精品解析：2025年福建省龙岩市中考数学模拟卷

2025年福建省初中毕业年级模拟考试 2025.03 初 三 数 学 （本试卷共8页，满分150分；考试时间：120分钟） 温馨提醒：所有答案必须填（涂）在答题卡的相应位置，在此卷上答题无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 2. 如图所示的机械零件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年4月，福建省作为“21世纪海上丝绸之路”核心区，成功举办中国—海丝沿线国家经贸合作洽谈会．本届洽谈会吸引了来自30多个国家和地区的企业参与，共签约经贸合作项目158个．据组委会通报，累计达成的意向成交金额约50亿美元．将数据5000000000用科学记数法表示，其结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么 ，之间的距离不可能是（　　） A. B. C. D. 5. 下列等式正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 体育老师为调查七年级学生的体质健康状况，从全校1000名七年级学生中随机抽取50名进行一分钟跳绳测试，并对数据进行整理，结果如表： 次数x （单位：次） 频数 5 12 28 5 跳绳次数不低于180次为优秀，估计七年级学生跳绳测试达到优秀的人数有（ ） A. 50 B. 100 C. 500 D. 900 7. 如图，过外一点作圆的切线，，点为切点，为直径，设，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为 ，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口A和B的距离．点D，点E分别位于测绘点C的正北和正西方向．已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距离分别为和，测绘点H，G分别为，的中点，测绘方在测绘点H测得点G在点H的南偏西的方向上，且，则隧道的长约为（ ）（参考数据：） A. 1600m B. 1300m C. 980m D. 900m 10. 已知二次函数 的图象经过点两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数k，使得 B. 无论实数k取什么值，都有 C. 可以找到一个实数 k，使得 D. 无论实数k取什么值，都有 二、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别以“正数”与“负数”来命名，若收入80元记作元，则支出90元记作______元． 12. 如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则______． 13. 某校课后服务课程有：足球，篮球，书法，舞蹈．为了解最受学生喜爱的课后服务课程，该校对初一同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息可知，该校初一学生中最喜爱足球课程的人数是___． 14. 若点在反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是m________n（用“”或“”号连接）． 15. 已知，则________． 16. 如图，在矩形 中，，点E是边上的一个动点（E不与重合），连接，过点E作，交边 于点F，给出以下结论： ①若，则平分； ②若，则； ③在点E运动的过程中，动点F可能与点A重合； ④在点E从C运动到D的过程中，逐渐增大；其中正确的是________．（写出正确结论的序号） 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：． 19. 化简代数式，然后判断它的值能否等于，并说明理由． 20. 为丰富校园生活，某校九年级开展篮球比赛活动．比赛得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分；罚球投中一球可得1分． （1）A班球队在某场比赛中，上半场共投中12个球，其中投中5个2分球，所得总分为23分，问该球队上半场比赛罚球得分是多少？ （2）A班球队预想在下半场比赛中投中12个球，若在没有罚球的情况下，且下半场所得总分不少于29分，则该班级下半场比赛中至少投中多少个3分球？ 21. 如图，是的内接三角形，E在的延长线上．给出以下三个条件：①是的直径，②是的切线，③． （1）请从上述三个条件中选两个作为已知，剩下的一个条件作为结论，组合成一个新的真命题，并给予证明； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 22. 学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段分成和 两部分，如果那么称点C为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形 是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 活动一：如图5，在中，，是边上的高．以 为边，作平行四边形，使得点E，F分别落在边上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） 活动二：在活动一的条件下，若，求证：点F是线段的黄金分割点． 23. 综合与实践 活动主题 扇面制作 活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 活动小组 甲组 乙组 制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀 制作材料 【任务一】确定弦的长度． 如图2，请你求出 所对弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． 如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为请运用表格中所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据． 【任务三】确定卡纸大小． 如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）． 24. 已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与 轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点 ，连接，， ． （1）用含k的代数式表示b； （2）求证：； （3）在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 25. 如图，在中，，， 点为边上一点，连接，过点作，交于点 ． （1）用等式表示与的数量关系，并说明原因； （2）如图2，若为中点，且，求证：， ，三点共线． （3）如图3，若在线段上截取，连接，交于点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年福建省初中毕业年级模拟考试 2025.03 初 三 数 学 （本试卷共8页，满分150分；考试时间：120分钟） 温馨提醒：所有答案必须填（涂）在答题卡的相应位置，在此卷上答题无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】2的相反数是-2. 故选：B. 2. 如图所示的机械零件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案． 【详解】从正面，可得选项D的图形． 故选：D． 3. 2024年4月，福建省作为“21世纪海上丝绸之路”核心区，成功举办中国—海丝沿线国家经贸合作洽谈会．本届洽谈会吸引了来自30多个国家和地区的企业参与，共签约经贸合作项目158个．据组委会通报，累计达成的意向成交金额约50亿美元．将数据5000000000用科学记数法表示，其结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么 ，之间的距离不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得，再计算即可得的范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， ∴A、B之间的距离不可能是， 故选：D． 5. 下列等式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂除法和幂的乘方等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；C． 6. 体育老师为调查七年级学生的体质健康状况，从全校1000名七年级学生中随机抽取50名进行一分钟跳绳测试，并对数据进行整理，结果如表： 次数x （单位：次） 频数 5 12 28 5 跳绳次数不低于180次为优秀，估计七年级学生跳绳测试达到优秀的人数有（ ） A. 50 B. 100 C. 500 D. 900 【答案】B 【解析】 【分析】用总人数乘以优秀率即可． 【详解】解：， ∴七年级学生跳绳测试达到优秀的人数有100名． 故选：B． 【点睛】本题考查了频数分布表，正确从频数分布表中获取信息是解题的关键． 7. 如图，过外一点作圆的切线，，点为切点，为直径，设，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，四边形内角和定理．连接，由切线的性质可得，由四边形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由切线的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为 ，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为 ，根据福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，据此列方程． 【详解】解：设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为 ， 根据题意得，， 故选：A． 9. 如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口A和B的距离．点D，点E分别位于测绘点C的正北和正西方向．已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距离分别为和，测绘点H，G分别为，的中点，测绘方在测绘点H测得点G在点H的南偏西的方向上，且，则隧道的长约为（ ）（参考数据：） A. 1600m B. 1300m C. 980m D. 900m 【答案】B 【解析】 【分析】先解直角三角形求出，然后根据三角形中位线定理求出，即可求解． 【详解】解：由题意知：，，，， 在中，， ∴， ∵点H，G分别为，的中点， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，三角形中位线定理等，明确题意，熟悉相关性质是解题的关键． 10. 已知二次函数 的图象经过点两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数k，使得 B. 无论实数k取什么值，都有 C. 可以找到一个实数 k，使得 D. 无论实数k取什么值，都有 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握点的坐标特征是解题的关键． 将两点代入，得到，，，再根据平方非负性进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数 的图象经过点， ∴， ∴无论实数k取什么值，都有，故B符合题意，A不符合题意； ∵，， ∴，故C不符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意， 故选：B． 二、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别以“正数”与“负数”来命名，若收入80元记作元，则支出90元记作______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正数和负数的意义，理解负数和正数是具有相反意义的量，是解题的关键，由于收入与支出是互为相反意义的量，由已知即可求解． 【详解】解：收入80元记作元，则支出90元记作， 故答案为：． 12. 如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则______． 【答案】##250度 【解析】 【分析】本题考查了三角形及四边形的内角和．熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵沿图中虚线剪去后的图形为四边形，且四边形的内角和度数为 ∴ 故答案为： 13. 某校课后服务课程有：足球，篮球，书法，舞蹈．为了解最受学生喜爱的课后服务课程，该校对初一同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息可知，该校初一学生中最喜爱足球课程的人数是___． 【答案】210 【解析】 【分析】先求解总人数,再利用总人数乘以足球所占的百分比即可. 【详解】解：总人数为：（人）， ∴该校初一学生中最喜爱足球课程的人数是（人）， 故答案为：210 【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，理解题意，再列式计算是解本题的关键. 14. 若点在反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是m________n（用“”或“”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性直接解题即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二象限内y随x的增大而增大， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的增减性，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 15. 已知，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，代数式求值，完全平方公式的运用，根据，等号左右两边同乘得到，再利用完全平方公式得到，由，代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，即， ，即， ，即， ， ， 故答案为：12． 16. 如图，在矩形 中，，点E是边上的一个动点（E不与重合），连接，过点E作，交边于点F，给出以下结论： ①若，则平分； ②若，则； ③在点E运动的过程中，动点F可能与点A重合； ④在点E从C运动到D的过程中，逐渐增大；其中正确的是________．（写出正确结论的序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】如图，延长、 交于，利用证明，得，从而证明是的垂直平分线，可知，再利用等腰三角形的性质可得结论，从而可知①正确；证明，得，，可知②正确；当点与 重合时，设，，，则，由勾股定理得，，利用根的判别式可知 不存在，从而③错误；由，得，则，可知④错误． 【详解】解：①如图，延长、 交于， 四边形 是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ， 垂直平分， ， ∵EF=EG， 平分，故①正确； ②， ， ， ， ， ，， ， ，， ，故②正确； ③当点与 重合时，设，，，则， 由勾股定理得，， 整理得，， △， ， △， 方程无解， 说明 不存在，即点与 不重合，故③错误； ④由②知，， ， ， 不变， 点 从 运动到 的过程中，逐渐减小，故④错误， 综上：正确的有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式，三角函数等知识，熟练掌握基本几何模型是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、绝对值、二次根式的性质，先计算零指数幂、绝对值、化简二次根式，再计算加减即可得解． 【详解】解： ． 18. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，利用证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】略 19. 化简代数式，然后判断它的值能否等于，并说明理由． 【答案】 ， 代数式的值不能等于，理由如下： 若，解得， 在化简代数式过程中， 作过分母，根据分式分母不能为零可知代数式的值不能等于． 【解析】 【分析】根据分式混合运算先化简，再列方程求解验证即可得到答案． 【详解】略 【点睛】本题考查分式化简求值，解分式方程，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 20. 为丰富校园生活，某校九年级开展篮球比赛活动．比赛得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分；罚球投中一球可得1分． （1）A班球队在某场比赛中，上半场共投中12个球，其中投中5个2分球，所得总分为23分，问该球队上半场比赛罚球得分是多少？ （2）A班球队预想在下半场比赛中投中12个球，若在没有罚球的情况下，且下半场所得总分不少于29分，则该班级下半场比赛中至少投中多少个3分球？ 【答案】（1）4分 （2）5个 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据题意列出相应方程或不等式是解决问题的关键． （1）A班球队上半场投中了 个3分球，则罚球投中了个1分球，由题意列出方程求解即可得到答案． （2）A班球队下半场比赛中投中个3分球，则投中个2分球，由题意列出不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A班球队上半场投中了 个3分球，则罚球投中了个1分球，根据题意得： ， 解得：， 故罚球投中了： 答：A班球队上半场比赛罚球得分是4分． 【小问2详解】 解：设A班球队下半场比赛投中个3分球，则投中个2分球，根据题意得： ， 解得：， 答：A班球队下半场比赛中至少投中5个3分球． 21. 如图，是的内接三角形，E在的延长线上．给出以下三个条件：①是的直径，②是的切线，③． （1）请从上述三个条件中选两个作为已知，剩下的一个条件作为结论，组合成一个新的真命题，并给予证明； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1） 解：选择作为条件，③作为结论： 证明：如图所示，连接， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择作为条件，②作为结论： 证明：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵； ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）选择作为条件，③作为结论：如图所示，连接，根据切线的性质和圆周角定理得到，则可得，再由等边对等角得到，由此可得； 选择作为条件，②作为结论：如图所示，连接，由圆周角定理得到，由等边对等角得到，由此即可得到，进一步得到，则是的切线； （2）证明，再由进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知切线的性质与判定条件是解题的关键． 22. 学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段分成和 两部分，如果那么称点C为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形 是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 活动一：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点E，F分别落在边上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） 活动二：在活动一的条件下，若，求证：点F是线段的黄金分割点． 【答案】 活动一：如图所示，四边形是所求作的平行四边形． 活动二：证明：∵在中，， ∴是菱形， ∴，，， ∴，， ，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴点F是线段的黄金分割点． 【解析】 【分析】活动一：作，，如图，四边形是所求作的平行四边形； 活动二：利用平行线分线段成比例定理，得到和，推出，再证明，据此求解即可得到，点F是线段的黄金分割点． 【详解】解：活动一：略 活动二：略 【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，利用相似三角形得线段比例关系是解题的关键． 23. 综合与实践 活动主题 扇面制作 活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 活动小组 甲组 乙组 制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀 制作材料 【任务一】确定弦的长度． 如图2，请你求出 所对弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． 如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为请运用表格中所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据． 【任务三】确定卡纸大小． 如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）． 【答案】任务一： 任务二：如图，是以直径为底边，底角为度，由任务一可知，，取，以O为圆心，分别以、为半径画弧，即可得到扇面．     任务三：最小规格矩形边长为、或． 【解析】 【分析】任务一：由弧所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出，即可求解， 任务二：以直径为底边，构造底角为30度的等腰三角形，则得到的三角形和任务一三角形全等，再按要求取 点，再以 为圆心，分别以、为半径画弧，得到的扇面图形与图2相同； 任务三：分两种情况：①在上取一点 使，以 为圆心，为半径的圆与相切，此时点与点重合，在圆上取一点A，使，即可得到扇面．过点 作，则矩形为最小规格矩形；②当矩形的边与相切于点M，且A、B两点分别在上，C、D在上；连接交于点N，连接；利用等腰三角形的性质，含度直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】任务一：解：过点O作，交于点， ，， ， ， ，， ， 任务二：略 任务三：分两种情况： ①如图所示：当与矩形两边相切时，过点 作，则矩形为最小规格矩形， ∵，，， ∴，，， ∵当与矩形两边相切， ∴最小规格矩形的边长为、； ②如图，当矩形的边与相切于点M，且A、B两点分别在上，C、D在上；连接交于点N，连接； 由题意知，，， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴； 同理：， ∴， 此时最小规格边长分别为； 综上，最小规格矩形边长为、或． 【点睛】本题考查了垂径定理，含角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 24. 已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与 轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点 ，连接，，． （1）用含k的代数式表示b； （2）求证：； （3）在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）； （2） 证明：由题意可知，联立， 解得， 点A坐标是， 又 点B坐标是，点C坐标是， ， 由勾股定理，得， ； （3）是，2． 【解析】 【分析】（1）令，得到，由直线与抛物线有且只有一个交点，根据根的判别式等于0，即可得到答案； （2）联立，求得点A坐标，再用喊k的代数式表示出， 的长，即得答案； （3）设直线的表达式为，将点A坐标是代入，得到，联立 ，求出点D坐标，再分别用含k的代数式表示和，即可得到答案． 【小问1详解】 令， 整理得 ， 直线与抛物线有且只有一个交点， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 点A在抛物线上运动的过程中，是定值．理由如下： 设直线的表达式为， 将点A坐标是代入， 得 ，即， 联立 ， 解得（舍去），， 点D坐标是， 又 点A坐标是，点B坐标是，点C坐标是， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与线段的综合问题，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与几何图形的面积问题，准确的字母运算是解题的关键． 25. 如图，在中，，， 点为边上一点，连接，过点作，交于点 ． （1）用等式表示与的数量关系，并说明原因； （2）如图2，若为中点，且，求证：， ，三点共线． （3）如图3，若在线段上截取，连接，交于点，求证：． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 过点 作，交的延长线与点，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴两点重合， ∴， ，三点共线； （3） 过点 作交的延长线于点， 则：， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，以及角的和差关系即可得出结论； （2）过点 作，交的延长线与点，证明，推出，证明，推出，即可得出结论； （3）过点 作交的延长线于点，证明，得到，，进而证明，得到，推出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $