精品解析：广东佛山顺德区2026-2027学年高三上学期第一次模拟数学试题

高三数学 共4页，19小题，满分150分，用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. i是虚数单位，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 5. 在的展开式中，含项的系数为，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有五个不同的零点，，，，，其中且，记集合，则的元素个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 过点作圆：的切线，则的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有几盏灯．现将该塔各层的灯数按从上到下的顺序依次记为数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 设，则数列的前7项和 C. 从数列中任意取出不同的三项，这三项可能构成等差数列 D. 从该塔中随机抽取两层，使得这两层灯数之积大于1000的取法有9种 11. 已知点，分别为双曲线：的左右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 直线，的倾斜角互余 C. 以线段为直径的圆过的顶点 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题第一空2分，第二空3分． 12. 已知数列，均为等差数列，且，，则_____． 13. 直线与曲线相切，则_____． 14. 如图所示，在六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱、、、均垂直于底面，且，现需用一个平面将该六面体截成两部分，并重新拼接成一个新的三棱柱，则所拼成的新三棱柱中，最小的表面积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，所对的边，，成等差数列，且． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 16. 某医院为了了解甲、乙两种疗法对某种疾病的治疗效果，采用简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：接受甲种疗法的病人共有人，其中治愈了人；接受乙种疗法的病人也是人，其中治愈了人． （1）请根据上述信息完成如下列联表； 疗法 疗效 合计 治愈 未治愈 甲 乙 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，分析甲、乙两种治疗方案对疗效是否有影响； （3）按分层抽样的方法，在所有治愈的病人中抽出人，再从这人中随机抽出人．设这人中使用了甲种治疗方法的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：， 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，且平面平面．点为的中点，点，分别为线段，上的动点． （1）当点为的中点时，求证：平面平面； （2）求的最小值； （3）当取到最小值时，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）讨论函数的零点个数． 19. 已知椭圆：的上下顶点分别为，，右焦点的坐标为．点是椭圆上位于第一象限或正半轴上的动点，设直线，的斜率为，，且． （1）求椭圆的方程； （2）过点作圆的切线交椭圆于点（点位于点的下方）． （ⅰ）求线段的最大值； （ⅱ）设直线的斜率为，请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 共4页，19小题，满分150分，用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. i是虚数单位，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法求解，再根据共轭复数的概念求解即可. 【详解】，共轭复数为. 故选：B 2. 已知向量，，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以， 所以. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】，则． 4. 已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义结合中点坐标公式，由中点到轴的距离推导弦长的值. 【详解】首先抛物线满足，即，因此焦点为，准线方程为. 设，，线段的中点为，由题意得到轴的距离为3，故. 根据抛物线的定义可得：，, 弦长， 由中点坐标公式得，即，代入得. 5. 在的展开式中，含项的系数为，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【详解】由题意：. 6. 已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出内层函数在的取值范围，结合正弦函数的单调区间列不等式求解的范围。  【详解】令，由可知是关于的单调递增函数. 当时，代入得, 函数在上单调，等价于在上单调, 正弦函数的单调递增区间为，单调递减区间为, 由于且左端点为，不属于任何单调递减区间， 因此必须完全包含于时的单调递增区间，即, 结合，解得, 即. 7. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】圆台有内切球， 母线长， 求圆台的高， 圆台的体积公式， 代入，，， 即. 8. 已知函数有五个不同的零点，，，，，其中且，记集合，则的元素个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义，分析函数零点的性质，将不同函数零点用一个函数零点表示，进而分析出集合中有多少种不同的元素，即可求解. 【详解】如果是函数的零点，即， 那么用代换可得，， 即也是函数的一个零点， 而因为零点共有五个，因此必有一个零点满足，即必为函数的一个零点， 根据零点的大小关系，， 故剩下的四个零点必然互为倒数，即，， 而因为，因此联立，得，，，， 根据条件集合中的元素可能包括，，，，，，，，，， 根据集合的性质，集合中共有7个不同的元素. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 过点作圆：的切线，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先判断点在圆外，分斜率不存在、斜率存在两种情况设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径求解切线. 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时：直线，过，圆心距，切线：； 当斜率存在时，设，即. 由圆心到切线距离等于半径：，两边平方： ，整理得. 代入得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 10. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有几盏灯．现将该塔各层的灯数按从上到下的顺序依次记为数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 设，则数列的前7项和 C. 从数列中任意取出不同的三项，这三项可能构成等差数列 D. 从该塔中随机抽取两层，使得这两层灯数之积大于1000的取法有9种 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意得，是等比数列，公比，项数，前7项和， 等比数列求和公式：， 解得，故A正确； ，是等差数列， ，，， 即，故B正确； 是等比递增数列，公比， 假设存在三项，，成等差数列，则， ，化简：， 右边是奇数加偶数，结果为奇数；左边是2的整数次幂，大于1必为偶数，矛盾， 故C错误； 求两层灯数乘积的组合， 数列；，各项：3，6，12，24，48，96，192， 若两项中有一个为：，，， ，，，有5种； 两项中有一个为：：，，，，有3种； 两项中有一个为：：，有1种； 合计9种，故D正确. 11. 已知点，分别为双曲线：的左右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 直线，的倾斜角互余 C. 以线段为直径的圆过的顶点 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过等轴双曲线的性质，结合直线方程、斜率、圆的几何特征、距离范围求解等知识点，通过设双曲线上动点的坐标，结合双曲线方程逐一验证各选项即可. 【详解】 根据题意，如图所示： 对于A，双曲线的标准形式为，为等轴双曲线，，，离心率，故A正确； 对于B，设，满足，，，则， 若均为负，对应倾斜角均为钝角，不满足互余，故B错误； 对于C，直线的方程为，令得，所以直线的斜率， ，故，即在以为直径的圆上，故C正确； 对于D，直线的方程为，令得，则， 由得，故，即，取值范围为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题第一空2分，第二空3分． 12. 已知数列，均为等差数列，且，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的等差中项性质，将两个已知等式相加，整体转化为所求式的倍数关系求解. 【详解】设等差数列的公差为，等差数列的公差为，其中. 根据等差数列的等差中项性质：对于任意等差数列，若，则. 将已知两个等式相加，可得： ， 又，. 所以 ，所以. 13. 直线与曲线相切，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，先求出切点横坐标，再确定切点坐标，代入直线方程即可求得的值. 【详解】直线的斜率， 曲线的定义域为，对其求导得：. 令，即，解得，满足， 将代入曲线方程，得，即切点坐标为. 由于切点在切线上，将代入直线方程，得，解得. 14. 如图所示，在六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱、、、均垂直于底面，且，现需用一个平面将该六面体截成两部分，并重新拼接成一个新的三棱柱，则所拼成的新三棱柱中，最小的表面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体特征分析拼接成三棱柱的方法，通过拼接后三棱柱的表面积计算公式计算不同情况的表面积，通过比较即可求解得到表面积的最小值. 【详解】通过分析有四种分割方法，其中，均为所在边中点， 按照不同方式分割后，以平面为例，有如下三种不同的拼接方式 若按第一种方式进行拼接，拼接后的三棱柱的底面是4,4为边长的等腰直角三角形，高为， 因此对应的三棱柱的底面积为， 侧面面积为， 故表面积为. 若按第二种方式拼接，拼接后的三棱柱的底面是以5为腰长，以6为底的等腰三角形，高为， 因此对应的三棱柱的底面积为， 侧面面积为， 故表面积为， 若按照第三种方式拼接，拼接后的三棱柱的底面积为24，高为4， 侧面积为， 故表面积最小为88. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，所对的边，，成等差数列，且． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用等差数列性质、正弦定理得到三边的比例关系，再由余弦定理求角； （2）根据向量数量积运算求的值，结合三边比例求出各边长，进而得到三角形周长. 【小问1详解】 因为边成等差数列，所以 . 由正弦定理（为外接圆半径），对角化边得：. 联立，解得，，即. 设，，（）， 由余弦定理： . 因为 ，所以. 【小问2详解】 由平面向量数量积的定义，. 代入，得：，解得. 由（1）知，，故，解得（边长为正，舍去负根）. 则，. 所以的周长为. 16. 某医院为了了解甲、乙两种疗法对某种疾病的治疗效果，采用简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：接受甲种疗法的病人共有人，其中治愈了人；接受乙种疗法的病人也是人，其中治愈了人． （1）请根据上述信息完成如下列联表； 疗法 疗效 合计 治愈 未治愈 甲 乙 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，分析甲、乙两种治疗方案对疗效是否有影响； （3）按分层抽样的方法，在所有治愈的病人中抽出人，再从这人中随机抽出人．设这人中使用了甲种治疗方法的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：， 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） 疗法 治愈 未治愈 合计 甲 乙 合计 （2） 依据小概率值的独立性检验，认为甲、乙两种治疗方案对疗效没有显著影响 （3） 的分布列为： 数学期望 【解析】 【分析】（1）根据题干样本数据补全列联表； （2）根据题意，代入卡方公式计算统计量完成独立性检验即可； （3）根据题意，结合分层抽样规则确定超几何分布参数即可求解. 【小问1详解】 已知接受甲疗法共人，治愈人，故甲未治愈人数为； 接受乙疗法共人，治愈人，故乙未治愈人数为； 治愈总人数为，未治愈总人数为，总样本量为， 填入表格即得下述列联表： 疗法 治愈 未治愈 合计 甲 乙 合计 【小问2详解】提出零假设：甲、乙两种治疗方案与疗效无关联，即两种方案对疗效无影响， 计算卡方统计量：令，代入公式得 ， 对比临界值：对应的临界值为，由于，没有充分证据拒绝， 因此认为甲、乙两种治疗方案对疗效没有显著影响. 【小问3详解】 根据题意，分层抽样的抽样比为，故抽取的名治愈病人中，甲疗法的人数为，乙疗法的人数为， 所以服从参数的超几何分布，可能取值为，且， 计算得， 因此 ，， ，， 所以的分布列为： 由超几何分布期望公式得. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，且平面平面．点为的中点，点，分别为线段，上的动点． （1）当点为的中点时，求证：平面平面； （2）求的最小值； （3）当取到最小值时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）取中点，连接. 由，得，. 又因为平面平面，且，平面平面， 所以平面，面，所以. 又因为分别是的中点，所以. 因为四边形为正方形，所以，因此. 以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，如图： 则各点坐标为： ，. 当为中点时，由中点坐标公式得. 平面内的向量，，设平面的法向量， 则，，令，则，. 平面内的向量，， 设平面的法向量为， 则，，令，，. 因为，所以，因此平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，由面面垂直的性质可得平面，进而建立空间直角坐标系，用向量方法证明面面垂直可得； （2）分别设（），，，进而可得，再通过两次放缩可得最小值； （3）由（2）可知取到最小值时，与重合，再用向量方法计算面面夹角的余弦值可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在上，设（）， 同理在上，，设，， 所以，得. 所以，， 因为，所以， 即时，此时分别为的中点，，即. 因此的最小值为. 【小问3详解】 由（2）知当取最小值时，，此时分别为的中点，所以与重合. 平面是的坐标平面，其一个法向量为. 平面即为平面，，， 设平面的一个法向量为， 则，，令，则，. 设平面与平面夹角为，， 则. 因此平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）讨论函数的零点个数． 【答案】（1）的极小值为，无极大值； （2）时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在R上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减. （3）或或时，有2个零点； 时，有1个零点； 或时，有3个零点； 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数的极值点情况，进而得到极值情况； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，分类讨论，求出函数单调性； （3）先得到2为的一个零点，在（2）的基础上进行分类讨论，得到函数的零点个数. 【小问1详解】 时，，定义域为， ， 令得， 令得，则在上单调递增， 令得，则在上单调递减 所以为函数的极小值点，且， 所以的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 ，定义域为， ， 当时，恒成立，令得，令得， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，， 故的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令得或，令得， 此时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，令得或，令得， 此时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 ， 显然，故2为的一个零点， 由（2）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 恒成立，当趋向于时，趋向于， 由零点存在性定理可得上，存在一个零点， 故有2个零点； 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， ，， 故2为的唯一零点； 时，在上单调递增，，故有1个零点； 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， ，当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于， 若，即时，共有2个零点，分别为1和2； 若，即时，共有1个零点，即2； 若，即时，若，即时，共有2个零点， 其中一个零点为2，另一个零点位于上， 若，即时，在和上分别有1个零点， 又2也是零点，故共有3个零点； 若，即时，在和上分别有1个零点， 又2也是零点，故共有3个零点； 综上，或或时，有2个零点； 时，有1个零点； 或时，有3个零点； 19. 已知椭圆：的上下顶点分别为，，右焦点的坐标为．点是椭圆上位于第一象限或正半轴上的动点，设直线，的斜率为，，且． （1）求椭圆的方程； （2）过点作圆的切线交椭圆于点（点位于点的下方）． （ⅰ）求线段的最大值； （ⅱ）设直线的斜率为，请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆性质、直线斜率公式及已知的值，结合联立方程求解，. （2）（ⅰ）利用切线性质得直线参数约束，联立切线与椭圆方程得弦长表达式，结合的范围即可求最值. （ⅱ）联立切线与椭圆方程，结合斜率公式和韦达定理化简等式，得到，再结合即可求解. 【小问1详解】 由椭圆性质可得：上下顶点为、，右焦点为， 故，设椭圆上动点，所以，即， 根据直线斜率公式可得：​，，则， 将代入可得：，进一步化简可得： ，又因为，所以，由可得： ，解得，因此椭圆方程为. 【小问2详解】 （i）设点，由题意可知， 设直线的方程为，因为直线与圆相切， 可得：，即， 联立直线与椭圆方程消去得：， 故， 由弦长公式 代入韦达定理得： 平方得， 令得 此时， 此时， 当切线斜率不存在时，切线方程为，代入椭圆方程可得： ，化简可得：，即， 取上交点，下交点， 则，综上可得取得最大值：.​​ （ii）根据斜率的定义可得： ， 其中， 又，结合几何意义可得， 又，代入可得：， 化简可得：，又， 所以是个定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $