精品解析：云南省保山市腾冲市第五中学2025届高三第一次模拟测试数学试题

腾冲市第五中学2025届高三第一次模拟测试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数满足为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像如图1和图2，则函数y=f(x)∙g(x)的图像可能是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个圆锥的底面半径为，其侧面面积是底面面积的倍，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 则的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 10. 在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，方差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，方差是0.4，下列说法正确的有（ ） A. 平均来说甲队比乙队防守技术好 B. 乙队比甲队的防守技术更稳定 C. 每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少 D. 乙队可能有一半的场次不失球 11. 设是定义域为的可导函数，若存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，则称函数具有性质.则（ ） A. 若函数具有性质，则也具有性质 B. 若具有性质，则 C. 若具有性质，且，则 D. 若函数（，）具有性质，则的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数则______. 13. 已知单位向量，，满足，则________. 14. 已知椭圆：，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点F为椭圆C的右焦点，Р为椭圆上一点，且PF垂直于x轴.过原点О作直线PA的垂线，垂足为M，过原点О作直线PB的垂线，垂足为N，记，分别为，的面积.若，则椭圆的离心率为_________. 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 等差数列的公差d不为0，其中，，，成等比数列．数列满足 （1）求数列与的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 （1）计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？ 参考公式：，，， 参考数据：． 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若对任意两个不相等的正实数恒成立，求的取值范围. 18. 如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面ABCD为正方形，，. （1）求证：平面. （2）点在直线上，且平面MCD，求与平面所成角的正弦值. 19. 已知是抛物线与椭圆的一个交点，的焦点为，为坐标原点. （1）若点到轴的距离等于，求的方程； （2）若点满足，求直线斜率的最大值； （3）若存在过点但不过点的直线，与交于另一点，与交于另一点，且为线段的中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市第五中学2025届高三第一次模拟测试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数满足为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设复数的代数形式，根据复数的除法运算化简复数，根据纯虚数的概念以及复数的模长公式可求出结果. 【详解】设， 则 ， 依题意得，即， 则. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以，所以或， 又，所以. 故选：C 3. 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像如图1和图2，则函数y=f(x)∙g(x)的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据定义域排除部分选项，再利用奇偶性判断. 【详解】解：因为函数y=g(x)的图像与y轴没有公共点， 所以函数y=f(x)∙g(x)的图象与y轴没有公共点，排除CD； 由函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像可知： 函数y=f(x)是偶函数，函数y=g(x)是奇函数， 所以函数y=f(x)∙g(x)是奇函数，故排除B, 故选：A 4. 在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，可求，可求的面积. 【详解】因为在中，，又为边上一点，且， 所以， 又， 所以， 所以，解得， 所以. 故选:D. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图， 因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 6. 已知一个圆锥的底面半径为，其侧面面积是底面面积的倍，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的母线为，高为，由题意可知，圆锥的底面半径为， 圆锥的侧面积为，所以， 故，所以该圆锥的体积为， 故选：D. 7. 已知函数 则的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，根据分段函数求出每一段的定义域，由三角函数的性质分别求值域，从而可得结果. 【详解】由函数， 可得， 当时，. 当时，， 故可求得其值域为， 故选:D. 8. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 10. 在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，方差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，方差是0.4，下列说法正确的有（ ） A. 平均来说甲队比乙队防守技术好 B. 乙队比甲队的防守技术更稳定 C. 每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少 D. 乙队可能有一半的场次不失球 【答案】AB 【解析】 【分析】根据比赛平均失球数及方差分别判断各个选项即可. 【详解】甲队每场比赛平均失球数是1.5；乙队每场比赛平均失球数是2.1，平均来说甲队比乙队防守技术好,A选项正确； 甲队每场比赛平均失球数方差为1.1；乙队每场比赛平均失球数方差是0.4，乙队比甲队的防守技术更稳定,B选项正确； 甲队每场比赛平均失球数是1.5；乙队每场比赛平均失球数是2.1，甲队的平均失球数比乙队少, 但是每轮比赛甲队的失球数不一定比乙队少,C选项错误； 甲队每场比赛平均失球数是1.5；乙队每场比赛平均失球数是2.1，平均失球数是3.6, 乙队有一半的场次不失球则每场比赛平均失球数要小于1.8，D选项错误. 故选:AB. 11. 设是定义域为的可导函数，若存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，则称函数具有性质.则（ ） A. 若函数具有性质，则也具有性质 B. 若具有性质，则 C. 若具有性质，且，则 D. 若函数（，）具有性质，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对给定等式两边求导，再利用定义判断A；求出的周期计算判断B；由性质求出数列的通项，再计算前n项和判断C；取说明判断D. 【详解】对于A，函数具有性质，即存在非零常数，使得对任意的实数恒成立， 对两边求导得， 因此存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，也具有性质，A正确； 对于B，函数具有性质，则对任意的实数，，即， 于是，即函数的周期是4，因此， 所以，B正确； 对于C，函数具有性质，则，有， 取，则，而当时，， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，C正确； 对于D，函数（，）具有性质，即存在非零常数， 使得对任意的实数恒成立，即，而，因此， 当时，令，求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，， 于是当时，的解为，与非零常数矛盾，即， 因此的取值范围不是，D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合对数的运算性质，根据题中分段函数解析式运算求解即可. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为：. 13. 已知单位向量，，满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，根据平面向量线性运算的几何意义，结合数量积的定义式，可得答案. 【详解】由题意，作等腰，且，记的中点为，连接，如下图： 设，， 由图可知， 由为单位向量，则， 在等腰中，易知， 在中，，则，即， 所以. 故答案为：. 14. 已知椭圆：，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点F为椭圆C的右焦点，Р为椭圆上一点，且PF垂直于x轴.过原点О作直线PA的垂线，垂足为M，过原点О作直线PB的垂线，垂足为N，记，分别为，的面积.若，则椭圆的离心率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设可得，再由三角形的面积公式将化简为①，再由可得，代入①可得，化简即可求出椭圆的离心率. 【详解】设，故， 则，，所以， ①， 令中，所以，解得 故，即， 所以， 所以代入①可得：， 所以， 则， 即， 即， 即，即， 即，故，解得：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于由三角形的面积公式将化简为，再由勾股定理求出，代入化简即可. 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 等差数列的公差d不为0，其中，，，成等比数列．数列满足 （1）求数列与的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）；；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据和，，成等比数列可列出关于公差的方程，求出公差的值，再结合，即可写出通项.根据前项和与第项的关系，由可求出，进而可求出； （2）利用“错位相减法”，可求出数列的前n项和. 【详解】解：（1）由已知，又 故 解得（舍去），或 ∴ ∵① 故当时，可知 ∴ 当时，可知② ①②得 ∴ 又也满足，故当时，都有； （2）由（1）知 故③ ∴④ 由③—④得 解得. 【方法点睛】求数列的前项和常用的方法有： （1）公式法；（2）分组（并项）求和法；（3）倒序相加法；（4）错位相减法；（5）裂项相消法. 16. 2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 （1）计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？ 参考公式：，，， 参考数据：． 【答案】（1），可以认为两者的相关性很强 （2） （3）当时，恰有一次中奖的概率最大 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的公式计算并判断； （2）根据公式求出，得解； （3）根据题意可得，判断的单调性可得，即，由二项分布得，利用导数求出最大值. 【小问1详解】 因为， 所以 ， ， ， 所以 ， 由此可以认为两者的相关性很强． 【小问2详解】 由（1）知，． 所以=． 因为，所以回归方程为． 【小问3详解】 记， ， ，即． ，令， 则，得，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值．由，解得或（舍去）， 当时，恰有一次中奖的概率最大． 【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是根据题意列出的表达式，并判断单调性求出的范围，利用二项分布求出，借助导数求出最大值. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若对任意两个不相等的正实数恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，并通过讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）由题意可得函数在上单调递增，等价于不等式在（0，+∞）恒成立，解得a的取值范围即为答案. 【小问1详解】 的定义域为， 因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 设，由得 即. 设，则在上单调递增， ∴在上恒成立， 则在上恒成立， 设，， 函数的对称轴为，则时，取得最大值，最大值. 所以，则 则实数的取值范围为. 18. 如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面ABCD为正方形，，. （1）求证：平面. （2）点在直线上，且平面MCD，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面ABCD， 则平面.又平面，则； 又在等腰梯形，如下图，作， 由题可知，，又， 则，结合，得. 因为， 所以.又平面，平面，， 则平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直性质可得，利用题目条件结合图形，勾股定理可得，即可证明结论； （2）如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，利用点在直线上，引入参数，可表示出M坐标，后由平面MCD，可得M坐标，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以A为原点建立空间直角坐标系. 则，又由（1）可得 . 因在直线，则， 则，即. 则. 又，平面MCD，则. 得.则，. 又由（1）得，可取为平面的一个法向量，， 设与平面所成角为，则. 即与平面所成角的正弦值为. 19. 已知是抛物线与椭圆的一个交点，的焦点为，为坐标原点. （1）若点到轴的距离等于，求的方程； （2）若点满足，求直线斜率的最大值； （3）若存在过点但不过点的直线，与交于另一点，与交于另一点，且为线段的中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点，根据抛物线的定义即可求解； （2）设点，由得，即，利用基本不等式即可求解； （3）设出直线的方程，与椭圆方程联立，由线段的中点在抛物线上及点是椭圆与抛物线的公共点建立关系式，借助均值不等式求解作答. 【小问1详解】 设点，则根据题意有， 由抛物线的定义有，所以， 所以的方程为； 【小问2详解】 设点，由题意可得，则有， 由有，点在抛物线上， 所以， 所以， 当且仅当时，即，等号成立， 所以直线斜率的最大值为； 【小问3详解】 当直线的斜率不存在时，此时，点和点重合，不满足题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由， ， 所以，， 所以，又点在抛物线上， 所以， 又因为， 所以， 所以，又点在椭圆上， 所以， 所以， 又，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 所以，所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $