精品解析：2025年天津市和平区益中学校中考一模数学试卷

天津和平区益中学校2024—2025—2九年级阶 数学学科试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分 钟，祝各位考生考试顺利！ 第I卷选择题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 计算的结果等于（ ） A. 6 B. C. D. 5 2. 估计2﹣1的值应在（　　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 3. 如图所示，几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列图标，既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应（ ） A B. C. D. 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是反比例函数图象上的点，若，则一定成立的是( ) A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 10. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线与相交于点，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，的延长线交于点，连接，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷非选择题 注意事项： 第II卷用黑色墨水的签字笔直接答在答题纸相应的区域上。在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 在一个不透明的袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中白球2个，黄球1个，红球2个，摸出一个球，则摸到红球的概率是______． 14. 计算的结果等于______． 15. 计算：________． 16. 已知直线（，为常数，）与直线平行，且与直线交于轴的同一点，则此一次函数的表达式为_____________． 17. 如图，菱形的边长为，点，分别是边，的中点，连接，则的长为_____的长为_____； 点H，G分别是的中点，连接，则的长为_____． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，格点在圆的外部，格点在圆上． （I）圆中劣弧的长度为_____； （II）由切线长定理可知从点可作圆的两条切线，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出两个切点，并简要说明是如何找到的（不要求证明）_____． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答题应写出解答过程．） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得__________； （2）解不等式②，得__________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： （4）原不等式组的解集为__________． 20. 为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了名学生的实验操作得分（满分为10分），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______图①中m的值为______； （2）求统计的这组学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数； （3）根据统计的这组九年级学生的理化生实验操作得分的样本数据，若该校九年级共有800名学生，估计该校九年级学生的理化生实验操作得分不低于9分的学生人数． 21. 已知A，B，C是半径为2的上的三个点，四边形是平行四边形，过点C作的切线，交的延长线于点D． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，取的中点F，连接，与交于点E，求四边形的面积． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度． 如图，建筑物前有个斜坡，已知在同一条水平直线上． 某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． （1）求点到地面距离的长； （2）设建筑物的高度为（单位：）； ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求建筑物的高度（取取1.7，结果取整数） 23. 甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． （1）乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； （2）求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； （3）乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； （4）在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； （5）乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 24. 已知矩形在平面直角坐标系中，点，点，点，把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．交y轴于点M． （1）如图①，求的大小及的长； （2）将矩形沿y轴向上平移，得到矩形，点O，D，E，F对应点分别为，设． ①如图②，直线与x轴交于点N，若，求t的值； ②若矩形与矩形重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）． 25. 已知抛物线（常数）经过点． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为． ①当点落在该抛物线上时，求的值； ②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津和平区益中学校2024—2025—2九年级阶 数学学科试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分 钟，祝各位考生考试顺利！ 第I卷选择题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 计算的结果等于（ ） A. 6 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解： 故选：B． 2. 估计2﹣1的值应在（　　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】先把原式化为，再3＜＜4，从而可得答案． 【详解】解：原式＝， ∵9＜12＜16， ∴3＜＜4， ∴2＜＜3， 故选：B． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，不等式的性质，估算无理数的大小常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 3. 如图所示，几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图判断即可． 【详解】解：几何体的左视图是 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键． 4. 下列图标，既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A. 可以看作是中心对称图形，不可以看作是轴对称图形，故本选项错误； B. 既可以看作是中心对称图形，又可以看作是轴对称图形，故本选项正确； C. 既不可以看作是中心对称图形，也不可以看作是轴对称图形，故本选项错误； D. 既不可以看作是中心对称图形，也不可以看作是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B. 5. 据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据800000用科学记数法表示应为． 故选：C． 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 7. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用平方差公式变形，再约分即可得出答案． 【详解】解：原式． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8. 已知点是反比例函数图象上的点，若，则一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵k=2＞0， ∴在每一象限内，y随x增大而减小． 又∵x1＞0＞x2， ∴A，B两点不在同一象限内， ∴y2＜0＜y1． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，解决此题的关键是熟练掌握y随x变化情况． 9. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可． 【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴三点在以为圆心直径的圆上， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论． 10. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线与相交于点，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线以及角平分线的性质．利用基本作图得到由作法得平分，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：由作法得平分， ∴点P到和的距离相等， ∵， ∴， ∴点D到的距离为的长，即点D到的距离为8， ∴点D到的距离为． 的面积． 故选：C． 11. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，的延长线交于点，连接，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可直接得出A正确；数形结合，由角度之间的关系证明，可得出B正确；过点分别作于点，作交的延长线于点，根据证明得出，利用角平分线的判定定理可推出平分，可得出D正确，由已知无法确定C正确，即可得到答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，，，故A正确； ，即， 又， ， ， ，故B正确； 过点分别作于点，作交的延长线于点，如图所示： 由旋转性质知，， ， 又， ， ， 又，， 平分， ，故D正确； 由已知无法确定，故C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识，准确作出辅助线构造直角三角形逐项验证是解决问题的关键． 12. 如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入，得： 解得， ∴， 由此判断：①矩形最大面积是4平方米，说法错误； ②二次函数解析式为，说法正确； ③矩形面积最大时，，说法错误； ④当时，矩形面积取最大值， ∴， ∴，说法正确． 所以，说法正确的是②④，共2个， 故选：B． 第II卷非选择题 注意事项： 第II卷用黑色墨水的签字笔直接答在答题纸相应的区域上。在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 在一个不透明的袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中白球2个，黄球1个，红球2个，摸出一个球，则摸到红球的概率是______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据概率公式求解即可． 【详解】解：共5个球，其中有2个红球，则摸到红球的概率， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用概率公式求事件的概率，解题关键是熟练掌握A事件的概率，． 14. 计算的结果等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，直接运用积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案：． 15 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，平方差公式，掌握运算法则是解题的关键． 根据平方差公式即可化简计算． 【详解】解：， 故答案：． 16. 已知直线（，为常数，）与直线平行，且与直线交于轴的同一点，则此一次函数的表达式为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与直线平行得到的值；再根据与直线交于轴的同一点得到的值，进而得出函数的表达式． 【详解】解：∵直线（，为常数，）与直线平行， ∴， ∵直线与轴的交点坐标为，且直线与直线交于轴的同一点， ∴直线（，为常数，）与轴的交点坐标为， ∴， ∴直线的解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内两条平行直线的函数解析式的性质，平面直角坐标系内直线与轴的交点问题，熟知两直线平行则相等是解题的关键． 17. 如图，菱形的边长为，点，分别是边，的中点，连接，则的长为_____的长为_____； 点H，G分别是的中点，连接，则的长为_____． 【答案】 ①. 3 ②. ③. 【解析】 【分析】连接，，，并延长交于P，连接，先证明、是等边三角形，由点、分别是边、的中点和等边三角形的性质得出，，，， 由勾股定理，得，，再证明，得到，从而求得，得出，则，由勾股定理，得， 从而得到，然后证明是等边三角形，得出，最后利用三角形中位线性质求出长即可． 【详解】解：连接，，，并延长交于P，连接，如图， ∵菱形，， ∴，，， ∴， ∴、是等边三角形， ∵点，分别是边，的中点， ∴，，，， 由勾股定理，得； ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理，得； ∵G分别是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵点H，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ 故答案为：3；；． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余的性质，三角形的中位线的性质．正确作出辅助线构造全等三角形、等边三角形和直角三角形是解题的关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，格点在圆的外部，格点在圆上． （I）圆中劣弧的长度为_____； （II）由切线长定理可知从点可作圆的两条切线，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出两个切点，并简要说明是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 ①. ②. 见解析，连接相交于点，过点作线段分别交圆于点，交线段于点，连接，则点即为所作 【解析】 【分析】（I）先求出半径及圆心角，再根据弧长公式求解； （II）连接相交于点，过点作线段分别交圆于点，交线段于点，连接，由题意可得，则，可得，得出，同理可得，则点即为所作，． 【详解】解：（I）连接相交于点， 由题意得：，， ， ， 的长， 故答案为：； （II）解：连接相交于点，过点作线段分别交圆于点，交线段于点，连接，则点即为所作， 故答案为：连接相交于点，过点作线段分别交圆于点，交线段于点，连接，则点即为所作， 【点睛】本题考查了作图的应用与设计，相似三角形的判定与性质，切线的判定、弧长公式及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，切线的判定、弧长公式及勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答题应写出解答过程．） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得__________； （2）解不等式②，得__________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： （4）原不等式组的解集为__________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据移项合并同类项解一元一次不等式即可求解； （2）根据不等式的性质解不等式即可求解； （3）将不等式的解集在数轴上表示； （4）根据数轴上不等式的解集的公共部分求得不等式组的解集即可求解． 【小问1详解】 解不等式①得： ， 故答案为：． 【小问2详解】 解不等式②得： 故答案为：． 【小问3详解】 把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： 【小问4详解】 原不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 20. 为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了名学生的实验操作得分（满分为10分），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______图①中m的值为______； （2）求统计的这组学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数； （3）根据统计的这组九年级学生的理化生实验操作得分的样本数据，若该校九年级共有800名学生，估计该校九年级学生的理化生实验操作得分不低于9分的学生人数． 【答案】（1）40，15 （2）这组数据的平均数是8.3，众数是9，中位数是8 （3）该校800名初中学生中，得分不低于9分的学生人数约为380 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图中6分的数据，可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和得分为7分的人数即可求出m； （2）根据条形统计图中的数据，可以得到这40个样本数据平均数、众数、中位数； （3）总人数乘以得分不低于9分的学生人数的所占比例即可． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 故答案为：40，15； 【小问2详解】 解：（分， 在这组数据中，9出现了12次，次数最多， 众数是9分， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第20，21名学生的分数都是8分， 中位数是（分， 即这40个样本数据平均数、众数、中位数分别是8.3分，9分，8分． 【小问3详解】 解：（名） 答： 该校九年级学生的理化生实验操作得分不低于9分的学生人数为380． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 已知A，B，C是半径为2的上的三个点，四边形是平行四边形，过点C作的切线，交的延长线于点D． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，取的中点F，连接，与交于点E，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，利用切线的性质得到，再根据平行四边形的性质得到，所以，从而得到的度数； （2）利用垂径定理得到，则可判断四边形为矩形，连接，如图②，证明为等边三角形得到，则可计算出，然后利用矩形的面积公式计算． 【小问1详解】 解：如图1，切线， ， 四边形为平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：点为的中点， ， 四边形为矩形， 连接，如图②， 四边形为平行四边形， ， 而， ， 为等边三角形， ， 在中，，， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了平行四边形的性质． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度． 如图，建筑物前有个斜坡，已知在同一条水平直线上． 某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． （1）求点到地面距离的长； （2）设建筑物的高度为（单位：）； ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求建筑物的高度（取取1.7，结果取整数） 【答案】（1）的长为 （2）①的长为；②建筑物的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）在中，利用30度角的性质求解即可； （2）①在中，求出，在中，求出，进而可表示线段的长； ②过点作，垂足为，可得，从而，在中，构建方程即可求解． 【小问1详解】 由题意得 在中，， ．即的长为． 【小问2详解】 ①在中，， 在中，由，得． ．即HE的长为 ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ， ∴． 在中，， ．即， （m）． 答：建筑物的高度约为． 23. 甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． （1）乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； （2）求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； （3）乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； （4）在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； （5）乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 【答案】（1）；15；1 （2） （3）4 （4）1.2或2或2.6 （5） ；24 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，通过待定系数法求函数表达式，并根据甲、乙两人的行程情况列出方程是解题的关键． （1）由图象可知，乙比甲提前到达地的时间为甲、乙分别到达地的时间差，乙的速度可由到达地的距离除以到达地的时间即可； （2）根据函数图象，分两段求函数表达式，当时，根据甲、乙速度相同，甲比乙先出发骑行3km，得到一段y关于x的函数表达式；当时，设y关于x的函数表达式为，由于图象经过，两点，将两点分别代入函数表达式得到方程组，求解方程组即可； （3）先根据图象确定乙到达地时对应的值，再代入甲此时对应的函数表达式求出值，用总路程减去值得到甲离地的距离即可； （4）分两种情况讨论，甲、乙相遇前后和乙到达地后的情况，根据甲、乙两人相距2km列出方程求解即可； （5）根据甲乙相遇时两人路程相等，结合图象列出方程，求解方程，再求出此时距离地的距离即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，乙比甲提前到达， 而乙的速度为， 由于开始时，甲、乙两人骑行速度相同， 则， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由（1）知，，乙的骑行速度为, 当时，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； 当时，设y关于x的函数表达式为， 图象经过，两点，代入函数表达式得： 解得 因此，y关于x的函数表达式为, 综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； 【小问3详解】 解：由图象可知，时，乙到达地， 则在中，令得， 因此，乙到达B地时，甲离B地的路程为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由题意得，乙的骑行速度为， 则乙骑行过程中，y关于x的函数表达式为：， ①甲、乙两人相遇前后相距时， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距时, 则 综上所述，当或或时，甲、乙两人相距， 故答案为：或或； 【小问5详解】 解：由题意结合图象可得，当两人相遇时，甲的函数表达式为， 乙的函数表达式为， 则， 解得， 此时距离地的距离为． 因此，乙出发时两人相遇，此时距离A地 故答案为：，． 24. 已知矩形在平面直角坐标系中，点，点，点，把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．交y轴于点M． （1）如图①，求的大小及的长； （2）将矩形沿y轴向上平移，得到矩形，点O，D，E，F的对应点分别为，设． ①如图②，直线与x轴交于点N，若，求t的值； ②若矩形与矩形重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）． 【答案】（1），；（2）①；②（）． 【解析】 【分析】(1)根据矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形 ，， ，在 中， 即可得出结论； (2)①由四边形 是矩形，又因为，所以四边形 是平行四边形， ， 即可求解；②先确定的取值范围，再利用梯形面积减去三角形面积可得： （），即可得出结论． 【详解】(1)∵把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； (2)①∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，记交y轴于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当与重合时， 当过点时，如图， 同理可得： 设 则 由 可得： 经检验：是原方程的根且符合题意， 当重叠部分为五边形时， t的取值范围为 如图，同理可得： 过作，则同理可得 即（）， 【点睛】本题主要考查了矩形在平面直角坐标系中旋转问题，锐角三角函数的应用，平移的性质，正确读懂题意是解题的关键． 25. 已知抛物线（是常数）经过点． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为． ①当点落在该抛物线上时，求的值； ②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值． 【答案】（1），顶点的坐标为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入抛物线解析式可求得的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标； （2）①由对称可表示出'点的坐标，再由和都在抛物线上，可得到关于的方程，可求得的值；②由点在第二象限，可求得的取值范围，利用两点间距离公式可用表示出，再由点在抛物线上，可以消去，整理可得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时的值，则可求得的值． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：①由点抛物线上，有． ∵P关于原点的对称点为，有． ∴，即 ∴ 解得 ②由题意知，在第二象限， ∴，，即，． 又抛物线的顶点的坐标为（，），得． 过点作轴，为垂足，有． 又，， 则 当点和不重合时，在中， 当点和重合时，，，符合上式． ∴，即 记，则， ∴当时，取得最小值． 把代入，得 解得 由>，可知不符合题意 ∴． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．注意待定系数法的应用以及构建关于的方程是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 第1页/共1页 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