精品解析：2025届青海省西宁市大通回族土族自治县高考二模数学试卷

大通县2025年普通高等学校招生考试第二次模拟考试 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若与均为实数，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等的条件，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】因为，所以，所以, 则． 故选：C． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】由得或， 所以或， 因为，所以. 故选：C. 3. 圆锥的底面半径为，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为底面半径的2倍， 因为圆锥的底面半径为a，故圆锥的母线长为2a，故圆锥的侧面积，故选A. 4. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“复合函数”的单调性的判断方法：“同加异减”，可求参数的取值范围. 【详解】因为为上的单调增函数，根据复合函数单调性可知，在区间上单调递减，故，解得． 故选：B． 5. 给定下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行 B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行 C. 垂直于同一平面的两个平面相互平行 D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，结合判定定理和性质定理，对选项进行逐一分析即可判断. 【详解】正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错误； 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行， 两直线可以相交，也可以成为异面直线，故B错误； 正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C错误 对：利用反证法简单证明如下： 若两个平面垂直，假设一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面垂直. 因为，且平面的交线， 故可得， 这与题设与不垂直相互矛盾，故假设不成立，原命题成立. 即选项正确. 故选：D． 【点睛】本题考查空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，属综合基础题. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，进而求得，结合，代入计算，即可求解. 【详解】因为，所以，且， 所以， 又因为， 由，可得， 所以． 故选：A． 7. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为，根据蒙日圆与圆只有一个公共点，结合圆与圆的位置关系，得到或，求得的值，即可得到答案. 【详解】由椭圆的方程，可得且，且蒙日圆方程为， 可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为， 又由圆的圆心为，半径为2， 因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切， 可得或， 又因为，所以或， 解得或． 故选：B． 8. 某科技兴趣小组设计了一个信号发生器，传输0，1，2信号，信号传输互不干扰，收到的信号不变的概率为，收到其他两种信号的概率均为．输入每一个信号的概率都是，输出3个信号作为一组信息单元，在输出信号为“0，2，1”的条件下，输入信号为“0，0，0”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据相互独立事件的概率乘法，结合条件概率的定义，可得答案. 【详解】设事件A为“输出信号为0，2，1”，事件B为“输入信号为0，0，0”， 则． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两名篮球运动员连续12场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（ ） 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 甲 16 18 18 11 18 20 25 19 17 18 8 28 乙 4 11 16 10 25 28 16 29 10 18 16 21 A. 甲的众数大于乙的众数 B. 甲的极差大于乙的极差 C. 甲的平均数大于乙的平均数 D. 甲的分位数大于乙的分位数 【答案】AC 【解析】 【分析】分别根据一组数据的众数，平均数计算公式，极差和百分位数定义即可一一判断. 【详解】由题意知甲的众数为18，而乙的众数为16，所以甲的众数大于乙的众数，故A正确； 甲的极差为，乙的极差为，所以甲的极差小于乙的极差，故B错误； 因为甲的平均数， 乙的平均数， 所以甲的平均数大于乙的平均数，故C正确； 甲的得分按从小到大顺序排列为：8，11，16，17，18，18，18，18，19，20，25，28，又，所以甲的分位数为19， 乙的得分按从小到大顺序排列为：4，10，10，11，16，16，16，18，21，25，28，29，又，所以乙的分位数为21，故D错误． 故选：AC． 10. 已知函，则（ ） A. 由可得必是的整数倍 B. 的图象关于点对称 C. 的表达式可改写为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】BC 【解析】 【分析】分析可得，，两式作差可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用诱导公式可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 所以，，， 上述两个等式作差得，则， 所以，必是的整数倍，A错； 对于B选项，，所以的图象关于点对称，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，， 所以，的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，D错. 故选：BC. 11. 已知函数，1为的极小值点，则（ ） A. B. 的极大值为3 C. 恰有3个零点 D. 的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】求导，根据函数极值点的情况确定的值，通过三次函数的性质的分析，可判断各选项的正确性. 【详解】因为，所以， 因为1为的极小值点，由，所以. 此时由或； 由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以的极大值点为，极大值为；的极小值. 所以，故A错误； 因为的极大值点为，极大值为，故B正确； 因为的极大值为，的极小值，所以恰有3个零点，故C正确； 因为，所以，故函数的图象关于点对称，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】分焦点在轴、轴分别求解. 【详解】当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为，则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，解得， 所以该双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为，则渐近线方程为实轴长为， 由题意得，解得， 则该双曲线的标准方程为． 综上，该双曲线的标准方程为或． 故答案为：或 13. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算和投影向量的计算方法，求解即可. 【详解】因为，所以，又， 所以向量在向量上投影向量为，故所求坐标为. 故答案：. 14. 已知，函数，若，则的最小值为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据函数在上恒成立，探索的关系，再结合基本不等式可求的最小值. 【详解】由题意可知的定义域为，令，解得；令，解得．则当时，，故，所以； 当时，，故，所以， 故，即，又， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6． 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 游泳是一种高效的锻炼方法，坚持游泳可以增强体质，提高免疫力．某游泳馆为了了解是否喜欢游泳与性别有关联，随机在某小区调查了200人，得到的数据如表所示： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男 80 40 120 女 32 48 80 合计 112 88 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢游泳与性别有关联？ （2）为分析喜欢游泳的原因，在喜欢游泳的人中采用分层抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行调查，记随机变量X为这3人中女性的人数，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为是否喜欢游泳与性别有关联 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据列联表中的数据，计算得到，结合附表，即可得到答案. （2）根据题意，求得抽取男大学生有5人，女大学生有2人，得到的所有可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 零假设为：是否喜欢游泳与性别无关联． 根据列联表中的数据，计算得到， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否喜欢游泳与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001． 【小问2详解】 由题意可知抽取的男性有人，女性有人， 随机变量X的所有可能取值为0，1，2， 且，，. 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以． 16. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）若，求的面积； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的模长关系可得，结合余弦定理可得，即可得面积； （2）由正弦定理可得，根据结合三角恒等变换运算求解. 【小问1详解】 因为，则， 且，化简得． 由余弦定理得，即，可得， 所以的面积为． 【小问2详解】 由及正弦定理得， 因为，即， 化简得，所以． 17. 已知函数，其中，. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求导代入得到斜率，再写出点斜式方程即可； （2）等价转化为在上必存在变号零点，再设新函数求导研究即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以， 所以的图象在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 当时，，定义域为， 所以， 因为在区间上存在极值， 所以在上必存在变号零点， 令，则在上必存在变号零点， 因为，所以，解得， 当时，，且在上单调递增， 又，故存在，使得， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为. 18. 设为数列的前n项和，时，，已知． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合变形给定等式，再利用构造法推理得证. （2）由（1）求出，再利用构造法求出通项公式. （3）利用错位相减法求和，再借助恒成立的不等式求出的范围即可. 【小问1详解】 当时，，即， 则，而，则， 于是时，，整理得，又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则， 因此，数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列通项公式. 【小问3详解】 由（2）知，， ， 两式相减得，， 则．不等式， 当时，为任意实数；当时，恒成立，而，因此， 所以实数的取值范围是，的最小值为. 19. 如图1，已知抛物线，O为坐标原点，点A，B是E上异于点O的两点（其中点A在第一象限），直线AB交x轴于点C，且，将平面AOC沿着x轴翻折得到三棱锥，如图2所示，且． （1）求点C的坐标； （2）求证：平面平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设直线AB的方程为，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、可得，进而求解即可； （2）在平面内过点作，垂足M，在平面内过点M作，垂足为N，连接，结合题设分析易得，结合可得平面，可得，再结合可得平面，进而求证即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 由题意知直线AB的斜率不为0且不过原点， 所以可设直线AB的方程为， 联立，得， 则，所以． 因为，所以，所以， 即，解得（舍去）， 所以直线AB的方程为，令，得，即． 【小问2详解】 证明：如图，在平面内过点作，垂足为M， 在平面内过点M作，垂足为N，连接， 因为，所以． 由折叠的性质可得， 因，所以， 所以， 所以，所以，即． 因为平面，所以平面， 因为平面，所以． 因为平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． 【小问3详解】 由（2）知平面平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，在平面内过点且垂直于轴的直线为轴， 在平面内过点且垂直于轴的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则由（1）得， 所以，， 因为，所以， 即． 由（1）得， ， 所以， 整理得，所以或（舍）． 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，所以， 又，设直线与平面所成角为， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大通县2025年普通高等学校招生考试第二次模拟考试 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若与均为实数，且，则（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 7 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 圆锥的底面半径为，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是 A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 给定下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 垂直于同一直线两条直线相互平行 B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行 C. 垂直于同一平面的两个平面相互平行 D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 6 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 某科技兴趣小组设计了一个信号发生器，传输0，1，2信号，信号传输互不干扰，收到的信号不变的概率为，收到其他两种信号的概率均为．输入每一个信号的概率都是，输出3个信号作为一组信息单元，在输出信号为“0，2，1”的条件下，输入信号为“0，0，0”的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两名篮球运动员连续12场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（ ） 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 甲 16 18 18 11 18 20 25 19 17 18 8 28 乙 4 11 16 10 25 28 16 29 10 18 16 21 A. 甲的众数大于乙的众数 B. 甲的极差大于乙的极差 C. 甲的平均数大于乙的平均数 D. 甲的分位数大于乙的分位数 10. 已知函，则（ ） A. 由可得必是的整数倍 B. 的图象关于点对称 C. 的表达式可改写为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11. 已知函数，1为的极小值点，则（ ） A. B. 的极大值为3 C. 恰有3个零点 D. 的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为_________． 13. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为_____________. 14. 已知，函数，若，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 游泳是一种高效的锻炼方法，坚持游泳可以增强体质，提高免疫力．某游泳馆为了了解是否喜欢游泳与性别有关联，随机在某小区调查了200人，得到的数据如表所示： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男 80 40 120 女 32 48 80 合计 112 88 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢游泳与性别有关联？ （2）为分析喜欢游泳的原因，在喜欢游泳的人中采用分层抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行调查，记随机变量X为这3人中女性的人数，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． 01 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）若，求的面积； （2）若，求的值． 17. 已知函数，其中，. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围. 18. 设为数列的前n项和，时，，已知． （1）证明：数列等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 19. 如图1，已知抛物线，O为坐标原点，点A，B是E上异于点O的两点（其中点A在第一象限），直线AB交x轴于点C，且，将平面AOC沿着x轴翻折得到三棱锥，如图2所示，且． （1）求点C的坐标； （2）求证：平面平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$