精品解析：上海市浦东新区2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试卷

浦东新区2024学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学试卷 2025.04 注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2.本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1. 经过点、的直线的斜率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用斜率公式可求得直线的斜率. 【详解】经过点、的直线的斜率为. 故答案：. 2. 椭圆的长轴的长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出的值，即可得出该椭圆的长轴长. 【详解】在椭圆中，，故该椭圆的长轴长为. 故答案为：. 3. 抛物线的焦点坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定焦点位置，然后求出即可得结果. 【详解】解：由抛物线方程知，抛物线的焦点在上， 由，得， 所以焦点坐标为. 故答案为：. 【点睛】本题考查已知抛物线，求焦点坐标，是基础题. 4. 双曲线的渐近线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程可得出其渐近线方程. 【详解】在双曲线中，，，故该双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 5. 过点且与直线垂直的直线的一般式方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由垂直关系求得斜率，再由点斜式即可求解. 【详解】由，可知其斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为： ， 即， 故答案为： 6. 直线与直线的距离为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式可求出这两条平行直线间的距离. 【详解】直线的方程可化为，由题意可知，， 所以，直线与直线的距离为. 故答案为：. 7. 若圆的方程为，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的一般方程可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为圆的方程为，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】首先确定，即可得到焦点在轴，然后可得椭圆的焦点，列方程求解． 【详解】双曲线，则，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又，故解得． 故答案为：1． 9. 若直线与直线的夹角为，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出直线的倾斜角，由此可得出实数的值. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 因为直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 若直线的倾斜角为，则不存在； 若直线的倾斜角为，则. 综上所述，. 故答案为：. 10. 已知关于的方程组无解，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解. 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 11. 若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆上或椭圆内，由此可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】直线方程可化为，则该直线过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点，则点在椭圆上或椭圆内， 所以，解得且. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 12. 江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的标准方程为，分析可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上，由此可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】以双曲线最小口径所在直线为轴，轴与该双曲线两交点连线线段的中点为原点建立如下图所示的平面直角坐标系， 由题意可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上， 设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，因此，该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分. 13. 直线的倾斜角α的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线倾斜角的定义得解. 【详解】直线的倾斜角α的取值范围是． 故选：B． 14. 圆和与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆圆心距，利用几何法可得出两圆的位置关系. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为，所以， 故圆与圆相交. 故选：B. 15. 若双曲线E:的左、右焦点分别为，点P在双曲线E上，且，则等于 A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】首先可以根据双曲线定义得到，再通过点在双曲线上的位置即可得出答案． 【详解】由题意得,,， 而,解得或， 因为,所以点在双曲线的左支上， 所以.选B． 【点睛】双曲线定义：与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹，这个固定的距离差是 的两倍． 16. 已知方程所表示的曲线为，则下列四个结论中正确的个数是（ ） （1）当时，曲线表示一条直线 （2）当时，曲线表示椭圆 （3）存在实数，使得曲线为等轴双曲线 （4）存在实数，使得曲线为抛物线 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，结合曲线的形状与方程之间的关系判断即可. 【详解】对于（1），当时，曲线方程为，即或，此时曲线表示两条直线，（1）错； 对于（2），当时，曲线的方程可化为， 若曲线表示椭圆，则，解得且，（2）错； 对于（3），当时，曲线的方程可化为，曲线表示双曲线， 若曲线为等轴双曲线，则，解得，（3）对； 对于（4），由上可知，当时，曲线表示两条直线， 当时，曲线表示椭圆或圆， 当时，曲线表示双曲线， 综上所述，不存在实数，使得曲线为抛物线，（4）错. 因此，正确的命题个数为. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知在中，，，点是此三角形的重心. （1）求边所在直线的一般式方程； （2）若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据向量知识推出重心的坐标公式，求出顶点C坐标，再写出边所在直线的方程. （2）通过讨论截距为0和不为0两种情况即可求解. 【小问1详解】 设交于，则为的中点，设，      因为点是三角形的重心， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上， 所以，可得， 即直线方程为：； 综上所述：直线方程为或. 18. 过圆外一点任意作一条割线交圆于、两点. （1）若割线的方程为，求的值； （2）求弦的中点的轨迹. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得的值； （2）设点，由化简可得出点轨迹方程，结合实际条件可得出点的轨迹. 【小问1详解】 圆的圆心为原点，半径为， 圆心到直线的距离为，所以. 【小问2详解】 设点，当直线不过原点时，连接，则， 且，， 由题意可得，化简得， 当直线过原点时，点与点重合，此时点的坐标也满足方程， 所以点的轨迹是点为圆心，半径为，且位于圆内的一段弧. 19. 已知抛物线的准线方程为. （1）求抛物线标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的准线方程可求出的值，由此可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限，利用抛物线的定义结合已知条件求出点的坐标，由此可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的横坐标，再利用抛物线的定义可求得的值. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为，所以，即， 因此，抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 设点、，由对称性，不妨设点第一象限， 由抛物线的定义可得，可得，则，可得， 所以点，易知点， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 联立可得，解得，， 所以. 20. 已知双曲线. （1）若双曲线的离心率为，求的值； （2）若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式可得出关于的等式，解之即可； （2）由直线与圆相切可得出，再将直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意可得，因为，解得. 【小问2详解】 因为直线与圆相切，所以，可得， 联立得，即， 则，所以方程有两个不等的实根， 设这两个实根分别为、，则， 因此，直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 21. 已知椭圆的左右两个焦点分别为、，是该椭圆的短轴，且，三角形的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点是椭圆上任意一点，求最值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出、的值，进而求出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设点，则，求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求出的最小值和最大值. 【小问1详解】 由题意可知，且， 所以，，则, 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设点，则，，易知点、， 所以， 设，则，且， 所以，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，， 故的最小值为，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦东新区2024学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学试卷 2025.04 注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2.本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1. 经过点、的直线的斜率为_____. 2. 椭圆的长轴的长为_____. 3. 抛物线的焦点坐标为________. 4. 双曲线的渐近线方程为_____. 5. 过点且与直线垂直的直线的一般式方程为_____. 6. 直线与直线的距离为_____. 7. 若圆的方程为，则实数的取值范围为_____. 8. 已知椭圆与双曲线有相同焦点，则实数的值为______. 9. 若直线与直线的夹角为，则实数的值为_____. 10. 已知关于的方程组无解，则实数的值为_____. 11. 若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为_____. 12. 江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是_____. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分. 13. 直线的倾斜角α的取值范围是（　　） A. B. C. D. 14. 圆和与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 15. 若双曲线E:的左、右焦点分别为，点P在双曲线E上，且，则等于 A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 15 16. 已知方程所表示曲线为，则下列四个结论中正确的个数是（ ） （1）当时，曲线表示一条直线 （2）当时，曲线表示椭圆 （3）存在实数，使得曲线为等轴双曲线 （4）存在实数，使得曲线抛物线 A B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知在中，，，点是此三角形的重心. （1）求边所在直线的一般式方程； （2）若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 18. 过圆外一点任意作一条割线交圆于、两点. （1）若割线的方程为，求的值； （2）求弦的中点的轨迹. 19. 已知抛物线的准线方程为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 20. 已知双曲线. （1）若双曲线的离心率为，求的值； （2）若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 21. 已知椭圆的左右两个焦点分别为、，是该椭圆的短轴，且，三角形的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点是椭圆上任意一点，求的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $