第六章 变量间的关系（压轴题特训）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第六章 变量间的关系（压轴题特训） 一、单选题 1．某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 2．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表所示，下面说法不正确的是（   ） 放水时间 1 2 3 4 …… 水池中水量 45 40 35 30 …… A．放水时间是自变量，水池中水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水后，水池中还有水 D．与的关系式为 3．在综合实践活动中，小强同学了解到裤子的尺码（英寸）与腰围的长度（）对应关系如下表： 尺码/英寸 … … 腰围/ … … 若小强的腰围是 ，那么他所穿裤子的尺码是（    ） A．英寸 B．英寸 C．英寸 D．英寸 4．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（） 声速（） 根据表格所得到的信息，下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 二、填空题 5．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（）的关系： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温（） 20 14 8 2 … 根据表格中两个变量之间的关系，当时，气温 ． 6．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为 ． 温度 导热率 7．七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书本，则应付款与购买数量的关系式为 ． 三、解答题 8．已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)试写出与之间的关系式； (3)求长方形周长为时，的值． 9．如图1，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，，动点P从八边形顶点A出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，到A点处停止运动．的面积为，运动时间为t（秒），S与t的图象如图2所示，请回答以下问题： (1)______，______，______； (2)当点P第一次在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点P在返回过程中，当时间t为何值时，为等腰三角形？请直接写出t的值． 【答案】(1)10；5；2 10．【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 (1)如图1，，，分别在，上，平分交于点，是直线上一点，平分交于点． ①当在点的右侧，且，，求和的度数； ②过点作，垂足为，记度，度，直接写出与的关系式； 【拓展】 (2)中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即，连结，且．灯发出的射线自顺时针旋转至 便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至的过程中，与互相垂直时，请直接写出此时的值． 11．如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量x（个） 1 2 3 4 5 … 高度y（cm） 4 5.2 7.6 … (2)写出整齐叠放在桌面上碗的高度y（cm）与碗的数量x（个）之间的关系式________；当碗的数量为10个时，碗的高度是________cm； (3)若这摞碗的高度为20.8cm，求这摞碗的数量． 12．在烧开水时，水温达到就会沸腾（标准大气压下），下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … (1)如表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ (3)时间每增加，水的温度如何变化？ (4)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？ 13．【问题情境】 数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制变化图如图1． 【问题研究】 请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中变量是_____； （2）摩天轮最高点距地面_____（米），摩天轮最低点距地面_____（米）； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点旋转到点需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 14．2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/(m/s) 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为． (4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 15．中国联通在某地的资费标准为包月86 元时，超出部分国内拨打0.25元．由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．下表是超出部分国内拨打的收费标准： 时间 1 2 3 4 5 电话费/ 元 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 (1)这个表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x之间的关系式是什么? (3)如果打电话超出，需付多少电话费? (4)某月打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟? 16．如图已知的面积是平方厘米，厘米，在边上有一动点，连接，设厘米，平方厘米． (1)写出与之间的关系式 (2)用表格表示当从变到时每次增加，的相应值 (3)当每增加时，如何变化说明你的理由 17．科学家一直以来都在不断探索地球奥秘的路途中，经过大量的模拟实验，发现地表以下岩层的温度与所处深度的关系如表所示． 所处深度 1 2 3 4 5 6 7 岩层的温度 55 90 125 160 195 230 265 (1)表中，自变量为______，因变量为______； (2)请求出地表以下岩层的温度与所处深度的关系式； (3)当岩层的温度为时，求所处深度． 18．游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水量为立方米，换水时关闭进水口打开排水口，以每小时立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)打开排水口后，经过多长时间，游泳池的存水量是立方米？ 19．数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图1所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． (1)在小球的滑行过程中，自变量是______，因变量是______； (2)林涵同学记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2． 时间 0 1 2 4 6 7 8 9 10 12 速度 0 2 4 8 12 11 10 9 8 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为______； ②点M表示的实际意义是______； (3)若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，） 20．在一次实验中，把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，所挂物体的质量与弹簧长度的对应值如下： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系，并指出哪个是自变量，哪个是因变量； (2)不挂物体时，弹簧长_________； (3)求当所挂物体的质量为（在弹性限度内）时弹簧的长度； (4)求当弹簧长度为（在弹性限度内）时所挂物体的质量． 21．如图，长方形是小丽家的部分结构示意图，现准备用一堵隔墙（点分别在边上）将长方形分成两个小长方形，分别作为客厅和餐厅．已知米，米，随着长度的变化，餐厅的面积也在不断变化． (1)若的长为米，餐厅（长方形）的面积为平方米，求与的关系式； (2)当时，求餐厅的面积． 22．如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    (1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … (3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 23．我们知道：当弹簧受到外力的作用时会伸长，某学习小组利用一根弹簧，通过实验的方式研究弹簧的长度与所挂物体重量之间的关系，并对每组数据进行了记录：    物体的重量x/kg 0 1 2 3 4 5 … 弹簧的长度y/cm 8 10 12 14 16 18 … (1)上表所表示的变量之间的关系中，自变量是_______________，因变量是_______________； (2)直接写出y与x的关系式：_______________； (3)当所挂物重为时，弹簧的长度为_______________； (4)这根弹簧的弹性限度（即弹簧最长可以被拉长到的长度，超过这个长度，弹簧将失去弹性）为，则在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂多重的物体？ 24．如图是我国青海湖最深处的某一截面图，一支潜水队测出了青海湖水面下任一点A的压强p（单位：）与其离水面深度h（单位：m）的几组数据，整理出下表： 10 15 20 25 30 142 179 216 253 290 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是______，因变量是______； (2)青海湖水面大气压强为______； (3)请直接写出p与h的关系式，并求出最深处处的压强值． 25．研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/ 0 34 67 110 135 202 255 336 404 471 土豆产量/t 14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20 如果用x表示氮肥施用量，用y表示土豆产量，根据表中的实验数据，将氮肥施用量x与土豆产量y的关系拟合成图象，见下图： (1)上述问题中的两个变量，自变量是______； (2)图中点A表示的实际意义是____________； (3)当每公顷土地氮肥的施用量为时，土豆的产量约为______；（保留两位小数） (4)你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由． 26．如图，在长为，宽为的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化． 设剪去的每个三角形的直角边长为，阴影部分的面积为．如下表： 三角形的直角边长 1 2 3.2 4.5 … 阴影部分的面积 318 299.52 279.5 … (1)表中的数据 ； (2)当等腰直角三角形的直角边长由4.5增加到7时，阴影部分的面积 （填增大或减少） ． (3)写出与的关系式： ． (4)阴影部分面积可以达到吗？请说明理由． 27．为表彰在“纪念·五四运动”主题活动中表现优秀的同学，南昌市某中学七年级需要购买30个书包和若干个文具盒（不少于30个）．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的九折收费．已知每个书包定价为40元，每个文具盒定价为5元．设需要购买x个文具盒，选择①方案购买所需费用为元，选择②方案购买所需费用为元． (1)分别写出选择两种方案购买所需费用与文具盒个数之间的关系式； (2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？ 28．小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离与小南离家的时间的关系图．请根据图回答下列问题： (1)图中的自变量是______，因变量是______． (2)小南出发______小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为_____． (3)图中点表示____________． (4)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸第二次相遇时，_____． 29．某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度元计费；每月用电超过100度时，其中超过部分按每度元计费． (1)设每月用电x度时，应交电费y元，当和时，分别写出y关于x的关系式； (2)小王家第一季度交纳电费如下表所示： 月份 一月份 二月份 三月份 交费金额 76元 63元 45元6角 问小王家第一季度共用电多少度？ 30．科学家就蟋蟀每分钟鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： 室外温度/ 76 78 80 82 84 蟋蟀每分钟鸣叫的次数/次 144 152 160 168 176 根据以上信息，回答下列问题： (1)如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)室外温度每增加，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是怎样变化的？ (3)估计当室外温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数． 31．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，运动时间为（秒）． (1)直接写出点和点的坐标（______，______）、C（______，______）； (2)当点运动时，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围； (3)点，连接，在（2）条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 32．如图1，某校机器人兴趣小组在长方形水池边上进行机器人测试．机器人从点B处出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：线段，线段，线段，到点A处停止．如果机器人所在的位置用点P表示，那么的面积与机器人出发后的时间t（分钟）之间的关系图像如图2所示．    (1)请求出长方形的长和宽； (2)当时，求S与t之间的关系式； (3)若沿途在某处让机器人原地做了分钟的其他性能测试，然后重新出发，前后速度保持不变，请你求出机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程． 33．如图，是某跨河道路上安装的护栏平面示意图，已知每根立柱宽为米，立柱间距为2米．    小莹根据护栏中蕴含的数量变化关系列出了下表： 立柱根数 1 2 3 4 5 …… 护栏总长度（米） 2.4 4.6 …… (1)______；______；______； (2)设有根立柱，护栏总长度为米，请写出与之间的函数表达式； (3)已知护栏总长度为119米，请求出立柱共有多少根？ 34．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，．      (1)求点C，D的坐标； (2)若点P由O点出发，沿着OCD以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t，三角形的面积为S，求S与t的关系式； (3)若在y轴上是否存在点 M，连接，使，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 35．黑白棋子按如图所示的规律排列，观察图形，完成填空．    (1)第6行白棋子有______个，黑棋子有______个． (2)第n行黑白棋子共有y个，则y与n的关系式为______． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 变量间的关系（压轴题特训） 一、单选题 1．某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法和有理数的混合运算．根据图表里的信息，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【详解】解：A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，此选项不符合题意； B.根据数据表可知，在一定范围内，温度越高，声速越快，正确，此选项不符合题意； C、，当空气温度为时，声音可以传播，故选项不符合题意； D、∵，，，，， ∴当温度每升高，声速增加，正确，此选项不符合题意； 故选：C． 2．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表所示，下面说法不正确的是（   ） 放水时间 1 2 3 4 …… 水池中水量 45 40 35 30 …… A．放水时间是自变量，水池中水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水后，水池中还有水 D．与的关系式为 【答案】C 【分析】本题考查函数的应用，根据表格数据逐项判断即可得出答案，提取表格数据反映的信息是求解本题的关键． 【详解】解：由表格的数据可得：放水时间是自变量，水池中水量是因变量，每分钟水闸排水，故A、B正确，不符合题意； ∵一个蓄水池有水， ∴与的关系式为，放水后，水池中还有水，故D正确，C错误； 故选：C． 3．在综合实践活动中，小强同学了解到裤子的尺码（英寸）与腰围的长度（）对应关系如下表： 尺码/英寸 … … 腰围/ … … 若小强的腰围是 ，那么他所穿裤子的尺码是（    ） A．英寸 B．英寸 C．英寸 D．英寸 【答案】A 【分析】本题考查了变量之间的关系．根据题意确定变量之间的关系是解题的关键． 由题意知，尺码/英寸每增加1英寸，腰围的长度增加，当腰围是 ，所穿裤子的尺码为，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，尺码/英寸每增加1英寸，腰围的长度增加， ∴当腰围是 ，所穿裤子的尺码为英寸， 故选：A． 4．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（） 声速（） 根据表格所得到的信息，下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 【答案】D 【分析】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义即可判断；通过观察表格数据即可判断；根据计算出空气温度为的声速，即此时每秒传播的距离即可判断；掌握自变量与函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵声速随温度的变化而变化， ∴自变量是温度，声速是温度的函数，故正确，不符合题意； 从表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，故正确，不符合题意； 从数据可知，温度每升高，声速就增加，故 正确，不符合题意； 由可知，当空气温度为时，声速为，即当空气温度为时，声音每秒可以传播，故错误，符合题意； 故选：． 二、填空题 5．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（）的关系： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温（） 20 14 8 2 … 根据表格中两个变量之间的关系，当时，气温 ． 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察得到表格变量间的关系是解题的关键．先观察表格可得，海拔高度每增加千米，气温就下降，即可得到答案． 【详解】解： 观察表格可得：每增加千米，气温就下降， 海拔高度时，气温 当海拔高度时，气温 故答案为：． 6．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为 ． 温度 导热率 【答案】 【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以， 所以，当导热率为时，温度为， 故答案为：． 7．七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书本，则应付款与购买数量的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用函数关系式表示变量之间的关系，解题的关键是找出题目的等量关系． 根据题意可知应付款为前30本兴趣书费用加上超出部分的费用． 【详解】解：由题意得：， 化简得：， 故答案为：． 三、解答题 8．已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)试写出与之间的关系式； (3)求长方形周长为时，的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了函数的性质，长方形的周长等知识点， （1）根据长方形的周长公式和函数的定义解答即可； （2）根据长方形的周长公式列式即可得解； （3）把代入函数解析式即可求出x的值； 熟练掌握长方形的周长的综合应用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵相邻的两边长分别是和， ∴长方形的周长为， ∴随的变化而变化， ∴自变量为，因变量为， 故答案为：，； （2）解：根据长方形的周长公式得， ∴与之间的关系式， （3）解：∵长方形周长为时， ∴， 解得． 9．如图1，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，，动点P从八边形顶点A出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，到A点处停止运动．的面积为，运动时间为t（秒），S与t的图象如图2所示，请回答以下问题： (1)______，______，______； (2)当点P第一次在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点P在返回过程中，当时间t为何值时，为等腰三角形？请直接写出t的值． 【答案】(1)10；5；2 (2) (3)或14或或时，为等腰三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键． （1）根据图2中的面积最大值为，根据图1得出此时，求出结果即可；延长交于点N，延长交于点M，得，根据图1，结合图2求出，得出，根据图2，得出点P从点运动时间为：，再求出a的值即可； （2）先表示出，然后再根据求出结果即可； （3）分三种情况进行讨论：当，点P在上时，当，点P在上时，当时，点P在点B上，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为， 根据图1可知，面积的最大值为： ， ∵， ∴， ∴，负值舍去； 延长交于点N，延长交于点M，如图所示： ∵八边形相邻的两边互相垂直， ∴四边形，，为长方形， ∴， 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回， ∴根据图2可知：点P从点运动时间为： ， ∴； （2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示： ， ∴ ； （3）解：当，点P在上时，过点P作， 则， 根据图2可知：点P从点A运动到点C所用时间为，则： ， ∴， 根据题意可知：四边形，为长方形， ∴，， ∴， ∴， 此时； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴此时， 当时，点P在点B上，如图所示： 此时． 当时，点P在点上，延长，交于点M，如图所示： 则，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∵点P运动点E时用时， ∴此时 综上分析可知：或14或或时，为等腰三角形． 10．【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 (1)如图1，，，分别在，上，平分交于点，是直线上一点，平分交于点． ①当在点的右侧，且，，求和的度数； ②过点作，垂足为，记度，度，直接写出与的关系式； 【拓展】 (2)中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即，连结，且．灯发出的射线自顺时针旋转至 便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至的过程中，与互相垂直时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)①，；② (2)，，， 【分析】（1）①根据三角形的外角的性质得出，根据角平分线的定义得到，进而根据，以及平行线的性质即可求解； ②分点在点的右侧，与在点的左侧，分别讨论，根据平行线的性质即可求解； （2）分三种情形讨论，①未到时，②从返回时，③第2次从出发，根据平行线的性质，利用与互相垂直，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ①， ． 平分， ， ． ，， ， 又平分， ． ②解：如图所示，点在点的右侧， ∵平分交于点，，平分交于点． ∴ 设，记度，度， ∵ ∴， 即，则 ∵ ∴ 即 ∴ ∴， 点在点的左侧， ∵平分交于点，，平分交于点． ∴ 设，记度，度， ∵ ∴， ∴ ∴, ∵， ∴ ∴； （2）解：如图所示， ①当未相遇时，设射线交于点，射线交于点， ∵与互相垂直时， ∴ ∵， ∴ 解得：； ②如图所示，当返回时， ∴ ∵ ∴， ∴ 解得：； 或如图所示，当返回时， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得：； ③当第2次从出发，与垂直时，如图所示， ∴ ∵ ∴， ∴， 解得： 综上所述，，，，． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，垂直的定义，平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键． 11．如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量x（个） 1 2 3 4 5 … 高度y（cm） 4 5.2 7.6 … (2)写出整齐叠放在桌面上碗的高度y（cm）与碗的数量x（个）之间的关系式________；当碗的数量为10个时，碗的高度是________cm； (3)若这摞碗的高度为20.8cm，求这摞碗的数量． 【答案】(1)6.4，8.8； (2)，14.8； (3)这摞碗的数量为15个． 【分析】（1）根据表格先得出每增加1，就增加1.2，然后利用规律计算； （2）根据整齐叠放在桌面上碗的高度一个碗的高度（碗的总数，从而可得，然后把代入函数关系式中求解； （3）把代入函数关系式即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：6.4，8.8； （2）解：由题意得： ， 整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：， 当时，， 当碗的数量为10个时，碗的高度是， 故答案为：，14.8； （3）解：当时，， 解得：， 这摞碗的数量为15个． 【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是准确熟练地进行计算出增加一个碗的高度． 12．在烧开水时，水温达到就会沸腾（标准大气压下），下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … (1)如表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ (3)时间每增加，水的温度如何变化？ (4)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？ 【答案】(1)反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量 (2)水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定 (3)时间每增加，水的温度增加，到时恒定 (4)为了节约能源，应在后停止烧水 【分析】本题主要考查了常量与变量，根据表格中数据分别分析得出是解题关键． （1）在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断； （2）根据表格中数据得出水的温度变化即可； （3）根据表格中数据得出水的温度变化即可； （4）根据表格中数据得出答案即可． 【详解】（1）解：反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量， 答：反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量； （2）解：水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定， 答：水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定； （3）解：时间每增加，水的温度增加，到时恒定， 答：时间每增加，水的温度增加，到时恒定 （4）解：为了节约能源，应在10分钟后停止烧水， 答：为了节约能源，应在10分钟后停止烧水． 13．【问题情境】 数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制变化图如图1． 【问题研究】 请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中变量是_____； （2）摩天轮最高点距地面_____（米），摩天轮最低点距地面_____（米）； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点旋转到点需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 【答案】（1）t， h；（2）108，3；（3）所走的路径的长度是米． 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确识别函数图象中的信息是解题的关键． （1）根据这个变化过程中变化的量可得答案； （2）根据图象读取信息求解即可； （3）根据用圆的周长除以分钟，得出每分钟走过的路径长，再乘以分钟即可求解． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，变量是t， h； （2）摩天轮最高点距地面108（米），摩天轮最低点距地面3（米）； （3）∵摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米， ∴摩天轮的直径是105米， ∴（米） 答：所走的路径的长度是米． 14．