热点必刷题05 几何综合解答题压轴60题（5类题型60题）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（辽宁专用）

热点必刷题05 几何综合解答题压轴60题 翻折综合问题 2 旋转综合问题 10 平移综合问题 18 创新探究问题 21 其他压轴综合问题 44 翻折综合问题 1．（2025·辽宁铁岭·一模）基本图形 如图①，在矩形中，，，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在的中点处，点的对应点为点，对应边与交于点，求的长． 知识迁移 如图②，在图①的条件下分别延长，交于点，求出的面积 拓展应用 如图③，在矩形中，，，点是的中点，点在边上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在矩形内部，对应边与交于点，点是上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，若，，求的长 2．（2025·辽宁大连·一模）已知为等腰三角形，，点是边上一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点为． (1)如图，当时，求证：四边形为菱形； (2)连接，直线与直线交于点． ①如图，在（）的条件下，求证：； ②如图，猜想，与之间的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）； ③如图，若，当所在直线与所在直线垂直时，请直接写出的值 ． 3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)四边形的形状为______； (2)如图2，点G是上一点，且，连接，平分交于点M，连接，猜想和的数量关系并加以证明； (3)在（2）的条件下，如图3，过点M作，垂足为点 ①求的值； ②若，，请直接写出四边形的面积． 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图①，在中，，，，点D和点E分别在边和上，连接，将沿折叠，使点A落在直线上的点G处． (1)如图②，若，求证：四边形是菱形； (2)如图③，当点G落在线段的延长线上，且时，直接写出线段的长； (3)如图④，四边形中，，，对角线与交于点F，，求线段的长． 5．（2025·辽宁丹东·模拟预测）综合与探究 【问题情境】 如图1，小美将矩形纸片折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 （2）如图3，在矩形纸片中，若边，，与交于点． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，请求出此时的长． 6．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交，于点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点，交于点． (1)如图（一），探究出，的数量关系为 ； (2)如图（二），①证明：； ②在（1）的基础上，当时，求证：； (3)深入研究，当时，请直接写出的长． 7．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）综合与实践课，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，连接，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中______°； (2)迁移探究 小新同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，求和的度数； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，请直接写出的长． 8．（2025·辽宁沈阳·一模）在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点． (1)如图1，若，直接写出和的数量关系和的度数． (2)如图2，若为的中点，求的值． (3)如图3，连接并延长交于点，若，，直接写出的长． 9．（2025·辽宁沈阳·一模）【数学来源于生活】 （1）小明要铺一个1.8米米的矩形床单，但是他发现床单长宽很接近，为了在图中找出哪个边是2米长，在矩形中，小明折叠床单，使点与点重合，请你帮小明判断___________边长是2米．（填“”或“”） 【综合与实践操作】 （2）①在图中，请你用无刻度的直尺和圆规在矩形中，画出线段，使点，分别在边上，且满足若沿折叠，能使点与点重合（不写作法，保留作图痕迹） ②在①条件下，连接，请证明四边形是菱形． 【拓展与深度探究】 （3）如图，在矩形纸片中，点，分别在边，上，，，，剪下四边形．如图，折叠四边形纸片，折叠后点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与边分别交于点．连接，当时，求． 10．（2024·辽宁朝阳·三模）正方形中，点E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，将沿直线折叠后，点A落在点处，连接． (1)如图1，当，时，求的度数； (2)如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：； (3)拓展推升 如图3，若把正方形改成菱形，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠后，点A落在点处，的延长线与边相交于点F，，当，时，请求出的面积． 11．（2024·辽宁大连·一模）如图，在矩形中，，点为射线上一点（点不与点重合），将沿折叠，得到直线与直线交于点． (1)如图1，当点与点关于直线对称时，若， ①求证： ②求的长． (2)当点E在矩形外时，若如图2，当点在线段上时，求的长． (3)如图3，当点在线段的延长线上时，若（2）中其他条件不变，请直接写出的长． 12．（2024·辽宁大连·模拟预测）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边，上，．推断：的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形中，（k常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用在（2）的条件下，连接，当时，若， ，求的长．    13．（2024·辽宁·二模）如图，在矩形中，，点E为射线上一点（点E不与点B重合），将沿折叠，得到，点P为线段上一点，再将沿折叠，得到，的延长线与边相交于点Q．    (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，当点E与点A重合时，若点G落在边上，连接与相交于点M，与相交于点N，求的长． (3)若点G落在边上，且，所在直线与所在直线相交于点H： ①如图3，当点E在线段延长线上时，求的长； ②当点E在线段上时，请直接写出的长． 旋转综合问题 14．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，点D在直线上，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． 【问题初探】 （1）如图1，点D在线段上，延长至点F，使得，连接． 求证：． 【类比分析】 （2）如图2，若，点D在的延长线上，延长至点F，使得，连接．求证：． 【拓展延伸】 （3）若，． ①如图3，点D在的延长线上，连接，延长交于点G，猜想与的数量关系，并加以证明； ②如图4，点D在的延长线上，连接，若，求的值． 15．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，等边的边长为2，过点作直线，点在直线上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． (1)如图1，当点在边上时，求的长． (2)将线段沿着射线方向平移，使点与点重合，点的对应点为点，得到线段，连接，． ①如图2，当是等边三角形时，求证：四边形是菱形； ②当点在射线上时，若的面积为，求的长； ③当点在射线上时，是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 16．（2025·辽宁·一模）如图1，四边形是菱形（），过点A作于点E，过点C作于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，点E，B的对应点分别为点，；所在直线分别与直线交于点H，G；直线与直线交于点P，如图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，． ①如图3，当经过点C时，求的长度； ②如图4，当点在的延长线上时，求四边形的面积． 17．（2025·辽宁抚顺·三模）【问题情境】 某数学活动小组在研究菱形对角线上的动点问题时提出如下思路： 在菱形中，对角线，交于点M，且，G是线段上的动点（不与点M，B重合），，E是线段的中点，绕点E顺时针旋转，得到线段．连接，，．    （1）如图1，当点E在直线上，且时． ①求证：； ②求证：． 【拓展迁移】 （2）如图2，当点E不在直线上，且时，的结论是否仍成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 18．（2025·辽宁辽阳·二模）已知、是等腰直角三角形，，，．将绕顶点A旋转，将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转，得到线段，连接，，． 【观察发现】（1）如图1，当点E在线段上时，猜想的形状_______． 【探究迁移】（2）如图2，当点E不在线段上时，（1）猜想的结论是否依然成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）若线段，时，在绕点A旋转过程中．当垂直时，求的正切值． 19．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题背景】 在中，，，点D，E分别在线段，上，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，求F落在线段上． 【问题初探】 （1）如图1，当，点E与点C重合时，求证：； 【问题提升】 （2）如图2，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明； 【问题拓展】 （3）如图3，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，（2）的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 20．（2024·辽宁·模拟预测）【操作判定】 （1）如图1，在中，，，点E在上（且不与点B、C重合），在的外部作，使，，连接，过点作，过点作，交于点，连接．根据以上操作，判断：四边形的形状是______，______； 【变换探究】 （2）如图2，将图1中的绕点B逆时针旋转，使点E落在边上，过点A作，过点D作，交于点F，连接．若，求的长． 【拓展应用】 （3）将图1中的绕点B顺时针旋转，使点D在的右侧，过点A作，过点D作，交于点F，连接，若，当四边形为菱形时． ①求的长； ②当点D在左侧时，请直接写出的长． 21．（2024·辽宁营口·二模）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．当为等边三角形时，与的数量关系为：____________________ 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 拓展应用： （3）如图3，四边形中，，，，，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 22．（2025·辽宁铁岭·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 23．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，点在线段上（点不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 24．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（1）用数学的眼光观察． 如图1，在矩形中，，，点P关于边的对称点Q在对角线上，连接，，，且，求的长． （2）用数学的思维思考． 如图2，在（1）的条件下，将沿着射线方向平移得到，当点P的对应点平移到边上时，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图3，在（1）的条件下，将绕点C逆时针旋转一个角，得到，在旋转过程中，设所在直线与直线交于点M，与直线交于点，当时，求出此时的长． 25．（2025·辽宁大连·一模）如图，是等边三角形，点D在边上， (1)如图1，将线段绕点 B 顺时针旋转得到线段，连接，求证：； (2)如图2，在（1） 的条件下，延长至点F，连接，若，求证：； (3)如图3，延长至点H，连接，，若，，求的长． 平移综合问题 26．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，将正方形沿方向平移得到正方形，其中点的对应点在线段上运动，连接，交于点，交于点，交于点，连接，． (1)直接写出和的数量关系； (2)判断和的数量关系，并说明理由； (3)设的面积为，的面积为，的面积为． ①若正方形的边长为，当点运动到何处时，取得最大值？求出的最大值； ②求证：． 27．（2024·辽宁鞍山·二模）数学课上，王老师提出问题：如图，已知中，是边上中线，．探究边和的数量关系；同学们以小组为单位，在经历独立思考、小组讨论、汇报展示后，归纳得到以下种不同的方法． 方法（倍延中线）：如图，延长至点，使，连接．利用全等和等腰三角形的判定证出； 方法（利用角平分线性质）：如图，过点分别作于点，于点，利用角平分线性质和全等证出； 方法（平移）：如图，将沿射线方向平移得到，连接，设与交于点，利用全等或相似证出． (1)特例感知：请完成方法（图）的探究过程； (2)思维迁移： 如图，已知中，是边上的两点，且，连接，．猜想边和的数量关系并说明理由； (3)拓展应用： 如图，已知点是 内一点，连接，，，求的度数． 28．（2024·辽宁营口·二模）（1）如图1，在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处．求的长； （2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长； （3）在图1中，将绕点旋转至A，，E三点共线时，请直接写出的长． 29．（2024·辽宁锦州·二模）综合与实践 问题情境： 如图1，正方形中，对角线、相交于点O，M是线段上一点，连接． 操作探究： 将沿射线平移得到，使点M的对应点落在对角线上，与边交于点E，连接． （1）如图2，当M是的中点时，求证：； （2）如图3，当M是上任意一点时，试猜想的形状，并说明理由． 拓展延伸： （3）在（2）的条件下，请直接写出，之间的数量关系． 创新探究问题 30．（2025·辽宁本溪·模拟预测）【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…； ②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…； 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度． 31．（2025·辽宁沈阳·一模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，，，，垂足是点．求证：． ①如图，小明同学给出如下解法：作，垂足是点． ②如图，小亮同学给出另一种解题方法：作，交延长线于点． 请你选择一名同学的解题方法，写出完整的证明过程． 【类比分析】    （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明与的数量关系转化为与另一条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，并提出了下面问题，请你解答． 如图，在四边形中，，，，，交延长线于点．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，四边形中，，，和都是钝角，且，，点在上，请直接写出的最小值．    32．（2025·辽宁沈阳·一模）问题提出： (1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 问题探究： (2)如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为______； 问题解决： (3)如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 问题拓展： (4)如图4，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有______组偏等积三角形． 33．（2025·辽宁沈阳·一模）定义：如果三角形的两个与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．    (1)若是“奇妙互余三角形”，，，则的度数为______； (2)如图1，在中，，若，点D是线段上的一点，若，判断是否是“奇妙互余三角形”，如果是，请说明理由； (3)如图2，在四边形中，是对角线，，，若，且是“奇妙互余三角形”，求的长． 34．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）【问题初探】 （1）如图1，在中，，垂足为，点为边的中点，连接． 求证：． 甲同学的证明思路是：延长交于点（如图2），利用全等和直角三角形斜边中线的性质可证出． 乙同学的证明思路是：取的中点，连接交于点（如图3），证出平分，，即可证出． 请选择一名同学的证明思路，写出证明过程．    【类比分析】 （2）如图4，在中，点为边的中点，连接，将沿折叠，点落在内处，连接并延长交于点．求证：． 【拓展应用】 （3）如图5，将沿过点的直线折叠，点的对应点为，使于点，折痕交边于点，交边于点，若的面积为20，，，求四边形的面积．    35．（2024·辽宁辽阳·模拟预测）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如图1，平分，为上一点，为上一点，连接线段，，若．求证：． ①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在上截取，连接，易证，将线段与的数量关系转化为与的数量关系． ②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过点向的两边分别作垂线，垂足分别为点，，易证，得到，接下来只需证，可得． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答．如图4，在中，，平分交与点，在线段上有一点，连接交于点，若．求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，垂足为点，在的延长线上取一点，使，在线段上截取，点在线段上，连接，使，若，，，求的面积． 36．（2024·辽宁大连·一模）在数学课上，同学们探索正多边形中隐藏的变化规律．已知正边形每个内角的度数为，点在上，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接，探究的度数和的关系． 【问题初探】 小明同学就等边三角形．给出了方法：如图：1，在上截取，连接，易证，∴．在小明的启发下，同学们顺利地求出了正方形和正五边形等正多边形中的度数． （1）图2和图3分别是正方形和正五边形，分别写出的度数：图2中________；图3中________；正边形中________． 【类比探究】 （2）如图4，是等边三角形，点在的延长线上，过点作的垂线，点在上且，连接，将射线绕点顺时针旋转，交直线于点，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在矩形中，，交于点，，，．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接并延长，交于点，连接．若，求的面积． 37．（2024·辽宁锦州·二模）【模型建构】 如图1，点O在直线上，射线，位于直线两侧，若，则称，是关于直线的对称角 当射线，位于同侧且时，可以通过作对顶角构造出对称角，可以反向延长射线，得到（如图2），或者反向延长射线，则（如图3）． 【模型应用】 （1）小明受到模型启发，运用两种方法构造出对称角解决了下面问题： 如图4，点C，D在上，点E，F在直线外，连接，，，，若，，求的度数． 方法一：延长至H，使，连接， 方法二：延长至H，使，连接， 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程； （2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用“对称角”模型构造全等三角形或者按照自己的解题思路解答． 如图5，在中，，点D是的中点，点E，F分别在，上，，，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图6，在四边形中，，，，相较于点E，且，若，，求的长． 38．（2024·辽宁葫芦岛·二模）【问题初探】 （1）如图1，中，，，点E在线段上，，垂足为点D，连接，，求证：； 丽丽和东东两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①如图2，丽丽从条件出发，发现，利用条件，结合“边角边”定理在边上截取，构造了一对全等三角形，将求证的问题转化为与的数量关系． ②如图3，东东受到丽丽的启发，也利用“边角边”定理，在的延长线上取点F，使，连接，得到了，发现，利用边角之间的关系证明了问题． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程，也可以用不同于上面两位同学的方法进行解答． 【迁移应用】 （2）如图4，在中，，，点E在线段上，过点B作，交的延长线于点D，线段绕点D逆时针旋转得到线段，当点F恰好在的延长线时，求证：． 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若，请直接写出的面积． 39．（2024·辽宁锦州·二模）【问题提出】 如图1，在中，，，为内一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长到点，使，连接，，．求证：，． 【思路探究】 “神州小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点作平行交的延长线于点，这样可以将证明和的关系转化为和的关系； “智慧小组”的解题思路：结合为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系． （1）请你选择其中一个小组的思路，或者用你自己探究的思路写出证明过程； 【思维训练】 王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题： （2）如图4，在中，，，为上一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，为中点，连接并延长交的延长线于点，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【能力提升】 （3）“北斗小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若为平面内一点，，，，其他条件不变，求的长． 40．（2024·辽宁铁岭·二模）【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，是的中线，M是的中点，的延长线交于N，求证： 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作，交B于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系． (1)请你选择一名同学的思路，写出证明过程； (2)【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④，在中，是边上的中线，N，K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程； (3)【学以致用】 在中，．在直线上取点B，使，连接，在线段上取点A，连接，直线交直线于F，当时，求的值．请根据题意画出图形并简要的写出解答过程． 41．（2024·辽宁大连·一模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1，在和中，，且为锐角，若，求证：． ①如图2，小锋同学从，这个条件出发，想到根据“”构造全等，给出如下解题思路：在上截取，连接，将与的数量关系转化为它们所在的三角形的关系． ②如图3，小慕同学从，这个条件出发，想到作双垂直，可构造出“”全等条件，给出如下解题思路：过点A作，垂足为点M，过点D作，垂足为点N，先证明垂线段相等，将垂线段作为中间过渡量证明与所在的三角形全等，从而证明． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）赵老师发现上面两名同学都运用了转化思想，将证明两条线段的数量关系转化为证明两条线段所在三角形的关系．为了帮助同学们更好地感悟和运用转化思想，赵老师将上面的例题和解题思路进行变换，提出了下面的问题，请你解答： 如图4，在中，点E，D分别在边，上，连接，，延长至点F，使，连接，延长交于点H，若，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，若，，，求的长． 42．（2024·辽宁葫芦岛·一模）【问题初探】 （1）如图1，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 小明和小亮两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小明同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，构造……； ②小亮同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点作交延长线于点G，于是得到……；请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题，如图4，已知等边中，为边上一动点，连接，将绕着顺时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图5，已知中，，点是斜边上的一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接，若，求线段的长度． 43．（2024·辽宁大连·一模）【问题呈现】 如图1，正方形的边长为a，对角线、交于点O，E为上任意一点，射线绕点O逆时针旋转后交于点F，连接交于点G． 【问题发现】 小明发现，小红发现，小聪发现的面积存在最小值．经过讨论，全班同学一致认为他们的发现都是正确的． （1）请你证明． （2）直接写出面积的最小值是______．（用含a的式子表示） 【问题探究】 爱思考的小强将问题进行了拓展，如图2，将上题中的“正方形中”改为“菱形中，”，将“逆时针旋转”改为“逆时针旋转”．其它条件不变，依然可以得到上题中的三个结论． （3）请你在图2中证明． 【问题延伸】 经历上述学习过程，数学科代表小敏对问题进行了如下的总结：在菱形中，边长为a，，对角线、交于点O，如图3所示，若E为上任意一点，射线绕点O逆时针旋转一定的角度后交于点F，连接交于点G．上题中的三个结论依然成立． （4）请你直接写出这个旋转的最小角度是______； （5）面积的最小值是______（用含a和的式子表示）． 44．（2024·辽宁大连·一模）【问题初探】 （1）张老师在数学活动课上出示了一道探究题：如图1，在和中，，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，若，求证：．张老师分别从问题的条件和结论出发分析这道探究题： ①如图2，从条件出发：过点A作于点M，过点D作于点N，依据等腰三角形的性质“三线合一”分析与之间的关系，可证得结论． ②如图3，从结论出发：过点E作交的延长线于点G，依据三角形全等的判定，证明，可证得结论． 请你运用其中一种方法，解决上述问题． 【类比分析】 （2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题：如图4，在中，，在中，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，且A，D，E三点在同一直线上，若，，，求的长． 【学以致用】 （3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路提出了以下问题：如图5，在四边形中，，，点E为CD的中点，连接．若，，，求的长． 45．（2024·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】 （1）如图1，在中，是边上的中线，，求的取值范围． 小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小明同学的思考过程：在中，已知两边和的长度，根据条件只能直接求出BC边的取值范围．而要想求中线的取值范围，只有将中线转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．如图2，可以延长到点E，使，连接，这样就构造了，将求的取值范围，转化为求的边的取值范围； ②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点C作交延长线于点F，于是得到．进而将求的取值范围，转化为求的取值范围． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，在中，D是边的中点，点E在边上，，求的取值范围． 【能力提升】 （3）如图5，在正方形中，O为对角线的中点，，点G在边上，E为平面内一点且，以为斜边，在的右侧作等腰直角三角形，连接，求的取值范围． 46．（2024·辽宁鞍山·三模）【问题初探】 在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，是等腰三角形，，过点B作于点D，若，，求的长． 同学们经过思考后，交流出两种解题思路： 思路1：在和中，分别利用勾股定理即可求出的长； 思路2：如图2，在上截取，连接，先证出，再利用相似求出的长； （1）请利用思路2求出的长； 【类比分析】 思路2是利用转化的思想，将二倍角问题转化为等角进行研究，为了使学生进一步感悟转化思想，王老师提出下面问题，请解答． （2）如图3，在Rt中，，，点E在边上，且，若，求的长； 【学以致用】 （3）如图4，是等腰三角形，，交的延长线于点D，E是边上一点，，，，求的长． 47．（2024·辽宁沈阳·零模）【问题初探】：（1）数学活动课上，刘老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，垂足为E．求证：． ①如图2，小涵同学从，这个条件出发，给出如下解题思路：得出，作平分交于点F，将转化为与之间的数量关系． ②如图3，小慧同学从结论的角度出发给出如下的解题思路：延长至点G，使，连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】： （2）刘老师发现之前两名同学都运用了转化思想，证明一条线段是另一条线段的2倍，将长的线段平分或将短的线段倍长，从而转化为证明两条线段相等．为了帮助学生更好地感悟转化思想，刘老师提出了下面的问题，请你解答． 如图4，在中， ，D是边上一点，连接，过点B作于点E，在上截取，连接交于点G．求证：． 【学以致用】： （3）如图5，在中，，，D是中点，点E在线段上，连接，延长至点F，使，连接，若．求的值． 48．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．求证：． ①如图2，小哲同学发现：如果取线段中点，连接，那么是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到，，之间的数量关系． ②如图3，小扬同学发现：如果在线段上截取，连接，那么是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到，，之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类此分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．探究线段，，之间的数量关系． 【学以致用】 （3）在中，，，点在边上，点在边上，连接，将线段绕点逆时针旋转角，得到线段，连接，．当，，时，请直接写出的值． 49．（2024·辽宁·模拟预测）【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，，，求的长． ①如图2，小刚同学构造等腰，得到，通过勾股定理进行求解； ②如图3，小淼同学构造等腰，得到，通过勾股定理进行求解． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出求解过程； 【类比分析】 李老师发现之前两名同学都采用了构造法，将要求的边，转化到新构造的三角形当中．李老师将图1进行变换并提出了下面的问题，请你解答． （2）如图4，在中，，点D，E，F分别在边，，上，，．求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在等边中，点D在的延长线上，点E在上，且，，交于点F，若，，求的长． 50．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，，点在边上，，连接，点在边上，连接，且．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，求的面积． 其他压轴综合问题 51．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）（1）如图，在四边形中，，． ①小睿同学通过画图研究发现：如图1，延长交延长线于点，此时恰好；小睿同学还给出了证明思路：在上取点，使得，通过证明结论，请依据小睿的思路求证：； ②小亮同学通过分析发现：如图2，当时，，，三条线段存在固定的数量关系，请写出，，之间的数量关系，并写出证明过程； （2）如图3，在中，，，点为内部一点，连接，，以，为邻边作平行四边形，与交于点，若，，，求的长． 52．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，矩形中，，，点P是直线上动点，连接，以为边在右侧作等边三角形，其中A，P，N按逆时针排列． (1)当点N落在线段上时，请直接写出的长； (2)当与矩形的边平行时，求的长； (3)将沿翻折，点N的落点为点，点M为的中点，请判断点M到的距离是否发生改变，并证明你的结论． 53．（2025·辽宁沈阳·一模）如图①，在四边形中，，E为上一点，且，过点B作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)如图②，连接交于点G． ①若，求证：平分； ②若，求的值． 54．（2025·辽宁大连·一模）△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，连接AD，在线段AD上有一点M，连接CM，以AM为直角边，点A为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN． (1)如图1，若sin∠MCD＝，CD＝4，求线段MN的长； (2)如图2，将等腰直角三角形AMN绕点A顺时针旋转α°（0°＜α°＜45°），连接CM、DM、CN，若DM∥CN，求证：4DM2+CN2＝CM2； (3)如图3，线段MN交线段AC于点E，点P、点Q分别为线段BC、线段AC上的点，连接PM、QN，将△DPM沿PM翻折得到ΔD'PM，将△EQN沿QN翻折得到ΔE'QN，若AM＝3DM，BC＝8，在线段BC上找一点F，连接FD'、FE'，请直接写出FD'+FE'的最小值． 55．（2024·辽宁·模拟预测）【基本图形】 （1）如图1，在正方形中，点E在边上，连接，点F在上，且，连接并延长，交于点H，过点F作交于点G，探究与之间的数量关系； 【知识迁移】 （2）如图2，在菱形中，，点E在边上，连接，点F在上，且，点G在边上，连接，，且，若，，求菱形的边长； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E在边上（点E不与点B，C重合），在射线上有一点F，，连接，过点F作交射线于点G，若，，直接写出矩形的面积． 56．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图1．在中，，，．点E在射线上（点E不与点B重合），连接，作点B关于的对称点F，连接，，点G在线段上，连接EG，作点F关于的对称点H，连接、，并延长交线段所在直线于点M，连接． (1)探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E在线段上，点H恰好在线段上，且时，求的长； (3)已知． ①如图3，当点E在线段上，且时，求BE的长； ②如图4，当点E在的延长线上，且时，直接写出的长． 57．（2024·辽宁沈阳·一模）如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接． (1)直接判断与的位置关系 (2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 58．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 59．（2024·辽宁大连·一模）【发现问题】在数学活动课上，同学们研究两个正三角形位置关系时，发现某些连线之间总存在某种特定的关系． 【问题探究】如图1，在正和正中，点A和点E重合，点C与点F重合，所以，； 【类比分析】 （1）如图2，点E在上，点C与点F重合，求证：； 【学以致用】 （2）点E在上，连接，以为边向上作正． ①如图3，点F在上，当点D、E在异侧，求的值； ②点F在上，当点D、E在同侧，，请利用备用图，画出图形，求的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的前提下，如图4，点F在上，直接写出的最小值． 60．（2024·辽宁·模拟预测）在研究“构造全等三角形”时，老师提出：“若两个三角形满足一组边相等，相等的边上有一组相等的角，则可以增加一个条件构造全等”． (1)如图，在和中，，，请你增加一个条件，使，你增加的条件是 ； (2)如图，在中，，，点在外，且，过点作于点、若，，求的长；（用含，的式子表示） (3)如图，在四边形中，，连接，，点在边上，，，，求的长． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点必刷题05 几何综合解答题压轴60题 翻折综合问题 2 旋转综合问题 61 平移综合问题 114 创新探究问题 128 其他压轴综合问题 247 翻折综合问题 1．（2025·辽宁铁岭·一模）基本图形 如图①，在矩形中，，，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在的中点处，点的对应点为点，对应边与交于点，求的长． 知识迁移 如图②，在图①的条件下分别延长，交于点，求出的面积 拓展应用 如图③，在矩形中，，，点是的中点，点在边上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在矩形内部，对应边与交于点，点是上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，若，，求的长 【答案】基本图形：；知识迁移：；拓展应用： 【分析】基本图形：设，由翻折的性质得：，在中，，即，解方程后，即可求解； 知识迁移：由①得，，，由题意易得，，得，，由，得，推出，，，过点作于点，过点作于点，根据等面积法，得出，由勾股定理得，，，得出，，根据，得，得，通过进而解题； 拓展应用：过点作于点，设，则，由翻折的性质得，，先证明四边形是矩形，得，由点是的中点，即，得出，设，得，所以，得，通过，可得，在中，通过勾股定理即可求的长． 【详解】解：基本图形： 四边形是矩形， ， 设， ， 由翻折的性质得：， ，点为的中点， ， 在中，， ， 即， 解得：， ； 知识迁移： 由①得，，， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 又， ， ，，， ， ，， 如图②，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， 即， ， 由勾股定理得，，， ，， ， ，即， ， ， ； 拓展应用： 如图③，过点作于点， 设，则， 由翻折的性质得，，， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， ， 设， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数的定义及性质、勾股定理等，灵活运用以上知识点、添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（2025·辽宁大连·一模）已知为等腰三角形，，点是边上一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点为． (1)如图，当时，求证：四边形为菱形； (2)连接，直线与直线交于点． ①如图，在（）的条件下，求证：； ②如图，猜想，与之间的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）； ③如图，若，当所在直线与所在直线垂直时，请直接写出的值 ． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析；③ 【分析】（1）根据折叠得，，，由，得，进而证明，即可得证； （2）①先证明，再证明，，从而得，即可得证；②延长到点，使，连接，过点作于点，由①得，，证明．得，，．进而得，在中，由，即可得解；③由折叠可得，，，先证明，得，求得，，证明，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意，得， ，，， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴． ∴； ②延长到点，使，连接，过点作于点， 由①得，， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴，，． ∵， ∴． ∴， ∵，，， ， ∵，， ∴， 在中，， ∴； ③如图，由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 由②可得， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定及性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，菱形的判定，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，折叠的性质是解题的关键． 3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)四边形的形状为______； (2)如图2，点G是上一点，且，连接，平分交于点M，连接，猜想和的数量关系并加以证明； (3)在（2）的条件下，如图3，过点M作，垂足为点 ①求的值； ②若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)正方形 (2)，证明见解析 (3)①2；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，，求得，根据正方形的判定定理得到结论； （2）连接，根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得得到，于是得到； （3）①过点M作于点H，作于点P，过点E作于点根据矩形的性质得到，，求得根据全等三角形的性质得到，求得根据角平分线的性质得到，于是得到结论； ②由（2）知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据角平分线到现在得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到四边形的面积 【详解】（1）解：四边形的形状为正方形， 理由：四边形是矩形， ，， 将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为， ，，， ， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， 故答案为：正方形； （2）解：， 证明：如图，连接， 四边形是矩形， ，， 由折叠，得， ，， ，，， ， ， ， ， 平分， 又，， ， ， ； （3）解：①证明：如图，过点M作于点H，作于点P，过点E作于点 ， 四边形是矩形， ，， ∴ 又，， ， ， ，，， ， 平分，，， ， ， ； ②由（2）知是等腰直角三角形， ，， ， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图①，在中，，，，点D和点E分别在边和上，连接，将沿折叠，使点A落在直线上的点G处． (1)如图②，若，求证：四边形是菱形； (2)如图③，当点G落在线段的延长线上，且时，直接写出线段的长； (3)如图④，四边形中，，，对角线与交于点F，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】设与相交于点F，由折叠的性质得，，则是线段的垂直平分线，，进而证明和全等得，由此得，据此即可得出结论； 过点E作于点H，先求出，设，则，由折叠的性质得，证明和相似得，，则，在中，由勾股定理可求出，由此可得的长； 过点E作交的延长线于点N，作于点M，交于点O，过点D作于点T，过点O作于点K，则，四边形是矩形，解得，，则，，证明和相似得，则，解得，，证明是的中位线得，则，解得，，则，再证明和相似得，设，，则，由此解得，则，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：设与相交于点F，如图②所示： 由折叠的性质得：，， 是线段的垂直平分线，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：过点E作于点H，如图③所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， 设，则， 由折叠的性质得：， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （3）解：过点E作交的延长线于点N，作于点M，交于点O，过点D作于点T，过点O作于点K，如图④所示： ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 在四边形中，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ，， ∴， ∴， 是的中位线，， ，， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， 设，， ， 解得：， ， ． 【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握图形的折叠变换与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 5．（2025·辽宁丹东·模拟预测）综合与探究 【问题情境】 如图1，小美将矩形纸片折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 （2）如图3，在矩形纸片中，若边，，与交于点． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，请求出此时的长． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析；（2）①，理由见解析；②或 【分析】（1）根据矩形的性质及轴对称的性质，可证明四边形的四条边相等，即可证明菱形； （2）①先证明是等边三角形，再证明，即可得出答案； ②当点在线段上时，设与交于点G，先证明，再求得，即可列方程求解；当点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点H，同理，再求得，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下， 将矩形纸片折叠，使点B落在点处， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：①； 理由：四边形是矩形， ，，，， ， 在中，， ， 是等边三角形， ， ， 将矩形纸片折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为， ，， ， ， ， ； ②如图，点在线段上时，设与交于点G， 四边形是矩形， ， 由①知， ， ， ， 与是折叠图形中的对应角， ， ， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ； 如图，点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点H， ， ， ， ， ， ， 即， ， 同理可得， ， 解得， ； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，针对点的位置进行讨论是解题的关键． 6．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交，于点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点，交于点． (1)如图（一），探究出，的数量关系为 ； (2)如图（二），①证明：； ②在（1）的基础上，当时，求证：； (3)深入研究，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①详见解析；②详见解析 (3)的长为或． 【分析】（1）通过折叠平行线得出等腰三角形； （2）①识别出和是8字型倒角，从而得出，再根据平行线得出，即可得证； ②证线段等线段线段，思路就是截长补短，再观察题干条件有，构造等边即可证出； （3）先利用勾股定理求的长，设，则，之后利用线段和差建立方程即可求解． 【详解】（1）解：． 四边形折叠得到四边形， ， ∵， ， ， ； （2）证明：①四边形是矩形， ，， ，， ， 由折叠 ， ， 又， ， ∵， ， ； ②， ， ， 如图，在延长线上取一点， ， ， 在上截取，则等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：①当点在右上方时，如图过点作于点， ，， 在中，， 设，则， ， ， 解得， ； ②当点在左上方时， 同理可得， 设，则， ， ， 解得， ． 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． 7．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）综合与实践课，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，连接，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中______°； (2)迁移探究 小新同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，求和的度数； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)30 (2)①；②，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）①根据折叠的性质，可证，即可求解， ②根据折叠的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出，，，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：30； （2）解：①四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ； ， ， ， ， ； ②，理由如下： ，， ， ； （3）解：当点在点的下方时，如图， ，，， ，， 由（2）可得，， 设，， ， 即， 解得：， ∴ 当点在点的上方时，如图， ，，， ，， 由（2）可知，， 设，， ， 即， 解得：， ∴． 综上所述：为或． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 8．（2025·辽宁沈阳·一模）在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点． (1)如图1，若，直接写出和的数量关系和的度数． (2)如图2，若为的中点，求的值． (3)如图3，连接并延长交于点，若，，直接写出的长． 【答案】(1)， (2) (3)15 【分析】（1）由正方形和翻折的性质可得是等边三角形，得，进而求得，，再利用平行线和三角形外角的性质得出和，最后根据等角对等边即可得出结论； （2）由正方形和翻折的性质可得，，延长交延长线于点，可证得，得到，进而可知垂直平分，得，可知，在利用余弦的定义得出，即可求解； （3）延长交于点，连接交于点，利用正方形和翻折的性质证出，得到，得出是的垂直平分线，证出，得到，设，表示出，设，在中利用勾股定理列出方程，解得，再通过证明得到，求出的长，再在中利用勾股定理解出的值，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，，， 由翻折的性质可得，， ∴， 又∵， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，． （2）解：∵正方形， ∴，，， 由翻折的性质可得，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 延长交延长线于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，延长交于点，连接交于点， ∵正方形， ∴，， 由翻折的性质可得，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、特殊角的三角函数值、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 9．（2025·辽宁沈阳·一模）【数学来源于生活】 （1）小明要铺一个1.8米米的矩形床单，但是他发现床单长宽很接近，为了在图中找出哪个边是2米长，在矩形中，小明折叠床单，使点与点重合，请你帮小明判断___________边长是2米．（填“”或“”） 【综合与实践操作】 （2）①在图中，请你用无刻度的直尺和圆规在矩形中，画出线段，使点，分别在边上，且满足若沿折叠，能使点与点重合（不写作法，保留作图痕迹） ②在①条件下，连接，请证明四边形是菱形． 【拓展与深度探究】 （3）如图，在矩形纸片中，点，分别在边，上，，，，剪下四边形．如图，折叠四边形纸片，折叠后点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与边分别交于点．连接，当时，求． 【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析；（2）或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，根据直角三角形斜边大于直角边即可求解； （2）①由折叠的性质得到折痕为的垂直平分线，即作出线段的垂直平分线与交点即为点； ②由折叠知：，先证明，则，那么四边形是平行四边形，而，故可证明为菱形； （3）过点作于点K，则四边形为矩形，那么，，，由，则，下面分两种情况讨论，补全折叠的图形，利用折叠的不变性和解直角三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：如图： 由折叠得，， ∵一个1.8米米的矩形床单， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴边长是2米， 故答案为：； （2）解：①如图，线段即为所作： 证明：②如图： 由折叠知：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：过点作于点K，则 ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在左侧时，如图： 由翻折得：，， ∴， ∴设， 由勾股定理得：， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当点在右侧时，如图： 由翻折得：，， ∴， ∴设， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定，解直角三角形，折叠的性质，尺规作图等知识点，难度较大，解题的关键是把握折叠的不变性去补图． 10．（2024·辽宁朝阳·三模）正方形中，点E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，将沿直线折叠后，点A落在点处，连接． (1)如图1，当，时，求的度数； (2)如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：； (3)拓展推升 如图3，若把正方形改成菱形，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠后，点A落在点处，的延长线与边相交于点F，，当，时，请求出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先由翻折可知，，从而求得，再根据平行线的性质得，然后由三角形内角和定理求银即可； （2）根据三角形全等和翻折的性质得出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可； （3）过E作，交DA延长线于点H，解，求得，．在中，由勾股定理得：，即，再证明，得到，得到，即，求得，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 由翻折可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵，，， ∴， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴． （3）解：过E作，交延长线于点H，如图3， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得：， 即， 由翻折知，，又， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形翻折问题，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形判定与性质，综合运用正方形与折叠的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形判定与性质是解题的关键． 11．（2024·辽宁大连·一模）如图，在矩形中，，点为射线上一点（点不与点重合），将沿折叠，得到直线与直线交于点． (1)如图1，当点与点关于直线对称时，若， ①求证： ②求的长． (2)当点E在矩形外时，若如图2，当点在线段上时，求的长． (3)如图3，当点在线段的延长线上时，若（2）中其他条件不变，请直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3) 【分析】（1）①折叠得到，对称得到，，进而推出，锐角三角函数得到，得到，推出，即可得出结论；②设，得到，根据，得到，构建方程求出的值即可； （2）连接，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理求出，设，在中，勾股定理求出的值，即可得出结果； （3）连接，同法（2）利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）①证明：根据题意，得． 点与点关于直线对称， ，． ． ， ． 四边形是矩形， ． 在中， ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ②解：由①得． 设，则． ， ． ． ． ． ． （2）解：如图1，连接． ， ．   在中，由勾股定理，得． ． 四边形是矩形， ． ． 由折叠的性质，可知． 在中，由勾股定理，得． 设，则，． 在中，由勾股定理，得，即． ． ． （3）的长是．    如图2，连接． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得． 设，则，． 在中，由勾股定理，得，即． ． ． 【点睛】本题考查矩形与折叠，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 12．（2024·辽宁大连·模拟预测）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边，上，．推断：的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形中，（k常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用在（2）的条件下，连接，当时，若， ，求的长．    【答案】（1）1；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）利用证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，即可求解； （2）过G作于M，证明，得出=，证明四边形是矩形，得出，即可求解； （3）过P作交的延长线于M，设，则，， 根据， ，求出，在中，利用勾股定理求出，证明，利用相似三角形的性质可求出， ，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）结论：．理由如下： 如图（2）中，过G作于M， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴=， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）如图（3）中，过P作交的延长线于M， ∵， ∴设，则，， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 解得：或（舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得： ， ， ∴， ∴．    【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，寻找出相似三角形是解题的关键． 13．（2024·辽宁·二模）如图，在矩形中，，点E为射线上一点（点E不与点B重合），将沿折叠，得到，点P为线段上一点，再将沿折叠，得到，的延长线与边相交于点Q．    (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，当点E与点A重合时，若点G落在边上，连接与相交于点M，与相交于点N，求的长． (3)若点G落在边上，且，所在直线与所在直线相交于点H： ①如图3，当点E在线段延长线上时，求的长； ②当点E在线段上时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质证明，即可得； （2）先证明四边形是矩形，得，则，在中，由可得，解直角三角形求出，，即可得的长． （3）①过点作，垂足为，则四边形是矩形．，．在中，根据勾股定理得，则，在中，根据勾股定理得．则，证明．根据相似三角形的性质得，即可求解； ②过点作，垂足为，同①的方法即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 由折叠知，， ， 又， ∴， ； （2）解：将 沿折叠，得到， 垂直平分． ， 四边形是矩形， ， 由（1）知，， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 在中，， 在中，， ； （3）解：①过点作，垂足为，   ． 由（1）得， ， 四边形是矩形． ，． 在 中，， ， 在中，， ， ，解得． ， 四边形是矩形， ． ． ， ， ； ②过点作，垂足为，    同理得，， ， 在中，， ， ，解得． ， ． ． ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． 旋转综合问题 14．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，点D在直线上，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． 【问题初探】 （1）如图1，点D在线段上，延长至点F，使得，连接． 求证：． 【类比分析】 （2）如图2，若，点D在的延长线上，延长至点F，使得，连接．求证：． 【拓展延伸】 （3）若，． ①如图3，点D在的延长线上，连接，延长交于点G，猜想与的数量关系，并加以证明； ②如图4，点D在的延长线上，连接，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，理由见解析；② 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键在于构造全等三角形． （1）由旋转的性质，结合即可证明； （2），同理可证明，则，故，即可证明平行； （3）①延长至点，使得，可得为等边三角形，证明，则，，即可得到，那么，则，故，即可证明； ②延长至点，使得，连接过点作于点N，则，过点B作于点K，同理，则，，设，则，，易证四边形为矩形，则，那么，由勾股定理得，解三角形得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①，理由如下： 延长至点，使得， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②延长至点，使得，连接过点作于点N，则，过点B作于点K， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，等边的边长为2，过点作直线，点在直线上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． (1)如图1，当点在边上时，求的长． (2)将线段沿着射线方向平移，使点与点重合，点的对应点为点，得到线段，连接，． ①如图2，当是等边三角形时，求证：四边形是菱形； ②当点在射线上时，若的面积为，求的长； ③当点在射线上时，是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③存在， 【分析】（1）由旋转得，，由等边可得，由平行得到，解得，则由即可求解； （2）①由是等边三角形，结合（1）可得，由平移得，那么四边形是平行四边形，再由邻边相等，即可证明为菱形； ②过点P作于点，过点B作于点，交延长线于点T，可证明，，由，求得，由（1）得，则，证明，那么，而，故； ③过点作于点，交于点，过点B作于点I，过点P作交延长线于点R，同理可得，由，求得，易证四边形为平行四边形，则，，同理可证明为平行四边形，则，同理可得，则，故，则． 【详解】（1）解：如图， 由旋转得，， ∵等边边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； （2）①证明：∵是等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 由平移得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； ②解：过点P作于点，过点B作于点，交延长线于点T， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ③解：存在，理由见解析： 过点作于点，交于点，过点B作于点I，过点P作交延长线于点R， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 同理可证明：为平行四边形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，难度较大，解题的关键在于正确构造全等三角形． 16．（2025·辽宁·一模）如图1，四边形是菱形（），过点A作于点E，过点C作于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，点E，B的对应点分别为点，；所在直线分别与直线交于点H，G；直线与直线交于点P，如图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，． ①如图3，当经过点C时，求的长度； ②如图4，当点在的延长线上时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)①；②． 【分析】（1）由垂线的定义得到，再由菱形对边平行结合平行线的性质证明，即可证明结论； （2）如图所示，连接，由旋转的性质得到，，通过证明，即可证明； （3）①由（2）可知，求出，，进而得到，据此可得答案；②作于M，可证明四边形是正方形，可得，证明，得到则，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， 在菱形中，， ， 四边形是矩形； （2）解：，理由如下： 如图所示，连接， 在菱形中，，， 旋转得到， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当经过点C时，由（2）可知 在菱形中，，，， ，， 在中，， ， ， ； ②作于M， ， 在BA的延长线上，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 由（2）可知， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形等等，熟知特殊平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． 17．（2025·辽宁抚顺·三模）【问题情境】 某数学活动小组在研究菱形对角线上的动点问题时提出如下思路： 在菱形中，对角线，交于点M，且，G是线段上的动点（不与点M，B重合），，E是线段的中点，绕点E顺时针旋转，得到线段．连接，，．    （1）如图1，当点E在直线上，且时． ①求证：； ②求证：． 【拓展迁移】 （2）如图2，当点E不在直线上，且时，的结论是否仍成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】（1）①结合菱形的性质可知，由旋转的性质可知，再利用全等三角形判定定理求证，即可解题； ②利用全等三角形性质和线段中点的特点得到，再结合等腰三角形性质和三角形外角性质求解，即可解题； （2）延长到H，使，连接，，设，，利用菱形的性质可得是的中位线，结合三角形中位线的性质和垂直平分线的性质证明，再结合全等三角形性质和三角形中位线的性质求解，即可解题． 【详解】（1）①证明：点E在直线上，且， ． 四边形是菱形， ， ． 由旋转的性质可知， 则在和中， ，，， ． ②证明：， ． E是线段的中点， ， ， 是等腰三角形， 是的外角， ． （2）成立， 证明：如图，延长到H，使， 连接，，设，， 四边形是菱形， ，， ． ，， 是的中位线， ，， ． ，， 是的垂直平分线， ． 在和中， ，，， ， ． ， 是等腰三角形． ． ． ， ． ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形性质和判定，线段中点的特点，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形中位线的性质和判定，垂直平分线的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 18．（2025·辽宁辽阳·二模）已知、是等腰直角三角形，，，．将绕顶点A旋转，将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转，得到线段，连接，，． 【观察发现】（1）如图1，当点E在线段上时，猜想的形状_______． 【探究迁移】（2）如图2，当点E不在线段上时，（1）猜想的结论是否依然成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）若线段，时，在绕点A旋转过程中．当垂直时，求的正切值． 【答案】（1）是等腰直角三形；（2）成立，见解析；（3）或． 【分析】（1）作于，证明四边形是矩形，由，，进而可得， ，即可得结论； （2）①解法一：连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，证明，得，，进而可证明 ，作射线，交于，作于，证明，进而可证明结论． 解法二∶ 连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，作射线，交于，作于，证明∽，得．即，进而证明∽，即可得结论； （3）分两种情况：①过F点作交延长线于H点，证明四边形是矩形，根据矩形性质及勾股定理求得，，进而可求，由三角函数的定义可得答案；②方法同①． 【详解】解：（1）作于， ， ， ， 由题意知∶ ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 中，，， ， ， ， 等腰直角三形． 故答案为：等腰直角三形； （2）①解法一 证明：连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于， ， ， ， ，． ， ，，， ，， ， ， 作射线，交于，作于， ， ， ， 将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴等腰直角三角形． ②解法二∶ 连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，作射线，交于，作于， ， ， ， 将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴∽， ∴．即， ，即， ∵， ∴∽， ∴， ∴即， ∴， ∴为等腰直角三角形． （3）①过F点作交延长线于H点， 四边形中，， ∴， 四边形是矩形， ， ∵，， ∴， 由（2）的结论，，， ∴中，， 中，，， ∴，， ∴， ∴中，． ②如图，于， 四边形中，， ∴， 四边形是矩形， ，，， ∵，， ∴， 由（2）的结论，，， ∴中， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，勾股定理及应用，相似三角形的性质及判定，解直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 19．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题背景】 在中，，，点D，E分别在线段，上，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，求F落在线段上． 【问题初探】 （1）如图1，当，点E与点C重合时，求证：； 【问题提升】 （2）如图2，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明； 【问题拓展】 （3）如图3，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，（2）的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）成立，见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质，平行线的性质等，正确作出啨线是解答本题的关键． （1）连接，分别证明和即可得出结论； （2）过点D作，交于点M，连接，证明，，得出，得出，证明，，即可得出结论； （3）如图，在线段上取点M，使，取中点N，连接，，解题思路同（2） 【详解】（1）证明：如图，连接 答图1 当，点E与点C重合时，， 由旋转可得， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2） 证明：如图，过点D作，交于点M，连接 ∴ ∵当，点E在线段上时，， ∴， ∴ ∴，， 由旋转可得， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴ （3）成立 证明：如图，在线段上取点M，使，取中点N，连接， ∴， ∴ ∴ ∴ 由旋转可得， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∵是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 20．（2024·辽宁·模拟预测）【操作判定】 （1）如图1，在中，，，点E在上（且不与点B、C重合），在的外部作，使，，连接，过点作，过点作，交于点，连接．根据以上操作，判断：四边形的形状是______，______； 【变换探究】 （2）如图2，将图1中的绕点B逆时针旋转，使点E落在边上，过点A作，过点D作，交于点F，连接．若，求的长． 【拓展应用】 （3）将图1中的绕点B顺时针旋转，使点D在的右侧，过点A作，过点D作，交于点F，连接，若，当四边形为菱形时． ①求的长； ②当点D在左侧时，请直接写出的长． 【答案】（1）平行四边形，；（2）；（3）①；② 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，从而得到，再证明点D，E，F三点共线，可得，然后根据勾股定理，即可求解； （2）连接，证明四边形是矩形．可得，，再证明，可得，．从而得到．继而得到是等腰直角三角形，即可求解； （3）①连接并延长交于点，连接，根据四边形是菱形，可得到．设交于点，交于点，交于点．证明，可得，，可得到是等腰直角三角形．从而得到．进而得到是线段的中垂线，即可；②类比①的方法解答，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴四边形是平行四边形； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点D，E，F三点共线， ∴， ∴， 即； 故答案为：平行四边形，；． （2）如图，连接． ，， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． ，， 又， ． 又，， ， ， ． ， ，． ， 即． 是等腰直角三角形． ， 即， ， ； （3）①如图，连接并延长交于点，连接． 四边形是菱形， ，， ， ． 设交于点，交于点，交于点． ， ， ， ，， ， ， ，． 又， ， 是等腰直角三角形． ． ，， 是线段的中垂线． ，， ． ， ； ②延长交于， ，， ． ， ， ． ∵， ． ∵， ∴． ， ， 为等腰直角三角形． ． 设交于点． 由①得：是线段的中垂线． ， ∴． ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定与性质，旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 21．（2024·辽宁营口·二模）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．当为等边三角形时，与的数量关系为：____________________ 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 拓展应用： （3）如图3，四边形中，，，，，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）． （2） （3）存在，“旋补中线”长为2 【分析】（1）首先证明是含有是直角三角形，可得即可解决问题； （2）结论：．如图1中，延长到，使得，连接，，首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题； （3）作的垂直平分线，过点D作的垂线，交于点P，连接，找出边的中点，连接，利用垂直平分线的性质及各角之间的关系得出，，再由勾股定理及等腰三角形的判定得出，，，利用等边三角形的判定和性质即可证明，再由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图2中，   是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． （2）结论：． 理由：如图1中，延长到，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ． （3）解：存在． 理由：作的垂直平分线，过点D作的垂线，交于点P，连接，找出边的中点M，连接，如图所示： ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴是的“旋补三角形”， ∵是等腰直角三角形，点M为中点，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 22．（2025·辽宁铁岭·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积为4或16或12或． 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵ ∴， ∴． （2）连接，延长交于点Q，根据（1）得， ∴， ∵是中线 ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 23．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，点在线段上（点不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得是等腰直角三角形，从而得出，，通过角度之间的转换得出，，即可得证； （2）过点作交于点，即，证明和都是等腰直角三角形，得出，再证明，得出，即可得解； （3）证明是等腰直角三角形，得出，，证明，求出，，，再证明，得出，即可得解． 【详解】（1）证明：线段是由旋转得到， ∴是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：过点作交于点，即， ， ， ， ， 和都是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ； （3）解： ， 是等腰直角三角形， ， ，， 由（2）问知：． ，， ， ，． ， ∵， ∴， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（1）用数学的眼光观察． 如图1，在矩形中，，，点P关于边的对称点Q在对角线上，连接，，，且，求的长． （2）用数学的思维思考． 如图2，在（1）的条件下，将沿着射线方向平移得到，当点P的对应点平移到边上时，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图3，在（1）的条件下，将绕点C逆时针旋转一个角，得到，在旋转过程中，设所在直线与直线交于点M，与直线交于点，当时，求出此时的长． 【答案】（1）CP的长是；（2）见解析；（3）AM的长为或． 【分析】（1）先根据勾股定理计算，由三角函数列比例式即可求得CQ的长，最后由对称性即可得CP的长； （2）根据对称性和平移的性质得：，即可得结论； （3）分两种情况：①如图3，点N在CA的延长线上，②如图4，当点C在对角线AC上，根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：(1)如图1， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， 点P关于边的对称点Q在对角线上， ； (2)证明：如图2，由对称得：， 由平移得：，， ，， ， ； (3)分两种情况： ①如图3，点N在的延长线上， 由旋转得：，，， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图4，当点C在对角线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 综上，的长为或 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，轴对称的性质，旋转的性质，解直角三角形相关计算等知识，并运用分类讨论的思想是解题的关键． 25．（2025·辽宁大连·一模）如图，是等边三角形，点D在边上， (1)如图1，将线段绕点 B 顺时针旋转得到线段，连接，求证：； (2)如图2，在（1） 的条件下，延长至点F，连接，若，求证：； (3)如图3，延长至点H，连接，，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． （1）先证明，再根据证明； （2）过点D作，得，证明是等边三角形，再证明和即可得出结论； （3）延长至点M，使，连接，过点D作，证明 得，设，则,在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转得， ∴， ∴，     ∴； （2）证明：如图，过点D作， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）解：如图，延长至点M，使，连接， ∴, ∵, ∴, ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴, 过点D作， ∵ ∴ ∴, 设，则 在中，, ∴ 解得： ∴． 平移综合问题 26．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，将正方形沿方向平移得到正方形，其中点的对应点在线段上运动，连接，交于点，交于点，交于点，连接，． (1)直接写出和的数量关系； (2)判断和的数量关系，并说明理由； (3)设的面积为，的面积为，的面积为． ①若正方形的边长为，当点运动到何处时，取得最大值？求出的最大值； ②求证：． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①为中点时，有最大值；②证明见解析． 【分析】（1）根据正方形的性质及平移的性质证明四边形是矩形，由等角对等边推出，即可得出结论； （2）如图，连接，根据正方形的性质得，再推出， 证明，由相似三角形的性质可得结论； （3）①过点作垂足为，设，则，根据等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，进一步得到，再根据二次函数的最值可得结论； ②如图，设点到的距离为，点到的距离为，得，推出，，即可得证． 【详解】（1）解：∵是正方形的对角线， ∴，，， ∵将正方形沿方向平移得到正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴和的数量关系为：； （2）． 理由：如图，连接， ∵、是正方形的对角线， ∴，，，， ∴， ∵将正方形沿方向平移得到正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）①过点作垂足为， 设， ∵正方形的边长为， ∴， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴当时（此时为中点），取得最大值，此时， ∴为中点时，有最大值； ②证明：如图，设点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识点．掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值是解题的关键． 27．（2024·辽宁鞍山·二模）数学课上，王老师提出问题：如图，已知中，是边上中线，．探究边和的数量关系；同学们以小组为单位，在经历独立思考、小组讨论、汇报展示后，归纳得到以下种不同的方法． 方法（倍延中线）：如图，延长至点，使，连接．利用全等和等腰三角形的判定证出； 方法（利用角平分线性质）：如图，过点分别作于点，于点，利用角平分线性质和全等证出； 方法（平移）：如图，将沿射线方向平移得到，连接，设与交于点，利用全等或相似证出． (1)特例感知：请完成方法（图）的探究过程； (2)思维迁移： 如图，已知中，是边上的两点，且，连接，．猜想边和的数量关系并说明理由； (3)拓展应用： 如图，已知点是 内一点，连接，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）证明，得到，进而可证明，得到，，由得到，推导出，，即得到，，即可证明； （）．将沿直线方向平移到，连接，设交于点，同（）方法证明和，即可求证； （）将沿方向平移到，连接，设与交于点，可得四边形为平行四边形，得到，，证明，得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵平移， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，将沿直线方向平移到，连接，设交于点， 平移， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， 即， ； （3）解：如图，将沿方向平移到，连接，设与交于点， 平移， ，，，，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等角对等边，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 28．（2024·辽宁营口·二模）（1）如图1，在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处．求的长； （2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长； （3）在图1中，将绕点旋转至A，，E三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）3；（2）1；（3）或 【分析】（1）本题利用折叠和矩形的性质得出，，再利用勾股定理即可解题； （2）本题利用平移的性质证得，设长为，利用勾股定理算出，推出，再利用相似三角形的性质得到，算出，从而求得的长； （3）本题根据A，，E三点共线，分以下两种情况讨论，①当旋转到左侧时，②当旋转到右侧时，根据以上两种情况作辅助线构造直角三角形，利用旋转的性质、矩形的性质和判定、以及勾股定理进行分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：为矩形，，， ，， ； （2）解：为平移后的图形，，， ，， ， 设长为， ，， 解得：， ， ，， ， ， ； （3）解：将绕点旋转至A，，E三点共线， 分以下两种情况： ①当旋转到左侧时，如图所示： 作，交的延长线于点， 由（2）可知， 由旋转性质可知，， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ②当旋转到右侧时，如图所示： 作，交的延长线于点， 由（2）可知， 由旋转性质可知，， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质和判定、勾股定理、平移的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 29．（2024·辽宁锦州·二模）综合与实践 问题情境： 如图1，正方形中，对角线、相交于点O，M是线段上一点，连接． 操作探究： 将沿射线平移得到，使点M的对应点落在对角线上，与边交于点E，连接． （1）如图2，当M是的中点时，求证：； （2）如图3，当M是上任意一点时，试猜想的形状，并说明理由． 拓展延伸： （3）在（2）的条件下，请直接写出，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3） 【分析】（1）由平移可知，，，，证明是的中位线，得到，即可得出结论； （2）根据正方形和平移的性质，证明，得到，，进而得出，即可得到答案； （3）由勾股定理可得，再结合，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接 由平移可知，，，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ； （2）解：等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ，，， ， 由平移可知，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：，理由如下： 由（2）得：，， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，平移的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 创新探究问题 30．（2025·辽宁本溪·模拟预测）【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…； ②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…； 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）或 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）①小红同学的解题思路：延长到点，使，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得；②小林同学的解题思路：延长到点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的三边关系可得，由此即可得； （2），证明：延长至，使，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （3）先利用勾股定理可得，再分两种情况：①当在点的右侧时，②当在点的左侧时，先求出的长，再参考（2）的思路证出，由此即可得． 【详解】解：（1）①小红同学的解题思路：如图，延长到点，使，连接， ∵是的中线，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴． ②小林同学的解题思路：如图，延长到点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴． （2），证明如下： 如图，延长至，使，连接， ∵点为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）∵等腰中，，， ∴， ∵． 则分以下两种情况： ①如图，当在点的右侧时， ∴， 由（2）已证：， ∴； ②如图，当在点的左侧时， 延长至，使，连接， ∵点为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上，的长度为或． 31．（2025·辽宁沈阳·一模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，，，，垂足是点．求证：． ①如图，小明同学给出如下解法：作，垂足是点． ②如图，小亮同学给出另一种解题方法：作，交延长线于点． 请你选择一名同学的解题方法，写出完整的证明过程． 【类比分析】    （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明与的数量关系转化为与另一条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，并提出了下面问题，请你解答． 如图，在四边形中，，，，，交延长线于点．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，四边形中，，，和都是钝角，且，，点在上，请直接写出的最小值．    【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】（1）①小明同学的解法：根据题意证明四边形 是矩形；，即可得证；②小亮同学的解法：证明四边形 是矩形，，即可得证； （2）作 交 延长线于点 则，证明四边形是矩形，，则，根据，等量代换进而，即可求解； （3）过点作的垂线交的延长线于点，由（2）可得四边形是矩形，，是等腰直角三角形，作关于的对称点，连接交于点，则，此时最小，在中，，勾股定理求得，进而根据，结合三角形的三角函数关系求得，最后在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：①小明同学的解法： 如图所示，   ， ， ， 四边形 是矩形 ， ， ， ， 又， ， ， ②小亮同学的解法： 如图所示，   ， ， ， 四边形 是矩形 ， ， ， 又， ， ， （2）解：如图所示，作 交 延长线于点 则   ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 又 ， ，， ， ， ， （3）解：如图所示，过点作的垂线交的延长线于点，作 交 延长线于点 则    由（2）可得四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， 作关于的对称点，连接交于点，则 ∴，此时最小，    ∵， ∴点在的延长线上，且， ∴， ∵， ∴ 又， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴在中， 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 32．（2025·辽宁沈阳·一模）问题提出： (1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 问题探究： (2)如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为______； 问题解决： (3)如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 问题拓展： (4)如图4，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有______组偏等积三角形． 【答案】（1）；（2）3；（3）与是偏等积三角形，理由见解析；（4）6 【分析】（1）连接，由与在、边上的高相等，可知当点P为中点时，与的面积相等，且与不全等，即可求解； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答； （4）过N作于P，过点C作于点Q，证明，得出，即可证明和面积相等，然后说明和不全等，即可判断和是偏等积三角形，然后同理判断和、和是偏等积三角形，进而判断出 和、和、和是偏等积三角形即可． 【详解】解：（1）如图1，连接，   与在、边上的高相等， 当时，与的面积相等， ， ， ， 与不全等， 与是偏等积三角形； 故答案为：； （2）如图2，过C作交的延长线于E，   与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长度为正整数， ， 故答案为：3； （3）与是偏等积三角形． 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形； （4）如图4，过N作的延长线于P，过点C作于点Q， ．四边形、是则正方形， ，，， ， 又， ， 在和中 ， ， ， 和面积相等， ，，， 和不全等， 和是偏等积三角形， 同理：和、和是偏等积三角形， 和、和、和是偏等积三角形， 故图中共6组是偏等积三角形， 故答案为：6． 【点睛】本题是四边形的综合题，此题重点考查新定义问题的求解、三角形的三边关系、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 33．（2025·辽宁沈阳·一模）定义：如果三角形的两个与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．    (1)若是“奇妙互余三角形”，，，则的度数为______； (2)如图1，在中，，若，点D是线段上的一点，若，判断是否是“奇妙互余三角形”，如果是，请说明理由； (3)如图2，在四边形中，是对角线，，，若，且是“奇妙互余三角形”，求的长． 【答案】(1)或 (2)是“奇妙互余三角形”，理由见解析 (3) 【分析】（1）由题意知，“奇妙互余三角形”分和，两种情况求解：根据三角形内角和定理计算求解即可； （2）如图1，过点作交于，由勾股定理得，，则，证明，则，即，解得，，，由，，证明，则，，进而可得是“奇妙互余三角形”； （3）如图2，将沿翻折到，，，由，可得，则三点共线，由，是“奇妙互余三角形”，可得，证明，则，即，解得，由勾股定理得，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，“奇妙互余三角形”分和，两种情况求解： ①当时， ∵， ∴， 由，可得； ②当时， ∵，， ∴， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或； （2）解：是“奇妙互余三角形”，理由如下： 如图1，过点作交于，    由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是“奇妙互余三角形”； （3）解：如图2，将沿翻折到，    ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∵是“奇妙互余三角形”， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得， 由勾股定理得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识．解题的关键在于理解题意并对知识进行灵活运用． 34．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）【问题初探】 （1）如图1，在中，，垂足为，点为边的中点，连接． 求证：． 甲同学的证明思路是：延长交于点（如图2），利用全等和直角三角形斜边中线的性质可证出． 乙同学的证明思路是：取的中点，连接交于点（如图3），证出平分，，即可证出． 请选择一名同学的证明思路，写出证明过程．    【类比分析】 （2）如图4，在中，点为边的中点，连接，将沿折叠，点落在内处，连接并延长交于点．求证：． 【拓展应用】 （3）如图5，将沿过点的直线折叠，点的对应点为，使于点，折痕交边于点，交边于点，若的面积为20，，，求四边形的面积．    【答案】见详解，见详解， 【分析】甲同学的证明思路：延长交于点，根据平行四边形的性质得 ，则，即可证明，有，结合直角三角形的性质即可证明；乙同学的证明思路：取的中点，连接交于点，由平行四边形的性质得 ，，结合中点得，则四边形为平行四边形，结合中点即可得点为边的中点，结合垂直平分线的性质即可证明； 由折叠得，则有，，即可得到，进一步证明四边形为平行四边形，则，即可证明； 过点M作交于点Q，则，根据面积公式求得，利用勾股定理求得，由折叠得，，可得，进一步证明为等腰直角三角形，则，利用平行四边形的性质可证得，由，解得，再结合，由，解得，利用面积差即可求得答案． 【详解】证明：甲同学的证明思路 延长交于点，如图，    ∵四边形为平行四边形， ∴ ， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴点F为的中点， ∵， ∴， ∴， 则． 乙同学的证明思路 取的中点，连接交于点，    ∵四边形为平行四边形， ∴ ，， ∵点为边的中点，点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴点为边的中点， 则， ∵， ∴， ∴， 则垂直平分， ∴． 由题意得，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ， ， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 则． 过点M作交于点Q，如图，    ∵于点， ∴， ∵的面积为20，， ∴， ∵， ∴， 由折叠得，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 则，即，解得， 那么， ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂直平分线的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角定理、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和做辅助线． 