精品解析：湖北省十堰市房县第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024—2025学年高一（上）学期期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 图中的U是全集，A，B是U的两个子集，则表示）的阴影部分是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 下面四个条件中，使成立一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ，. C. ， D. ，. 6. 若， ，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是假命题的是（    ） A. “”充要条件是“" B. “”的充要条件是“” C. “”的必要不充分条件是“” D. “”充要条件是“” 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ 　 ） A. B. C. 2为的一个周期 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（且），则必过的定点P的坐标为________． 13. 已知，，则的取值范围是__________. 14. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1） （2）． 16. 已知集合； （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数，其中． （1）若关于x的方程有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值； （2）解关于x的不等式． 18. 某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费. （1）写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式； （2）当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？ 19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）判断函数是否是上有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高一（上）学期期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 图中的U是全集，A，B是U的两个子集，则表示）的阴影部分是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合运算的定义，结合韦恩图分析即可得解. 【详解】对于A，图中阴影部分表示，故A错误； 对于B，图中阴影部分表示，故B错误； 对于C，图中阴影部分表示，故C正确； 对于D，图中阴影部分表示，故D错误. 故选：C. 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理，即可判断和选择. 【详解】在上都是单调增函数，故在上是单调增函数； 又，， ，； 故的零点所在区间为. 故选：C. 3. 下面四个条件中，使成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照充分条件、必要条件的概念结合不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，“”能推出“”，但“”不能推出“”，故满足题意； 对于B，“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意； 对于C，“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意； 对于D，“”不能推出“”，故选项C不是“”的必要条件，不满足题意. 故选：A. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性，指数函数的单调性，以及当时函数的符号判断即可； 【详解】定义域为关于原点对称，， 所以函数为奇函数，关于原点对称，故A、C错误； 当时，，所以，故B错误， 故选：D. 5. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ，. C. ， D. ，. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得， 本题正确选项： 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题. 6. 若， ，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性和值域，比较算式的大小. 【详解】幂函数在上单调递增，值域为， 由，则，又， 所以. 故选：D 7. 已知函数的定义域为，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得不等式的解集为，然后利用根与系数的关系表示出，再由可得的最大值小于等于9，从而可求出实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为， 所以不等式的解集为， 所以和1是方程的两个根，且， 所以，得， 所以， 因为恒成立， 所以，解得. 故选：B 8. 已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由， 得，构造函数，则是上减函数，对实数分类讨论即可. 【详解】因为对任意，，所以，即， 构造函数，则， 所以函数是上的减函数. 当时，函数是上的减函数，符合题意； 当时，函数图象的对称轴为直线， 当时，函数是上的减函数，符合题意； 当时，要使得函数是上的减函数，只需，解得. 综上所述，实数的取值范围足， 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是假命题的是（    ） A. “”的充要条件是“" B. “”的充要条件是“” C. “”的必要不充分条件是“” D. “”的充要条件是“” 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据并集和子集的定义，以及通过举例的方法，判断选项. 【详解】由，则中元素个数为集合A，B的元素之和，即，充分性成立； 由，即中元素个数为集合A，B元素之和，则，必要性成立，A对； 由，若，但不成立，必要性不成立，B错； 由，若，此时，故不是的必要条件，C错； 由，若，但不成立，D错. 故选：BCD 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，得，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得， 对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以 ，所以B错误， 对于C，因为，所以 ，所以C正确， 对于D，因为，所以 ，所以D正确. 故选：ACD 11. 定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ 　 ） A. B. C. 2为的一个周期 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由得函数的图象关于直线对称，由为奇函数得函数的图象关于点对称，从而函数是周期函数，周期为4，由得的图象关于点对称，从而函数与的交点也关于点对称，由此可判断各项. 【详解】因为， 所以函数的图象关于直线对称， 又为奇函数， 所以， 即，则函数的图象关于点对称， 则，故B正确； 所以， ， 即，所以函数是周期函数，周期为4，故C错误； ，故A错误； 又，所以函数 的图象关于点对称， 因此函数与的交点也关于点对称， 则， 故D正确， 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（且），则必过的定点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】由指数函数图象的性质令可求； 【详解】当时，， 所以必过的定点P的坐标为. 故答案为：. 13. 已知，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由，可得，， 由不等式的基本性质可得. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因为恒成立，所以. 因，则， 则， 当且仅当时等号成立，由，解得. 故的最小值为4，则， 解得，即. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1） （2）． 【答案】（1）4 （2）8 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂的性质和对数的运算性质求解； （2）根据对数的运算求解即可. 【小问1详解】 原式． 【小问2详解】 原式 ． 16. 已知集合； （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集运算即可得解； （2）先由条件得到，再对与分两种情况讨论得解. 【小问1详解】 当时，，， 所以. 【小问2详解】 因为, 所以， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 17. 已知函数，其中． （1）若关于x的方程有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用二次方程的韦达定理即可得解； （2）分类讨论的取值范围，结合二次不等式的解法即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以由，得， 整理得， 因为方程有两实数根，即有两实数根， 所以，则， 又两实数根之积等于1，所以，解得或（舍去）， 经检验，满足要求， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以由，得， 当时，由，解得； 当时，易知无解； 当时，由，解得； 综上，当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 18. 某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费. （1）写出该企业年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式； （2）当产品年产量为多少万件时，企业获得年利润最大？最大年利润为多少万元？ 【答案】（1） （2）年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元； 【解析】 【分析】（1）按、分类写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. （2）结合二次函数的性质、基本不等式，按、分类，分别求出函数最大值后即可得解. 【小问1详解】 当时，年利润； 当时，； 所以. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元； 当时，， 当且仅当万件时取等号，企业获得利润最大为18万元，而， 所以年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元. 19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】（1）是上的有界函数；理由见解析 （2） （3）存在，答案见解析 【解析】 【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上的有界函数； （2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案； （3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案. 【小问1详解】 是上的有界函数，理由如下： 当时，， 当时，， 由对勾函数性质得或， 或， 或， ∴的值域为，， ∴存在，使得， 所以是上的有界函数； 【小问2详解】 由题意可知在上恒成立， ，， 即， ∴在上恒成立， ∴． 设，，， 由，得． ∵在上单调递减，在上是单调递增， ∴在上，，． 所以，实数a的取值范围是. 【小问3详解】 ， ∵，， ∴在上递增， 根据复合函数的单调性可得在上递减， ∴， ∴h(x)存在上界. ①若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， ②若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， 综上，当时，； 当时，. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念和性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$