是不等式，⑥是不等式， 故不等式有4个， 故答案为：4． 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）把下列不等式变形成或（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】此题考查了不等式的性质．不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）不等式两边加上5，即可解答； （2）不等式两边同时减去，即可解答； （3）不等式两边同时乘以，即可解答； （4）不等式两边同时除以，即可解答． 【规范解答】（1）解：， 不等式两边同时加上5，得； （2）解：， 不等式两边同时减去，得； （3）解：， 不等式两边同时乘以，得； （4）解：， 不等式两边同时除以，得． 9．（22-23八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【思路点拨】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【规范解答】解：依题意得，且， ． 【考点评析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式有多少个解？有多少个整数解？有多少个正整数解？ 【答案】有无数个解，有无数个整数解，有2025个正整数解 【思路点拨】本题考查了不等式的解集．根据不等式的解集，有无数个解，有无数个整数解，有2025个正整数解． 【规范解答】解：不等式有无数个解； 有无数个整数解； 正整数解有：1，2，3，，2025，共有2025个正整数解． 培优拔尖真题练 11．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A． 若，则，故该选项错误，不符合题意；     B． 当时，，，故该选项错误，不符合题意；     C． 若，当时，，故该选项错误，不符合题意；         D． 若，则，故该选项正确，符合题意． 故选D． 12．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）下列表述正确的是（   ） A．如果且，那么 B．如果，那么 C．如果，且，那么 D．如果，那么 【答案】C 【思路点拨】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可求解判断，掌握不等式的性质是解题的关键． 【规范解答】解：A、，，则，所以，故选项不符合题意； B、，则，故选项不符合题意； C、，，则，所以，故选项符合题意； D、，时，，故选项不符合题意； 故选：C． 13．（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【思路点拨】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【规范解答】解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意； ②，属于一元一次不等式，符合题意； ③，属于一元一次不等式，符合题意； ④，属于一元二次不等式，不合题意； ⑤属于方程，不合题意； ⑥，属于一元一次不等式，符合题意． 综上所述，一元一次不等式有3个． 故本题选：A． 【考点评析】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键． 14．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）关于的一元一次不等式至少有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查一元一次不等式，根据不等式解的个数求参数，理解负整数解的概念是解题的关键． 解一元一次不等式，根据不等式负整数解的个数，即可确定的取值范围． 【规范解答】解：解不等式得：， 又∵关于的一元一次不等式至少有两个负整数解， ∴， 即：， 故选：C． 15．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）关于的一元一次方程的解是非正数，则的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先解一元一次方程，在根据题意列一元一次不等式，求解即可求的最小值． 【规范解答】解：解一元一次方程， 可得：， ∵一元一次方程的解是非正数， ∴，即， ∴， ∴的最小值是 故答案为：． 16．（2024七年级下·安徽·专题练习）当 时，不等式是一元一次不等式． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【规范解答】解：不等式是一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 17．（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键． 【规范解答】解：是关于的一元一次不等式， ，则或，且，解得， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)不等式两边乘同一个负数时，不等号的方向没有改变 (3) 【思路点拨】本题考查的是不等式的性质，熟记性质是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （2）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （3）先利用不等式的性质，两边同时乘以，不等号的方向改变； 再利用不等式的性质，两边同时加1，不等号的方向不变，即可得解． 【规范解答】（1）解：根据题意即可得出从第②步开始出现错误， 故选：②； （2）解：错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）解：∵， ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式负整数解有多少个？ 【答案】不等式的负整数解为，共3个． 【思路点拨】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．根据运算法则求出，即可得到负整数解． 【规范解答】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 不等式的负整数解为，共3个． 20．（24-25八年级上·福建厦门·期中）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）． (1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）； (2)若，求满足这个不等式的的最大值； (3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在． 【思路点拨】把和分别用含的代数式表示出来，再求它们的差得到根据是正整数可得，所以可知； 根据、可得：，解不等式求出从而得到的最大值为； （3）根据得到关于的方程，求解得出，因为正整数，所以不存在这样的值． 【规范解答】（1）解：， ， ， 是正整数， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， 解得：， 的最大值为； （3）解：不存在， 理由如下： 如下图所示， ， ， ， ， 整理得：， 解得： 为正整数， 不存在使得． 【考点评析】本题主要考查了列代数式、解一元一次方程、整式的乘法、作差法比较两数的大小． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$