第五章 图形的轴对称（压轴题特训）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第5章 图形的轴对称（压轴题特训） 一、单选题 1．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的（   ）． A．96 B．108 C．118 D．128 2．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图．如图，若，则的值是（　　）（用的代数式表示） A． B． C． D． 3．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点、，分别将、沿点、折叠，点、分别落在绳子上的点、处．当时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　）. A． B． C． D． 5．如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（    ）    A．50 B．55 C．60 D．65 6．如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（         ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 7．如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 8．如图，在中，，分别是，边的垂直平分线，且分别与交于点，连接，．有下列四个结论：①；②；③与是互为补角；④的周长与边长相等其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．如图，在长方形纸片中，，点，分别在边，上，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为，．若，则的度数是 ． 10．如图，长方形的长和宽分别为，E、F分别是两边上的点，将四边形沿直线折叠，使点A落在点处，则图中阴影部分的周长为 ． 11．如图，在一次数学活动课上，小明将一张长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，，若，则 ． 12．将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图①，将纸片对折，点C 落在点 B 处，得到折痕AP 后展开纸片；（2）如图②，将对折，点 B 落在折痕上的点处，得到折痕；（3）如图③，将对折，点C落在折痕上的点C处，得到折痕，则 ° ． 13．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 14．如图，在长方形中，将三角形沿着翻折得到三角形，此时，点在上，连接，在的右侧作，使得，当的一条边与平行时，则的度数是 ． 15．如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的倍多，则 ． 16．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 17．如图，在中，，是边上的中线，的平分线交于点E，于点F，若，则的长度为 ． 18．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，折痕为．点为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点落在点处（折痕为）．若，则 ． 19．如图，在中，，，D、E分别在、上，将三角形沿折叠得到三角形，且满足，则 °． 三、解答题 20．已知在中，，，为直线上一动点（点不与点，点重合），以为边作（其中，），连接． (1)如图1，当点在边上时，_____． (2)如图2，当点在边的延长线上运动时，______． (3)如图3，当点在边的延长线上时，求的度数． 21．如图，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点的位置，折痕为，再把折叠，使点C、D分别落在点的位置，折痕为，与在同一条直线上． (1)分别直接写出与，与之间所满足的数量关系； (2)与之间什么关系？ (3)是什么角？ 22．【问题提出】 期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足 ，那么是的中点，请你说明理由． 【思路探究】 小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】 （2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长线于点，猜想与的数量关系并说明理由． 23．如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，． （1）如果，： ①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为_____________，数量关系为_____________． ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． （2）如图3，如果，，点D在线段上运动、探究：当等于多少度时，？请说明理由． 24．如图，在中，点D是延长线上的一点，过点D作，平分，平分，与交于点G． （1）证明：； （2）如图1，若，求的度数； （3）如图2，连接，若．求证：． 25．（1）如图1所示，将长方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点落在处，为折痕，若，则的度数为______ （2）在（1）条件下如果又将它的另一个角也折过去，并使边与重合，折痕为，如图2所示、则为______，为______ （3）在图2中如果改变的大小，则的位置也随之改变，那么（2）中的大小会不会改变？请说明理由． 26．在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 27．【观察发现】 （1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为___________； 【思维拓展】 （2）如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，求的度数； 【综合应用】 （3）如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 28．定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 29．如图，在中，点D在边上，．将沿对折得到，交于点F． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若，请说明； （3）若，将绕点B逆时针方向旋转一个角度，记旋转中的为．在旋转过程中，直线分别与直线、直线交于点M、点N，是否存在这样的点M、点N，使与相等？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由． 30．如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 图形的轴对称（压轴题特训） 一、单选题 1．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的（   ）． A．96 B．108 C．118 D．128 【答案】A 【分析】题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折变换的性质，折叠后重叠了层，然后根据平角的定义列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵长方形的对边， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图．如图，若，则的值是（　　）（用的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，正确得到，是解题的关键． 先根据平行线的性质得到，，再由折叠的性质得到，则，根据三角形内角和定理得到，则． 【详解】解：∵， ∴，， ∵纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 故选：D． 3．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点、，分别将、沿点、折叠，点、分别落在绳子上的点、处．当时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间的距离． 分两种情况分别计算即可：当点落在点的左侧时，当点落在点的右侧时． 【详解】解：当点落在点的左侧时，如图， ，， ， 由折叠的性质得，，， ， ； 当点落在点的右侧时，如图， ， ， ， 综上所述，当时，的长为或． 4．如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 根据折叠的性质可得，根据平角等于用表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用与表示出，然后利用三角形的内角和等于列式整理即可解答． 【详解】解：如图： ∵是沿折叠得到， ∴， 又∵， ∴，即，整理得:． 故选：A． 5．如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（    ）    A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过E作于M，     平分，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（         ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【分析】过E作于F，可得，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得，；运用点E是的中点即可判断③是否正确；运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；运用即可判断①是否正确 【详解】解：过E作于F，如图，    ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 而，，故③错误； 在和中，， ∴， ∴，，，故②正确； ∴，故④正确； ∴，故①正确． 因此正确的有①②④， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到．侧重考查知识点的理解、应用能力．学生在日常学习中应从以下3个方向（【逻辑推理】【直观想象】【数学运算】）培养对知识点的理解、应用能力． 7．如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 【答案】B 【分析】作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，根据两点之间，线段最短即可． 【详解】解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH， 则AM=MG，AN=NH， ∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH， 由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小， ∵∠BAE=152°， ∴∠G+∠H=28°， ∵AM=MG，AN=NH， ∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN， ∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，正确找出△AMN周长最小时，点M，N的位置是解题的关键． 8．如图，在中，，分别是，边的垂直平分线，且分别与交于点，连接，．有下列四个结论：①；②；③与是互为补角；④的周长与边长相等其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据四边形内角和等于360°，即可得出③正确，再根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质可得结论①②正确；根据线段的垂直平分线的性质得到，，即可判定④正确． 【详解】解：∵，分别是，边的垂直平分线， ∴，， 又∵， ∴，故结论③正确； 又∵， ∴，故结论①正确； 直线是的垂直平分线， ， ∴ 同理，，， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； 的周长为， ∴的周长=，故结论④正确； 综上所述，①②③④正确，共4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 二、填空题 9．如图，在长方形纸片中，，点，分别在边，上，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为，．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行线的性质，由对折可得：，结合 ，先求解，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：由对折可得：， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为： 10．如图，长方形的长和宽分别为，E、F分别是两边上的点，将四边形沿直线折叠，使点A落在点处，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，根据翻折变换的性质得出图中阴影部分的周长为，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵将四边形沿直线折叠，使点落在点处， ∴， ∴图中阴影部分的周长为：， ∵长方形的长和宽分别为， ∴图中阴影部分的周长为：， 故答案为：． 11．如图，在一次数学活动课上，小明将一张长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折性质，角度计算，平行线性质等．根据题意可得设，则，求出，结合平行线的性质得，，再代入化简计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，， ∴ ∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 则 故答案为： ． 12．将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图①，将纸片对折，点C 落在点 B 处，得到折痕AP 后展开纸片；（2）如图②，将对折，点 B 落在折痕上的点处，得到折痕；（3）如图③，将对折，点C落在折痕上的点C处，得到折痕，则 ° ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，补角的定义以及角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质得到，，求出，即可得到答案． 【详解】解：根据折叠的性质得到， ， ， ， ． 故答案为：． 13．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 14．如图，在长方形中，将三角形沿着翻折得到三角形，此时，点在上，连接，在的右侧作，使得，当的一条边与平行时，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．分和两种请开给你进行讨论求解即可． 【详解】①如图，当时，延长交于点，则：， ∵翻折， ∴， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，同理可得：， ∵长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：或． 15．如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的倍多，则 ． 【答案】/124度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．由折叠的性质及平角等于可求出的度数，由，利用“两直线平行，同位角相等”可求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质，可知：． ，， ， ， ． ， ． 故答案为：． 16．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了轴对称的性质，角的和差运算，一元一次方程的应用，解决本题的关键是熟练运用轴对称的性质．设，，，根据折叠表示出，，，然后根据得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：设，，， 根据折叠可知：，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图，在中，，是边上的中线，的平分线交于点E，于点F，若，则的长度为 ． 【答案】5 【分析】利用角平分线的性质定理解决问题即可． 【详解】解：∵AC＝AB，AD是中线， ∴AD⊥BC， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BA，ED⊥BC， ∴ED＝， 故答案为：5． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，折痕为．点为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点落在点处（折痕为）．若，则 ． 【答案】108或72 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握折叠变换的性质并采用分类讨论的数学思想是解题的关键．由折叠的性质可推出，，再分两种情况讨论，①当在的外部，则，求得，则；②当在的内部，则，求得，则，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，， ，， ①当在的外部，如图 ，且， ， ， ∴； ②当在的内部，如图 ，且， ， ， ． 故答案为：108或72． 19．如图，在中，，，D、E分别在、上，将三角形沿折叠得到三角形，且满足，则 °． 【答案】76 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，直角三角形的性质．首先根据平行的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据邻补角的定义可得，根据折叠的性质可得，最后由得到 ． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ， 根据折叠的性质可知， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 20．已知在中，，，为直线上一动点（点不与点，点重合），以为边作（其中，），连接． (1)如图1，当点在边上时，_____． (2)如图2，当点在边的延长线上运动时，______． (3)如图3，当点在边的延长线上时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质三角形内角和定理，以及等腰直角三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）根据证明推出，由，即可求解； （2）根据证明，推出，，由，即可求解； （3）根据证明，推出，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．如图，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点的位置，折痕为，再把折叠，使点C、D分别落在点的位置，折痕为，与在同一条直线上． (1)分别直接写出与，与之间所满足的数量关系； (2)与之间什么关系？ (3)是什么角？ 【答案】(1)， (2)与互余 (3)是直角 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，邻补角的性质，互余的定义等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据邻补角的性质可得答案； （2）由轴对称的性质可得，，进而可得，于是可得答案； （3）由轴对称的性质可得，，进而可得，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： 由邻补角的性质可得： ，； （2）解：由轴对称的性质可得：，， ∴， ∴， 答：与互余； （3）解：由轴对称的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， 答：是直角． 22．【问题提出】 期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足 ，那么是的中点，请你说明理由． 【思路探究】 小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】 （2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长线于点，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析． 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识， （1）小王同学的思路：如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则，根据题意证明出，得到； 小张同学的思路：如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （2）方法1：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接，证明出，得到； 方法2：以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，证明出，得到． 【详解】解∶（1）小王同学的思路： 如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则． 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以，即是的中点 小张同学的思路： 如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则． 所以， 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以，即是的中点； （2）猜想 方法1： 如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接， 则． 所以． 因为， 所以，． 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 方法2： 如图4，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接， 则． 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 23．如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，． （1）如果，： ①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为_____________，数量关系为_____________． ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． （2）如图3，如果，，点D在线段上运动、探究：当等于多少度时，？请说明理由． 【答案】（1）①垂直，相等；②成立，理由见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）①根据∠BAD＝∠CAE，BA＝CA，AD＝AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系； ②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立； （2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论． 【详解】（1）①CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE＝BD． 理由：如图1，∵∠BAD＝90°-∠DAC，∠CAE＝90°-∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE． 又∵ BA＝CA，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠ACE＝∠B＝45°且 CE＝BD． ∵∠ACB＝∠B＝45°， ∴∠ECB＝45°＋45°＝90°，即 CE⊥BD． 故答案为：垂直，相等； ②都成立，理由如下： ∵， ∴， 即：， 又∵，， ∴， ∴，， ∵在，， ∴，即 ∴； （2）当时，，理由如下： 过点A作交的延长线与点，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴∠BCE=， ∴． 【点睛】此题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解． 24．如图，在中，点D是延长线上的一点，过点D作，平分，平分，与交于点G． （1）证明：； （2）如图1，若，求的度数； （3）如图2，连接，若．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析． 【分析】（1）利用三角形内角和定理以及平角的定义，即可得到； （2）在图中添加点M，由结合外角的性质可得出，再根据角平分线的性质可得出，由此可得出 ，从而得出，根据的度数即可得出结论； （3）由（2）知：，，再结合已知．即可得出，根据平行线的判定定理即可证明． 【详解】（1）∵中，， ∴， 又∵，， ∴； （2）在延长线上标上点M，如图1所示． ∵，∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （3）证明：如图2，由（2）知：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的性质以及三角形外角的性质，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． 25．（1）如图1所示，将长方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点落在处，为折痕，若，则的度数为______ （2）在（1）条件下如果又将它的另一个角也折过去，并使边与重合，折痕为，如图2所示、则为______，为______ （3）在图2中如果改变的大小，则的位置也随之改变，那么（2）中的大小会不会改变？请说明理由． 【答案】（1）70°，（2）35°，90°；（3）不变，理由见解析． 【分析】（1）由折叠的性质可得∠A′BC＝∠ABC＝55°，由平角的定义可得∠A′BD＝180°﹣∠ABC﹣∠A′BC，可得结果； （2）由（1）的结论可得∠DBD′＝70°，由折叠的性质可得＝35°，∠CBE＝∠A′BC+∠2＝90°； （3）由折叠的性质可得，，，可得． 【详解】解：（1）∵∠ABC＝55°， ∴∠A′BC＝∠ABC＝55°， ∴∠A′BD＝180°﹣∠ABC﹣∠A′BC ＝180°﹣55º﹣55° ＝70°； 故答案为：70°， （2）由（1）的结论可得∠DBD′＝70°，∠A′BC＝55°， ∴＝35°， 由折叠的性质可得， ∴∠CBE＝∠A′BC+∠2＝55°+35°＝90°； 故答案为：35°，90°； （3）不变， 由折叠的性质可得， ，， ∴∠1+∠2＝＝＝90°， 不变，永远是90°． 【点睛】本题主要考查了折叠角相等，即角平分线的定义，根据角平分线的定义得出角的度数是解答此题的关键． 26．在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 【答案】(1)垂直；；平行 (2)①；② (3)10或85或130；55或或145 【分析】（1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案； ②算出当时，，，再根据，得出，即可求出两条射线的夹角． （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质和垂直的定义，列出方程，解题方程即可． 【详解】（1）解：如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：垂直；；平行； （2）解：①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图（5）的位置， ∴此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②当时，，， ∵， ∴， ∴两条射线的夹角为． （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 解得：， 综上所述：当为10或85或130时，两灯的光束互相平行． ②当时，如图， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当为55或或145时，两灯的光束互相垂直． 【点睛】本题考查垂直判定，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点． 27．【观察发现】 （1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为___________； 【思维拓展】 （2）如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，求的度数； 【综合应用】 （3）如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，平角的性质，角平分线的性质，平行线的判定及性质． （1）根据折叠的性质得，，，进而得，由平角的性质即可得解； （2）先由平行线的性质得，再由角平分线的性质得出，最后由三角形内角和定理可得答案； （3）过点作平分，过点作平分，先由角平分线的性质和平角的性质得出，，进而得，过点作，得，根据两直线平行内错角相等得，，再结合角平线的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）根据折叠的性质得，，， ∴，即， 故答案为：； （2）解：， ， ，分别平分和， ，， ． ， ； （3）解：，证明如下： 如图，过点作平分，过点作平分， 平分，平分， ，， ， ， 同理可得：， ， 过点作， ， ，， ， 平分，平分， ，， ． 28．定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) ；存在．当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 【分析】（）根据“减余角”的定义即可求解； （）根据“减余角”的定义即可求解； 存在．分三种情况根据“减余角”的定义解答即可求解； 本题考查了新定义角度的运算，折叠的性质，理解“减余角”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由折叠可得，， 设，则， ∵是和的“减余角”， ∴， 解得， ∴的度数为； 存在． 由折叠可得，，， 设，，则， 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 故此种情况不存在； 综上，当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 29．如图，在中，点D在边上，．将沿对折得到，交于点F． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若，请说明； （3）若，将绕点B逆时针方向旋转一个角度，记旋转中的为．在旋转过程中，直线分别与直线、直线交于点M、点N，是否存在这样的点M、点N，使与相等？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∠AFB =70°；（2）见解析；（3）存在，旋转角α的度数为60°或150°． 【分析】（1）利用直角三角形的性质求得∠ADB=50°，再利用三角形的外角性质以及折叠的性质求得∠EBD=∠CBD=20°，最后利用三角形的外角性质即可求解； （2）利用三角形的外角性质以及折叠的性质求得∠2+∠3=90°，∠2=2∠3+∠C，再在△FED中利用三角形内角和定理即可计算证明∠4=4∠3； （3）分当∠AMN=∠ANM=20°和∠AMN=∠ANM=70°时两种情况讨论，分别画出图形，利用折叠和旋转的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）∵∠ABD=90°，∠A=40°， ∴∠ADB=50°， 由折叠的性质得∠EBD=∠CBD， ∵∠ADB=∠CBD+∠C，∠C=30°， ∴∠CBD=50°-30°=20°， ∴∠AFB=∠FBC+∠C=2∠CBD +∠C =70°； （2）∵∠ABD=90°，∠1=∠2，∠EBD=∠CBD=∠3， ∴∠1+∠EBD=90°，即∠2+∠3=90°， ∵∠2=∠FBC+∠C=2∠3+∠C， ∴90°-∠3=2∠3+∠C，即∠C=90°-3∠3， 由折叠的性质得∠E=∠C， 在△FED中，∠EFD=∠2=2∠3+∠C=2∠3+90°-3∠3=90°-∠3， ∴∠4=180°-∠EFD-∠E=180°-(90°-∠3+90°-3∠3)= 4∠3； （3）存在， 如图，当∠AMN=∠ANM时， ∵∠BAC= 40°，则∠AMN=∠ANM=20°， ∵∠ABD=90°，∠BAC =40°， ∴∠ADB=50°， 由折叠和旋转的性质得：∠EBD=∠CBD=∠E1BD1，∠C=∠E=∠BE1D1， ∵∠ADB=∠CBD+∠C=50°，则∠BD1N=∠E1BD1+∠BE1D1=50°， ∴∠BFD=∠BD1N+∠ANM=70°， ∴∠D1BD=180°-70°-50°=60°， 即旋转角度为60°； 如图，当∠AMN=∠ANM时， ∵∠BAC= 40°，则∠AMN=∠ANM=70°， 同理，∠BD1N =50°， ∴∠D1MB=∠AMN=70°， ∴∠D1BM=180°-70°-50°=60°， ∴∠D1BD=60°+90°=150°， 即旋转角度为150°； 综上，旋转角α的度数为60°或150°． 【点睛】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形、灵活运用所学知识是解题的关键． 30．如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）由题意得度，度 度，再列等式求解即可； （2）先求得度，可得，再由，可得，即，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得度，度 度， 即， 解得； （2）解：因为将沿边折叠到处， 所以度， 所以， 因为， 所以，即， 由（1）得，代入得 解得， 所以 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$