35．（2024·辽宁辽阳·模拟预测）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如图1，平分，为上一点，为上一点，连接线段，，若．求证：． ①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在上截取，连接，易证，将线段与的数量关系转化为与的数量关系． ②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过点向的两边分别作垂线，垂足分别为点，，易证，得到，接下来只需证，可得． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答．如图4，在中，，平分交与点，在线段上有一点，连接交于点，若．求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，垂足为点，在的延长线上取一点，使，在线段上截取，点在线段上，连接，使，若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①小文，由“”可证，可得，，由补角的性质可得，可证，即可求解； ②小雅：由“”可证，可得，由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，由三角形内角和定理可求，可得； （3）由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质和勾股定理可求的长，的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解（1）：①小文：证明：如图2，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ； ②小雅：证明：如图3，过点向的两边分别作垂线，垂足分别为点，， 平分， ， 又，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ； （2）证明：延长至点使，连接， 又，， ， ，， 为的平分线， ， 又， ， ， ； （3）解：在上截取，连接， 又，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ，， ， ， ， ． 即的面积为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 36．（2024·辽宁大连·一模）在数学课上，同学们探索正多边形中隐藏的变化规律．已知正边形每个内角的度数为，点在上，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接，探究的度数和的关系． 【问题初探】 小明同学就等边三角形．给出了方法：如图：1，在上截取，连接，易证，∴．在小明的启发下，同学们顺利地求出了正方形和正五边形等正多边形中的度数． （1）图2和图3分别是正方形和正五边形，分别写出的度数：图2中________；图3中________；正边形中________． 【类比探究】 （2）如图4，是等边三角形，点在的延长线上，过点作的垂线，点在上且，连接，将射线绕点顺时针旋转，交直线于点，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在矩形中，，交于点，，，．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接并延长，交于点，连接．若，求的面积． 【答案】（1）；；；（2）见解析；（3） 【分析】（1）当探究的图形为正方形时，在上截取，连接．先证明，可得，再由，可得，再求解即可得出结论，再用类似方法对正五边形及正边形中求解； （2）过点作于点，先证明，再利用全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，连接．先在中，由勾股定理，得．再证明，可得，再证明，再利用相似三角形性质可得．再求解即可． 【详解】（1）当探究的图形为正方形时，如图1，在上截取，连接． 根据题意，得，． ， ， ， ， ， ∴． ∵， ∴． ∴． 当探究的图形为正五边形时，如图2，在上截取，连接． 根据题意，得，． 易证， ∴． ∵， ∴． ∴． 综上所述，在正边形中，． 故答案为：；；； （2）证明：如图3．过点作于点． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：如图4，在上截取，连接． ∵四边形是矩形， ∴，． ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴． ∵， ∴，． ∴． 由旋转可得，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 解得，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形及多边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算． 37．（2024·辽宁锦州·二模）【模型建构】 如图1，点O在直线上，射线，位于直线两侧，若，则称，是关于直线的对称角 当射线，位于同侧且时，可以通过作对顶角构造出对称角，可以反向延长射线，得到（如图2），或者反向延长射线，则（如图3）． 【模型应用】 （1）小明受到模型启发，运用两种方法构造出对称角解决了下面问题： 如图4，点C，D在上，点E，F在直线外，连接，，，，若，，求的度数． 方法一：延长至H，使，连接， 方法二：延长至H，使，连接， 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程； （2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用“对称角”模型构造全等三角形或者按照自己的解题思路解答． 如图5，在中，，点D是的中点，点E，F分别在，上，，，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图6，在四边形中，，，，相较于点E，且，若，，求的长． 【答案】（1）90°；（2），见解析；（3）8 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）方法一：如图1，延长至H，使，连接，证明可得．证明可得即可；方法二：如图2，延长至H，使，连接，证明得出．证明．得出即可； （2）答图3，延长至H，使，连接，，证明可得．证出即可； （3）如图4：延长至F，使，过点F作于D．证明．得出．设,由勾股定理列出方程可求解即可． 【详解】解：（1）方法一：如答图1，延长至H，使，连接， ， . ， . ，. ， . . ， ， . . 方法二：如答图2，延长至H，使，连接， ， 且 . ，. ， . . . ， . . （2）.如答图3，延长至H，使，连接、， ，， . ，， . . 中，，点D是的中点， . . . . . . （3）如答图4，延长至F，使，过点F作于D. ， . . . . 又， . . . . 四边形是菱形. ， ，， ，. 设， ，， ，，，. 中，由公股定理有， ，解得：.即. 38．（2024·辽宁葫芦岛·二模）【问题初探】 （1）如图1，中，，，点E在线段上，，垂足为点D，连接，，求证：； 丽丽和东东两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①如图2，丽丽从条件出发，发现，利用条件，结合“边角边”定理在边上截取，构造了一对全等三角形，将求证的问题转化为与的数量关系． ②如图3，东东受到丽丽的启发，也利用“边角边”定理，在的延长线上取点F，使，连接，得到了，发现，利用边角之间的关系证明了问题． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程，也可以用不同于上面两位同学的方法进行解答． 【迁移应用】 （2）如图4，在中，，，点E在线段上，过点B作，交的延长线于点D，线段绕点D逆时针旋转得到线段，当点F恰好在的延长线时，求证：． 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）选丽丽、如图2，作于，则，证明，则，由，可得，则；选东东、证明：如图3，延长到，使，连接，则，证明，则，，由，可得，则； （2）由，，可得，如图4，作的延长线于，由旋转的性质可知，，，由，可得，证明，则，证明，则，； （3）由（2）知，则，，证明，，则，可得，由题意知，，，由，，得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）选丽丽、证明：由题意知，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 选东东、证明：如图3，延长到，使，连接， 由题意知，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 如图4，作的延长线于， 由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 由题意知，，， ∵，， ∴得，，即， 解得，， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，余弦，正切，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，旋转的性质，余弦，正切，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 39．（2024·辽宁锦州·二模）【问题提出】 如图1，在中，，，为内一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长到点，使，连接，，．求证：，． 【思路探究】 “神州小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点作平行交的延长线于点，这样可以将证明和的关系转化为和的关系； “智慧小组”的解题思路：结合为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系． （1）请你选择其中一个小组的思路，或者用你自己探究的思路写出证明过程； 【思维训练】 王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题： （2）如图4，在中，，，为上一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，为中点，连接并延长交的延长线于点，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【能力提升】 （3）“北斗小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若为平面内一点，，，，其他条件不变，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）或 【分析】（1）神州小组的解法：将线段借助平行线进行平移，过点作平行交的延长线于点，这样可以将证明和的关系转化为和的关系，即可得证；“智慧小组”的解法：结合为的中点构造三角形的中位线，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系，即可得证． （2）过点作交于点，取中点，连接，证明，根据平行线的性质与判定证明，即可解答． （3）分两种情况，点在内部，点在外部，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：神州小组的解法：如图，连接，延长交延长线于点，交于点， ， ，， ， ， ，， 由旋转可得，， ，， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 即． “智慧小组”的解法：如图，延长交于点， ，，，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， 即， ， ， ， ，． （2）解：，理由如下： 如图，过点作交于点，取中点，连接， ，，， ，， ， ， 由旋转，得，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ，， ， ． （3）解：点在内部，如图， ， ， ，， ， ，，三点共线， 在中，， ， ， 解得； 点在外部，如图， 同理，可得方程， 解得， 综上所述，或． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，平行线的性质与判定，添加辅助线是解题的关键． 40．（2024·辽宁铁岭·二模）【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，是的中线，M是的中点，的延长线交于N，求证： 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作，交B于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系． (1)请你选择一名同学的思路，写出证明过程； (2)【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④，在中，是边上的中线，N，K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程； (3)【学以致用】 在中，．在直线上取点B，使，连接，在线段上取点A，连接，直线交直线于F，当时，求的值．请根据题意画出图形并简要的写出解答过程． 【答案】(1)见解析 (2)，过程见解析 (3)或，画图和解答过程见解析 【分析】（1）①甲同学的思路，过点D作，于点K，由判定，由全等三角形的性质得，即可求证；②乙同学的思路， 作交的延长线于，由判定，由全等三角形的性质得，由平行线得，由相似三角形的性质得，即可求证； （2）过作交的延长线于，过作交于，可判定，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由平行线可判定，由相似三角形的性质得，即可求解； （3）①在线段上，如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于，由平行线可判定，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解；②当在射线上，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由平行线得，可求，同理可求，由相似三角形的性质得，即可求解； 【详解】（1）①甲同学的思路： 证明：如图，过点D作，于点K，   ， M 是的中点， ， ， 是 的中线， ， ， 在和中 ， （）， ， ； ②乙同学的思路： 如图，作交的延长线于，   ， M 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， 是 的中线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过作交的延长线于，过作交于，   ， ， ， N， K是的三等分点， ， ， ， ， 是 的中线， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； （3）①在线段上， 如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ； ②当在射线上， 如图，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于，   ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ∴ 综上所述：或． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质，能根据题意作出辅助线，构建相似的典型模型“”型和“” 型是解题的关键． 41．（2024·辽宁大连·一模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1，在和中，，且为锐角，若，求证：． ①如图2，小锋同学从，这个条件出发，想到根据“”构造全等，给出如下解题思路：在上截取，连接，将与的数量关系转化为它们所在的三角形的关系． ②如图3，小慕同学从，这个条件出发，想到作双垂直，可构造出“”全等条件，给出如下解题思路：过点A作，垂足为点M，过点D作，垂足为点N，先证明垂线段相等，将垂线段作为中间过渡量证明与所在的三角形全等，从而证明． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）赵老师发现上面两名同学都运用了转化思想，将证明两条线段的数量关系转化为证明两条线段所在三角形的关系．为了帮助同学们更好地感悟和运用转化思想，赵老师将上面的例题和解题思路进行变换，提出了下面的问题，请你解答： 如图4，在中，点E，D分别在边，上，连接，，延长至点F，使，连接，延长交于点H，若，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）对于小锋同学的解题思路，证明得到，再证明得到即可；对于小慕同学的解题思路，先证，得，再证可得； （2）在上截取，连接，利用三角形的外角性质得到，证明得到，，利用等角对等边可证得即可； （3）先利用三角形的内角和定理证明得到 ．再证明，根据等腰三角形的三线合一求得．利用锐角三角函数关系和勾股定理分别求得 ，，设，则，，， 由求得x，则．证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：选小锋同学的解题思路， 证明：在上截取，连接． ∵，， ∴． ∴，． ∵，， ∴，∴． 选小慕同学的解题思路． 证明：过点A作，垂足为点M，过点D作，垂足为点N， 则，又，， ∴， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上截取，连接． ∵，，， ∴ 又∵，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴，即． （3）解：在中，， 在中，， 又∵， ∴． 由（2）知，， ∴，∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，∴． ∵，∴， ∴，， 设，由得， ∴，． ∵，∴， 解得，∴． ∵， ∴，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，结合图形，得到角之间的关系是解答的关键． 42．（2024·辽宁葫芦岛·一模）【问题初探】 （1）如图1，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 小明和小亮两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小明同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，构造……； ②小亮同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点作交延长线于点G，于是得到……；请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题，如图4，已知等边中，为边上一动点，连接，将绕着顺时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图5，已知中，，点是斜边上的一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接，若，求线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）方法1：延长到点，使，连接，证明得到，进而证明，则可证明； 方法2：过点作交延长线于点，则有，证明得到，再证明，得到，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明是的中位线，得到，证明是等边三角形，得到，再证明，得到，即可证明； （3）如图，延长至点，使，连接，则是的中位线，可得，作，垂足为，解直角三角形得到；证明是等腰直角三角形，得到，进而证明，得到，则；在上取点，使，则，求出，则，即可得到． 【详解】解：（1）①方法1：如图2，延长到点，使，连接， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ； ②方法2：如图，过点作交延长线于点，则有， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2），证明如下： 如图，延长至点，使，连接， 点是中点，点是中点， 是的中位线， ， ， ， 是等边三角形， ， 又是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）如图，延长至点，使，连接， 点是中点，点是中点， 是的中位线， ， 作，垂足为， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在上取点，使，则， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理等，解题的关键在于倍长中线构造全等三角形，以及作出辅助线构造相似三角形和直角三角形。 43．（2024·辽宁大连·一模）【问题呈现】 如图1，正方形的边长为a，对角线、交于点O，E为上任意一点，射线绕点O逆时针旋转后交于点F，连接交于点G． 【问题发现】 小明发现，小红发现，小聪发现的面积存在最小值．经过讨论，全班同学一致认为他们的发现都是正确的． （1）请你证明． （2）直接写出面积的最小值是______．（用含a的式子表示） 【问题探究】 爱思考的小强将问题进行了拓展，如图2，将上题中的“正方形中”改为“菱形中，”，将“逆时针旋转”改为“逆时针旋转”．其它条件不变，依然可以得到上题中的三个结论． （3）请你在图2中证明． 【问题延伸】 经历上述学习过程，数学科代表小敏对问题进行了如下的总结：在菱形中，边长为a，，对角线、交于点O，如图3所示，若E为上任意一点，射线绕点O逆时针旋转一定的角度后交于点F，连接交于点G．上题中的三个结论依然成立． （4）请你直接写出这个旋转的最小角度是______； （5）面积的最小值是______（用含a和的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）；（5） 【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质，易证，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质，可得，当时，最短，此时的面积最小，再根据正方形和直角三角形的性质，得到，即可得到答案； （3）过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质和旋转的性质，易证，得到，，再结合三角形外角的性质，得到，，即可证明结论； （4）证明，得到，进而推出，再结合四边形内角和，即可得到答案； （5）当，时，面积有最小值，此时，先利用等腰三角形的性质和菱形的性质，得出，再利用锐角三角函数，求出，进而得到，，即可表示出面积的最小值． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，，， 由旋转的性质可知，， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， ， 当时，最短，此时的面积最小， 四边形是正方形， ，，， ， 是的中点， 在中，， ， 故答案为：； （3）如图，过点作于点，过点作于点， 四边形是菱形，， ， ，， ，， ， ， 由旋转的性质可知，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ； （4）在菱形中，边长为a，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （5）当，时，面积有最小值，此时， 又，， ， ， ， 四边形是菱形，边长为a，， ，，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ，， ， 在中，，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形等知识，灵活运用锐角三角函数是解题关键． 44．（2024·辽宁大连·一模）【问题初探】 （1）张老师在数学活动课上出示了一道探究题：如图1，在和中，，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，若，求证：．张老师分别从问题的条件和结论出发分析这道探究题： ①如图2，从条件出发：过点A作于点M，过点D作于点N，依据等腰三角形的性质“三线合一”分析与之间的关系，可证得结论． ②如图3，从结论出发：过点E作交的延长线于点G，依据三角形全等的判定，证明，可证得结论． 请你运用其中一种方法，解决上述问题． 【类比分析】 （2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题：如图4，在中，，在中，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，且A，D，E三点在同一直线上，若，，，求的长． 【学以致用】 （3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路提出了以下问题：如图5，在四边形中，，，点E为CD的中点，连接．若，，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3） 【分析】（1）①证明四边形为矩形，得出，则可得出结论； ②根据平行线得到相关角度相等，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）过点A作于点M，过点D作于点N， 过点D作交于点P，求出，证明四边形为矩形，得出，设,则，根据三角形函数求出，则可得出答案； （3）延长与的延长线交于点F，过点A作于点G，过点B作于点H，证明，证出，设,则,证明，得出,由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：①，，，， ，，， ． ， ， ， 四边形为矩形， ， ． ②， ，． ， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ． ，， 四边形为平行四边形， ． （2）解：如图1，过点A作于点M，过点D作于点N， 过点D作交于点P． ，，，， ，，， ． ， ，， ，， ， ． 在中，． ， 四边形为矩形， ， ． 设，则． 在中，，， ． 在中，， ， ， ， ． （3）解：如图2，延长与的延长线交于点F， 过点A作于点G，过点B作于点H． ， ， ， ， ，． ，， ，． 点E为的中点， ． ， ． ， ． 设，则． ， ． ，， ，， ， ． 在和中，，， ，， ，解得（负值已舍去）， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 45．（2024·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】 （1）如图1，在中，是边上的中线，，求的取值范围． 小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小明同学的思考过程：在中，已知两边和的长度，根据条件只能直接求出BC边的取值范围．而要想求中线的取值范围，只有将中线转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．如图2，可以延长到点E，使，连接，这样就构造了，将求的取值范围，转化为求的边的取值范围； ②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点C作交延长线于点F，于是得到．进而将求的取值范围，转化为求的取值范围． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，在中，D是边的中点，点E在边上，，求的取值范围． 【能力提升】 （3）如图5，在正方形中，O为对角线的中点，，点G在边上，E为平面内一点且，以为斜边，在的右侧作等腰直角三角形，连接，求的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）①按小明的法，证明，再利用三角形三边之间的关系求出的取值范围，进而可求的取值范围；②按小刚的思路，过点C作交延长线于点F，构造三角形中位线，利用三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出的取值范围； （2）过点B作交延长线于点F，则，构造三角形中位线，利用三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出的取值范围； （3）过点O作于点H，连接，证明，得出对应成比例的线段，利用勾股定理求出的长，再利用三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）①小明的解法：延长到点E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴． ∴； 小刚同学的解法：过点C作交延长线于点F， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴， 即． ∴． ∴； （2）如图，过点B作交延长线于点F，则， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴； （3）如图，过点O作于点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， 在中，， 而当点O，F，G共线时，仍存在， 此时或， ∴． 【点睛】本题是三角形、正方形综合题，主要考查全等三角形的性质和判定、三角形中位线的性质、三角形三边之间的关系、相似三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形及作平行线找到对应线段间的关系是解题的关键． 46．（2024·辽宁鞍山·三模）【问题初探】 在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，是等腰三角形，，过点B作于点D，若，，求的长． 同学们经过思考后，交流出两种解题思路： 思路1：在和中，分别利用勾股定理即可求出的长； 思路2：如图2，在上截取，连接，先证出，再利用相似求出的长； （1）请利用思路2求出的长； 【类比分析】 思路2是利用转化的思想，将二倍角问题转化为等角进行研究，为了使学生进一步感悟转化思想，王老师提出下面问题，请解答． （2）如图3，在Rt中，，，点E在边上，且，若，求的长； 【学以致用】 （3）如图4，是等腰三角形，，交的延长线于点D，E是边上一点，，，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）在上截取，连接，证明，，由是等腰三角形，，则，进一步得到，证明，则，又由,，勾股定理得到，即可得到答案； （2）先证，再证：求出，由，可求，即可得到答案； （3）在的延长线上取一点F，使，连接，作于点H，先证，得出，再证，得，，，再利用勾股定理解得：，则． 【详解】（1）解：如答图1：在上截取，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵,， ∴ 解得或（不合题意，舍去） ∴； （2）解：如答图2：延长到点F，使，连接，作于点H， ∵，， ∴垂直平分， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵, ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴ ∵，，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ． （3）解：如答图3，在的延长线上取一点F，使，连接，作于点H， ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴，即 ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）, ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 47．（2024·辽宁沈阳·零模）【问题初探】：（1）数学活动课上，刘老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，垂足为E．求证：． ①如图2，小涵同学从，这个条件出发，给出如下解题思路：得出，作平分交于点F，将转化为与之间的数量关系． ②如图3，小慧同学从结论的角度出发给出如下的解题思路：延长至点G，使，连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】： （2）刘老师发现之前两名同学都运用了转化思想，证明一条线段是另一条线段的2倍，将长的线段平分或将短的线段倍长，从而转化为证明两条线段相等．为了帮助学生更好地感悟转化思想，刘老师提出了下面的问题，请你解答． 如图4，在中， ，D是边上一点，连接，过点B作于点E，在上截取，连接交于点G．求证：． 【学以致用】： （3）如图5，在中，，，D是中点，点E在线段上，连接，延长至点F，使，连接，若．求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）选择小涵同学的解题思路：作平分交于点F，利用等腰三角形的想着全等三角形的判定与性质解答即可；选择小慧同学的解题思路：延长至G，使，连接，利用等腰三角形的想着全等三角形的判定与性质解答即可； （2）方法一：过A作交延长线于点M，利用直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）连接，过F作交的延长线于点M，利用直角三角形的边角关系定理，表示出的三边，利用等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）证明：选择小涵同学的解题思路： 作平分交于点F，如图， ， ． ， , 又， ， 平分， ， ． 又， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ； 选择小慧同学的解题思路： 延长至G，使，连接，如图， ， ． ， ， 又， ， , 为线段的垂直平分线， , ， ． 又， ， 在和中， ， , ， ． （2）证明：方法一：过A作交延长线于点M，如图， ， ， ， ， , 在和中， ， ， ， ． ， , 在和中， ， ， ， ． ， ， 即 ， ； （3）解：连接，过F作交的延长线于点M，如图， ，D为中点， ， ． 在中， ， 设， 根据勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， , 在和中， ， ， ， ， ， 3， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 48．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．求证：． ①如图2，小哲同学发现：如果取线段中点，连接，那么是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到，，之间的数量关系． ②如图3，小扬同学发现：如果在线段上截取，连接，那么是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到，，之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类此分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．探究线段，，之间的数量关系． 【学以致用】 （3）在中，，，点在边上，点在边上，连接，将线段绕点逆时针旋转角，得到线段，连接，．当，，时，请直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）的值为或． 【分析】（1）若选择小哲同学的思路，取线段中点，连接，则，可证明是等边三角形，得，，再证明是等边三角形，得，，可证明，得，； 若选择小扬同学的思路，在线段上截取，连接，可证明是等边三角形，推导出，，，再证明是等边三角形，得，，进而证明，得，则； （2）取的中点，的中点，连接、，则，，因为，，所以，可证明，则，再证明，则，再证明，得，则； （3）作交于点，作交于点，由，，得，，推导出，，再证明，得，而，，当点与点在直线同侧，则，可证明，作于点，则，，，所以；当点与点在直线异侧，则，所以，求得． 【详解】（1）证明方法一：如图2，取线段中点，连接，则，   ，， 是等边三角形， ，， 为的中点， ， ，， 是等边三角形， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， ． 证明方法二：如图3，在线段上截取，连接，   ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形，， ，，， 由旋转得，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：， 理由：如图4，取的中点，的中点，连接、，则，，   ，， ， ，， ， ， 为中点， ，， ，，， ，， 由旋转得，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：的值为或， 理由：如图5，点与点在直线同侧，作交于点，作交于点，   ，， ，，， ，， ，， 由旋转得，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 作于点，则，，， ． 如图6，点与点在直线异侧，   ，，， ， ， 而， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中位线定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 49．（2024·辽宁·模拟预测）【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，，，求的长． ①如图2，小刚同学构造等腰，得到，通过勾股定理进行求解； ②如图3，小淼同学构造等腰，得到，通过勾股定理进行求解． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出求解过程； 【类比分析】 李老师发现之前两名同学都采用了构造法，将要求的边，转化到新构造的三角形当中．李老师将图1进行变换并提出了下面的问题，请你解答． （2）如图4，在中，，点D，E，F分别在边，，上，，．求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在等边中，点D在的延长线上，点E在上，且，，交于点F，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）小刚同学思路：证明，，设，则，得到，在和中，使用勾股定理即可得解；小淼同学思路：证明，，设，则，得到，在和中，使用勾股定理即可得解； （2）构造等腰，使得，得到一线三直角模型，证明得到，从而得到，即可得证； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：选择小刚同学思路： ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得：， 在中，，即， 解得：， ∴， 选择小淼同学思路： ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 在，，即， 解得：， 在，，即， 解得：， ∴； （2）如下图，构造等腰，使得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即：； （3）如图，连接，作平分，交于，交于，连接，并延长交于， 设， ， 平分， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质，角平分线的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 50．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，，点在边上，，连接，点在边上，连接，且．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，求的面积． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3） 【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路；过作交的延长线于，.可得，再证出为等腰直角三角形，即可得出结论 ②选择小光同学的解题思路.证明：如图，在上截取，连接，可以证出，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，可得出，得，，再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，可得，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【详解】解：（1）选择小辉同学的解题思路.证明：如图，过作交的延长线于 ∵， ∴，， ∴. ∵交延长线于， ∴， ∴， 又∵绕点旋转至， ∴， ∴， ∴，. ∵， ∴. ∴. ∴， ∴. ∴， ∴. ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴. ∴， ∴. 选择小光同学的解题思路.证明：如图，在上截取，连接. ∵， ∴. ∴. ∵，， ∴.即. 又∵， ∴ .∴ ∵，， ∴， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴. ，， ∴. （2）证明：如图.过作于，过作于. ∵，， ∴， 又∵. ∴. ∴，. ∵， ∴， ∵， ∴. ∴， ∴， ∴， ∴. 在和中，， ∴. ∴. ∵，， ∴. ∵，， ∴. ∴. ∴. （3）解：如图，在边上截取，连接. 由题意得，，. ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴. ∴. ∵，， ∴， ∴. ∴， ∴. 又∵， ∴. ∵，，， 过作于，则， ∵， ∴. 根据勾股定理得，. ∴. 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 其他压轴综合问题 51．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）（1）如图，在四边形中，，． ①小睿同学通过画图研究发现：如图1，延长交延长线于点，此时恰好；小睿同学还给出了证明思路：在上取点，使得，通过证明结论，请依据小睿的思路求证：； ②小亮同学通过分析发现：如图2，当时，，，三条线段存在固定的数量关系，请写出，，之间的数量关系，并写出证明过程； （2）如图3，在中，，，点为内部一点，连接，，以，为邻边作平行四边形，与交于点，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证即可得解． （2）延长交延长线于，过作交于，在上取点使得，证进而得到，再根据题干条件得到，最后即可得到． （3）延长交延长线于，在取一点使得，过作交于，先证，进而可得，导角可得，设，，，然后由，建立方程求解即可． 【详解】证明：（1）∵，， ∴， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴．    （2）延长交延长线于，过作交于，在上取点使得， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴△≌△， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）延长交延长线于，在取一点使得，过作交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，∥， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设， 在中， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵∥， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 52．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，矩形中，，，点P是直线上动点，连接，以为边在右侧作等边三角形，其中A，P，N按逆时针排列． (1)当点N落在线段上时，请直接写出的长； (2)当与矩形的边平行时，求的长； (3)将沿翻折，点N的落点为点，点M为的中点，请判断点M到的距离是否发生改变，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)8或 (3)不改变，证明见解析 【分析】（1）本题先证明，得到，然后，即可求解； （2）分两种情况：①当与矩形的边平行时，根据平行证明为等边三角形，即可求解；②当与矩形的边平行时，证明垂直平分，即可求解． （3）在上的取点Q，；证明，当点P在直线上运动时，点M在直线上运动，根据平行线间的距离处处相等，可得出结论． 【详解】（1）解：当点N落在线段上时，如图， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：分两种情况：①当与矩形的边平行时，如图， ∵， ∴， 由（1）得：，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ∴； ②当与矩形的边平行时，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∵，，由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为8或． （3）解：中点 到 的距离不变， 证明：如图，在上的点Q，，当，由（2）知边 的中点与点Q重合， ∵是等边三角形， ∴ 由翻折可知：， ∴四边形是菱形， ∴ ∵点M为的中点，点Q为的中点， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴当点P在直线上运动时，点M在直线上运动，如图， 根据平行线间的距离处处相等， ∴中点 到 的距离不变． 【点睛】本题考查了矩形性质、等边三角形性质、勾股定理和翻折对称的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线间的距离，掌握以上知识是解题的关键． 53．（2025·辽宁沈阳·一模）如图①，在四边形中，，E为上一点，且，过点B作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)如图②，连接交于点G． ①若，求证：平分； ②若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）先证，再证四边形是平行四边形，则，然后证，则，由即可得出结论； （2）①连接，先证四边形是平行四边形，得，再证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，即可得出结论； ②先证，得，进而证，得，则，然后求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ． （2）解：①证明：如图，连接， 由（1）得：， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形， ∴平分； ②解：由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， 两边除以得：， 解得：，或（舍去）， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 54．（2025·辽宁大连·一模）△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，连接AD，在线段AD上有一点M，连接CM，以AM为直角边，点A为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN． (1)如图1，若sin∠MCD＝，CD＝4，求线段MN的长； (2)如图2，将等腰直角三角形AMN绕点A顺时针旋转α°（0°＜α°＜45°），连接CM、DM、CN，若DM∥CN，求证：4DM2+CN2＝CM2； (3)如图3，线段MN交线段AC于点E，点P、点Q分别为线段BC、线段AC上的点，连接PM、QN，将△DPM沿PM翻折得到ΔD'PM，将△EQN沿QN翻折得到ΔE'QN，若AM＝3DM，BC＝8，在线段BC上找一点F，连接FD'、FE'，请直接写出FD'+FE'的最小值． 【答案】(1)4﹣2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先利用解直角三角形求出DM＝，得到AM=4﹣，然后利用解直角三角形得到MN的值； （2）连接BM并延长交CN于E，首先利用△BAM≌△CAM得到∠MBA＝∠ACN，BM＝AN，再利用△BDM∽△BCE得出结果； （3）利用勾股定理得到GN＝，在利用△GFD∽△GNA求出MF＝GF＝，得出结果． 【详解】（1）解：∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，AB＝AC， ∴AD＝CD＝＝4，AD⊥BC， ∵sin∠MCD＝， ∴tan∠MCD＝＝， ∴DM＝CD•tan∠MCD＝4×＝， ∴AM＝AD﹣DM＝4﹣， 在Rt△AMN中， MN＝＝＝4﹣2； （2） 证明：如图1， 连接BM并延长交CN于E， ∵∠BAC＝∠MAN＝90°， ∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC， 即：∠BAM＝∠CAN， 在△BAM和△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAM（SAS）， ∴∠MBA＝∠ACN，BM＝CN， ∴点A、B、C、E共圆， ∴∠BEC＝∠BAC＝90°， ∴EM2+CE2＝CM2， ∵DM∥CN， ∴△BDM∽△BCE，   ∴， ∴CE＝2DM，EM＝BM， ∴EM＝CN， ∴4DM2+CN2＝CM2； （3）如图2， ∵AD＝CD＝BC＝4，AM＝3DM， ∴DM＝1，AM＝3，MN＝＝3，NE＝MN＝，∵MD′＝DM＝1，NE′＝NE＝， ∴点D′在以M为圆心，1为半径的圆上，点E′在以N为圆心，为半径的圆上， 作点M关于BC的对称点G，连接GN交BC于F，交⊙N于E′， 则FD'+FE'的最小， 在Rt△AGN中，AG＝DG+AD＝1+4＝5，AN＝3， ∴GN＝＝＝， ∵DF∥AN， ∴△GFD∽△GNA，   ∴， ∴， ∴GF＝， ∴MF＝GF＝， ∴FD'+FE'＝MF﹣MD′+FN﹣NE′＝GF+FN﹣NE′﹣MD′＝GN﹣NE′﹣MD′， 即：． 【点睛】本题是几何综合题，利用轴对称确定最小值时点F的位置是解决问题的关键． 55．（2024·辽宁·模拟预测）【基本图形】 （1）如图1，在正方形中，点E在边上，连接，点F在上，且，连接并延长，交于点H，过点F作交于点G，探究与之间的数量关系； 【知识迁移】 （2）如图2，在菱形中，，点E在边上，连接，点F在上，且，点G在边上，连接，，且，若，，求菱形的边长； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E在边上（点E不与点B，C重合），在射线上有一点F，，连接，过点F作交射线于点G，若，，直接写出矩形的面积． 【答案】（1）（2）（3）24或54 【分析】（1）连接，利用正方形性质得到，，，进而推出、、、四点共圆，得到，结合等腰三角形性质和平行线性质进行等量代换得到，证明，得到，即可解题． （2）连接，延长交于点，过点作的延长线于点，利用菱形的性质得到，进而得到、、、四点共圆，由（1）同理可证，，利用等腰三角形性质和判定和菱形的性质得到，，设，则，，，，利用勾股定理建立等式求解，即可解题． （3）根据题意分情况讨论：①当在延长线上，连接，记交于点，利用矩形性质和垂线定义证明、、、四点共圆，推出，进而证明，得到，推出，利用矩形性质和等腰三角形性质与判定，得到，设，则，，，根据勾股定理，建立等式求出的值，即可得到矩形的面积，②当在线段上，解法与①类似． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接，   四边形为正方形， ，，， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，延长交于点，过点作的延长线于点，   在菱形中，， ， ， ， 、、、四点共圆， 由（1）同理可证，， ， ， 四边形为菱形，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 设， 则，，，， ， ， 解得（舍去）或， （3）解：①当在延长线上， 连接，记交于点，   四边形为矩形， ，，，， ， 交射线于点G， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，，， ， ， 解得（舍去）或． ，， 矩形的面积为． ②当在线段上， 连接，延长交于点，    由①同理可得，， ， 设，则，，， ， ， 解得（舍去）或． ，， 矩形的面积为． 综上所述，矩形的面积为或． 【点睛】本题考查了正方形性质，四点共圆，等腰三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，相似三角形性质和判定，菱形的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关定理与性质，并灵活运用． 56．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图1．在中，，，．点E在射线上（点E不与点B重合），连接，作点B关于的对称点F，连接，，点G在线段上，连接EG，作点F关于的对称点H，连接、，并延长交线段所在直线于点M，连接． (1)探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E在线段上，点H恰好在线段上，且时，求的长； (3)已知． ①如图3，当点E在线段上，且时，求BE的长； ②如图4，当点E在的延长线上，且时，直接写出的长． 【答案】(1)．理由见解析 (2) (3)①3；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、对称的性质、平行四边形的性质、三角函数、直角三角形的性质、勾股定理、解一元二次方程、矩形的性质、平行线的性质，灵活运用以上知识是解题的关键． （1）过点E作于点P．作于点Q，则根据对称的性质，得，，从而得到，，可证明则有，则可证明，最后可得． （2）过点E作于点N，根据三角函数得到，，又因为，设，得到，，，．再根据勾股定理求出即可解答； （3）①根据平行线的性质与等量代换得到，再求出，，．最后根据直角三角形的性质即可求解； ②先证明四边形为矩形，然后根据（3）中的①求出，根据等边对等角可得，再根据三角函数得到，，最后根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）解： ．理由如下： 如图1．过点E作于点P．作于点Q．， 根据对称的性质，得，， ，，，． ，． 又， ，     ． 在与中， ， ， ．     （2）如图2，过点E作于点N，． ，，．     设，则，． 由（1），得． ，．． ，．     在中，根据勾股定理，， ，解得（负值已舍去）． ，．     （3）①，． ，． 由（1）．知． ，． 由（1），知， ．     ，． 在中，， ．     ②GC的长为．     如图3，分别过点G，H作的垂线．垂足分别为P，Q． 设交于点I，． ，，四边形为矩形． ，． 由（3）的①可知，． ．． ，， ．． 在中，． ，，． 设，则，． 在中，， ，． ，． ，． 在中，根据勾股定理，． ．解得，． 57．（2024·辽宁沈阳·一模）如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接． (1)直接判断与的位置关系 (2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)1 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，再根据余角的性质得到，即可判断； （2）过点B作交于点M，证得为等腰直角三角形，则，证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论； （3）设，则，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：； 理由如下：设与交于O， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：， 证明：过点B作交于点M， ∵， ∴，，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ，又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得，，经检验符合题意； ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确构造全等三角形解决问题． 58．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）过点作，且使得，连接，，证明，得到，，证明，得到，设，则，在中，根据勾股定理求解即可； （2）分两种情况：①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点，②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点，根全等三角形的判定与性质和勾股定理求解即可； （3）作，且令，连接，，证明，得到，，推出，证明，得到，证明，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，，， 解得：， ； （2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 在中，，即， 解得：， ； ②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点， ，， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 在中，，即， 解得：， ； 综上所述，或； （3）作，且令，连接，， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识并正确作出辅助线． 59．（2024·辽宁大连·一模）【发现问题】在数学活动课上，同学们研究两个正三角形位置关系时，发现某些连线之间总存在某种特定的关系． 【问题探究】如图1，在正和正中，点A和点E重合，点C与点F重合，所以，； 【类比分析】 （1）如图2，点E在上，点C与点F重合，求证：； 【学以致用】 （2）点E在上，连接，以为边向上作正． ①如图3，点F在上，当点D、E在异侧，求的值； ②点F在上，当点D、E在同侧，，请利用备用图，画出图形，求的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的前提下，如图4，点F在上，直接写出的最小值． 【答案】（1）详见解析；（2）①2，详见解析；②，详见解析；（3），详见解析 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，三角函数等知识点， （1）由均为等边三角形，得出，进而可证得，即可得知，由平行线的判定即可得证； （2）①如图，过点F作交于N，得出，均为等边三角形，由（1）中结论知：，由已知得出，进而即可得解；②如图所示，过点E作交于N，则为等边三角形，得出（1）中结论，再由已知即可用k表示出的值，进而即可得解； （3）过点E作交于N，连，构造出（1）中模型，进而可得，即可得出为定点，D在定直线上运动，由垂线段最短知，当时，最小，再利用三角函数知即可得出结论； 熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】【类比分析】 （1）∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 【学以致用】 （2）①如图，过点F作交于N， ∴， ∴为等边三角形， 又∵为等边三角形， 由（1）中结论知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ②如图所示，过点E作交于N，则为等边三角形， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 【拓展应用】 （3）如图所示，过点E作交于N，连， ∴， ∴为等边三角形， 又∵为等边三角形， ∴由（1）结论知，， 又∵， ∴为定点， ∴D在过N点且平行于的定直线上运动，由垂线段最短知，当时，最小， 作交直线于点M，设直线交于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当D与M重合时，最小为 60．（2024·辽宁·模拟预测）在研究“构造全等三角形”时，老师提出：“若两个三角形满足一组边相等，相等的边上有一组相等的角，则可以增加一个条件构造全等”． (1)如图，在和中，，，请你增加一个条件，使，你增加的条件是 ； (2)如图，在中，，，点在外，且，过点作于点、若，，求的长；（用含，的式子表示） (3)如图，在四边形中，，连接，，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)（或或） (2) (3) 【分析】（1）根据全等三角形的判定补充即可； （2）过点作于点．证明．得，由，得，．从而即可得解； （3）过点作于点，过点作于点．连接交于点．过点作交于点．过点作于点．先证．得．由证．得．．再证是等边三角形．得．进而利用三角形函数求得， ．．最后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴增加，根据可以判断， 增加，根据可以判断， 增加，根据可以判断， 故答案为：（或或）； （2）解：如图，过点作于点．则． ． ． ． ． 又， ． ， ， ， ． ． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点．连接交于点．过点作交于点．过点作于点． ． 又， ． ． 又∵， ． ． ，即． ， 是等边三角形． ． 设． ． ． ． ． ∴设，则． ． ． ∵． ， 又， ， ． 设． ， ． ． ，解得． ． ∵． ． 在中， ， ． ． ． 在中，根据勾股定理，得． ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，同角的余角相等，平行线分线段成比例，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$