精品解析：山西省 忻州市第七中学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年第一学期期中双减教学成果展示 八年级数学（人教版A） （本试卷共6页，满分120分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内．） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 正五边形的外角和的度数（　　） A. B. C. D. 3. 如图，OC是的平分线，于点D，，则点P到的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 都不对 4. 如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 7. 为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，分别是和的平分线，过I点且，则下列结论错误的是（　　） A. 平分 B. I到三边的距离相等 C. D. 9. 如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，于，于，若，平分，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，根据的数学道理________． 12. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是_____________． 13. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进20米后向左转30度，再沿直线前进20米，又向左转30度，-----照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了____________米． 14. 如图，在中，于点E，交于点M，且，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接交于点G．若，则的度数为________． 15. 如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）． 医疗站必须满足下列条件：（1）使其到两公路距离相等，（2）到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置．（不写作法，要保留作图痕迹） 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点，，的坐标； （2）求的面积． 18. 如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题． （1）将表格补充完整． 正多边形的边数 3 4 5 6 α的度数 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 　 　． （3）根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝ 　 　． 19. 已知：如图，F、C是上的两点，且．求证： （1）； （2）． 20. 如图，在中，的平分线交于点，过点作；交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 如图，小刚站在河边的点A处，在河对面（小刚的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转直行，从点D处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他恰好走了74步，并且小刚一步大约0.5米．由此小刚估计出了在点A处时他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点A处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． 22. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”， 是“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求的度数． ②若 是中边上的高， 则都是“友爱三角形”吗？ 为什么？ （2）如图2， 在中， ， 是边上一点（不与点重合），连接， 若是“友爱三角形”， 且与 互为“友爱角”， 直接写出的度数． 23. 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中双减教学成果展示 八年级数学（人教版A） （本试卷共6页，满分120分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内．） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 正五边形的外角和的度数（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的外角和为，即可得出结论． 【详解】解：正五边形的外角和的度数为； 故选D． 【点睛】本题考查多边形的外角和．牢记多边形的外角和是，是解题的关键． 3. 如图，OC是的平分线，于点D，，则点P到的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 都不对 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作于E，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于E， 是的平分线，，， ， 即点P到边的距离为2． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 4. 如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定理或定理即可得． 【详解】解：在和中，已有， 要使，只需增加一组对应边相等或对应角即可， 即需增加的条件是， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选择：A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 5. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 7. 为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 8. 如图，，分别是和的平分线，过I点且，则下列结论错误的是（　　） A. 平分 B. I到三边的距离相等 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质和平行线的性质．根据三角形的三条角平分线相交于一点，，分别是和的平分线，则故A正确；三角形的内心到三角形三边的距离相等，故B正确；根据“角平分线+平行，出现等腰三角形”得：．故D正确． 【详解】解：A．∵，分别是和的平分线， ∴平分，则A正确； B．过点作于，于，于，如图， ，分别是和的平分线， ，， ， 到三边的距离相等，则B正确； C．不一定等于， 不一定等于，则C错误； D．， ， ，分别是和的平分线， ， ， ， 同理：， ，则D正确； 故选C． 9. 如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，由全等三角形的性质可得，，即得，进而可得，又由平行线的性质得，即可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：B． 10. 如图，于，于，若，平分，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线定理证△BDE∽△CDF，利用全等三角形性质可得相应结论，再证△ADE∽△ADF，根据全等三角形性质可进一步求解. 【详解】因为于，于，平分 所以DE=DF, 又 所以△BDE∽△CDF 所以,CF=BE 因为 所以 由上可得△ADE∽△ADF 所以AE=AF 所以 故选：D 【点睛】考核知识点：全等三角形，就平分线性质.理解角平分线性质定理是关键. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，根据的数学道理________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性作答． 【详解】桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，根据的数学道理是：三角形具有稳定性． 故答案为三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，是基础题型． 12. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是_____________． 【答案】ASA 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题． 【详解】由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边． 则能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是ASA． 故答案为：ASA． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键． 13. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进20米后向左转30度，再沿直线前进20米，又向左转30度，-----照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了____________米． 【答案】240 【解析】 【分析】根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以20米即可． 【详解】解：∵小亮每次都是沿直线前进20米后向左转30度， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了（米）． 故答案为：240． 【点睛】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键． 14. 如图，在中，于点E，交于点M，且，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接交于点G．若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，灵活运用等腰、等边三角形性质求解是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质可得，结合题意证是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”可得，在中利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，进而得到． 【详解】解：连接，如图． ， ， 由题意可知， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．连接，，先求出，的长．由于是等腰三角形，点H是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵，点为中点， ∴， ∴的面积是30， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为12． 故答案为：12． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）． 医疗站必须满足下列条件：（1）使其到两公路距离相等，（2）到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置．（不写作法，要保留作图痕迹） 【答案】 如图，点P即为所求， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题关键．先作两公路夹角的角平分线，再过张村和李村线段的垂直平分线，与角平分线的交点即为点P． 【详解】略 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点，，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求，，，． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于轴对称的图形． （1）先在平面直角坐标系中描出点、、关于轴的对称点，，，再依次连接即可由图即可得，，的坐标； （2）利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得． 解题的关键是熟练掌握关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，利用割补法求三角形得面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 18. 如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题． （1）将表格补充完整． 正多边形的边数 3 4 5 6 α的度数 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 　 　． （3）根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝ 　 　． 【答案】（1），，， （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）先根据多边形的内角公式求出每一个内角的度数，再根据多边形的性质每条边都相等，得到等腰三角形，求出的度数． （2）根据（1）中的数据总结规律． （3）引用（2）中总结的公式计算即可． 【小问1详解】 正多边形每个内角的度数为． ； ； 正五边形的内角，； 正五边形的内角，． 【小问2详解】 观察（1）中结论， 总结规律，则有． 【小问3详解】 借助（2）中公式，有 ，即 解得． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、多边形内角的计算及观察总结能力，解题的关键是利用多边形内角的计算公式计算内角，并与等腰三角形两底角相等结合应用． 19. 已知：如图，F、C是上的两点，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ； （2） 证明：， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得，由，可得，通过即可证明； （2）由全等三角形的性质得，从而． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，的平分线交于点，过点作；交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】 （1）证明：∵BD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后由（1）可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 由（1）可得． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键． 21. 如图，小刚站在河边的点A处，在河对面（小刚的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转直行，从点D处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他恰好走了74步，并且小刚一步大约0.5米．由此小刚估计出了在点A处时他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点A处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． 【答案】合理，37米 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据可得出，由该全等三角形的性质，故可求解． 【详解】解：合理，理由如下： 根据题意，得． 在和中， ∴． ∴． 又∵小刚走完用了74步，一步大约0.5米， ∴（米）． ∴小刚在点A处时他与电线塔的距离为37米． 22. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”， 是“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求的度数． ②若 是中边上的高， 则都是“友爱三角形”吗？ 为什么？ （2）如图2， 在中， ， 是边上一点（不与点重合），连接， 若是“友爱三角形”， 且与 互为“友爱角”， 直接写出的度数． 【答案】（1）①； ② 都是“友爱三角形”，理由如下， ∵ 是中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ，， ∴， ∵与互为“友爱角”（）， ∴与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； 同理，与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； （2）的度数 【解析】 【分析】（1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到，再根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解；②由 是中边上的高，得到，根据三角形两锐角互余可得，，结合与互为“友爱角”即可求解； （2）根据三角形内角和定理可得，设，则，由三角形的外角和的性质可得，根据与 互为“友爱角”，分类讨论：当时；当时；由此列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得，， ∴； ②略 【小问2详解】 解：在中， ， ∴， 设，则， ∵是的外角， ∴， ∵是“友爱三角形”， 与 互为“友爱角”， ∴当时，， 解得，， ∴； 当时，， 解得，，不符合题意，舍去； ∴的度数为． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，三角形的外角和性质，一元一次方程与几何问题，理解“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，外角和性质，几何问题与一元一次方程的综合运用是解题的关键． 23. 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 【答案】（1） （2） ，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）3， 如图3所示： 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质解答即可． （2）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $