精品解析：广东省珠海市香洲区立才学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期初二年级期中考试 （数学）试卷 说明：1.全卷共4页，考试时间120分钟，满分为120分. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、 班级、座位号.用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑. 3.用黑色字迹的钢笔或签字笔答题，答案按答题要求写在答题卷上. 一、选择题（本大题10小题,每小题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A B. C. D. 2. 如图，在中，点D在的延长线上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 关于x轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 内角和为720°的多边形是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点A，B间的距离，可延长AO至C，使CO=AO，延长BO至D，使DO=BO，则△COD≌△AOB，从而通过测量CD就可测得A，B间的距离，其全等的根据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 7. 如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 8. 由下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线，交边于点D．则的度数为（    ） A. B. C. D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 三个角都相等的三角形是等边三角形 B. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 等腰三角形的中线就是角平分线 二、填空题（本大题6小题,每小题3分，共18分） 11. 平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的_________． 12. 如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是______． 13. 如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为 _____． 14. 如图，B处在A处南偏西55°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，，∠C的度数为_______． 15. 如图，在中，，，垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于______． 16. 已知等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是_________． 三、解答题（一）（本大题3小题,每小题7分，共21分） 17. （1）计算：． （2）如图，平分，且，求证：为等腰三角形．请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 证明：， （ ）① 平分 （ ）② （ ）③ 为等腰三角形． 18. 一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数． 19. 如图，点D、E在的边上，，求证：． 四、解答题（二）（本大题3小题,每小题9分，共27分） 20. 如图，已知等腰三角形中，，． （1）利用直尺、圆规，求作的垂直平分线，交于点、交于点（不要求写出作法，但要求保留作图痕迹）； （2）连接，求证：是等腰三角形． 21. 如图，已知，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求面积． 22. 如图． （1）在网格中画出关于轴对称的． （2）写出关于轴对称的的各顶点坐标． （3）在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 五、解答题（三）（本大题2小题,每小题12分，共24分） 23. 如图，在长方形 中，，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点运动，设点的运动时间为秒： （1）______．（用 的代数式表示） （2）当 为何值时，? （3）当点 从点开始运动，同时，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，是否存在这样 的值，使得 与 全等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，若交轴于点，交轴于点，是上一点，且，连接，求证； （3）如图3，若点不动，点在轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期初二年级期中考试 （数学）试卷 说明：1.全卷共4页，考试时间120分钟，满分为120分. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、 班级、座位号.用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑. 3.用黑色字迹的钢笔或签字笔答题，答案按答题要求写在答题卷上. 一、选择题（本大题10小题,每小题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 如图，在中，点D在的延长线上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义，由图可知，是的外角，根据即可求出答案． 【详解】∵，， ∴． 故选：C． 3. 关于x轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：∵， ∴点P关于x轴对称的点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了点坐标与轴对称变化，熟练掌握点坐标关于x轴对称的变换规律是解题关键． 4. 内角和为720°的多边形是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形内角和的计算方法（n﹣2）•180°，即可求出边数． 【详解】解：依题意有（n﹣2）•180°＝720°， 解得n＝6， 该多边形为六边形， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和是解题关键． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能计算，故错误，不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意， C、，计算正确，故符合题意， D、，原计算错误，故不符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方是解题的关键． 6. 如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点A，B间的距离，可延长AO至C，使CO=AO，延长BO至D，使DO=BO，则△COD≌△AOB，从而通过测量CD就可测得A，B间的距离，其全等的根据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】A 【解析】 【详解】解：在△COD和△AOB中，， ∴△COD≌△AOB（SAS）， 故选：A． 7. 如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质和平行线的性质，先由等边对等角和三角形内角和定理求出，再由平行线的性质得到，则可由折叠的性质得，再根据平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 8. 由下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形的内角和定理，结合有一个角是90度的三角形时直角三角形，进行判断即可． 【详解】解：A、，故是直角三角形，不符合题意； B、，故不是直角三角形，符合题意； C、，，则：，故是直角三角形，不符合题意； D、，则：，故是直角三角形，不符合题意； 故选D． 9. 如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线，交边于点D．则度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关键． 由作图方法可得是的角平分线，进而根据，求得，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 下列说法错误的是（ ） A. 三个角都相等的三角形是等边三角形 B. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 等腰三角形的中线就是角平分线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，说法正确，不符合题意； B、角的平分线上的点到角的两边的距离相等，说法正确，不符合题意； C、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，说法正确，不符合题意； D、等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线，原说法错误，符合题意； 故选D． 二、填空题（本大题6小题,每小题3分，共18分） 11. 平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的_________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 12. 如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据题目中的条件和各个选项中的条件，可以写出用“”判断的依据 【详解】解：，， 当添加条件时，， 故答案为：． 13. 如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，在和中，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 14. 如图，B处在A处的南偏西55°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，，∠C的度数为_______． 【答案】##85度 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查与方向角有关的计算，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点，正确的计算，是解题的关键． 15. 如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键．连接，先求出，根据线段垂直平分线性质得，求出，进而得，由此得，据此可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵中，，， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知等腰三角形一个内角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】分这个内角是顶角和底角两种情况，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当这个内角是顶角时，则顶角的度数是， 当这个内角是底角时，则顶角的度数是， 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是． 三、解答题（一）（本大题3小题,每小题7分，共21分） 17. （1）计算：． （2）如图，平分，且，求证：为等腰三角形．请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 证明：， （ ）① 平分 （ ）② （ ）③ 为等腰三角形． 【答案】（1）；（2）①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③等角对等边 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，等腰三角形的判定，熟练掌握相关运算法则，等角对等边，是解题的关键： （1）先进行单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方运算，再合并同类项即可； （2）根据平行线的性质，等量代换，等角对等边，进行作答即可． 【详解】解：（1）． ． （2）证明：， （两直线平行，内错角相等） 平分 （等量代换） （等角对等边） 为等腰三角形． 18. 一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数． 【答案】边数为，一个外角为 【解析】 【分析】设这个多边形边数是，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设这个多边形边数是，根据题意得， ， 解得：， ∴这个正多边形的边数为， 则一个外角的度数为． 【点睛】本题考查了多边形内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的内角度公式是解题的关键． 19. 如图，点D、E在的边上，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A作C于P，利用三线合一得到P为及的中点，再根据线段之间的关系即可得证． 【详解】证明：如图，过点A作C于P． ∵ ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（二）（本大题3小题,每小题9分，共27分） 20. 如图，已知等腰三角形中，，． （1）利用直尺、圆规，求作的垂直平分线，交于点、交于点（不要求写出作法，但要求保留作图痕迹）； （2）连接，求证：是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质可得，则．结合等腰三角形的性质可得，则，进而可得， ，即，则等腰三角形． 本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 【小问2详解】 证明：直线为线段的垂直平分线， ， ． ，， ， ． ，， 即， 是等腰三角形． 21. 如图，已知，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】（1）可证点D在的垂直平分线上，再证，从而可证点A在的垂直平分线上，即可得证； （2）由即可求解． 【小问1详解】 证明：平分且，， ，，， 点D在的垂直平分线上， 在和中， ， （）， ， 点A在的垂直平分线上， 垂直平分； 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 22. 如图． （1）在网格中画出关于轴对称的． （2）写出关于轴对称的的各顶点坐标． （3）在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2），， （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，对称最短路径的作图方法，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）先确定点的位置，然后连接各点即可求解； （2）根据题意，分别写出点的坐标，再根据点关于轴对称的点的特点，即可求出的坐标； （3）根据对称求最短路径的方法即可求解． 小问1详解】 解：根据题意得，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变， ∴，，，如图所示，连接， ∴即为所求图形． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴，，． 【小问3详解】 解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，则与轴交于点， ∴根据对称可得，， ∴， ∵点两点之间线段最短， ∴最短，即的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求点的位置． 五、解答题（三）（本大题2小题,每小题12分，共24分） 23. 如图，在长方形 中，，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点运动，设点的运动时间为秒： （1）______．（用 的代数式表示） （2）当 为何值时，? （3）当点 从点开始运动，同时，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，是否存在这样 的值，使得 与 全等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当秒或秒时和全等 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据题意写出表达式即可； （2）根据题意得出当时，，据此计算出即可； （3）分情况根据三角形全等得出的值即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ， 在和中， ， ； ∴， 【小问3详解】 解：①当，时，， ， ， ， 即， 解得； ②当，时，， ， ， ， 解得， ， 即， 解得； 综上所述，当秒或秒时和全等． 24. 在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，若交轴于点，交轴于点，是上一点，且，连接，求证； （3）如图3，若点不动，点在轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度． 【答案】（1） （2）见解析 （3）不变， 【解析】 【分析】（1）过作轴于，先证，得，，则，即可得出答案； （2）过作交轴于，先证，得，，再证，得，进而得出结论； （3）过作轴于，先证，得，，再证，得即可． 【小问1详解】 解：如图1， ， 过作轴于， 则， ∵点，点， ∴，， ∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 证明：如图2， ， 过作交轴于， 则， 由（1）得：，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的长度不变化，，理由如下： 如图3， ， 过作轴于， 则， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$