精品解析：四川省达州市万源市万源中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

高2027届高一下期中考试数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 在正六边形中，（ ） A. B. C. D. 4. 为了得到的图象，只需把图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 B. 先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 C. 先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 D. 先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在内函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设从点运动到点时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分必要条件 B. 若，，且，则的最大值为9 C. 不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 D. 已知，其中a，b为常数，若，则 10. 函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象的对称轴为直线 D. 函数的单调递增区间为 11. 已知函数的定义域为R，函数是奇函数，且对任意实数都有，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的图像关于轴对称 B. 函数的图像关于点对称 C. 函数是最小正周期为2的周期函数 D. 若函数满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是__________. 13. _______. 14. 若关于的方程恰好有四个不同的实数根，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知全集，集合，.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）已知，，求. 16. 已知. （1）若，求的值. （2）已知.求角的值. 17. 已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． （1）求的值； （2）试判断的单调性，并证明； （3）若，求的取值范围． 18. 已知. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求在上的值域； （3）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届高一下期中考试数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式，然后按补集定义求补集，再用并集定义求解即可 【详解】或 所以， 故选：D 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数定义，及正弦二倍角公式即可求解. 【详解】由题意， 所以， 所以， 故选：B 3. 在正六边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得. 【详解】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误. . 故选：D 4. 为了得到的图象，只需把图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 B. 先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 C. 先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 D. 先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移变换知识即可判断. 【详解】根据平移变换知识先向左平移个单位长度可得， 再将所得曲线横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合及二倍角余弦公式将所求式子化为，然后分子分母同时除以，整理得到一个关于的式子，代入数值求解即可. 【详解】由已知可知. 则. 代入可得，. 故选：B. 6. 在内函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，其中有意义， 则满足，其中，即，其中， 解得，即函数的定义域为. 故选：C. 7. 如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设从点运动到点时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出观览车的角速度，再求出对应的角，根据三角函数的定义可的坐标，从而可求. 【详解】观览车的角速度为， 设，其中， 则，故，故， 故点的纵坐标为， 所以. 故选：A. 8. 已知函数在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数式，然后求得整体的取值范围，结合正弦函数的零点得出不等关系，从而得参数范围． 【详解】， 因为，所以， 则，解得. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分必要条件 B. 若，，且，则的最大值为9 C. 不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 D. 已知，其中a，b为常数，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：利用集合间基本关系与充分必要条件定义判断即可得；对B：借助基本不等式“1”的活用计算即可得；对C：借助一元二次不等式解法计算即可得；对D：由可得，即可得. 【详解】对A：若，则，若，则， 故“”是“”的充分必要条件，故A正确； 对B：， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为9，故B错误； 对C：不等式在上恒成立， 则，即，故C正确； 对D：，故， 则，故D正确. 故选：ACD. 10. 函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象的对称轴为直线 D. 函数的单调递增区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的部分图象求出、和、的值，写出的解析式，利用图象平移得出的解析式，再逐项判断即可. 【详解】由函数的部分图象知，，且， 所以，解得，又， 所以，即，，解得，， 又，所以，所以. 将函数的图象向左平移个单位长度后， 得的图象， 所以，不满足，所以不是奇函数，A错误； 的最小正周期为，B正确； 令，解得，， 所以图象的对称轴为直线，，C错误； 令，解得，， 所以的单调递增区间为，D正确. 故选：BD. 11. 已知函数的定义域为R，函数是奇函数，且对任意实数都有，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的图像关于轴对称 B. 函数的图像关于点对称 C. 函数是最小正周期为2的周期函数 D. 若函数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用函数是奇函数得，再由题干另一条件得， 故，即为偶函数；对于B，由可知确实是关于对称， 对于C，由可知周期为；对于D，易知也是周期为4的周期函数， 且由的对称性可知，由此可判断D选项. 【详解】对于A，由函数是奇函数，则，用代换上式中的， 得，又因为对任意实数都有，即有， 也即，故，所以函数的图像关于轴对称，故A正确； 对于B，由上述分析知，即， 也即函数的图像关于对称，故B正确； 对于C，由上述分析知，用代换上式中的， 得，故是周期为4的周期函数，故C错误； 对于D，由题意知，则， 故也是周期为4的周期函数，而为满足条件的函数， 但此函数的周期为任意非零实数，故C错误. 则， 由上述分析知，所以， 所以， 故，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由大扇形面积减去小扇形面积即可得． 【详解】， 由题意可得，扇形的面积是，扇形的面积是.则扇面（曲边四边形）的面积是. 故答案为：． 13. _______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式及诱导公式计算可得. 【详解】 . 故答案为： 14. 若关于的方程恰好有四个不同的实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，即令，将化为，结合题意判断该方程解的情况，然后参变分离，结合对勾函数图象，数形结合，求解答案. 【详解】由题意可知时，，即不是该方程的解， 故令，则即为， 作出函数的图象如图示： 结合图象可知，若只有一个解， 则最多有2个解，不合题意； 故要使得恰好有四个不同的实数根， 需有2个不等正数根，且两根分别处于内， 由可得， 设，作出其图象： 当时，， 故， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查根据方程解的个数求解参数范围，综合性较强，解答本题的关键在于利用换元法，即令，将化为，即将原方程四个解转化为一元二次方程的解的问题；解答时要结合题意判断方程解的情况，然后参变分离，结合对勾函数图象，数形结合，求解答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知全集，集合，.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）已知，，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得集合是集合的真子集，即可得到不等式组，解得即可； （2）由同角的三角函数关系结合角的范围计算即可. 【详解】（1）集合，而必为非空集合， 因为是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以（等号不同时成立），解得，所以实数的取值范围为． （2）因为，两边平方得， 有，所以， 又因为，所以，则， 所以． 16. 已知. （1）若，求的值. （2）已知.求角的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系进行化简、计算. （2）利用三角函数的诱导公式、和角公式、同角三角函数的基本关系进行化简、计算. 【小问1详解】 由题知，， 因为，， 所以， 所以. 【小问2详解】 ， ，， 又，， ，. 17. 已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． （1）求的值； （2）试判断的单调性，并证明； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）由赋值法即可求解， （2）利用单调性的定义即可求证， （3）由函数的单调性，列不等式即可求解. 【小问1详解】 令，得，解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以， 解得或，即的取值范围是． 18. 已知. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求在上的值域； （3）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数的两角和公式、二倍角公式等对进行化简，得到的形式，再根据正弦函数的性质求最小正周期和单调递增区间. （2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域. （3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，再进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立且，通过换元构造函数，利用函数在给定区间上的单调性求a的取值范围. 【小问1详解】 ． 最小正周期． 令，解得． 故的增区间为. 【小问2详解】 时，，故． 即在上的值域为． 【小问3详解】 ，原不等式可化为对任意的恒成立 对任意的恒成立， 对任意的恒成立且， 记，条件可化为对任意的成立， 设，则， 设， 则， 由在上递减，上递增可得，在上递减，在上递增， 即时，， 即时，， 因此的最大值为，由题意得，故． 19. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】（1）不是“函数”， 理由如下： ， ，， 则， 故不是“函数”； （2），单调递增区间为，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【小问1详解】 不是“函数”，理由略； 【小问2详解】 函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； 【小问3详解】 由（2）知：函数在上图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $