17.4 一元二次方程的根与系数的关系 提优训练 　2024-2025学年沪科版八年级数学下册

*17.4 一元二次方程的根与系数的关系 基础巩固提优 1.已知关于x 的一元二次方程 的一个解是x=-1，则方程的另一个解为( ). A. - 2 B. 2 C. - 3 D. 3 2.若x₁,x₂是方程. 2x--3=0的两个根,则( ). 3.若关于x 的一元二次方程. 2x+p=0两根为x₁,x₂,且 则p的值为( ). B. C. -6 D. 6 4.若α，β是方程 的两个根,则α-2αβ+β的值为 . 5.已知关于x 的一元二次方程 (1)求证：无论 m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a+b)·(a+2b)=20,求m的值. 思维拓展提优 6.已知实数m,n(m≠n)满足 则 的值为( ). A. C. 7.已知x₁,x₂是关于x 的一元二次方程 的两个实数根，且 则k= . 8. 设x₁,x₂为关于x的方程 的两根，p为实数. (1)求证: (2)当 时，求p 的最大值. 9.不解方程，根据根与系数的关系求解.已知方程 的两根为x₁,x₂.求: 10.已知关于x 的一元二次方程 (1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值； (2)若方程的两个实数根为x₁,x₂,.且(x₁- 求m 的值. 延伸探究提优 11.已知关于x 的一元二次方程x²-(m+6)x+3m+9=0的两个实数根分别为x₁,x₂. (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若 判断动点 P(m,n)是否在某定直线上，如果是，请求出这条定直线的函数解析式；如果不是，请说明理由. 12.已知x₁，x₂ 是一元二次方程 2ax+a=0的两个实数根. (1)是否存在实数a，使 成立?若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由. (2)求使 为负整数的实数a的整数值. 13.已知关于x 的一元二次方程 (p为常数)有两个不相等的实数根x₁和x₂. (1)填空: (2)求 (3)已知 求p 的值. 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 1. D [解析]设方程的另一个解为t，根据根与系数的关系得到-1+t=2,解得t=3.故选 D. 2. C [解析]由根与系数的关系，得 故选C. 3. A [解析]由根与系数的关系可得， 即 解得 故选 A. 4.8 [解析]由根与系数的关系，得α+β=-2,αβ=-5,∴α-2αβ+β=(α+β)-2αβ=(-2)-2×(-5)=-2+10=8. ∴无论 m取何值时，方程都有两个不相等的实数根. (2)∵该方程的两个实数根为a，b， ∴a+b=2m+1, ab=m²+m. 将 代入，得 整理，得 解得 ∴m的值为-2或1. ■归纳总结 本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键. 6. B [解析]∵实数m,n(m≠n)满足 ∴m,n是方程 的两根， 故选B. 归纳总结 本题考查根与系数关系以及分式的化简求值等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.本题的难点有两个：一是由已知判断出m，n是方程 的两根，二是将 mn变形，化为两根之和、两根之积的形式，便于整体代入求解. 7.±2 [解析]由一元二次方程根与系数的关系，得 ,解得k=±2. 难难点突破 本题考查了一元二次方程根与系数的关系.难点是将两根之差转化为两根之和与两根之积的形式. 8.(1)∵x₁,x₂为 的两根， ≤|2p-3|, 即 化简,得16p≤9,解得p≤ .故p 的最大值是 9.由题意，得 10.(1)根据题意,得. 解得 ∴m的最小整数值为-2. (2)由题意，得 整理，得 解得 ∴m的值为2. 11 ∴该一元二次方程总有两个实数根. (2)∵关于x 的一元二次方程 3m+9=0的两个实数根分别为x₁,x₂, 又 设P(m,n)在直线y= kx+b上,则n= km+b, ∴m+1= km+b,∴k=1,b=1, ∴点P(m,n)在定直线y=x+1上. 解后反思 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、函数图象上点的坐标特征等，灵活运用各知识点是解答本题的关键. 12.(1)存在. a=24.根据题意,得 (a-6)=24a≥0,解得a≥0. ∵a-6≠0,∴a≠6. 由根与系数的关系，得 由 得 解得a=24. 经检验，a=24是方程 的解. (2)原式 由题意，得 为负整数，a为整数，则6-a可取-1,-2,-3,-6,解得a可取7,8,9,12. 13.(1)p 1 (2)由根与系数的关系，得∵ ∵关于x的一元二次方程 (p为常数)有两个不相等的实数根x₁和x₂， 即 (3)由根与系数的关系，得 解得p=3或p=-1. 当p=3时, 当p=-1时, 舍去),∴p=3.( 解后反思本题主要考查了一元二次方程根的判别图式和根与系数的关系，熟练地掌握根与系数的关系，以及将代数式变形，使之出现两根之和、两根之积的形式是解决本题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$