10.5 用二元一次方程组解决问题（思维导图+知识梳理+14个考点讲练+优选真题难度分层练 共62题）-2024-2025学年苏科版数学七年级下册同步培优重点难点知识讲练（2024 新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册同步培优重点难点知识讲练（2024 新教材） 10.5 用二元一次方程组解决问题 【第10章 二元一次方程组】 （思维导图+知识梳理+14个考点讲练+优选真题难度分层练 共62题） 同学你好，本套讲义针对最新本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 3 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：审题建模（关键环节，决定解题方向） 3 知识点梳理02：解方程与验证 3 知识点梳理03：典型问题分类与解析 4 易错点拨 查漏补缺 5 一、审题与建模阶段易错点 5 易错知识点01： 忽视隐含条件或关键信息 5 易错知识点02：单位不统一或未标注单位 5 二、设未知数与列方程易错点 5 易错知识点01：变量选择不当导致方程复杂化 5 易错知识点02：混淆等量关系或重复使用同一条件 5 三、解方程与计算易错点 5 易错知识点01：代入消元时符号错误或遗漏项 5 易错知识点02：加减消元时系数调整错误 5 四、验证与应用阶段易错点 6 易错知识点01：未检验解的实际意义 6 易错知识点02：忽略多解或无解情况 6 五、典型题型易错点强化 6 易错知识点01：行程问题 6 易错知识点02：利润与配套问题 6 重点难点 考点讲练 7 考点讲练01 根据实际问题列二元一次方程组 7 考点讲练02 根据几何图形列二元一次方程组 7 考点讲练03 方案问题（二元一次方程组的应用） 8 考点讲练04 行程问题（二元一次方程组的应用） 10 考点讲练05 工程问题（二元一次方程组的应用） 10 考点讲练06 数字问题（二元一次方程组的应用） 12 考点讲练07 年龄问题（二元一次方程组的应用） 13 考点讲练08 分配问题（二元一次方程组的应用） 13 考点讲练09 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 15 考点讲练10 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 17 考点讲练11 几何问题（二元一次方程组的应用） 18 考点讲练12 图表信息题（二元一次方程组的应用） 19 考点讲练13 古代问题（二元一次方程组的应用） 21 考点讲练14 其他问题（二元一次方程组的应用） 22 培优拔尖 分层训练 23 基础夯实真题练 23 培优拔尖真题练 27 知识点梳理01：审题建模（关键环节，决定解题方向） 步骤： 明确问题：提取题目中的已知量、未知量及隐含条件。 设未知数：用x和y表示两个关键未知量，并标注单位（如“设甲的速度为x km/h”）。 寻找等量关系：通过关键词（如“和”“差”“倍”“分”）建立两个独立方程，确保方程组可解。 示例（鸡兔同笼问题）： 已知头数总和为35，脚数总和为94，设鸡x只，兔y只： 解得x=23，y=12。 知识点梳理02：解方程与验证 方法选择： 代入法：当方程中某一未知数系数为1或较简单时（如y = 5 - x）优先使用。 加减法：当未知数系数对称或可通过调整系数对称时使用（如3x+2y=8与2x-3y=1）。 验证解：将解代入原方程检验是否成立，并判断是否符合实际意义（如人数、时间不可为负数）。 知识点梳理03：典型问题分类与解析 1. 和差倍分问题 特征：涉及两个量的总和、差、倍数或比例关系。 示例：甲、乙两数之和为50，甲比乙的2倍少10，求两数。 设甲为x，乙为y： 解得x=30，y=2016。 2. 行程与工程问题 行程问题：关注速度、时间、路程关系。 示例：A、B两地相距240 km，甲车比乙车每小时快10 km，两车同时出发相向而行，2小时后相遇。求两车速度。 解：设甲车速度为x km/h，乙车速度为y km/h： 解得x=65，y=5518。 工程问题：利用工作量=效率×时间，常设总工作量为1。 示例：甲队单独完成工程需20天，乙队需30天，两队合作需几天？ 设合作需x天： （转化为二元方程组需引入辅助变量） 3. 商品利润与配套问题 利润问题：利用售价=进价×(1+利润率)。 示例：某商品进价100元，按标价8折出售后利润率为20%，求标价。 解：设标价为x元，售价为0.8x元： 0.8x=100×(1+20%)（需引入第二个变量扩展为二元问题） 配套问题：关注比例关系（如螺栓与螺母1:2配套）。 示例：生产螺栓的工人数为x，生产螺母的工人数为y，每小时生产螺栓数:螺母数=1:2： 一、审题与建模阶段易错点 易错知识点01： 忽视隐含条件或关键信息 示例：题目描述“甲比乙多5元”，若设甲有x元，乙有y元，易错写成x = y + 5，但可能忽略隐含条件如“两人总金额为50元”，导致漏列方程x + y = 5。 规避策略： 用符号（如波浪线、圆圈）标记题目中的“总和”“差”“倍数”等关键词，逐一转化为数学表达式。 易错知识点02：单位不统一或未标注单位 示例：行程问题中，甲速度单位为km/h，乙为m/min，未统一单位直接列方程，导致计算错误。 规避策略： 设未知数时明确标注单位（如“设甲速度为x km/h”），并在计算前统一单位。 二、设未知数与列方程易错点 易错知识点01：变量选择不当导致方程复杂化 示例：配套问题中，若设生产螺栓的人数为x，生产螺母的人数为y，未直接关联产量比例（如螺栓:螺母=1:2），导致方程冗余。 正确做法：设螺栓日产量为2x个，螺母为3x个，直接利用比例关系简化方程。 易错知识点02：混淆等量关系或重复使用同一条件 示例：商品利润问题中，已知售价=进价×(1+利润率)，若同时用“利润=售价-进价”列两个方程，可能重复使用同一条件，导致矛盾方程。 规避策略：确保两个方程独立（如一个基于价格关系，一个基于数量关系）。 三、解方程与计算易错点 易错知识点01：代入消元时符号错误或遗漏项 示例：方程变形y = 2x - 3，代入另一方程时误写为5x + (2x - 3) = 10（正确应为5x + y = 10 → 5x + (2x - 3) = 10），若漏括号则导致符号错误。 规避策略：代入时用括号包裹表达式，如5x + (2x - 3) = 10，避免符号错误。 易错知识点02：加减消元时系数调整错误 示例：方程组 消去y时，需将(1)×3，(2)×2，但误将(1)×2，(2)×3，导致无法消元。 规避策略：用箭头标注调整后的系数，如→ 9x + 6y = 24和→ 4x - 6y = 2，确保绝对值相等。 四、验证与应用阶段易错点 易错知识点01：未检验解的实际意义 示例：人数问题中解得x=2.5人，未舍去非整数解；行程问题中速度出现负值，未结合实际情况判断。 规避策略：解方程后先代入原方程组验证数学正确性，再结合题意筛选合理答案。 易错知识点02：忽略多解或无解情况 示例：方程组 误认为有唯一解，实际为无穷解（两方程同解），未识别题目实际需求。 规避策略：通过系数比（如a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂）判断解的情况。 五、典型题型易错点强化 易错知识点01：行程问题 易错点：相向而行时总路程=速度和×时间，但误用追击问题公式（速度差×时间）； 未区分“相遇时”与“相遇后”的时间节点。 示例：A、B两地相距240 km，甲、乙相向而行，2小时后相遇。若甲速度比乙快10 km/h，设乙速度为y km/h，则方程应为2(y + 10) + 2y = 240，而非2(y + 10) - 2y = 240。 易错知识点02：利润与配套问题 易错点：利润计算时混淆“利润率”基数（如利润=进价×利润率，误用售价×利润率）； 配套比例未转化为产量关系（如1个螺栓配2个螺母→螺母产量=2×螺栓产量）。 示例：生产螺栓需8人，螺母需12人，要求螺栓:螺母=1:2。设螺栓人数为x，螺母为y，则方程应为 x + y = 总人数且螺栓产量:螺母产量 = 1:2，即(x/8) : (y/12) = 1:2，化简为3x = y。 考点讲练01 根据实际问题列二元一次方程组 【典例精讲】（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）我市出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费．小江乘坐这种出租车走了，付了元；小北乘坐这种出租车走了，付了元．设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元．根据题意，可列方程组为 ． 【变式训练1】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）某超市开展“购物满99元，减10元”的活动，李奶奶想买排骨和大虾凑够99元．如果买3斤排骨和1斤大虾，还差3元；如果买2斤排骨和2斤大虾，超出5元．设排骨单价为元斤，大虾单价为元斤，则可列出的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）某超市开展了“欢度端午，回馈顾客”的打折促销活动，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．设打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒的价格分别为x元、y元，则所列的方程组是 ． 考点讲练02 根据几何图形列二元一次方程组 【典例精讲】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，9个大小，形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算，《九章算术》第八章算为“方程”，其中有一例为：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是 ． 【变式训练2】（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 考点讲练03 方案问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（2025七年级下·浙江·专题练习）绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（t/辆） 1 3 4 汽车运费（元/辆） 100 250 300 (1)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆； (2)如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运输方案，并求出该方案的总费用．（每个档次的得分不同，优秀>良好>合格） 车型 甲 乙 丙 总费用 注意：4800元总费用元为良好总费用元为合格 汽车辆数 　 　 　 　 【变式训练1】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）某校在2023年组织七年级学生参加研学活动，租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 30 45 若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元． (1)求租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级10个班级的学生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？ 【变式训练2】．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元． (1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 考点讲练04 行程问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发小时后两者相遇．则甲、乙两人的速度分别为 ． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）列二元一次方程组解应用题： 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？ 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 考点讲练05 工程问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 【变式训练1】（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程． 问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小明所列方程：；小亮所列方程：； 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）； (2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）； (3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题． 考点讲练06 数字问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【变式训练1】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45． (1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数； (2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 考点讲练07 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（2024七年级·全国·竞赛）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【变式训练1】（23-24七年级上·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁． 【变式训练2】（2022八年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 考点讲练08 分配问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）优秀文化是文创产品的灵魂．西安肉夹馍、天水麻辣烫本身就是“圈粉”需求的地方代表性特色美食，以其为原型和载体创新文创产品“绒馍馍”和“麻辣烫”，生动展示了本土美食的独特韵味．一盒“绒馍馍”234元，一锅“麻辣烫”108元，某网友一次购买相应规格的“绒馍馍”和“麻辣烫”共10盒（锅），两种产品均享受七五折的优惠，共花费1188元，则该网友购买“绒馍馍”多少盒，购买“麻辣烫”多少锅？ 【变式训练1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 考点讲练09 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）佰洋电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是2025年3月前两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售总额 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 18000元 第二周 4台 10台 31000元 (1)求A，B两种型号的净水器的销售单价？ (2)由于前两周两种净水器都销售一空，电器公司第三周采购这两种型号的净水器共30台，恰好花费54000元，求A种型号的净水器采购了多少台？ (3)在（2）的条件下，电器公司第三周开始销售部分刚购进的A型号和B型号净水器，但发现市场将要被新款智能净水器所取代，为扩大销售量，将剩余B种型号净水器按售价的七折进行销售，A种型号净水器原售价不变，当第三周采购的30台净水器都销售一空后统计这30台净水器的利润为6700元，求电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为多少个？ 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·阶段练习）【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．如图所示． 【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元． 【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？ 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． (1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； (2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了220元，请问有几种购买方案？ (3)若小华恰好用了380元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？ 考点讲练10 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 【变式训练2】（24-25八年级上·全国·期末）在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题： 葡萄酒种类 A B C 每辆无人车装载量（箱） 6 8 9 (1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？ (2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？ 考点讲练11 几何问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（2025七年级下·福建·专题练习）某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． (1)若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边______米，________米． (2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）[教材探究2变式]甲、乙两种作物单位面积产量的比是．现要把一块长，宽为的长方形土地，如图分为两块小长方形土地，左边长方形种甲种作物，右边长方形种乙种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量相等？ 【变式训练2】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）在大正方形中，按图中的虚线裁剪出8块相同的大长方形纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，则每块大长方形的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点讲练12 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位．已知第一、二束气球的价格如图所示（图示：第一束气球价格14元，第二束18元），则第三束气球的价格为 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·课后作业）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 考点讲练13 古代问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（23-24七年级下·福建福州·期中）《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】．（2025·河北石家庄·三模）《九章算术》中有这样一题：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．问家数、牛价各是多少．下列说法正确的是（   ） A．设有x家，则牛价为钱 B．设有x家，则可列方程为 C．设有x家，则牛价为y钱，则可列方程组为 D．设有x家，牛价为y钱，则可列方程组为 【变式训练2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你用方程组的知识解答这个问题． 考点讲练14 其他问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为，下列说法：①两根铁棒的长度和为；②其中一根铁棒长度为；③两根铁棒的长度和为；④其中一根铁棒露出水面的长度为．其中说法正确的序号为 ． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）蜡烛比蜡烛长厘米，下午时分将蜡烛点燃，在下午时将蜡烛点燃，这两根蜡烛分别各自以均匀的速度燃烧．晚上时分，两根蜡烛未燃烧的长度一样．晚上时蜡烛完全烧尽，晚上时分蜡烛完全烧尽．蜡烛在未点燃前的长度为多少厘米？ 【变式训练2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）中国学生营养促进会确定了每年5月20日为中国学生营养日，其目的在于广泛、深入宣传学生时期营养的重要性，大力普及营养知识．在某400克早餐套餐中，蛋白质总含量为，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋，其中一个去壳鸡蛋的质量为56克，这个鸡蛋的蛋白质含量为11.2克；谷物面包和牛奶的部分营养成分如表所示．求400克早餐套餐中谷物面包和牛奶的质量． 谷物面包（每100克） 牛奶（每100克） 蛋白质10克 脂肪33.6克 碳水化合物52.8克 钠290毫克 蛋白质3.2克 脂肪3.6克 碳水化合物4.5克 钠100毫克 基础夯实真题练 1．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）正确的是 （    ） 隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤． 《算法统宗》注：明代时1斤16两，故有“半斤八两”这个成语 A． B． C． D． 2．（2025·浙江·一模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是由6块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为1．若设标有序号①、②的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为 ． 6．（24-25八年级上·江西九江·期中）小甘到文具超市去买文具，设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，请你根据下图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？ 7．（2025七年级下·全国·专题练习）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．则成人票每张原价为 元，儿童票每张原价 元． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元． (1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元； (2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元． 9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)若顺迈学校实际需要一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共60副，要求购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，顺迈学校最多可以购买多少副羽毛球拍？ 10．（2025·福建三明·一模）综合与实践 【背景】住尤溪的小颖想给亲朋好友寄送尤溪特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 福建省内 江浙沪地区 首重 续重 素材2： 电子存单1 电子存单2 托寄物：尤溪特产 目的地：福州 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：尤溪特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)小颖给在厦门的朋友寄出了千克的尤溪特产，她需要支付快递费多少元？ (2)小颖给在杭州的外婆寄特产快递费花了72元，求这份特产重量的取值范围． 培优拔尖真题练 11．（2025·河北唐山·一模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．”其可译为：“有5只麻雀、6只燕子，分别在衡上称量之，麻雀在一起重，燕子在一起轻．将1只麻雀、1只燕子交换，衡恰好平衡．麻雀与燕子合起来共重1斤（1斤等于16两）．”设雀、燕每只各重x、y两，则下列说法错误的是（   ） A．依题意 B．依题意 C．依题意 D．一只燕的重量是两 12．（24-25九年级下·黑龙江·期中）小王用42元钱去购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个6元，乙种学习用品每个4元．42元钱恰好用完，则小王的购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 13．（21-22七年级上·浙江温州·期末）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　）公里． A．4000 B．3750 C．4250 D．3250 14．（24-25八年级上·山西太原·期末）《九章算术》的第八章方程中有这样一道题：“今有上和七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗，下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗，问上、下禾实——秉各几何？”其译文为：“今有上禾7束，减去其中果实一斗，加下禾2束，则得果实10斗；下禾8束，加果实1斗和上禾2束，则得果实10斗，问上禾、下禾1束得果实多少？设上禾1束果实为x斗，下禾1束果实为y斗，则根据题意列方程组为 ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）某商场在按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元．若按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获得的利润相等，则该工艺品每件的进价为 元，标价为 元． 16．（24-25七年级下·重庆·开学考试）元宵节将至，各种口味的汤圆纷纷上市，某商家从汤圆生产商处采购了花生、芝麻、奥巧三种口味的汤圆进行销售，其每袋进价分别是20元，25元，30元，其中花生与奥巧味汤圆每袋的销售利润率相同，每袋芝麻味汤圆的利润比每袋奥巧味汤圆的利润少，经统计，在今年元宵当天，该商家花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量是，其中销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，且芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，则今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润是 元． 17．（23-24七年级下·福建福州·期中）列方程组解应用题：甲、乙两人相距9千米，若两人同时出发相向而行，1小时后相遇；若两人同时出发同向而行，则甲3小时可追上乙．甲，乙两人的速度每小时各为多少千米？ 18．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在国家积极推进“互联网＋”行动以来，网上购物已成为生活中的常态．小亮在网购平台上购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表： 购买商品 A的数量（个） 购买商品 B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购物 6 4 240 第二次购物 8 6 204 第三次购物 5 6 280 (1)小亮第 次购物时，商品A、B同时打折，并简略叙述理由． (2)请求出商品A的标价． 19．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）神舟启新程，天宫再会师．北京时间2024年10月30日凌晨，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．在护航任务过程中，来自河南众多航天军工企业的一批“科技元素”熠熠生辉，再次贡献了“河南力量”！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： 小星：我买了1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型，共花了40元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． 求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ 20．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知两点在数轴上所表示的数分别为，且满足． (1)填空：_______，______； (2)①问题探究：将一根木棒如图1所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这根木棒的长为_______个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄； (3)在(2)①的条件下，现将木棒从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下册同步培优重点难点知识讲练（2024 新教材） 10.5 用二元一次方程组解决问题 【第10章 二元一次方程组】 （思维导图+知识梳理+14个考点讲练+优选真题难度分层练 共62题） 同学你好，本套讲义针对最新本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 3 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：审题建模（关键环节，决定解题方向） 3 知识点梳理02：解方程与验证 3 知识点梳理03：典型问题分类与解析 4 易错点拨 查漏补缺 5 一、审题与建模阶段易错点 5 易错知识点01： 忽视隐含条件或关键信息 5 易错知识点02：单位不统一或未标注单位 5 二、设未知数与列方程易错点 5 易错知识点01：变量选择不当导致方程复杂化 5 易错知识点02：混淆等量关系或重复使用同一条件 5 三、解方程与计算易错点 6 易错知识点01：代入消元时符号错误或遗漏项 6 易错知识点02：加减消元时系数调整错误 6 四、验证与应用阶段易错点 6 易错知识点01：未检验解的实际意义 6 易错知识点02：忽略多解或无解情况 6 五、典型题型易错点强化 6 易错知识点01：行程问题 6 易错知识点02：利润与配套问题 7 重点难点 考点讲练 7 考点讲练01 根据实际问题列二元一次方程组 7 考点讲练02 根据几何图形列二元一次方程组 8 考点讲练03 方案问题（二元一次方程组的应用） 10 考点讲练04 行程问题（二元一次方程组的应用） 15 考点讲练05 工程问题（二元一次方程组的应用） 16 考点讲练06 数字问题（二元一次方程组的应用） 19 考点讲练07 年龄问题（二元一次方程组的应用） 21 考点讲练08 分配问题（二元一次方程组的应用） 22 考点讲练09 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 24 考点讲练10 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 29 考点讲练11 几何问题（二元一次方程组的应用） 32 考点讲练12 图表信息题（二元一次方程组的应用） 35 考点讲练13 古代问题（二元一次方程组的应用） 37 考点讲练14 其他问题（二元一次方程组的应用） 39 培优拔尖 分层训练 41 基础夯实真题练 41 培优拔尖真题练 49 知识点梳理01：审题建模（关键环节，决定解题方向） 步骤： 明确问题：提取题目中的已知量、未知量及隐含条件。 设未知数：用x和y表示两个关键未知量，并标注单位（如“设甲的速度为x km/h”）。 寻找等量关系：通过关键词（如“和”“差”“倍”“分”）建立两个独立方程，确保方程组可解。 示例（鸡兔同笼问题）： 已知头数总和为35，脚数总和为94，设鸡x只，兔y只： 解得x=23，y=12。 知识点梳理02：解方程与验证 方法选择： 代入法：当方程中某一未知数系数为1或较简单时（如y = 5 - x）优先使用。 加减法：当未知数系数对称或可通过调整系数对称时使用（如3x+2y=8与2x-3y=1）。 验证解：将解代入原方程检验是否成立，并判断是否符合实际意义（如人数、时间不可为负数）。 知识点梳理03：典型问题分类与解析 1. 和差倍分问题 特征：涉及两个量的总和、差、倍数或比例关系。 示例：甲、乙两数之和为50，甲比乙的2倍少10，求两数。 设甲为x，乙为y： 解得x=30，y=2016。 2. 行程与工程问题 行程问题：关注速度、时间、路程关系。 示例：A、B两地相距240 km，甲车比乙车每小时快10 km，两车同时出发相向而行，2小时后相遇。求两车速度。 解：设甲车速度为x km/h，乙车速度为y km/h： 解得x=65，y=5518。 工程问题：利用工作量=效率×时间，常设总工作量为1。 示例：甲队单独完成工程需20天，乙队需30天，两队合作需几天？ 设合作需x天： （转化为二元方程组需引入辅助变量） 3. 商品利润与配套问题 利润问题：利用售价=进价×(1+利润率)。 示例：某商品进价100元，按标价8折出售后利润率为20%，求标价。 解：设标价为x元，售价为0.8x元： 0.8x=100×(1+20%)（需引入第二个变量扩展为二元问题） 配套问题：关注比例关系（如螺栓与螺母1:2配套）。 示例：生产螺栓的工人数为x，生产螺母的工人数为y，每小时生产螺栓数:螺母数=1:2： 一、审题与建模阶段易错点 易错知识点01： 忽视隐含条件或关键信息 示例： 题目描述“甲比乙多5元”，若设甲有x元，乙有y元，易错写成x = y + 5，但可能忽略隐含条件如“两人总金额为50元”，导致漏列方程x + y = 5。 规避策略： 用符号（如波浪线、圆圈）标记题目中的“总和”“差”“倍数”等关键词，逐一转化为数学表达式。 易错知识点02：单位不统一或未标注单位 示例： 行程问题中，甲速度单位为km/h，乙为m/min，未统一单位直接列方程，导致计算错误。 规避策略： 设未知数时明确标注单位（如“设甲速度为x km/h”），并在计算前统一单位。 二、设未知数与列方程易错点 易错知识点01：变量选择不当导致方程复杂化 示例： 配套问题中，若设生产螺栓的人数为x，生产螺母的人数为y，未直接关联产量比例（如螺栓:螺母=1:2），导致方程冗余。 正确做法： 设螺栓日产量为2x个，螺母为3x个，直接利用比例关系简化方程。 易错知识点02：混淆等量关系或重复使用同一条件 示例： 商品利润问题中，已知售价=进价×(1+利润率)，若同时用“利润=售价-进价”列两个方程，可能重复使用同一条件，导致矛盾方程。 规避策略： 确保两个方程独立（如一个基于价格关系，一个基于数量关系）。 三、解方程与计算易错点 易错知识点01：代入消元时符号错误或遗漏项 示例： 方程变形y = 2x - 3，代入另一方程时误写为5x + (2x - 3) = 10（正确应为5x + y = 10 → 5x + (2x - 3) = 10），若漏括号则导致符号错误。 规避策略：代入时用括号包裹表达式，如5x + (2x - 3) = 10，避免符号错误。 易错知识点02：加减消元时系数调整错误 示例： 方程组 消去y时，需将(1)×3，(2)×2，但误将(1)×2，(2)×3，导致无法消元。 规避策略：用箭头标注调整后的系数，如→ 9x + 6y = 24和→ 4x - 6y = 2，确保绝对值相等。 四、验证与应用阶段易错点 易错知识点01：未检验解的实际意义 示例：人数问题中解得x=2.5人，未舍去非整数解；行程问题中速度出现负值，未结合实际情况判断。 规避策略：解方程后先代入原方程组验证数学正确性，再结合题意筛选合理答案。 易错知识点02：忽略多解或无解情况 示例： 方程组 误认为有唯一解，实际为无穷解（两方程同解），未识别题目实际需求。 规避策略：通过系数比（如a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂）判断解的情况。 五、典型题型易错点强化 易错知识点01：行程问题 易错点：相向而行时总路程=速度和×时间，但误用追击问题公式（速度差×时间）； 未区分“相遇时”与“相遇后”的时间节点。 示例： A、B两地相距240 km，甲、乙相向而行，2小时后相遇。若甲速度比乙快10 km/h，设乙速度为y km/h，则方程应为2(y + 10) + 2y = 240，而非2(y + 10) - 2y = 240。 易错知识点02：利润与配套问题 易错点： 利润计算时混淆“利润率”基数（如利润=进价×利润率，误用售价×利润率）； 配套比例未转化为产量关系（如1个螺栓配2个螺母→螺母产量=2×螺栓产量）。 示例： 生产螺栓需8人，螺母需12人，要求螺栓:螺母=1:2。设螺栓人数为x，螺母为y，则方程应为 x + y = 总人数且螺栓产量:螺母产量 = 1:2，即(x/8) : (y/12) = 1:2，化简为3x = y。 考点讲练01 根据实际问题列二元一次方程组 【典例精讲】（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）我市出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费．小江乘坐这种出租车走了，付了元；小北乘坐这种出租车走了，付了元．设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元．根据题意，可列方程组为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，理清题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据“小江乘坐这种出租车走了，付了元；小北乘坐这种出租车走了，付了元”，列出二元一次方程组，即可解答． 【规范解答】解：根据题意得， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）某超市开展“购物满99元，减10元”的活动，李奶奶想买排骨和大虾凑够99元．如果买3斤排骨和1斤大虾，还差3元；如果买2斤排骨和2斤大虾，超出5元．设排骨单价为元斤，大虾单价为元斤，则可列出的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“买3斤排骨和1斤大虾，还差3元；买2斤排骨和2斤大虾，超出5元” 列出相应的方程组，然后对比选项即可解答本题． 【规范解答】解：由题意可得，， 故选：D． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）某超市开展了“欢度端午，回馈顾客”的打折促销活动，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．设打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒的价格分别为x元、y元，则所列的方程组是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设打折前甲品牌粽子每盒为x元，乙品牌粽子每盒为y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元”，列出二元一次方程组即可． 【规范解答】解：设打折前甲品牌粽子每盒为x元，乙品牌粽子每盒为y元，根据题意，得 ， 故答案为：． 考点讲练02 根据几何图形列二元一次方程组 【典例精讲】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，9个大小，形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的应用，根据图形列出相关代数式并得到等量关系是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为或，即；大长方形的宽为，再根据长方形的周长公式可得即可解答． 【规范解答】解：设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为或，即； 由图形可知：大长方形的宽为，则大长方形的周长为， 综上所述，可列方程组． 故选：A． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算，《九章算术》第八章算为“方程”，其中有一例为：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了列二元一次方程，弄清图的意义是解题的关键． 根据题意可知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中左边的未知数x，y的系数以及等式右边相应的常数项，一个竖线表示一个，一条横线表示一十，据此列出方程即可． 【规范解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中左边的未知数x，y的系数以及等式右边相应的常数项，一个竖线表示一个，一条横线表示一十， 所以该图表示的方程是：． 故答案为：． 【变式训练2】（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【思路点拨】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【规范解答】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【考点评析】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 考点讲练03 方案问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（2025七年级下·浙江·专题练习）绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（t/辆） 1 3 4 汽车运费（元/辆） 100 250 300 (1)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆； (2)如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运输方案，并求出该方案的总费用．（每个档次的得分不同，优秀>良好>合格） 车型 甲 乙 丙 总费用 注意：4800元总费用元为良好总费用元为合格 汽车辆数 　 　 　 　 【答案】(1)需要甲13辆，乙16辆； (2)共有6种运输方案，详见解析． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，列出方程是解答关键． （1）设需要辆甲种车，辆乙种车，根据题意列出方程组，解此方程组即可求解； （2）设使用辆甲种车，辆乙种车，则使用辆丙种车，根据辆甲种车运送的蔬菜辆乙种车运送的蔬菜辆丙种车运送的蔬菜列出方程，再根据、、都是正整数，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：设需要辆甲种车，辆乙种车， ∴ ∴， ∴需要甲13辆，乙16辆． （2）解：设使用辆甲种车，辆乙种车，则使用辆丙种车， ∴ ∴ 又∵，，均为正整数， ∴或或或或或， ∴共有6种运输方案，所需费用如下表， 车型 甲 乙 丙 总费用 等级 汽车辆数 6 1 13 4750 优秀 5 4 11 4800 良好 4 7 9 4850 良好 3 10 7 4900 良好 2 13 5 4950 合格 1 16 3 5000 合格 【变式训练1】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）某校在2023年组织七年级学生参加研学活动，租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 30 45 若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元． (1)求租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级10个班级的学生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？ 【答案】(1)租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元； (2)租用A型客车辆，租用B型客车辆，需要花费钱． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． （1）设租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元，根据“租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元”列方程求解即可； （2）设租用A型客车辆，租用B型客车辆，，得到关于、的二元一次方程，求出正整数解，可得方案． 【规范解答】（1）解：设租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元， 由题意得：，解得：， 答：租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元； （2）解：设租用A型客车辆，租用B型客车辆， 则， 则， 、都是正整数， 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 则为了节约成本，则租用A型客车辆，租用B型客车辆，需要花费钱． 【变式训练2】．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元． (1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； (2)共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆； (3)购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，， 共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆； （3）解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 考点讲练04 行程问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发小时后两者相遇．则甲、乙两人的速度分别为 ． 【答案】16千米时，24千米时 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲的速度为千米时，乙的速度为千米时，根据两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发小时后两者相遇，列出方程组进行求解即可． 【规范解答】解：设甲的速度为千米时，乙的速度为千米时， ， 解得， 所以，甲的速度为16千米时，乙的速度为24千米时． 故答案为：16千米时，24千米时． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）列二元一次方程组解应用题： 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？ 【答案】骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系列出方程跟组是解答本题的关键．设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟，利用路程＝速度×时间，结合小明到校所用时间及从家到学校的路程，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟， 根据题意得：， 解得：． 答：小明骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【答案】9千米 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答． 【规范解答】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）， 答：从出发点到景区的路程是9千米． 考点讲练05 工程问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 (2)与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． （1）设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天， 根据题意得 解得 答：甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 （2）解：设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的， 根据题意得， 解得， 答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程． 【变式训练1】（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【答案】(1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； (2)能比原来少用天． 【思路点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键； （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分别计算出施工进度改进前和改进后完成任务还需的天数，再作差即可． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得． 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）解：设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则 （天）， （天）， 则（天）． 答：能比原来少用天． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程． 问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小明所列方程：；小亮所列方程：； 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）； (2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）； (3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题． 【答案】(1)是 (2)② (3)一箱零件数是28个，该工人每小时能生产的零件数是8个 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，正确理解所列方程的意义是解题的关键． （1）根据所列方程分别得到小明和小亮所列方程中x的意义即可得到答案； （2）根据小亮所列方程的意义求解即可； （3）利用解二元一次方程组的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：由小明所列方程的意义可知，小明方程中x表示的是这一箱零件的个数， 而由小亮所列方程的意义可知，小亮方程中的x表示的是这一箱零件的个数， ∴以上两个方程（组）中x意义相同， 故答案为：是； （2）解：根据小亮所列方程的意义可知小亮的方程所用等量关系为4个小时生产的零件数相等， 故答案为：②； （3）解：设一箱零件数是个，该工人每小时能生产的零件数是个， 根据题意得，， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， ∴这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是28个、8个． 考点讲练06 数字问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为，十位数字为，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，列出方程组进行求解即可． 【规范解答】解：设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ，解得：， ∴这个三位数为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45． (1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数； (2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组． 【答案】(1)原来的两位数为； (2)，检验见解析． 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设原来的两位数的十位数字为，个位数字为，根据“把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据“十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的二元一次方程组，再代入值，验证即可． 【规范解答】（1）解：设原来的两位数的个位数字为，则十位数字为，依题意，得： ， 解得：， ， ∴原来的两位数为； （2）解：依题意，得： ， 由（1）知， ∴， ∴是方程组的解， ∴（1）中求得的结果满足所列的方程组． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 【答案】49 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找出等量关系、列出方程组是解题的关键． 设原来的两位数的个位数字为，十位数字为，然后根据题意列方程组求解即可． 【规范解答】解：设原来的两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意，得，解得． 所以，原来的两位数为． 考点讲练07 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（2024七年级·全国·竞赛）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【答案】27 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【规范解答】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 【变式训练1】（23-24七年级上·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁． 【答案】 28 21 【思路点拨】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可． 【规范解答】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁， 由题意得：， 解得：， 即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁， 故答案为：28，21． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 【变式训练2】（2022八年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【思路点拨】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【规范解答】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 考点讲练08 分配问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）优秀文化是文创产品的灵魂．西安肉夹馍、天水麻辣烫本身就是“圈粉”需求的地方代表性特色美食，以其为原型和载体创新文创产品“绒馍馍”和“麻辣烫”，生动展示了本土美食的独特韵味．一盒“绒馍馍”234元，一锅“麻辣烫”108元，某网友一次购买相应规格的“绒馍馍”和“麻辣烫”共10盒（锅），两种产品均享受七五折的优惠，共花费1188元，则该网友购买“绒馍馍”多少盒，购买“麻辣烫”多少锅？ 【答案】该网友购买“绒馍馍”4盒，购买“麻辣烫”6锅 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设该网友购买“绒馍馍”盒，购买“麻辣烫”锅，根据题意建立方程组，解方程组即可得． 【规范解答】解：设该网友购买“绒馍馍”盒，购买“麻辣烫”锅， 由题意得：， 解得， 答：该网友购买“绒馍馍”4盒，购买“麻辣烫”6锅． 【变式训练1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【答案】12个 【思路点拨】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【规范解答】解：设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面， 由题意得， 解得． （个）或（个） 答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 考点讲练09 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）佰洋电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是2025年3月前两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售总额 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 18000元 第二周 4台 10台 31000元 (1)求A，B两种型号的净水器的销售单价？ (2)由于前两周两种净水器都销售一空，电器公司第三周采购这两种型号的净水器共30台，恰好花费54000元，求A种型号的净水器采购了多少台？ (3)在（2）的条件下，电器公司第三周开始销售部分刚购进的A型号和B型号净水器，但发现市场将要被新款智能净水器所取代，为扩大销售量，将剩余B种型号净水器按售价的七折进行销售，A种型号净水器原售价不变，当第三周采购的30台净水器都销售一空后统计这30台净水器的利润为6700元，求电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为多少个？ 【答案】(1)A型2500元，B型2100元 (2)10台 (3)10台 【思路点拨】本题考查二元一次方程组与一元一次方程的应用，根据题意正确列方程（组）是解题的关键． （1）设A种型号的净水器的销售单价为x元，B种型号的净水器的销售单价为y元，根据“第一周A种型号净水器的销售量为3台，B种型号净水器的销售量为5 台，销售总额为18000元；第二周A种型号净水器的销售量为4台，B种型号净水器的销售量为10台，销售总额为31000元”，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A种型号的净水器采购了m台，则B种型号的净水器采购了台，根据总价单价数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为n台，则不打折销售的B种型号净水器为台，根据利润销售收入进货成本，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设A种型号的净水器的销售单价为x元，B种型号的净水器的销售单价为y元， 依题意，得， 解得： ， 答：A种型号的净水器的销售单价为2500元，B种型号的净水器的销售单价为2100元． （2）解：设A种型号的净水器m台，则B种型号的净水器台， 依题意，得：， 解得， 答：A种型号的净水器采购了10台． （3）解：设电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为n台，则不打折销售的B种型号净水器为台， 依题意，得：， 解得：， 答：电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为10台． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·阶段练习）【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．如图所示． 【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元． 【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】任务1：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；任务2：有3种购买方案；任务3：B款加料的奶茶买了11杯 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【规范解答】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得： ， 解得：； 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得： ， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、均为正整数， ∴， ∴； 答：B款加料的奶茶买了11杯． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． (1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； (2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了220元，请问有几种购买方案？ (3)若小华恰好用了380元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】(1)A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元 (2)见解析 (3)3杯 【思路点拨】（1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【规范解答】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①购买A种款式的奶茶16杯，购买B种款式的奶茶5杯； ②购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶10杯； ③购买A种款式的奶茶4杯，购买B种款式的奶茶15杯； （3）解：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、均为正整数， ∴， ∴， 答：B款加料的奶茶买了3杯． 考点讲练10 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，根据从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆，运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，列出方程组进行求解即可． 【规范解答】解：设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，根据题意得： ， 解得：， ∴甲车装了18箱A和2箱B，乙车装了2箱A和18箱B， 所以，甲车有2箱货物装错． 故选：D． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 【答案】(1)七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生 (2)八年级报名38人，九年级报名58人 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程的应用． （1）设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：①若，②若，由题意分别列出方程组，解方程组即可． 【规范解答】（1）解：设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生， 由题意，得， 解得， 答：七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生； （2）解：设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况： ①若，由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ②若，由题意，得， 解得， 答：八年级报名38人，九年级报名58人． 【变式训练2】（24-25八年级上·全国·期末）在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题： 葡萄酒种类 A B C 每辆无人车装载量（箱） 6 8 9 (1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？ (2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？ 【答案】(1)装运A种葡萄酒需13辆无人车，装运B种葡萄酒需11辆无人车； (2)无人车的装运方案共有3种， 方案1：用11辆无人车装运A种葡萄酒，17辆无人车装运B种葡萄酒，12辆无人车装运C种葡萄酒； 方案2：用12辆无人车装运A种葡萄酒，14辆无人车装运B种葡萄酒，14辆无人车装运C种葡萄酒； 方案3：用13辆无人车装运A种葡萄酒，11辆无人车装运B种葡萄酒，16辆无人车装运C种葡萄酒． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车，根据“葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送，，三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒，根据租用的40辆无人车恰好可以运送，，三种葡萄酒共310箱，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为不小于11的正整数，即可找出各装运方案． 【规范解答】（1）解：设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车， 根据题意得：， 解得：． 答：装运种葡萄酒需13辆无人车，装运种葡萄酒需11辆无人车； （2）解：设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒， 根据题意得：， ， 又，，均为不小于11的正整数， 或或， 无人车的装运方案共有3种， 方案1：用11辆无人车装运种葡萄酒，17辆无人车装运种葡萄酒，12辆无人车装运种葡萄酒； 方案2：用12辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒； 方案3：用13辆无人车装运种葡萄酒，11辆无人车装运种葡萄酒，16辆无人车装运种葡萄酒． 考点讲练11 几何问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（2025七年级下·福建·专题练习）某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． (1)若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边______米，________米． (2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． 【答案】(1)0.4，0.6； (2)，． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，读懂图形，找到等量关系，列出方程（组）． （1）根据方案一可得，由方案一、二可得乙和丙的宽相等，从而可得； （2）从窗户中得出丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，根据题意列出方程组，解之即可； 【规范解答】（1）（米）， （米）； （2）由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍， 可得：， 解得：． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）[教材探究2变式]甲、乙两种作物单位面积产量的比是．现要把一块长，宽为的长方形土地，如图分为两块小长方形土地，左边长方形种甲种作物，右边长方形种乙种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量相等？ 【答案】把长方形土地分成左边长为，右边长，可使甲，乙两种作物的总产量相等 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，设，，根据题意列出法方程组解答即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：设，， 由题意得，， 解得， 答：把长方形土地分成左边长为，右边长，可使甲，乙两种作物的总产量相等． 【变式训练2】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）在大正方形中，按图中的虚线裁剪出8块相同的大长方形纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，则每块大长方形的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是理解题意，并能从题意中找出等式，设长方形纸片的长为，宽为，由小正方形（阴影部分）的面积是9，可得，即，由大正方形的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为，宽为，可得，即，再求解即可． 【规范解答】解：设长方形纸片的长为，宽为， 小正方形（阴影部分）的面积是9， ，即， 大正方形的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为，宽为， ，即， ，解得， 大长方形的面积是， 故选：C 考点讲练12 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位．已知第一、二束气球的价格如图所示（图示：第一束气球价格14元，第二束18元），则第三束气球的价格为 ． 【答案】16 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识点，审清题意、列二元一次方程组是解题的关键， 设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个，然后根据第一、二束列出方程组求得x、y的值，最后根据第三束气球状况列代数式并求值即可． 【规范解答】解：设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个， 由题意得：，解得：， ∴第三束气球的价格为（元）． 故答案为16． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·课后作业）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】(1)a值为值为4.2 (2)146.6元 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列式计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；； (2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 考点讲练13 古代问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（23-24七年级下·福建福州·期中）《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据已知方程组，结合图可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10；根据图2中第一个方程求出x，y的值代入第二个代数式求值是解题关键． 【规范解答】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得， 又∵， 解得：，， 把，代入得，， 故选：B． 【变式训练1】．（2025·河北石家庄·三模）《九章算术》中有这样一题：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．问家数、牛价各是多少．下列说法正确的是（   ） A．设有x家，则牛价为钱 B．设有x家，则可列方程为 C．设有x家，则牛价为y钱，则可列方程组为 D．设有x家，牛价为y钱，则可列方程组为 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．设有x家，牛价为y钱，由每7家共出钱，会差钱，每9家共出钱，又多了钱，列方程即可． 【规范解答】解：设有x家，牛价为y钱， 根据题意可列方程为，故A选项，B选项错误； 则可列方程组为，故C选项错误，D选项正确； 故选：D． 【变式训练2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你用方程组的知识解答这个问题． 【答案】客人30个，盘子13个 【思路点拨】本题考查二元一次方程，设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解，找到正确的等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：设有x个客人，y个盘子． 根据题意，得 , 解得 ， 答∶有30个客人，13个盘子． 考点讲练14 其他问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为，下列说法：①两根铁棒的长度和为；②其中一根铁棒长度为；③两根铁棒的长度和为；④其中一根铁棒露出水面的长度为．其中说法正确的序号为 ． 【答案】①④ 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组求解．设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为，因为两根铁棒之差为，故可得方程：，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程，把两个方程联立，组成方程组，解方程组可得两根铁棒的长度，再逐项判断即可． 【规范解答】解：设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为，由题意得： 解得，， ∴较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为，故②错误； ∴两根铁棒的长度和为，故①正确，③错误； ∴较长铁棒露出水面的长度为，较短铁棒露出水面的长度为，故④正确， 因此正确的结论是①④， 故答案为：①④． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）蜡烛比蜡烛长厘米，下午时分将蜡烛点燃，在下午时将蜡烛点燃，这两根蜡烛分别各自以均匀的速度燃烧．晚上时分，两根蜡烛未燃烧的长度一样．晚上时蜡烛完全烧尽，晚上时分蜡烛完全烧尽．蜡烛在未点燃前的长度为多少厘米？ 【答案】厘米 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，设蜡烛的燃烧速度为，蜡烛的燃烧速度为，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：设蜡烛的燃烧速度为，蜡烛的燃烧速度为， 由题意得，， 解得， ∴蜡烛的长度， 答：蜡烛在未点燃前的长度为厘米． 【变式训练2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）中国学生营养促进会确定了每年5月20日为中国学生营养日，其目的在于广泛、深入宣传学生时期营养的重要性，大力普及营养知识．在某400克早餐套餐中，蛋白质总含量为，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋，其中一个去壳鸡蛋的质量为56克，这个鸡蛋的蛋白质含量为11.2克；谷物面包和牛奶的部分营养成分如表所示．求400克早餐套餐中谷物面包和牛奶的质量． 谷物面包（每100克） 牛奶（每100克） 蛋白质10克 脂肪33.6克 碳水化合物52.8克 钠290毫克 蛋白质3.2克 脂肪3.6克 碳水化合物4.5克 钠100毫克 【答案】该份早餐中谷物面包的质量为144克，牛奶的质量为200克 【思路点拨】设该份早餐中谷物面包的质量为x克，牛奶的质量为y克，根据这份早餐的总质量及蛋白质的总含量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【规范解答】解：设该份早餐中谷物面包的质量为x克，牛奶的质量为y克， 根据题意得： 解得： 答：该份早餐中谷物面包的质量为144克，牛奶的质量为200克． 基础夯实真题练 1．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）正确的是 （    ） 隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤． 《算法统宗》注：明代时1斤16两，故有“半斤八两”这个成语 A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程、二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程、二元一次方程组是解题的关键．根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”，即可列出关于（或的一元一次方程、二元一次方程组，此题得解． 【规范解答】解：如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两， 或或． 故选：D． 2．（2025·浙江·一模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得，据此列出相应的方程组即可． 【规范解答】解：设甲原有钱，乙原有钱， 依题意得， 故选：A． 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是由6块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为1．若设标有序号①、②的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组． 观察图形，从水平方向看，两个边长为的部分长度和等于，即；从垂直方向看，的长度与相等，即．将这两个等量关系组合，得到方程组； 【规范解答】解：水平方向：观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即．   垂直方向：从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减（因图形无缝拼接），即， 综上，符合条件的二元一次方程组为． 故选：A． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，列出方程组，求出即可． 【规范解答】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： ， 即由此可得： ， ∴，即甲比乙大5岁． 故答案为：5． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为 ． 【答案】40 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，每套由4个型零件和3个型零件配套组成，50天恰好完成1200套产品，列出方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故答案为：40． 6．（24-25八年级上·江西九江·期中）小甘到文具超市去买文具，设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，请你根据下图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？ 【答案】中性笔单价为2元，笔记本单价为6元． 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【规范解答】解：设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元， 根据题意可知：， 解得：， 答：中性笔单价为2元，笔记本单价为6元． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．则成人票每张原价为 元，儿童票每张原价 元． 【答案】 40 25 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，根据第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元，列出方程组进行求解即可． 【规范解答】解：设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，由题意得： ， 解得：， 所以，成人票每张原价40元，儿童票每张原价25元． 故答案为：40，25． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元． (1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元； (2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元． 【答案】(1)一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元 (2)全部售出后共可获利1480元 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个，根据题意列出方程组，解出的值，再计算获利即可解答． 【规范解答】（1）解：设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元， 由题意得，， 解得：， 答：一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元． （2）解：设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个， 由题意得，， 解得：， 购进干粉灭火器60个，购进消防自救呼吸器40个， 全部售出后共可获利（元）， 答：全部售出后共可获利1480元． 9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)若顺迈学校实际需要一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共60副，要求购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，顺迈学校最多可以购买多少副羽毛球拍？ 【答案】(1)购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元； (2)最多可以购买20副羽毛球拍． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找出等量关系及不等关系． （1）设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，根据等量关系：若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元，列出方程组求解即可； （2）设可以购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍副，根据不等关系：购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，列出不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，依题意得： ，解得， 答：购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元． （2）解：设可以购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍副，依题意得： ． 解得． 答：最多可以购买20副羽毛球拍． 10．（2025·福建三明·一模）综合与实践 【背景】住尤溪的小颖想给亲朋好友寄送尤溪特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 福建省内 江浙沪地区 首重 续重 素材2： 电子存单1 电子存单2 托寄物：尤溪特产 目的地：福州 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：尤溪特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)小颖给在厦门的朋友寄出了千克的尤溪特产，她需要支付快递费多少元？ (2)小颖给在杭州的外婆寄特产快递费花了72元，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1)支付快递费16元． (2)这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克． 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用． （1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，确定．根据福建省内收费标准计算即可． （2）设这份特产按千克计费，根据江浙沪地区收费标准列出关于x的一元一次方程，解方程，再结合不足1千克按1千克计算即可得出这份特产重量的取值范围． 【规范解答】（1）解：由题意可知： 解得． ∵不足1千克按1千克计算，故千克按4千克计算， 即（元）． 她需要支付快递费16元． （2）解：设这份特产按千克计费， 则 解得． 所以这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克． 培优拔尖真题练 11．（2025·河北唐山·一模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．”其可译为：“有5只麻雀、6只燕子，分别在衡上称量之，麻雀在一起重，燕子在一起轻．将1只麻雀、1只燕子交换，衡恰好平衡．麻雀与燕子合起来共重1斤（1斤等于16两）．”设雀、燕每只各重x、y两，则下列说法错误的是（   ） A．依题意 B．依题意 C．依题意 D．一只燕的重量是两 【答案】D 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用．根据将一只雀一只燕交换位置而放，天平恰好平衡，5只雀、6只燕重量共16两，列出方程组即可，求解即可． 【规范解答】解：设1只雀重x两，一只燕重y两， 由题意，得：，，． 解得，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 12．（24-25九年级下·黑龙江·期中）小王用42元钱去购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个6元，乙种学习用品每个4元．42元钱恰好用完，则小王的购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【思路点拨】本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，设小王购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本，根据两种笔记本的总价为42元建立方程，求出其解即可，解答时由单价数量总价建立方程是关键． 【规范解答】解：设小王购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本， 由题意得， 可得． 、为非负整数， 可以等于， 即，6，3时， ，3，5， 共有3种购买方案． 故选：B． 13．（21-22七年级上·浙江温州·期末）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　）公里． A．4000 B．3750 C．4250 D．3250 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k， 则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里， 由题意得：， 两式相加，得， 解得：， 故选：B． 14．（24-25八年级上·山西太原·期末）《九章算术》的第八章方程中有这样一道题：“今有上和七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗，下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗，问上、下禾实——秉各几何？”其译文为：“今有上禾7束，减去其中果实一斗，加下禾2束，则得果实10斗；下禾8束，加果实1斗和上禾2束，则得果实10斗，问上禾、下禾1束得果实多少？设上禾1束果实为x斗，下禾1束果实为y斗，则根据题意列方程组为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据今有上禾7束，减去其中果实一斗，加下禾2束，则得果实10斗；下禾8束，加果实1斗和上禾2束，则得果实10斗列出关于x、y的方程组即可解答． 【规范解答】解：依题意得：． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）某商场在按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元．若按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获得的利润相等，则该工艺品每件的进价为 元，标价为 元． 【答案】 155 200 【思路点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，设工艺品每件的进价是元，则标价为则标价为y元，元，根据“每件可获利45元”和“按标价的八五折销售该工艺品件与将标价降低元销售该工艺品件所获利润相等”列出方程组即可求解．解题的关键是找到等量关系，列出方程组并解答． 【规范解答】解：设工艺品每件的进价是元，则标价为y元， 根据题意得：， 解得：， ∴工艺品每件的进价是155元，则标价为200元， 故答案为：155，200． 16．（24-25七年级下·重庆·开学考试）元宵节将至，各种口味的汤圆纷纷上市，某商家从汤圆生产商处采购了花生、芝麻、奥巧三种口味的汤圆进行销售，其每袋进价分别是20元，25元，30元，其中花生与奥巧味汤圆每袋的销售利润率相同，每袋芝麻味汤圆的利润比每袋奥巧味汤圆的利润少，经统计，在今年元宵当天，该商家花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量是，其中销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，且芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，则今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润是 元． 【答案】4000 【思路点拨】本题主要考查了一次方程的应用．设奥巧味的利润为，则花生味的利润为，芝麻味的利润为，再设花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量分别是，，，根据销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，列出方程，求得，得到单包各种口味的汤圆的利润，再根据芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，列出方程，求解即可． 【规范解答】解：设奥巧味的利润为，则花生味的利润为，芝麻味的利润为， 再设花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量分别是，，， 依题意得， 解得， 则单包花生味的利润为元，芝麻味的利润为元，奥巧味的利润为元， 由题意得， 解得， 所以总利润：（元）， 故答案为：4000． 17．（23-24七年级下·福建福州·期中）列方程组解应用题：甲、乙两人相距9千米，若两人同时出发相向而行，1小时后相遇；若两人同时出发同向而行，则甲3小时可追上乙．甲，乙两人的速度每小时各为多少千米？ 【答案】甲的速度为6千米/小时，乙的速度为3千米/小时 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时，根据甲乙两人相距9千米，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行甲3小时可追上乙，可列方程组求解． 【规范解答】解：设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时， ， 解得：， 答：甲的速度是6千米/时，乙的速度是3千米/时． 18．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在国家积极推进“互联网＋”行动以来，网上购物已成为生活中的常态．小亮在网购平台上购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表： 购买商品 A的数量（个） 购买商品 B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购物 6 4 240 第二次购物 8 6 204 第三次购物 5 6 280 (1)小亮第 次购物时，商品A、B同时打折，并简略叙述理由． (2)请求出商品A的标价． 【答案】(1)二，理由见解析 (2)20元 【思路点拨】（1）根据表格中购物数量及费用即可得到答案； （2）设商品A的标价为x元，商品 B的标价为y元，根据第一次和第三次购物列方程组解答． 【规范解答】（1）解：二，理由如下： 因为小亮购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，观察表格知道第二次购买数量最多，但是总费用却最少，所以第二次购物时，商品A、B同时打折． （2）解：设商品A的标价为每个x元，商品 B的标价为每个y元． 根据题意，得 解得 答：商品A的标价为20元． 【考点评析】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列得二元一次方程组解决问题是解题的关键． 19．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）神舟启新程，天宫再会师．北京时间2024年10月30日凌晨，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．在护航任务过程中，来自河南众多航天军工企业的一批“科技元素”熠熠生辉，再次贡献了“河南力量”！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： 小星：我买了1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型，共花了40元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． 求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ 【答案】甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、列出方程组成为解题的关键． 设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元，然后根据小星、小红的购买情况列二元一次方程组求解即可． 【规范解答】解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意得：， 解得． 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元． 20．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知两点在数轴上所表示的数分别为，且满足． (1)填空：_______，______； (2)①问题探究：将一根木棒如图1所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这根木棒的长为_______个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄； (3)在(2)①的条件下，现将木棒从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②爷爷的年龄是岁 (3)存在某一时刻，M和N刚好是两段木棒的中点，木棒切断处所表示的数为 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的应用，数轴上两点距离，有理数的混合运算，数形结合是解题的关键． （1）由绝对值和平方的非负性可得，； （2）①求出，可得，即这根木棒的长为个单位长度； ②仿照“问题探究”列式计算可得爷爷的年龄是岁； （3）设木棒切断处所表示的数为，两段木棒运动的时间为秒，求出表示的数为，表示的数为，根据和刚好是两段木棒的中点列方程组可解得答案． 【规范解答】（1）解：， ，， ，； 故答案为：，； （2）①由（1）知，， 根据题意可得，即这根木棒的长为个单位长度； 故答案为：； ②岁， 爷爷的年龄是岁； （3）存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点，理由如下： 设木棒切断处所表示的数为，两段木棒运动的时间为秒， 表示的数为，表示的数为， 可得，解得， 木棒切断处所表示的数为． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$