22.3 三角形的中位线-【夺冠百分百】2024-2025学年八年级下册数学新导学课时练（冀教版）河北专版

第二十二章四边形 新导学课时练 22.3 三角形的中位线 A知识梳理·自主学习 知识点二三角形中位线的相关证明 典题2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 1.三角形中位线：连接三角形 中点的 DE,DF是△ABC的中位线，连接EF,CD,求 线段 证：CD=EF. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于 ,且等于 的一半. B典题变式·突破新知 知识点一三角形中位线的相关计算 典题1（保定莲池区期末） 如图，在△ABC中，AB= AC=10,BC=8,AD平分 ∠BAC交BC于点D,点 E为AC的中点，连接DE,则△CDE的周长 等于 ( ) A.13 B.14 C.15 D.16 变式2一1如图，在四边形ABCD中，E,F,G, 变式1-1如图，在□ABCD中，AD=8,点E, H分别是AB,BC,CD,DA的中点. F分别是BD,CD的中点，则EF等于() 求证：四边形EFGH是平行四边形 A.2 B.3 C.4 D.5 变式1一1图 变式1-2图 变式1一2如图，A,B两点被池塘隔开，不能 直接测量其距离.于是，小明在岸边选一点 C,连接CA,CB,分别延长到点M,N,使AM =AC,BN=BC,测得MN=200m,则A,B 间的距离为 m. 规梓悬猪 三角形的中位线与三角形的中线的区 别：三角形的中位线是两边中点的连线，而 中线是一个顶点和对边中点的连线。 99 新导学课时练教学·入年级（下）·J小 名师点睛 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,E 构造三角形的中位线一般有两种方法： 分别是AB,AC的中点，点F是AD的中 一是在三角形中连接两边中点；二是分割多 点.若AB=8,则EF= 边形为三角形. C阶梯训练·知能检测 【基础巩固练】 1.如图是一块等腰三角形空地ABC,已知点 第4题图 第5题图 D,E分别是边AB,AC的中点，量得 5.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD,AD= AC=10米，AB=BC=6米，若用篱笆围 7,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB, 成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆 BD,CD,AC的中点，则四边形EFGH的周 的长是 () 长为 A.22米 B.17米 6.已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC, C.14米 D.11米 P为对角线BD的中点，M为AB的中点， N为DC的中点， 求证：∠PMN=∠PNM. 第1题图 第2题图 2.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相 交于点O,E是边CD的中点，连接OE.若 ∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数 为 () A.50 B.40° C.30° D.20° 3.如图，在长方形ABCD中，P,R分别是BC 和DC上的点，E,F分别是AP和RP的中 点，当点P在BC上从点B向点C移动，而 点R不动时，下列结论正确的是 () D R B A.线段EF的长逐渐增长 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长始终不变 D.线段EF的长与点P的位置有关 。100 新导学课时练 第二十二章四边形3新号 【思维拓展练】 【素养提升练】 7.如图，在Rt△ABC中，∠B= 10.在△ABC中，AE平分∠BAC,BE⊥AE于 90°，AB=6,BC=8,点D在 点E,点F是BC的中点，连接EF 0 BC上，以AC为对角线的所 D (1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点 有☐ADCE中，DE的最小值 B 是 D,求证，EF=AC-AB. A.4 B.6 C.8 D.10 (2)如图2，请直接写出线段AB,AC,EF 8.如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形 的数量关系。 各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接 所得的小三角形各边中点得到第2个小三 角形…如此操作下去，则第n个小三角形 的面积为 图 图2 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M,N分 别是AB,AC的中点，延长BC至点D,使 CD=SBD,连接DN,MN.若AB=6. (1)求证：MN=CD, (2)求DN的长. 10111.(1)证明：，AD∥BC, BC=EC. .∠QDM=∠PCM. 在△BCA和△ECF中，∠BCA=∠ECF, ,M是CD的中点， AC=FC. .DM=CM. .△BCA≌△ECF(SAS). "'∠DMQ=∠CMP. .AB-FE..AD FE '.△QDM≌△PCMCASA) 同理△BDE2△BAC, (2)解：当CP=2m时，四边形ABPQ是平行四边形.理由 DEACAF. 如下： 四边形ADEF是平行四边形. 当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ 13.解：(1)在四边形ACD中，对角线AC与BD相交于点O, '△QDM≌△PCM.∴.QD-PC 若AB∥CD,则当∠BAD=∠BCD戎AO=CO时，四边形 'BC-CP=AD十QD, ABCD是平行四边形. .9-CP=5+CP,.CP=2 故选B或C均可， .当CP=2cm时，四边形ABPQ是平行四边形. (2)选择B.文字语言表递为：一组对边平行，一组对角相等 12.解：(1)tcm(12-t)cm(15-2t)cm2tcm 的四边形是平行四边形：迭择C,文字语言表述为：一组对 (2)AD∥BC, 边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四 ,当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形. 边形， .t=15-2t,解得1=5. (3)如图，AD=CD,CD=AD',四边形ABCD满足CD= ,当t=5时，四边形APQB是平行四边彩. AB,∠D=∠B,但四边形ABCD不是平行四边形， (3)由(2)同理得，当PD=CQ时，四边形PDQ是平行四 0 边形， .12-1=21,解得1=4. 当1=4时，四边形PDCQ是平行四边形. 第2课时平行四边形的判定(2) 【知识梳理·自主学习】 22.3三角形的中位线 (1)相等(2)平分 【典题变式·突破新知】 【知识梳理·自主学习】 典题1D变式1一1D 1.两边2.第三边第三边 典题2证明：连接AC交BD于点O. 【典题变式·突破新知】 四边形ABCD是平行四边形，.AO=CO,BO=DO. 典题1B变式1-1C变式1-2100 又BE=DF,.OE=OF 典题2证明：：DE,DF是△ABC的中位线， ∴.DE∥BC,DF∥AC ,四边形AECF是平行四边形， 四边形DECF是平行四边形.DE=FC 变式2一1平行 【阶梯训练·知能检测】 :∠ACB=90°，∴∠DEC=90=∠FCE. DE=FC. 1.A2.C3.C4.B5.A 在△DEC和△FCE中，∠DEC=∠FCE, 6.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 EC=CE. 7.平行四边形8.4 .△DEC≌△FCE(SAS),.CD=EF 9.解：四边形BDFC是平行四边形.理由如下： 变式2一1证明：连接AC,图略，在△DAC中， ,∠A=∠ABC=90°， .∠A+∠ABC=180°， AH-HD.CG-GD.HG//AC,HG-AC. .BC∥AF ∴∠BCE=∠FDE 同理EF∥AC,EF-专AC E是CD的中点， ∴HG∥EF,且HG=EF. ∴.CE=DE 四边形EFGH是平行四边形. ∠BCE=∠FDE, 【阶梯训练·知能检测】 在△BCE和△FDE中，CE=DE, 1.B2.B3.C4.25.12 ∠CEB=∠DEF, 6.证明：：在四边形ABCD中.P是对角线BD的中点，M,N ,∴.△BCE≌△FDE(ASA). 分别是AB,CD的中点， ,BE=FE..四边移BDFC是平行圆边形 .NP,PM分别是△CDB与△DAB的中位线. 10.B11.①2②④ ∴PN=2BC,PM=AD. I2.证明：，'△BCE,△ACF,△ABD都是等边三角形， AD=BC...PN=PM. .AB=AD,AC=CF.BC=CE,∠BCE=∠ACF. ∴∠PMN=∠PNM .∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE, 呷∠BCA=∠ECF. 7.b8.2 161 9.(1)证明：，M,V分别是AB,AC的中点， .△ADF2△CBE(SAS) MN=BC.MN∥BC .AF-CE. 8.(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC, CD=专BDCD-BC ∴∠AEB=∠DAF. MN=CD. DF⊥AE.∴∠DFA=90 (2)解：如图，连接CM. .∠DFA=∠B. 义AD=EA. .△ADF2△EAB(AAS). .DF=AB. (2)解：：∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90, B .∠DAF=∠FIDC=30, 'MN∥CD,MN=CD. ..AD=2DF. ,四边形MCDV是平行四边形. ,DF=AB,∴.AD=2AB=8. ..DN=CM. 9.C10.D11.5或6 :∠ACB=90°，M是AB的中点， 12.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ..CM-AB. ..OA=OC.OB-OD.AC=BD. BE=DF...OE=OF. ÷DN=AB=3 OA=OC. 在△AOE和△COF中，J∠AOE=∠COF, 10.(1)证明：，在△ABD中，AE⊥BD,∠BAE=∠DAE, OE=OF. ,∴.∠ABE=∠ADE .△AOE2△COF(SAS). ∴AB=AD.BE=DE AE=CF. BF-FC. (2)解：，OA=OC,OB=OD,AC=BD. EF-DC-(AC-AD)-(AC-AB). ..OAOB. (2)解：结论：EF=子(AB-AC.理由知下： '∠AOB=∠COD=60°. ,△AOB是等边三角形. .OA=AB=6. .AC=20A=12. 在Rt△ABC中，BC=√JAC-AB=6√3， ,矩形ABCD的面积为AB·BC=6×6V3=36√3. 13.解：(1)由题意得A(8,0),C(0,4). 如图，延长AC交BE的延长线于点P, (2),CP=1.OQ=2..OP=4-t. 在△ABP中，AE⊥BP,∠BAE=∠PAE, 由0P=OQ得到4-=21.解得1=号 ∴.∠ABE=∠APE. ..AB=AP..BE-PE 号秒后.0P=0Q BF=FC. (3)四边形OPBQ的面积不变.理由知下： .EF-PC(AP-AC)-(AB-AC). 如图，连接OB. 22.4矩形 第1课时矩形的性质 【知识梳理·自主学习】 A 1.直角2.直角相等中心轴 【典题变式·突破新知】 5a5=Sam+Sao=号·4-8+ ·21·4 典题1∠A=90(答案不唯一）变式1-1B =16-41十41=16， 典题2C变式2-1D ,四边形OPBQ的面积不变. 变式2一22两组对边的垂直平分线对角线交点4 【阶梯训练·知能检测】 1.C2.B3.A4.A5.2.56.= 7.证明：，四边形ABCD是矩形， .∠D=∠B=90°.AD=CB. (AD-CB. 在△ADF和△CBE中，∠D=∠B, 刺 DF=BE, 162