2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/(m/s) 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为． (4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 【答案】(1)温度，声音在空气中的传播速度 (2)0.6 (3) (4)小乐与燃放烟花所在地大约相距 【分析】本题考查函数的表示方法，常量与变量及一次函数的应用，理解常量与变量的定义，求出函数的关系式是正确解答的前提． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案； （3）利用（2）中的变化关系得出函数关系式； （4）当时，求出，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可． 【详解】（1）解：（1）根据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）由表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高， 故答案为：0.6； （3）由表格中两个变量对应值的变化规律可得，， 故答案为：； （4）当时，， ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距． 15．中国联通在某地的资费标准为包月86 元时，超出部分国内拨打0.25元．由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．下表是超出部分国内拨打的收费标准： 时间 1 2 3 4 5 电话费/ 元 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 (1)这个表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x之间的关系式是什么? (3)如果打电话超出，需付多少电话费? (4)某月打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟? 【答案】(1)这个表反映了超出部分国内拨打时间与电话费之间的关系．打电话超出时间是自变量，电话费是因变量 (2) (3)92.25（元）的电话费 (4) 【分析】本题主要考查用关系式表示变量间的关系，正确列关系式是解题的关键． （1）根据图表可以知道：超出的电话费随超出的时间的变化而变化，因而打电话超出时间是自变量、超出的电话费是因变量； （2）费用单价时间，即可写出关系式； （3）把代入关系式，然后加上包月费用即可求得答案； （4）令，求出x即可解题． 【详解】（1）这个表反映了超出部分国内拨打时间与电话费之间的关系．打电话超出时间是自变量，电话费是因变量； （2）由题意,可得 ； （3）当时，， 即如果打电话超出，需付（元）的电话费． （4）当时， ． 答：小明的爸爸打电话超出． 16．如图已知的面积是平方厘米，厘米，在边上有一动点，连接，设厘米，平方厘米． (1)写出与之间的关系式 (2)用表格表示当从变到时每次增加，的相应值 (3)当每增加时，如何变化说明你的理由 【答案】(1) (2)见解析 (3)当每增加时，增加 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，求函数值的变化情况： （1）过点作于点，则既是中边上的高，也是中边上的高，根据三角形面积公式求出厘米，进而根据三角形面积计算公式列出对应的函数关系式即可； （2）根据（1）所求函数关系式求解即可； （3）求出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点，则既是中边上的高，也是中边上的高， ∵， ∴， ∴厘米， ∵， ∴，即； （2）解：列表如下： 厘米 平方厘米 （3）解：当每增加时，增加理由如下： ， 当每增加时，增加． 17．科学家一直以来都在不断探索地球奥秘的路途中，经过大量的模拟实验，发现地表以下岩层的温度与所处深度的关系如表所示． 所处深度 1 2 3 4 5 6 7 岩层的温度 55 90 125 160 195 230 265 (1)表中，自变量为______，因变量为______； (2)请求出地表以下岩层的温度与所处深度的关系式； (3)当岩层的温度为时，求所处深度． 【答案】(1)所处深度；岩层的温度 (2) (3) 【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量、函数关系式， （1）根据自变量与因变量的定义作答即可； （2）根据“地表以下岩层的温度深度为处岩层的温度所处深度增加，岩层的温度升高量”计算即可； （3）将代入（2）中求得的关系式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：表中，自变量为所处深度，因变量为岩层的温度． 故答案为：所处深度，岩层的温度． （2）由表格可知，所处深度增加，岩层的温度升高， 则， 与的关系式为． （3）当时，得， 解得， 当岩层的温度为时，所处深度是． 18．游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水量为立方米，换水时关闭进水口打开排水口，以每小时立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)打开排水口后，经过多长时间，游泳池的存水量是立方米？ 【答案】(1)自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量 (2)表格见解析 (3)小时 【分析】本题考查函数关系式， （1）根据自变量和因变量即可解答； （2）根据“游泳池的存水换水前存水放水速度×放水时间”即可解答； （3）根据“（换水前存水游泳池的存水）放水速度放水时间”即可解答； 理解题意，找准等量关系式是解题关键． 【详解】（1）解：由题意可知，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量； （2）当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 表格如下： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 （3）（小时）， ∴当放水时间为小时时，游泳池的存水量为立方米． 19．数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图1所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． (1)在小球的滑行过程中，自变量是______，因变量是______； (2)林涵同学记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2． 时间 0 1 2 4 6 7 8 9 10 12 速度 0 2 4 8 12 11 10 9 8 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为______； ②点M表示的实际意义是______； (3)若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，） 【答案】(1)自变量：小球滑行的时间，因变量：小球滑行的速度 (2)①4；②当小球的滑行时，小球的速度为 (3)不能，理由见解析 【分析】本题为运动型综合题，考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点代表的实际 意义，理解动点的完整运动过程． （1）熟悉函数的概念，小球滑行速度随着时间的变化而变化，得出自变量和因变量． （2）①由图象及表格可知小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为，即可求解；②由可知，，用时，所以点M表示的实际意义是当小球从C从光滑的斜坡上坡运动滑行时，速度为； （3）当小球上坡至速度为0时，求出平均速度，进而求出路程与20比较即可． 【详解】（1）解：在小球的滑行过程中，滑行的速度随滑行的时间的变化而变化． 故答案为：小球滑行的时间 ，小球滑行的速度． （2）解：①由图象及表格可知，小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为， 小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为； ② ， ，则用时， 点M表示的实际意义是当小球从C从光滑的斜坡上坡运动滑行到时，速度为； （3）解：由图象知，当小球到达点C时速度为，速度为0时的，运动了， 故段的． 第一次在段运动时的路程． ， 达不到斜板顶端． 20．在一次实验中，把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，所挂物体的质量与弹簧长度的对应值如下： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系，并指出哪个是自变量，哪个是因变量； (2)不挂物体时，弹簧长_________； (3)求当所挂物体的质量为（在弹性限度内）时弹簧的长度； (4)求当弹簧长度为（在弹性限度内）时所挂物体的质量． 【答案】(1)所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量 (2)18 (3) (4) 【分析】本题考查函数的表示方法，理解表格中弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系是正确判断的关键． （1）根据变量常量的定义结合题意进行判断即可； （2）根据表格中的数据，当所挂物体质量为0时，随对应的弹簧的长度即可； （3）根据表格中两个变量的变化规律得出答案； （4）利用两个变量的变化规律进行计算即可． 【详解】（1）解：表格中反映的是弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系，其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）解：当所挂物体质量为0时，所对应的弹簧长度是， 故答案为：18； （3）解：由表格中弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系可知，当所挂物体质量每增加，弹簧的长度就增长，所以当所挂物体质量为时，弹簧的长度为， 答：当所挂物体的质量为时，弹簧长度是； （4）解：由弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系可知，当弹簧长度为时，所挂物体的质量为， 答：当弹簧长度为（在弹性限度内）时，所挂物体的质量是． 21．如图，长方形是小丽家的部分结构示意图，现准备用一堵隔墙（点分别在边上）将长方形分成两个小长方形，分别作为客厅和餐厅．已知米，米，随着长度的变化，餐厅的面积也在不断变化． (1)若的长为米，餐厅（长方形）的面积为平方米，求与的关系式； (2)当时，求餐厅的面积． 【答案】(1) (2)此时餐厅的面积为36平方米 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据长方形的面积公式，列出函数关系式即可； （2）将代入关系式，求出值即可。 【详解】（1）解：长方形的面积， 因为米，米，米， 所以平方米， 故与的关系式是； （2）当，即时，（平方米）． 答：此时餐厅的面积为36平方米． 22．如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    (1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … (3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 【答案】(1)图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系，点运动的路程为自变量，的面积是因变量 (2)； (3)当点在上运动时；当点在上运动时 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． （1）根据题意直接得出自变量及因变量即可； （2）根据图象求出和，再分析当时的值，当时的路程的值即可； （3）先求出和，再根据点P位置求出相应的函数关系式． 【详解】（1）解：图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系， 其中点运动的路程为自变量，的面积是因变量； （2）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当时，点P在上运动，， ； 当时，即，此时点P在上运动， ； （3）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当点在上运动时，， ， 当点在上运动时，， ， ． 23．我们知道：当弹簧受到外力的作用时会伸长，某学习小组利用一根弹簧，通过实验的方式研究弹簧的长度与所挂物体重量之间的关系，并对每组数据进行了记录：    物体的重量x/kg 0 1 2 3 4 5 … 弹簧的长度y/cm 8 10 12 14 16 18 … (1)上表所表示的变量之间的关系中，自变量是_______________，因变量是_______________； (2)直接写出y与x的关系式：_______________； (3)当所挂物重为时，弹簧的长度为_______________； (4)这根弹簧的弹性限度（即弹簧最长可以被拉长到的长度，超过这个长度，弹簧将失去弹性）为，则在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂多重的物体？ 【答案】(1)所挂物体的重量，弹簧的长度； (2) (3)21 (4)最多可以挂重的物体 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系： （1）直接根据表格作答即可； （2）根据弹簧的长度等于原长加上增加的长度，列出关系式即可； （3）令，求出的值即可； （4）求出时的自变量的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知：自变量为物体的重量，因变量为弹簧的长度； （2）由表格可知：重量每增加，弹簧伸长， ∴； （3）当时，则：； 故答案为：21； （4）当时，， ∴， 即：该弹簧最多可以挂重的物体． 24．如图是我国青海湖最深处的某一截面图，一支潜水队测出了青海湖水面下任一点A的压强p（单位：）与其离水面深度h（单位：m）的几组数据，整理出下表： 10 15 20 25 30 142 179 216 253 290 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是______，因变量是______； (2)青海湖水面大气压强为______； (3)请直接写出p与h的关系式，并求出最深处处的压强值． 【答案】(1)离水面深度h，大气压强p (2)68 (3)，最深处处的压强值为 【分析】本题考查自变量和因变量的定义，函数表达式，函数值，解题的关键是从表格中得到信息． （1）根据自变量和因变量的定义，即可解答； （2）根据表格可得离水面深度每增加，压强p（单位：）增加，则列式计算即可求出青海湖水面大气压强； （3）由（2）知离水面深度每增加，压强p（单位：）增加，且青海湖水面大气压强为，即可得出p与h的关系式为，即可求出最深处处的压强值． 【详解】（1）解：根据题意：压强随离水面深度变化而变化， 自变量是离水面深度h，因变量是压强p； （2）解：水面深度每增加，压强p（单位：）增加， 则青海湖水面大气压强为： ； （3）解：由（2）知离水面深度每增加，压强p（单位：）增加，且青海湖水面大气压强为， p与h的关系式为， 最深处处的压强值为． 25．研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/ 0 34 67 110 135 202 255 336 404 471 土豆产量/t 14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20 如果用x表示氮肥施用量，用y表示土豆产量，根据表中的实验数据，将氮肥施用量x与土豆产量y的关系拟合成图象，见下图： (1)上述问题中的两个变量，自变量是______； (2)图中点A表示的实际意义是____________； (3)当每公顷土地氮肥的施用量为时，土豆的产量约为______；（保留两位小数） (4)你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由． 【答案】(1)氮肥的施用量 (2)不施用氮肥时，土豆的产量为 (3) (4)见解析 【分析】本题主要考查了函数的定义和结合实际土豆产量和施用氮肥量确定函数关系． （1）表格反映的是土豆的产量与氮肥的施用量的关系； （2）直接从图中得到点A表示的实际意义； （3）将代入计算即可求解； （4）从表格中找出土豆的最高产量，此时施用氮肥量是最合适的． 【详解】（1）解：上述问题中反映了土豆的产量与氮肥的施用量的关系，氮肥的施用量是自变量，土豆的产量是因变量； 故答案为：氮肥的施用量； （2）解：图中点A表示的实际意义是：不施用氮肥时，土豆的产量为； 故答案为：不施用氮肥时，土豆的产量为； （3）解：当时，， 故答案为：； （4）解：当氮肥的施用量约为时，氮肥的施用量是比较适宜的，因为此时土豆产量最高，又可以节约肥料． 26．如图，在长为，宽为的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化． 设剪去的每个三角形的直角边长为，阴影部分的面积为．如下表： 三角形的直角边长 1 2 3.2 4.5 … 阴影部分的面积 318 299.52 279.5 … (1)表中的数据 ； (2)当等腰直角三角形的直角边长由4.5增加到7时，阴影部分的面积 （填增大或减少） ． (3)写出与的关系式： ． (4)阴影部分面积可以达到吗？请说明理由． 【答案】(1)312 (2)减小，； (3) (4)阴影部分面积不可以达到， 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式，函数关系； （1）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式计算即可； （2）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式计算即可； （3）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式列式即可； （4）根据题意求得阴影部分的最小值，比较大小，即可求解． 【详解】（1）∵剪去的四个等腰直角三角形全等， ∴剪去的四个等腰直角三角形的面积相等， 根据题意：可知阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， 即：三角形的直角边长为2时，； 故答案为：312； （2）三角形的直角边长为4.5时，由表格可得； 三角形的直角边长为7时，； 即： ∴阴影部分的面积减小 故答案为：减小，； （3）阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， 据此列式可得：， 即所求关系为：． （4）阴影部分面积不可以达到，理由如下， ∵阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， ∵ 当时，阴影部分面积最小， ∴阴影部分面积不可以达到 27．为表彰在“纪念·五四运动”主题活动中表现优秀的同学，南昌市某中学七年级需要购买30个书包和若干个文具盒（不少于30个）．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的九折收费．已知每个书包定价为40元，每个文具盒定价为5元．设需要购买x个文具盒，选择①方案购买所需费用为元，选择②方案购买所需费用为元． (1)分别写出选择两种方案购买所需费用与文具盒个数之间的关系式； (2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？ 【答案】(1) (2)当购买60个文具盒时，两种方案所需费用相同 【分析】本题考查了利用关系式表示变量间的关系、一元一次方程的应用，找准等量关系是解题关键． （1）根据①方案购买所需费用等于30个书包的费用与个文具盒的费用之和；第②方案购买所需费用等于30个书包的费用与x个文具盒的费用之和的9折，由此即可得； （2）求出时，x的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，，即， ，即； （2）解：当时， 即， 解得， 故当购买60个文具盒时，两种方案所需费用相同． 28．小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离与小南离家的时间的关系图．请根据图回答下列问题： (1)图中的自变量是______，因变量是______． (2)小南出发______小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为_____． (3)图中点表示____________． (4)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸第二次相遇时，_____． 【答案】(1)时间，距离 (2)， (3)小南出发后，离家的距离为 (4) 【分析】本题考查了自变量与因变量的定义、从函数图象中获取信息、一元一次方程的应用，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据自变量与因变量的定义即可得出答案； （2）由图象可得小南出发小时后爸爸驾车出发，根据平均速度路程时间即可得出答案； （3）由图象即可得出答案； （4）先求出小南的平均速度，再由图象并结合题意建立一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得：图中的自变量是时间，因变量是距离； （2）解：由图可得： 小南出发小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为； （3）解：由图象可得：图中点表示小南出发后，离家的距离为； （4）解：由题意得：小南的平均速度为， 由图象可得：， 解得：， 故小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸第二次相遇时，． 29．某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度元计费；每月用电超过100度时，其中超过部分按每度元计费． (1)设每月用电x度时，应交电费y元，当和时，分别写出y关于x的关系式； (2)小王家第一季度交纳电费如下表所示： 月份 一月份 二月份 三月份 交费金额 76元 63元 45元6角 问小王家第一季度共用电多少度？ 【答案】(1) (2)小王家第一季度共用电度 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值： （1）根据题意分别求出当和时y与x的函数关系式即可； （2）先求出第一季度三个月每个月的用电量都超过了100度，再分别求出当时，当时，当时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ； 综上所述，； （2）解：当， ∴第一季度三个月每个月的用电量都超过了100度， 在中，当时，，当时，，当时，， ， 答：小王家第一季度共用电度． 30．科学家就蟋蟀每分钟鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： 室外温度/ 76 78 80 82 84 蟋蟀每分钟鸣叫的次数/次 144 152 160 168 176 根据以上信息，回答下列问题： (1)如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)室外温度每增加，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是怎样变化的？ (3)估计当室外温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数． 【答案】(1)该表反映了室外温度与蟋蟀每分钟鸣叫的次数（次）两个变量之间的关系，其中室外温度是自变量，蟋蟀每分钟鸣叫的次数（次）是因变量 (2)室外温度每增加，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次 (3)当室外温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数为200次 【分析】此题考查了利用函数的概念解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）运用变量与常量的概念进行求解； （2）结合表中数据进行列式求解此题结果； （3）由题意进行列式、计算． 【详解】（1）解：由题意得，该表反映了室外温度()与蟋蟀每分钟鸣叫的次数两个变量之间的关系，其中室外温度（)是自变量，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是因变量； （2）由题意得，(次)， 答：室外温度每增加，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次； （3）由题意得， 次， 答：当室外温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数为200次． 31．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，运动时间为（秒）． (1)直接写出点和点的坐标（______，______）、C（______，______）； (2)当点运动时，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围； (3)点，连接，在（2）条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)． (3)存在，秒和秒 【分析】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质； （1）根据题意即可得到结论； （2）当点在线段上时，根据，，，得到，当点在线段上时，于是得到结论； （3）当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，轴，轴 ∴，， （2）当点P在线段BA上时， 由，，可得：， ，， ； 当点在线段上时， 点走过的路程． （3）存在两个符合条件的t值， 当点在线段上时 ， ， 解得：， 当点在线段上时，    ， 解得：， 综上所述：当为秒和秒时． 32．如图1，某校机器人兴趣小组在长方形水池边上进行机器人测试．机器人从点B处出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：线段，线段，线段，到点A处停止．如果机器人所在的位置用点P表示，那么的面积与机器人出发后的时间t（分钟）之间的关系图像如图2所示．    (1)请求出长方形的长和宽； (2)当时，求S与t之间的关系式； (3)若沿途在某处让机器人原地做了分钟的其他性能测试，然后重新出发，前后速度保持不变，请你求出机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程． 【答案】(1)长是，宽是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式： （1）根据函数图象可得到，再根据在上运动时，的面积为，结合三角形面积公式得到，据此即可求出答案； （2）根据（1）所求可得机器人的速度为每分钟走，则，再根据三角形面积公式求解即可； （3）根据题意可求出a的值，进而根据路程等于速度乘以时间求出答案． 【详解】（1）解：观察图像可知，机器人从B点走到C点用了3分钟，从C点走到走到D点用了6分钟 ∵机器人是匀速运动 ∴， 又从图像可知， ∴， ∴长方形的长是，宽是． （2）解：由（1）可知，机器人3分钟走了的路程， ∴机器人的速度为每分钟走， ∴， ∴当时，S与t之间的关系式为： （3）解：由题意可得 ∴机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程为：． 33．如图，是某跨河道路上安装的护栏平面示意图，已知每根立柱宽为米，立柱间距为2米．    小莹根据护栏中蕴含的数量变化关系列出了下表： 立柱根数 1 2 3 4 5 …… 护栏总长度（米） 2.4 4.6 …… (1)______；______；______； (2)设有根立柱，护栏总长度为米，请写出与之间的函数表达式； (3)已知护栏总长度为119米，请求出立柱共有多少根？ 【答案】(1)0.2，6.8，9 (2) (3)55根 【分析】本题考查用表格和函数关系式表示变量之间的关系，解题的关键是求出函数关系式． （1）根据题意和表格数据，得到立柱每增加1根，护栏总长度增加米，进而求出的值即可； （2）根据（1）中的规律，写出函数关系式即可； （3）令，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，每两根立柱之间的距离相等， ∴每增加1根立柱，总长度增加的长度相同， 由表格可知：当立柱从2根变成3根时，总长度增加：（米）； ∴； 故答案为：0.2，6.8，9； （2）由（1）可知：； （3）当时，， 解得：； ∴立柱共有55根． 34．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，．      (1)求点C，D的坐标； (2)若点P由O点出发，沿着OCD以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t，三角形的面积为S，求S与t的关系式； (3)若在y轴上是否存在点 M，连接，使，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在 【分析】（1）根据点的平移规则：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，进行求解即可； （2）分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可； （3）设，根据，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 即：； （2）∵点A，B的坐标分别为， ∴， ∵， ∴， 当点在上，即：时，， ∴， 当点在上时，即：时，； 综上：； （3）存在； 设点，则：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与平移，用关系式表示变量之间的关系．解题的关键是掌握点的平移规则，正确的求出点C，D的坐标． 35．黑白棋子按如图所示的规律排列，观察图形，完成填空．    (1)第6行白棋子有______个，黑棋子有______个． (2)第n行黑白棋子共有y个，则y与n的关系式为______． 【答案】(1)6，11； (2) 【分析】（1）根据题干中黑白棋子的摆放规律，即可得到答案； （2）根据题干中黑白棋子的摆放数量，得到一般规律，即第行白棋子数量为，黑棋子的数量为，进而得到第n行黑白棋子的总数，即可得到答案． 【详解】（1）解：由黑白棋子的排列规律可知，白棋子每行比上一行多1个，黑棋子每行比上一行多2， 第6行白棋子有个，黑棋子有个， 故答案为：6，11； （2）解：由题意可知， 第一行白棋子数量为：1，黑棋子的数量为：1； 第二行白棋子数量为：2，黑棋子的数量为：， 第三行白棋子数量为：3，黑棋子的数量为：， 第四行白棋子数量为：4，黑棋子的数量为：， …… 第行白棋子数量为：，黑棋子的数量为：， 第n行黑白棋子共有， y与n的关系式为． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，函数关系式，根据题意得出一般规律是解题关键． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$