专题17.1 勾股定理（3大知识点6大考点14类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题17.1 勾股定理（3大知识点6大考点14类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 【要点提示】 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，若，； 【知识点2】勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形，如图1：从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即， 整理得 . 图1 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 图2 【知识点3】勾股定理的作用 （1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； （2）用于解决带有平方关系的证明问题； （3）利用勾股定理，作出长为的线段. 考点与题型目录 【考点一】勾股数（树）及规律探究 【题型1】勾股数及其规律探究..................................................3 【题型2】勾股树及其规律探究..................................................4 【考点二】勾股定理解决网格与平面直角坐标系的距离 【题型3】勾股定理与网格问题..................................................8 【题型4】平面坐标系中两点距离...............................................10 【题型5】勾股定理与无理数...................................................12 【考点三】勾股定理的证明及用勾股定理证明线段的平方关系 【题型6】勾股定理的证明.....................................................15 【题型7】利用勾股定理证明线段的平方关系.....................................17 【考点四】利用勾股定理解决弦图问题与平方和（差）问题 【题型8】勾股定理解与弦图问题...............................................20 【题型9】利用勾股定理解解决平方和（差）关系.................................23 【考点五】用勾股定理解三角形 【题型10】勾股定理与作图问题................................................26 【题型11】勾股定理与折叠问题................................................29 【题型12】勾股定理与最值问题................................................34 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接..........................................................37 【题型14】拓展延伸..........................................................41 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【考点一】勾股数（树）及规律探究 【题型1】勾股数及其规律探究 ★【例1】（24-25八年级上·山西晋中·期中）学习了勾股数后，我们知道了等都是勾股数组．爱动脑筋的小华发现这些勾股数组之间有一定的规律，每组勾股数中最小的数都是奇数，且从3起就没有间断过． （1）请你根据发现的规律写出下一组勾股数 ； （2）小华猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数．请你补充完整小华的猜想并帮助他验证这一猜想是否正确． 【答案】（1）9，40，41；（2），，正确，见分析 【分析】本题主要考查了勾股数的定义： （1）根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案； （2）如果最小的数为奇数n（，且n为奇数）表示时，另外两个数分别，． 解：（1）解：当最小奇数为3时，； 当最小奇数为5时，； 当最小奇数为7时，； 所以，当最小奇数为9时，； 故答案为：9，40，41 （2）解：由（1）得，最小的数为奇数n（，且n为奇数）表示时，另外两个数分别，． 验证： 所以，小华的猜想正确． 故答案为：，． 【变式1】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）下列四个数中，可以和，构成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数．如果三个正整数满足，则这三个数就是勾股数，设可以和，构成勾股数的另一个数为，当时，有，当时，有，分情况求出的值，再根据勾股数必须为正整数进行判断． 解：设可以和，构成勾股数的另一个数为， 当时，有， 解得：或（舍去）， 当时，有， 解得：（不是整数，舍去）， 可以和，构成勾股数的是， 故选： B． ★【变式2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 【答案】37 【分析】本题考查勾股定理，根据勾为偶数，弦与股相差为2，设弦为，则：股为，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 解：设弦为，则：股为， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：37． 【题型2】勾股树及其规律探究 ★【例2】（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）综合与实践 一个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”） 探究活动 （1）如图1，中间围成的小正方形的边长为__________（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出，，的一个等式：__________，并给出证明过程； 【证明】 初步运用 （2）利用上述的结论完成下列问题： ①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为__________； ②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是__________． 【答案】（1）；；（2）①或；②正方形E的边长为； 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的证明方法，因为勾股定理涉及到各边的平方，而边长的平方正是正方形的面积，所以勾股定理与正方形的面积密切相关，理解勾股定理与正方形或其它图形的关系，对后面的解题非常重要． （1）小正方形的边长为较长的直角边减去较短的直角边；再利用等面积法推导即可； （2）①分两种情况讨论：①当6，8为直角边时，当8为斜边时，再计算即可；②直接利用勾股定理推导即可． 解：（1）中间围成的小正方形的边长为较长的直角边减去较短的直角边，即， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积＋中间的小正方形的面积， 可表示为： 正方形的面积还可以表示为： ∴，化简得． （2）①当6，8为直角边时， 斜边的平方； 当8为斜边时， 第三边的平方； ②如图，设正方形的边长分别为 根据勾股定理可得： ∴正方形的面积之和等于正方形E的面积， 同理可得：正方形E的面积等于正方形A，B，C，D的面积的和， ∴正方形E的面积为， ∴正方形E的边长为． ★【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 解：如图，由题意得，正方形的面积为，由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积为， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… “生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：C． ★【变式2】．（24-25八年级上·全国·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 【答案】 8 5 13 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长．先由正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积． 解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3， 正方形A，B，C，D的边长分别为， 由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为8，正方形的面积为5，正方形的边长为， 正方形的面积为13， 故答案为：8，5，13． 【考点二】勾股定理解决网格与平面直角坐标系的距离 【题型3】勾股定理与网格问题 ★【例3】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在格点图中勾股定理的应用．根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出的长，即可得出的长． 解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用网格得，，，证明得，再由网格得，再由三角形内角和定理可得． 解：如图，连接，， 由图可得，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． ★【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，设边上的高为h，由勾股定理求出的长，再由割补法求出的面积，即可解决问题． 解：设边上的高为h， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即边上的高为， 故答案为：． 【题型4】平面坐标系中两点距离 ★【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点位于第三象限，点位于第二象限，且a为整数． （1）求点A和点B的坐标． （2）若点为x轴上一点，且是以为底边的等腰三角形，求m的值． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形、两点距离公式，掌握这几个知识点的熟练应用是解题关键． （1）根据坐标系的特点得出不等式组解答即可； （2）根据等腰三角形的性质解答即可． 解：（1）解：∵点位于第三象限，点位于第二象限， ∴， 解得，， ∵a为整数， ∴． ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵点为x轴上一点，且是以为底的等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴m的值为或． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期末）已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查两点间的距离公式，等边三角形的判定，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 由题意根据两点间的距离公式可得的长度，即可对的形状进行判断． 解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． ★【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形及用勾股定理求两点间距离，熟练掌握坐标与图形及用勾股定理求两点间距离是解题的关键．若点P在轴上，设，可得，，再根据，列出方程，再求解，若点P在轴上，设，再同理求解即可． 解：若点P在轴上，设， ，， ，， ，即， ， ， ， 若点P在轴上，设， ，点， ，， ，即， ， ， ， 即或， 故选：A． 【题型5】勾股定理与无理数 ★【例5】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知，到数轴的距离为1，数轴上点所表示的数，为不超过的最大整数． （1）数轴上点所表示的数为 ； （2）求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，进而得到的长，然后根据两点间的距离求出点所表示的数即可； （2）根据题意，求出，再将，的值代入代数式求值即可． 解：（1）解：由勾股定理可得：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为不超过的最大整数， ∴， ∴ ． 【点拨】本题主要考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，无理数大小估算，不等式的性质，代数式求值，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握无理数大小估算的方法是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，方格的每一方格的边长为1个单位，依次连接各边的中点A，B，C，D，以顶点C为圆心，长为半径画圆交数轴于点P，则数轴上点P对应的无理数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴．求得点P到原点的距离即可． 解：根据题意，数轴上点C对应的数是1， 线段长是， ∴， ∴数轴上点P对应的无理数是． 故答案为：． ★【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是解题的关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，再根据勾股定理可得，再结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数． 解：∵正方形的面积为5， ∴， ∴ ∵点A表示的数是，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：A． 【考点三】勾股定理的证明及用勾股定理证明线段的平方关系 【题型6】勾股定理的证明 【例6】（24-25七年级上·山东烟台·期中）材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， （1）材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 （2）试说明 ； （3）若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 【答案】（1）C；（2）见分析；（3）见分析． 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等． （1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （2）通过证得，根据全等三角形的对应边相等证得结论； （3）利用等面积法证得勾股定理． 解：（1）解：根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C （2）解：由题意得： ∵直线m ，直线m ∴ （3）解：由（2）可知： 又 【变式1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读㯵图象信息．根据勾股定理，直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①，②，③，④正确， 故选：D． ★【变式2】（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 【题型7】利用勾股定理证明线段的平方关系 【例7】（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上． （1）如图1，如果，求证：． （2）如图2，如果，求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 解：（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用， 将绕点B顺时针旋转得到，连接，根据全等三角形的性质得，进而说明，可得，接下来得出，可得答案． 解：如图所示．将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 可知， ∴， 即． 故选：C． ★【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点拨】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【考点四】利用勾股定理解决弦图问题与平方和（差）问题 【题型8】利用勾股定理与弦图问题 【例8】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明：； （2）如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 【答案】（1）见分析；（2）26 【分析】此题考查了勾股定理的证明和应用． （1）大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此列式计算即可得到结论； （2）由大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积列式求出，由题意知，即可求出的值． 解：（1）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． ， ， ． （2）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． 大正方形的面积是15，小正方形的面积是4， ， ， 由题意知， ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．根据小正方形面积为7得出，结合，得出的值，即可得出结果． 解：∵小正方形面积为7， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵大正方形的面积， ∴， 故选：D． ★【变式2】（24-25九年级上·江西九江·期末）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ． 【答案】44 【分析】本题考查完全平方公式的应用和勾股定理的应用，解题的关键是理解题意． 设直角三角形的两直角边为，斜边为，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可． 解：如图，直角三角形的两直角边为，斜边为， ∵图1中大正方形的面积是24， ， ∵小正方形的面积是4， ， ， ∴图2中最大的正方形的面积， 故答案为：44． ★【题型9】利用勾股定理解解决平方和（差）关系 【例9】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的周长及的长． 【答案】（1）见分析；（2）的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 解：（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 【变式1】（21-22八年级上·福建福州·期末）在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． ★【变式2】（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）如图在中，、分别是、的中点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解二元二次方程组，本题中根据和求出、的长度是解题的关键． 设，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出，，解方程组可求得、，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 解：设，，， 在中，， 在中，， 即， 解得：， 在中，， 故答案为：． 【考点五】用勾股定理解三角形 【题型10】勾股定理与作图问题 ★【例10】如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点． （1）当时，点 （填“在”或“不在”）线段的垂直平分线上； （2）若，，判断点是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】（1）在；（2）点不在的平分线上，理由见分析 【分析】（1）根据题意可得，连接，根据三角形内角和定理可得，根据直角三角形的性质得出，推得，根据等边三角形的判定和性质得出，推得，根据垂直平分线的判定即可求解； （2）连接，过点作交于点，根据勾股定理求出，求得，，根据三角形的面积求出，根据角平分线的判定即可求解． 解：（1）解：根据题意可得，， 如图，连接， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故点在线段的垂直平分线上； 故答案为：在． （2）解：点不在的平分线上，理由如下： 连接，过点作交于点，如图： 在中，， 根据题意可得，， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∵，，， 故点不在的平分线上． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定定理，勾股定理，三角形的面积，角平分线的判定定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】如图所示，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设，，根据已知可得，，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 解：设，， ∵， ∴， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 即为． 故选：D． ★【变式2】如图，在中，，以适当长为半径画弧，交于点M，交延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于，两弧交于点P，作射线交的延长线于点D．过点D作交的延长线于点F，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查作图—角平分线，三角形全等的判定和性质，勾股定理．由作图过程判断出为的平分线是解题关键．根据题意可知为的平分线，易证，再结合勾股定理求解即可． 解：由作图过程可知，为的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴． 设，则． 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴． 故答案为：6． 【题型11】勾股定理与折叠问题 ★【例11】学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．   请你运用所学知识，解决下面的问题： （1）如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度； （2）如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度． 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的问题，等角对等边等知识． （1）由长方体形的性质可知，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，，，进一步可得出，，再利用勾股定理可得出，代入求解即可得出． （2）由长方体形的性质可知，，，，，进而可得出，由折叠得，，等量代换可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理可得出，进一步可得出，最后根据线段的和差即可得出答案． 解：（1）解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在中，， 即 解得： ∴的长是． （2）解：∵四边形是长方形，，，， ∴，，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴的长是5． 【变式1】如图，在中，，将折叠，使A与的中点D重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合运用以上知识是解题的关键． 设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 解：设，由折叠的性质可得， 是的中点， ， 在中，， 解得． 故线段的长为4， ∴． 故选：B． ★【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．分当翻折之后的A落在x的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标． 解：①如图，设翻折之后的A落点点E，作． 设，由题意可得，，， 与关于直线对称， ，， 在中，， ． 在中，， ， 即， 解得， 点D的坐标是． ②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，则， 这时，， ； ③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，， 在中，，则， 中，设， 利用勾股定理得到， 解得， D点坐标为， 故D的坐标为或或． 故答案为：或或． 【题型12】勾股定理与最值问题 ★【例12】如图，已知中，延长至D使，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）若E为线段的中点，且，点P为线段上一动点，连接，．求的最小值． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、最短问题，勾股定理等，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最短问题． （1）根据线段的垂直平分线的性质定理，可得，求出，即可证明结论． （2）作于F，于，交于，由，，推出，推出，所以当E、P、F共线时，即时，最短，最小值为线段，求出即可． 解：（1）证明：∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． （2）如图，作于F，于，交于， ∵，， ∴， ∴， ∴当E、P、F共线时，即时，最短，最小值为线段， 在中， ∵，，E为线段的中点， ∴， ， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 【变式1】如图，，动点P满足，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，轴对称最短路径问题．根据题意先求出的面积，再利用作对称分析线段相加最小值后用勾股定理即可求出本题答案． 解：设中边上的高是， ∴，即 ∵， ∴动点P在与平行且与的距离是2的直线上，如图，作关于直线的对称点，连接， 则， ∴当点E，P，B三点共线时，的值最小，即的长度， 在中，∵，， ∴． ∴的最小值为． 故选：D． ★【变式2】如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接， （1） ； （2）当取最小值时，的周长为 ． 【答案】 60 18 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． （1）利用等边三线合一性质即可解答； （2）利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，由（1）中结论可得恒成立，则当取最小值时有，可得出的长，设等边的边长为，则，利用勾股定理建立方程求出的值即可解答． 解：（1）等边，F是的中点， ，平分， ， ． 故答案为：60． （2）在中，， ， ， 由（1）得，恒成立， 又当取最小值， ，即， ， ， 等边，F是的中点， ，， 设等边的边长为，则， 在中，， ， 解得：， ， 的周长为． 故答案为：18． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型13】中考链接 ★【例1】（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． ★★【例2】（2024·宁夏·中考真题）综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 【答案】【发现结论】结论1：；结论2：相等（或）；【应用结论】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． [发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出， ，即可得出； 结论2：根据已知，和结论1 ，得出，根据角平分线的定义得出，进一步推出，利用证明，即可得出； [应用结论]（1）根据过点作的垂线交于点，得出，推出，结合结论2： ，利用证明，即可证明； （2）连接，，延长交于点，根据垂线的定义得出，由结论2得：，由（1）过程得：，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出，，，根据对顶角相等得出 ，推出，进一步得出，，根据等角对等边得出，，即可证明． 解：[发现结论]结论1： ∵是的平分线，的延长线交外角的平分线于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； 结论2： ∵，由结论1得， ∴， ∵是的平分线，过点作的垂线交于点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：相等（或）； [应用结论]（1）证明：∵过点作的垂线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵由结论2得：， ∴在和中， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，，延长交于点， ∵过点作的垂线交于点， ∴， ∵由结论2得：，由（1）过程得：， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【题型14】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，中，，，，若点从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．当点运动到边时，t为 秒时，为等腰三角形．    【答案】5秒或4.75秒或5.3 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并注意等腰三角形的定义分类讨论是解题关键．先根据勾股定理求出．再分，，三种情况分类讨论，结合等腰三角形的性质即可求解． 解：在中，∵， ∴． ①如图1，当时，为等腰三角形，   ， 秒； ②如图2，当时，为等腰三角形，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 秒； ③如图3，当时，作于，    则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ， ， ∴秒． 综上所述，为5秒或4.75秒或5.3秒时，为等腰三角形． 故答案为：5或4.75或5.3． ★★【例2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）长方形中，点E在边上从点D沿的方向移动，若将长方形沿着折叠在同一平面，如图1，点D的对应点为，连接，若为直角三角形，，，求的长． 【答案】的长为或． 【分析】如图，当在上，时，证明三点共线，， 求解，可得，当在上时，，延长交于点，同理可得：，，，设，则，利用勾股定理建立方程，再进一步求解即可． 解：如图，当在上，时， ∵长方形，结合对折； ∴，，，，， ∴三点共线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在上时，，延长交于点， 同理可得：，，， 设，则， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 综上：的长为或． 【点拨】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程，清晰的分类讨论是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17.1 勾股定理（3大知识点6大考点14类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 【要点提示】 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，若，； 【知识点2】勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形，如图1：从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即， 整理得 . 图1 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 图2 【知识点3】勾股定理的作用 （1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； （2）用于解决带有平方关系的证明问题； （3）利用勾股定理，作出长为的线段. 考点与题型目录 【考点一】勾股数（树）及规律探究 【题型1】勾股数及其规律探究..................................................3 【题型2】勾股树及其规律探究..................................................3 【考点二】勾股定理解决网格与平面直角坐标系的距离 【题型3】勾股定理与网格问题..................................................5 【题型4】平面坐标系中两点距离................................................6 【题型5】勾股定理与无理数....................................................6 【考点三】勾股定理的证明及用勾股定理证明线段的平方关系 【题型6】勾股定理的证明......................................................7 【题型7】利用勾股定理证明线段的平方关系......................................8 【考点四】利用勾股定理解决弦图问题与平方和（差）问题 【题型8】勾股定理解与弦图问题................................................9 【题型9】利用勾股定理解解决平方和（差）关系.................................10 【考点五】用勾股定理解三角形 【题型10】勾股定理与作图问题................................................11 【题型11】勾股定理与折叠问题................................................12 【题型12】勾股定理与最值问题................................................13 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接..........................................................14 【题型14】拓展延伸..........................................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【考点一】勾股数（树）及规律探究 【题型1】勾股数及其规律探究 ★【例1】（24-25八年级上·山西晋中·期中）学习了勾股数后，我们知道了等都是勾股数组．爱动脑筋的小华发现这些勾股数组之间有一定的规律，每组勾股数中最小的数都是奇数，且从3起就没有间断过． （1）请你根据发现的规律写出下一组勾股数 ； （2）小华猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数．请你补充完整小华的猜想并帮助他验证这一猜想是否正确． 【变式1】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）下列四个数中，可以和，构成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 【题型2】勾股树及其规律探究 ★【例2】（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）综合与实践 一个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”） 探究活动 （1）如图1，中间围成的小正方形的边长为__________（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出，，的一个等式：__________，并给出证明过程； 【证明】 初步运用 （2）利用上述的结论完成下列问题： ①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为__________； ②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是__________． ★【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 ★【变式2】．（24-25八年级上·全国·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 【考点二】勾股定理解决网格与平面直角坐标系的距离 【题型3】勾股定理与网格问题 ★【例3】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（   ）．    A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（    ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是 ． 【题型4】平面坐标系中两点距离 ★【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点位于第三象限，点位于第二象限，且a为整数． （1）求点A和点B的坐标． （2）若点为x轴上一点，且是以为底边的等腰三角形，求m的值． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期末）已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形． ★【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型5】勾股定理与无理数 ★【例5】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知，到数轴的距离为1，数轴上点所表示的数，为不超过的最大整数． （1）数轴上点所表示的数为 ； （2）求代数式的值． 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，方格的每一方格的边长为1个单位，依次连接各边的中点A，B，C，D，以顶点C为圆心，长为半径画圆交数轴于点P，则数轴上点P对应的无理数是 ． ★【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（   ） A． B． C． D． 【考点三】勾股定理的证明及用勾股定理证明线段的平方关系 【题型6】勾股定理的证明 【例6】（24-25七年级上·山东烟台·期中）材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， （1）材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 （2）试说明 ； （3）若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 【变式1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ★【变式2】（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【题型7】利用勾股定理证明线段的平方关系 【例7】（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上． （1）如图1，如果，求证：． （2）如图2，如果，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【考点四】利用勾股定理解决弦图问题与平方和（差）问题 【题型8】利用勾股定理与弦图问题 【例8】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明：； （2）如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 ★【变式2】（24-25九年级上·江西九江·期末）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ． ★【题型9】利用勾股定理解解决平方和（差）关系 【例9】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的周长及的长． 【变式1】（21-22八年级上·福建福州·期末）在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． ★【变式2】（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）如图在中，、分别是、的中点，，，，则的长为 ． 【考点五】用勾股定理解三角形 【题型10】勾股定理与作图问题 ★【例10】如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点． （1）当时，点 （填“在”或“不在”）线段的垂直平分线上； （2）若，，判断点是否在的平分线上，并说明理由． 【变式1】如图所示，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，则为（   ） A． B． C． D． ★【变式2】如图，在中，，以适当长为半径画弧，交于点M，交延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于，两弧交于点P，作射线交的延长线于点D．过点D作交的延长线于点F，，，则 ． 【题型11】勾股定理与折叠问题 ★【例11】学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．   请你运用所学知识，解决下面的问题： （1）如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度； （2）如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度． 【变式1】如图，在中，，将折叠，使A与的中点D重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 ★【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为 ． 【题型12】勾股定理与最值问题 ★【例12】如图，已知中，延长至D使，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）若E为线段的中点，且，点P为线段上一动点，连接，．求的最小值． 【变式1】如图，，动点P满足，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D． ★【变式2】如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接， （1） ； （2）当取最小值时，的周长为 ． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型13】中考链接 ★【例1】（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． ★★【例2】（2024·宁夏·中考真题）综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 【题型14】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，中，，，，若点从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．当点运动到边时，t为 秒时，为等腰三角形．    ★★【例2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）长方形中，点E在边上从点D沿的方向移动，若将长方形沿着折叠在同一平面，如图1，点D的对应点为，连接，若为直角三角形，，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$