第五章 图形的轴对称 知识归纳与题型突破（八类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第五章 图形的轴对称（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点1：轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 要点2：轴对称性质 ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 要点3：画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 要点3：线段垂直平分线 （1）定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 （2）线段垂直平分线的作图 ①分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； ②作直线 CD，CD 为所求直线 （3）线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 要点4：角的平分线的性质定理 （1）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 ②分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 ③画射线OC，射线OC即为所求。 （2）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 要点5：将军饮马-最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 03 题型归纳 题型一 轴对称图形的识别 【典例1】下面给出的每幅图形中的两个图案成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．在一些字体中，有的汉字可以看成轴对称图形．下面个汉字中，可以看成轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．中国传统服装历史悠远，下列服装中，是轴对称的是（   ） A． B． C． D． 3．很多大学的校徽设计会融入数学元素，下列大学的校徽中间的图案（不考虑中间的数字和字母）是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 题型二 折叠问题 【典例2】如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的（   ）． A．96 B．108 C．118 D．128 巩固训练 1．如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，与交于点，若，则的度数为 ． 3．按如图的方法折纸， ． 题型三 画轴对称图形 【典例3】如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)求的面积； (3)在直线上找一点P，使得最短． 巩固训练 1．如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个． 2．如图，在正方形网格中，画出与成轴对称的三角形．    3．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．    (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找点P使最小，在图形上画出点P的位置； (3)在直线上找点Q使最大，直接写出这个最大值． 题型四 垂直平分线的性质 【典例4】如图，在中，是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，连接．若，则的周长是 ． 巩固训练 1．如图，在中，是的垂直平分线，．若的周长为25，则的周长为 ． 2．如图，已知直线l是线段的垂直平分线，垂足为O，M，N是直线l上两点．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，是的角平分线，垂直平分，分别交于点E，M，F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型五 垂直平分线的性质与判定角平分线性质定理 【典例5】如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)试说明：垂直平分； (2)若，请问满足什么条件时，？请说明理由． 巩固训练 1．如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)线段和线段的位置关系是 ； (2)求证：； (3)在“筝形”中，已知，求“筝形”的面积． 2．如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 3．如图，在中，边，的垂直平分线交于点． (1)求证：； (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 题型六 角平分线性质定理 【典例6】【感知】如图①，平分，，，易知． 【探究】（1）如图②，平分，，，试说明：； 【应用】（2）如图③，在四边形中，平分，，，，且，则_________（用含a的代数式表示）． 巩固训练 1．如图，在中，为的平分线，过点D分别作于点E，交的延长线于点F，若的面积是，求的长． 2．已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，． (1)如图①，当时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线，上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 3．如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 4．已知△ABC中，∠ACB＝∠DCE＝α，AC＝BC，DC＝EC，且点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE． （1）如图1，当α＝60°时，求出∠AEB的度数． （2）如图2，当α＝90°时，若∠CBE＝∠BAE，CF＝2，AB＝8，求△ABF的面积． 题型七 作图-垂直平分线与角平分线 【典例7】如图，在中，． (1)作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数（写出推理过程）． 巩固训练 1．如图所示，在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交、于D、E两点． (2)连接，求的周长． 2．如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，求点到边的距离． 题型八 最短路径问题 【典例8】如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 巩固训练 1．如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．8 2．如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 3．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则 ．    36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 图形的轴对称（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点1：轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 要点2：轴对称性质 ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 要点3：画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 要点3：线段垂直平分线 （1）定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 （2）线段垂直平分线的作图 ①分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； ②作直线 CD，CD 为所求直线 （3）线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 要点4：角的平分线的性质定理 （1）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 ②分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 ③画射线OC，射线OC即为所求。 （2）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 要点5：将军饮马-最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 03 题型归纳 题型一 轴对称图形的识别 【典例1】下面给出的每幅图形中的两个图案成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、两个图案成轴对称，故本选项正确； B、两个图案不成轴对称，故本选项错误； C、两个图案不成轴对称，故本选项错误； D、两个图案不成轴对称，故本选项错误． 故选：A． 巩固训练 1．在一些字体中，有的汉字可以看成轴对称图形．下面个汉字中，可以看成轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．中国传统服装历史悠远，下列服装中，是轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形的定义，直接利用轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进而判断得出答案． 【详解】解：A、观察衣服的领口可知，不是轴对称图形，故不合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、观察衣服的领口可知，不是轴对称图形，故不合题意； D、观察衣服的领口可知，不是轴对称图形，故不合题意； 故选：B． 3．很多大学的校徽设计会融入数学元素，下列大学的校徽中间的图案（不考虑中间的数字和字母）是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 题型二 折叠问题 【典例2】如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的（   ）． A．96 B．108 C．118 D．128 【答案】A 【分析】题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折变换的性质，折叠后重叠了层，然后根据平角的定义列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵长方形的对边， ∴， ∴． 故选：A． 巩固训练 1．如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和折叠的性质得出，即可求解． 【详解】解： 四边形由四边形折叠所得 故选：D． 2．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，与交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据折叠的性质得，，又，所以，最后根据即可求解． 【详解】解：把一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处， ，， ， ， ， 故答案为：． 3．按如图的方法折纸， ． 【答案】90 【分析】本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，， ∵， ∴，即， 故答案为：90． 题型三 画轴对称图形 【典例3】如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)求的面积； (3)在直线上找一点P，使得最短． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用长为2、宽为3的矩形面积减去四周三个直角三角形的面积即可得出答案； （3）连接，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：； （3）解：如图所示，点P即为所求． 巩固训练 1．如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个． 【答案】5 【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．此题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有5种画法． 【详解】解：依题意，如图： 有5个位置使之成为轴对称图形， 故答案为：5． 2．如图，在正方形网格中，画出与成轴对称的三角形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义解答即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：如图，    3．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．    (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找点P使最小，在图形上画出点P的位置； (3)在直线上找点Q使最大，直接写出这个最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；最大值为3 【分析】（1）利用网格特点，先画出A、B、C关于直线的对称点、、，再顺次连接即可； （2）作点C关于的对称点D，连接交于一点，该点即为点P； （3）由于，则，而由三角形的三边关系可得，当Q、、B三点共线时取等号，从而可得答案． 【详解】（1）解：即为所求作的三角形，如图所示：    （2）解：如图，作点C关于的对称点D，连接交于一点，该点即为所求作的点P；    ∵点C与D关于的对称， ∴， ∴， ∵，只有当点P、B、D三点共线时等号成立， ∴当点P、B、D三点共线时，最小，即最小； （3）解：先作出A关于直线的对称点，连接并延长交于一点，该点即为点Q，如图所示：    ∵， ∴， 根据三角形的三边关系可得，当Q、、B三点共线时取等号， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 题型四 垂直平分线的性质 【典例4】如图，在中，是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，连接．若，则的周长是 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解决问题的关键． 由线段垂直平分线性质得到，，进而得到，由三角形的周长公式即可求得的周长． 【详解】∵是线段的垂直平分线，， ∵是线段的垂直平分线， ， ， 故答案为：14. 巩固训练 1．如图，在中，是的垂直平分线，．若的周长为25，则的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，进而可推出“的周长的周长”，由此即可得出答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长 的周长 ， 故答案为：． 2．如图，已知直线l是线段的垂直平分线，垂足为O，M，N是直线l上两点．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查垂直平分的性质和全等三角形的判定和性质，根据垂直平分的性质得，，，结合即可证明，则有即可逐个判断选项． 【详解】解：有题意知，，，，则C正确； ∵， ∴，则A正确； ∴，则D正确； 无法证明， 故选：B． 3．如图，已知，是的角平分线，垂直平分，分别交于点E，M，F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．先根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型五 垂直平分线的性质与判定角平分线性质定理 【典例5】如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)试说明：垂直平分； (2)若，请问满足什么条件时，？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定等知识点 （1）由题意，证明再证明，得到，且，即可推出结论； （2）由已知推出，证明再由三角形内角和推出，即可推出结论． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，且， ∴垂直平分． （2）当时，． 理由：当时，． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴当时，． 巩固训练 1．如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)线段和线段的位置关系是 ； (2)求证：； (3)在“筝形”中，已知，求“筝形”的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定； （1）根据垂直平分线的判定即可得出证明； （2）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （3）根据进行计算即可． 【详解】（1）是线段的垂直平分线，理由如下： ∵，， ∴在的垂直平分线上， 则线段和线段的位置关系是 故答案为：． （2）证明：在和中， ， ∴； （3）∵ ∴ ∴“筝形”的面积为：． 2．如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再证 ， 得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴ ， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线； （2）∵， ∴， ∴ ∴， 解得：， 即的长为5． 3．如图，在中，边，的垂直平分线交于点． (1)求证：； (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质直接可得到答案； （2）根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵边、的垂直平分线交于点， ∴，， ∴； （2）证明：∵边，的垂直平分线交于点， ∴，， ∴， 点在的垂直平分线上． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 题型六 角平分线性质定理 【典例6】【感知】如图①，平分，，，易知． 【探究】（1）如图②，平分，，，试说明：； 【应用】（2）如图③，在四边形中，平分，，，，且，则_________（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）作于E，作于F，先根据角平分线的性质得出，再证明，证明即可得出结论； （2）作于F．首先证明，再证明，得出，即可解决问题； 【详解】（1）证明：如图②中，作于E，作于F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）作于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 巩固训练 1．如图，在中，为的平分线，过点D分别作于点E，交的延长线于点F，若的面积是，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），解题的关键是利用角平分线性质得到，再通过三角形面积的关系列方程求解． 利用角平分线性质得出，将的面积拆分为与的面积和，即可求解． 【详解】解： 为的平分线，， ， 的面积是，，， 的面积的面积的面积， ， ． 2．已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，． (1)如图①，当时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线，上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立．理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，四边形内角和，能够在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键． （1）根据角平分线的性质定理可直接进行求解； （2）做辅助线如图，根据垂直的定义得到，由（1）可得，利用四边形内角和定理可得到，则，然后根据全等三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 过点P点作于E，于F， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键． （1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论； （2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，    ∵平分，， ∴， 又∵是中点，即， ∴， ∵，， ∴：平分． （2）解：如图：在上截取，连接．   平分， ． 在和中， ， ，． 是的中点， ． 又， ， ， ， 在和中 ． ， ， ， ∴ 4．已知△ABC中，∠ACB＝∠DCE＝α，AC＝BC，DC＝EC，且点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE． （1）如图1，当α＝60°时，求出∠AEB的度数． （2）如图2，当α＝90°时，若∠CBE＝∠BAE，CF＝2，AB＝8，求△ABF的面积． 【答案】（1）60°；（2）8 【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），求出∠CAD＝∠CBE，然后根据三角形内角和可知∠AEB＝∠ACF＝60°； （2）证明AE平分∠CAB，利用角平分线的性质定理求出点F到AB的距离＝CF＝2，可得结论． 【详解】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵∠CFA＝∠BFE， ∴∠AEB＝∠ACF＝60°． （2）同理可证△ACD≌△BCE， ∴∠CAF＝∠CBE， ∵∠CBE＝∠BAE， ∴∠CAF＝∠BAE， ∴AF平分∠CAB， ∵FC⊥AC，CF＝2， ∴点F到AB的距离＝CF＝2， ∴S△ABF＝•AB•CF＝×8×2＝8． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 题型七 作图-垂直平分线与角平分线 【典例7】如图，在中，． (1)作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数（写出推理过程）． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键 （1）根据角平分线的作图方法、线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）由角平分线的定义可得 ，由线段垂直平分线的性质可得，则． 【详解】（1）解：如图，射线和直线即为所求： （2）解：连接， ∵为的角平分线∶ ∴， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． 巩固训练 1．如图所示，在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交、于D、E两点． (2)连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长是 【分析】本题主要考查了尺规作图之作线段的垂直平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，前后弧相交，然后过弧交点作直线交于E，于D即可； （2）由垂直平分得，从而即可求得的周长． 【详解】（1）解：如图所示，是边的垂直平分线． （2）解：是边的垂直平分线， ， ， 又， ， 答：的周长是． 2．如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，求点到边的距离． 【答案】(1)见详解 (2)点到边的距离为4 【分析】本题考查作图一基本作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意正确作图，熟练掌握角平分线的性质定理． （1）根据作平分线的方法作出图形即可； （2）利用角平分线的性质定理证明． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求， （2）解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴点到边的距离为4． 题型八 最短路径问题 【典例8】如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 【答案】A 【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 巩固训练 1．如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，由于，即可求出周长的最小值． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， ， ， 故周长的最小值是， 故选：C． 2．如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查的是轴对称一最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】连接，， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴，解得 ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：17． 3．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则 ．    【答案】 【分析】过E作，交于，连接交于，连接，推出为中点，求出和关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】解：过E作，交于，   ，， ， ， ， 是边上的中线，是等边三角形， ， ， ， ， 和关于对称， 连接交于，连接， 则此时的值最小， ∵是等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$