精品解析：四川省成都市龙泉驿区东竞高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

东竞高中高二下期3月月考数学试题 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知数列为等差数列，，则的公差为（ ） A. 2 B. 6 C. 1 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式的变形即可得解. 【详解】根据题意，因为等差数列中，， 所以公差. 故选：B． 2. 若，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数导数公式可求，由条件列方程求. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以. 故选：A. 3. 若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等差中项与等比中项的性质求出，从而可得答案. 【详解】因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数， 所以， 所以的值为， 故选：D. 4. 质点按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点在s时的瞬时速度是（ ） A. 2 m/s B. 6 m/s C. 4 m/s D. 11 m/s 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的物理意义，即可求解. 【详解】，根据导数的物理意义可知，质点在s时的瞬时速度是. 故选：C 5. 设等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） A. 1或5 B. 5 C. 1或 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及前n项和公式，采用基本量思想进行计算即可. 【详解】由得，， 所以，即， 所以，所以或 . 故选：D. 6. 《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下面的表述：某王为夺得敌人的大象，第一天行军由旬（由旬为古印度长度单位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行军由旬到达地方城市．则最后三天共行（ ） A. 由旬 B. 由旬 C. 由旬 D. 由旬 【答案】D 【解析】 【分析】设第n天行军路程为，由条件可得数列为等差数列，根据七天一共行军由旬结合等差数列求和公式求出公差，再求前4天的路程，由此可得后三天的路程. 【详解】设第n天行军路程为，由条件可得数列为等差数列，设数列的公差为， 则有， 解得， 所以前四天共有由旬， 最后三天共行由旬． 故选：D. 7. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项与等差数列前项和得出，，即可代入已知得出答案. 【详解】由等差数列的性质可得： ，， 则，即， ， 故选：C. 8. 已知数列的首项，对任意，都有，则当时， (　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令得到，故数列是等比数列， ， 故答案为：A． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断. 【详解】依题，，解得故A错误，B正确； 则，，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前6项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】确定数列的所有正数项判断A；举例说明判断B；利用等差数列性质计算判断C；利用等差数列前n项和公式及性质推理判断D. 【详解】对于A，由，令，解得，令，解得， 又，则，，数列单调递减，数列前项的和最大，A正确； 对于B，当，时，等比数列也是递减数列，B错误； 对于C，，由，得，C正确； 对于D，若为等差数列，则，则， （为常数），因此数列是等差数列，D正确． 故选：ACD 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出数列的前几项，可得数列中从第4项起以4，2，1循环，然后一一分析判断即可. 【详解】因为数列满足，， 所以 ， 所以， 所以AB正确，C错误， 因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而， 所以，所以D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线，若上一点到一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为_____________. 【答案】13 【解析】 【分析】根据双曲线定义求解. 【详解】由双曲线，得，设其左、右焦点分别为， 则由双曲线的定义得，， 不妨设，则有(舍去)或， 故P到另一个焦点的距离为13. 故答案为：13. 13. 已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，成等比数列以及列出关于的方程，解出，再根据计算答案即可 【详解】因为，，成等比数列 ，即 解得 或（舍） 故答案为： 14. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是_______，五边形数所构成的数列的通项公式为_______． 【答案】 ①. 25 ②. 【解析】 【分析】根据正方形数的前4项特征，即可求解第5项；根据五边形数的特征，列式递推公式，利用累加法，即可求通项公式. 【详解】正方形数所构成数列的第5项是， 五边形数所构成数列满足，，，，， 所以，， 累加可得，当时成立， 所以. 故答案为：25； 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列为等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得等差数列的首项和公差，从而求得. （2）由以及等差数列的单调性求得数列前项和的最大值． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由，解得， 而，数列是单调递减数列， 所以等差数列的前项为正数，从第项起为负数， 所以时，数列前项和的最大值为. 16. 如图，正四棱柱中，为的中点，，. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 因为，即， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法证明即可； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为，则，取， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 设数列的前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和等比数列的基本量法求出通项即可； （2）由错位相减法求和即可. 【小问1详解】 当时，； 当时，即， 而，故，， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以经验证满足通项，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则， ， 两式做差可得， 所以. 18. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式和前项和； （3）记，求数列的前项和，并证明. 【答案】（1）证明如下： 因为数列满足， 可得，又因为，可得， 从而可得 ，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）； （3）；证明如下： 由（2）知：，可得， 所以， 所以， 当时，易知关于是单调递增数列， 当时，取得最小值，最小值为， 又因为，可得，所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，即可得证； （2）由（1），得到，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解； （3）由（2），求得，得到，结合裂项法求和，求得，进而证得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，数列是首项为，公比为的等比数列， 可得，所以， 则数列的前项和为. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的上顶点为，离心率为是椭圆上不与点重合的两点，且. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 如图，当直线的倾斜角为时，显然不合题意； 设直线的方程为：. 联立消去得. ，即. . ， 又， ， ， 即， ，解得或（舍）. 直线的方程为：，即直线过定点. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到的方程组，求解即得； （2）设直线的方程为：，联立椭圆方程，由韦达定理，结合，即可求得的值，从而得解； （3）由弦长公式，结合三角形面积公式及函数单调性即可求解. 【小问1详解】 依题意有解得， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 点到直线的距离， ， 的面积 令，则， ， 因函数在上单调递减；在上单调递增， 所以当时，取得最小值为，即， 故， 即面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：（2）题的关键在于根据，利用向量点乘和韦达定理配合，推理得到，有一定的运算量；（3）题的关键在于利用弦长公式和面积公式求得的表达式后，需要换元，将问题转化成利用对勾函数单调性求解的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东竞高中高二下期3月月考数学试题 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知数列为等差数列，，则的公差为（ ） A. 2 B. 6 C. 1 D. 14 2. 若，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 质点按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点在s时的瞬时速度是（ ） A. 2 m/s B. 6 m/s C. 4 m/s D. 11 m/s 5. 设等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） A. 1或5 B. 5 C. 1或 D. 5或 6. 《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下面的表述：某王为夺得敌人的大象，第一天行军由旬（由旬为古印度长度单位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行军由旬到达地方城市．则最后三天共行（ ） A. 由旬 B. 由旬 C. 由旬 D. 由旬 7. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知数列的首项，对任意，都有，则当时， (　　) A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前6项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线，若上一点到一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为_____________. 13. 已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________． 14. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是_______，五边形数所构成的数列的通项公式为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列为等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和的最大值． 16. 如图，正四棱柱中，为的中点，，. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 设数列的前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求. 18. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式和前项和； （3）记，求数列的前项和，并证明. 19. 已知椭圆的上顶点为，离心率为是椭圆上不与点重合的两点，且. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $