第五章 图形的轴对称（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第五章 图形的轴对称（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列校徽图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 3．到三角形各边的距离相等的点是三角形（    ） A．三边中垂线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的中点 D．三条角平分线的交点 4．已知：如图，在中，边的垂直平分线分别交于点G、D，若的周长为，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 5．下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（   ） A．圆形 B．等边三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 6．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（三角形），为折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点、，分别将、沿点、折叠，点、分别落在绳子上的点、处．当时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 8．如图，在中，，以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交，于点D，E，再分别以点为圆心．大于为半径画弧．两弧在内交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为（   ） A．13 B．15 C．26 D．30 9．如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则两平行线与间的距离为（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 10．如图，等腰的底边长为3，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则 周长的最小值为（　　） A．6 B．10.5 C．13.5 D．16.5 二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，且，则长为 12．如图，，，，，则点到的距离是 ． 13．如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 14．如图，在点处用钉子将木条，钉在一起，是木条上一点，用橡皮筋连接，，固定木条，把木条绕转动．若是的中点，当的面积最大时，与之间存在的数量关系为 ． 15．如图，在四边形中，，的平分线交于点，，若，，则四边形的周长为 ． 16．如图1是一张长方形纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则的度数为 ． 三.解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，在中，，垂足为点D，点E在的延长线上． (1)尺规作图：作的平分线交于点F（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)填空：在（1）的条件下，若，试说明， 证明：， ① ，， ， ② ． 又平分， ， ③ ． 在中， ， ． 18．（8分）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若关于O点中心对称，试作出对称后的，并写出点的坐标_____； (2)在y轴上找一点M，使最小，在图中标出点M； (3)计算四边形的面积． 19．（8分）如图，在中，， (1)利用尺规，作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下 ①当，求的度数 ②若的面积是12，，点M、N分别是、上的动点，求的最小值． 20．（8分）风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 21．（8分）如图，点分别在长方形纸片的边上，连接．将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)若，求的大小； (2)若，求的大小； (3)如图，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕，求的度数． 22．（10分）我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图①，是的平分线，是上任一点，作，，垂足分别为点和点．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理证明】 已知：如图①，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和．只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整证明过程． 【定理应用】 （2）如图②，在中，，的角平分线交于点．若过点作，垂足为，点在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由． 23．（10分）【综合实践】——折纸中的数学    某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图）． （）根据上述步骤可知，与的位置关系是__________． 【联系拓广】 （2）①如图，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． 【类别迁移】 （3）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上，求证：． 24．（12分）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． （1）求证：． （2）求的取值范围． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 图形的轴对称（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列校徽图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中、是轴对称图形，故本选项符合题意； C中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，在中，，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由三线合一可得，，进而即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，为的中点， ∴，， ∴， 故选：． 3．到三角形各边的距离相等的点是三角形（    ） A．三边中垂线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的中点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴到三角形三条边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点， 故选：D． 4．已知：如图，在中，边的垂直平分线分别交于点G、D，若的周长为，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质，推出的周长等于，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴的周长为：； 故选：C． 5．下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（   ） A．圆形 B．等边三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键；因此此题可根据轴对称图形的性质进行求解即可． 【详解】解：圆形有无数条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，正五边形有5条对称轴；所以对称轴条数最多的是圆形； 故选A． 6．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（三角形），为折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质、折叠的性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 根据平行线的性质，可以得到，，再根据和折叠的性质，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示， ∵长方形的两条长边平行，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， 故选：D． 7．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点、，分别将、沿点、折叠，点、分别落在绳子上的点、处．当时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间的距离． 分两种情况分别计算即可：当点落在点的左侧时，当点落在点的右侧时． 【详解】解：当点落在点的左侧时，如图， ，， ， 由折叠的性质得，，， ， ； 当点落在点的右侧时，如图， ， ， ， 综上所述，当时，的长为或． 8．如图，在中，，以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交，于点D，E，再分别以点为圆心．大于为半径画弧．两弧在内交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为（   ） A．13 B．15 C．26 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查作图-基本作图、角平分线的性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 如图：过点G作于点H，由作图可得，为的平分线，由角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴的面积为． 故选：B． 9．如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则两平行线与间的距离为（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，角平分线的性质，求平行线间的距离等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，交于点，交于点，根据平行线的性质可证得，由角平分线的性质可得，，进而可求得两平行线与间的距离． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， ，， ， ， ， ，即， 由此可知，即为两平行线与间的距离， 是的平分线， 且，， ， 是的平分线， 且，， ， ， 两平行线与间的距离是， 故选：C． 10．如图，等腰的底边长为3，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则 周长的最小值为（　　） A．6 B．10.5 C．13.5 D．16.5 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值． 故选：C． 二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，且，则长为 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的性质得到即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 12．如图，，，，，则点到的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点B作于E，则由角平分线的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E， ∵，，， ∴， ∴点到的距离是4， 故答案为：4． 13．如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查成轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据成轴对称的两条图形的对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， 故答案为：． 14．如图，在点处用钉子将木条，钉在一起，是木条上一点，用橡皮筋连接，，固定木条，把木条绕转动．若是的中点，当的面积最大时，与之间存在的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．设在中，边上的高为，则，当时，最大，此时最大，结合是的中点，得到垂直平分线段，推出，即可求解． 【详解】解：设在中，边上的高为， ， 是的中点， 当的面积最大时，垂直平分线段， ， ， 故答案为：． 15．如图，在四边形中，，的平分线交于点，，若，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 延长、相交于点，根据得到，，再证明得到，从而推算出四边形的周长等于； 【详解】解：延长、相交于点， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为； 故答案为： 16．如图1是一张长方形纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，掌握折叠的性质是解题的关键；根据折叠的性质得，再由第2次折叠得到，于是利用平角定义即可可计算结果． 【详解】解：纸条沿折叠， ， 纸条再沿折叠并压平， ， ， ， ， ， 纸条沿折叠并压平， ， 故答案为：． 三.解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，在中，，垂足为点D，点E在的延长线上． (1)尺规作图：作的平分线交于点F（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)填空：在（1）的条件下，若，试说明， 证明：， ① ，， ， ② ． 又平分， ， ③ ． 在中， ， ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点C为圆心，以小于为半径画弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点F； （2）先根据等腰三角形的性质得，，结合已知条件得，再根据角平分线定义可得，然后根据“”证明，最后根据全等三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：如图所示． （2）证明：∵，， ∴，． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义等，证明线段相等的常用方法是证明两个三角形全等． 18．（8分）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若关于O点中心对称，试作出对称后的，并写出点的坐标_____； (2)在y轴上找一点M，使最小，在图中标出点M； (3)计算四边形的面积． 【答案】(1)详见解析， (2)详见解析 (3) 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于M，从而解决问题． （3）利用分割法求解即可． 本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）如图所示，为所求． （2）如图，点M即为所作， （3）如图， 19．（8分）如图，在中，， (1)利用尺规，作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下 ①当，求的度数 ②若的面积是12，，点M、N分别是、上的动点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握作已知线段的垂直平分线．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）①根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到 ，设，然后计算即可； ②如图，根据线段垂直平分线的性质得到，利用三角形三边的关系得到（当且仅当A、N、M共线时取等号），再利用垂线段最短，得到当时，的长度最小，然后根据三角形面积公式计算出即可． 【详解】（1）解：（1）如图，为所作． （2）①∵垂直平分，， ∴， ∴在中，设， 在中，， 又∵， ∴在中，， ， ∴； ②∵如图，垂直平分； ∴， ∴（当且仅当A、N、M共线时取等号）， ∵当时，的长度最小， ∵， ∴， ∴的最小值为6． 20．（8分）风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可； （2）在上截取，连接，利用证明和全等，进而解答即可． 此题考查全等三角形的应用，关键是利用证明和全等解答． 【详解】（1）证明：， 点A在的垂直平分线上， ， 点C在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ， 同理可得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， 是的外角， ， 即， ， ． 21．（8分）如图，点分别在长方形纸片的边上，连接．将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)若，求的大小； (2)若，求的大小； (3)如图，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用折叠的性质即可求解； （）由平角定义及折叠性质可得，进而即可求解； （）由平角定义及折叠性质可得，进而即可求解； 此题考查了翻折变换的性质，平角的定义，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵将对折，点落在直线上的点处，折痕为， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴； （3）解：∵将对折，点落在直线上的点处，得到折痕， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 22．（10分）我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图①，是的平分线，是上任一点，作，，垂足分别为点和点．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理证明】 已知：如图①，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和．只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整证明过程． 【定理应用】 （2）如图②，在中，，的角平分线交于点．若过点作，垂足为，点在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，灵活运用角平分线性质定理是解答本题的关键． （1）证明即可； （2）证明得，证明得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴ ∵，， ∴ 又 ∴， ∴； （2），理由如下： ∵的角平分线交于点，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴． 23．（10分）【综合实践】——折纸中的数学    某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图）． （）根据上述步骤可知，与的位置关系是__________． 【联系拓广】 （2）①如图，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． 【类别迁移】 （3）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上，求证：． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键， （1）根据平行线的判定判断即可； （2）①连接．由正方形可知，，进而得．由，得，从而可得．②如图，过点作，得．证，得，从而求得，即可得解； （3）由，得．由折叠性质得，，从而，根据平行线的判定即可得证． 【详解】解：（1）．理由如下： 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴； （2）①． 理由如下： 如图，连接．    由正方形可知，， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ②如图，过点作， ∴． ∵纸片是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    （3）证明：∵， ∴． ∵纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处， ∴，， ∴， ∴． 24．（12分）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． （1）求证：． （2）求的取值范围． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先根据线段中点的定义可得，再利用定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得； （3）延长，交的延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得． 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴， 在中，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）解：如图，延长，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，即， ∴垂直平分， ∴． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$