重难点04 新题型之画图、尺规作图问题(9大题型+高分技法+限时提升练)-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练(上海专用)

重难点04 新题型之画图、尺规作图问题 在2024年上海市初中学业水平考试数学科目中，第22题以解直角三角形为载体的几何综合题型呈现出显著的创新特征。该试题在保持传统几何核心素养考查的基础上，深度融入动态几何与空间想象元素，尤其第三问对学生的几何构图能力、数学建模思维及数形转化能力提出了更高要求。从考试数据反馈来看，该问的得分率明显低于前两问，凸显出其作为区分性试题的选拔功能。 通过对2025年上海市各区中考一模试题的系统性分析发现，几何画图与动态几何问题仍为重要命题方向，部分区域试题在图形变换、尺规作图等领域进行了拓展性考查，延续了中考改革中对学生实践操作能力与空间观念的培育导向。基于此，本专题系统梳理近两年上海市中考试题、各区模拟试题及全国教育发达地区2025年的最新模拟典型范例，通过问题链设计、解题策略解构及变式训练等环节，构建起完整的几何综合能力培养体系。专题内容不仅聚焦知识的深度整合，更注重解题思维的可视化引导，旨在帮助学生突破知识迁移与应用瓶颈，有效提升在复杂几何情境下的问题解决能力。 题型一 作角平分线(尺规作图) 作角平分线尺规作图的几种方法 方法一： 1. 以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D。 2.以点C、D为圆心，大于二分之一CD长为半径作弧，两弧交于点M。 3.作射线OM，则OM即为∠AOB的平分线。 方法二： 1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D。 2.再以点O为圆心，大于OC为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F。 3.分别连接CF、DE，交于点M，作射线OM，则OM即为∠AOB的平分线。 方法三： 1.在∠AOB的边OA上任取一点C。 2.尺规作图作∠ACN=∠AOB。 3.在CN上截取CM=OC，则射线OM为∠AOB的平分线。 在尺规作图过程中，需注意保留作图痕迹，确保作图步骤清晰明了。同时，熟练掌握多种作图方法，可以灵活应对不同的作图需求，提高作图效率和准确性。 典例1（2025·上海杨浦·一模）为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 1-1尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线． 小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？ 小外：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分． (1)按照小温的说法，在图中用尺规作的角平分线． (2)小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明． 1-2（1）已知线段OM，，，用尺规作满足条件的点 （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得为等边三角形，请提供两种不同的作法． 1-3（2025·广西南宁模拟）【情境】中考尺规作图的专题复习课上，老师让同学们按要求作图： 在中，作的角平分线. 小南说：“这简单！我学过用尺规作图作角平分线的方法，我来试试。” 小宁说：“我还有别的方法可以实现作的角平分线！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分.” (1)按照小南的方法，在图中用尺规作的平分线； (2)小宁按照自己的方法作出了的角平分线，如图2所示，请你判断小宁的做法是否正确？若正确，请说明理由. 1-4（2025·广东深圳模拟）如图（a），在中，． (1)【实践与操作】在图（a）的基础上，请利用尺规，用2种方法作四边形是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)【推理与计算】在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 题型二 作垂线、线段垂直平分线(尺规作图) 作线段垂直平分线的方法 （1）确定线段的两个端点A和B。 （2）使用圆规以A为圆心，AB长度为半径画弧；以B为圆心，AB长度为半径画弧。两弧的交点记为C。 （3）连接AC和BC，线段AC和BC即为线段AB的垂直平分线。 在作图过程中，保持工具使用准确，作图步骤清晰，可以确保得到高分。 典例2 如图所示，已知，用尺规在线段上确定一点，使得，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 2-1某市三个城镇中心，，恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆．    解决问题： (1)以城镇为出发点，设计了两种连接方案： 如图，为中点)； 如图，为三边的垂直平分线的交点)； 请通过计算说明要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？ (2)尺规作图： 请在备用图中用尺规作图画出（）中你所选择的方案的图形（保留作图痕迹，不写作法）． 2-2（2025·兰州一模）综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 2-3（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日  晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质．基本思路如下： 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点E，使，连接四边形是平行四边形（依据）→四边形是矩形→矩形的对角线相等→结论． 今天我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢?小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点作边的垂线，垂足为D． ∵， ∴． 又∵， ∴． …… 任务： (1)解题思路中“依据”处应填_________；利用尺规在图3中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)补全小颖的证明过程 (3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给出解题思路． 题型三 三角形全等问题 典例3 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 方法如下： 一、老师让同学们以小组为单位讨论利用尺规作的平分线的方法． 第一小组展示了学习过的作法：如图1，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，即为 的平分线．第一小组证明过程如下： 连接，，由作图可知，，又∵，（依据），，平分． 第二小组展示了他们的作法：如图 2，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点C、D；再以点O为圆心，任意不等于的长为半径作弧，分别交、于点E、F；连接，，交于点P，作射线，则为的平分线．第二小组证明过程如下： 由作图可知：，，又，∴， ，…… 完成下列任务： (1)第一小组证明过程中的“依据”是指______， (2)将第二小组的证明过程补充完整． 3-1 阅读下列材料，完成相应任务． 面径定义：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”． 例如，如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，它的任意一条直径都是它的“面径”． 操作实验：如图2，在中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条面径． 在图2中，请你用无刻度的直尺画出的一条面径（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）； 深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条面径呢？ 情形1：特例研究 已知等边三角形的边长为2， 当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，它的“面径”长是_________． 当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是_________． 情形2：一般研究 ①当面径经过三角形的一个顶点时． 已知：如图3，已知． 求作：直线m，使直线m经过点F且平分的面积． 小雨的想法是：直线m交于点G，与的底，在同一直线上，高相同，若面积相等，则．请在图3中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）； ②当面径不经过三角形的顶点时． 已知：如图4，已知． 求作：直线m，使直线m平分的面积． 小雨的想法是：若直线m交，于M，N两点，使直线m平分的面积，则．只需，且相似比为．请在图4中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法、指出所求） 题型四 平行四边形问题 线段垂直平分线的性质： 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。反过来，与线段两个端点距离相等的点也在这条线段的垂直平分线上。 注意：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。 证明四边形是平行四边形的主要的判定方法： 一、从边的角度 1 两组对边分别平行：如果一个四边形的两组对边分别平行，则该四边形是平行四边形。 2 两组对边分别相等：如果一个四边形的两组对边分别相等，则该四边形是平行四边形。 3 一组对边平行且相等：如果一个四边形的一组对边平行且相等，则该四边形是平行四边形。二、从对角线的角度 对角线互相平分：如果一个四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形。 三、从角的角度 两组对角分别相等：如果一个四边形的两组对角分别相等，则该四边形是平行四边形。 典例4 如图，小明以的两边和为邻边，用尺规作一个平行四边形．小明的做法是：先用尺规作的垂直平分线，垂足为；过点，作射线，在射线上截取．连接，．在小明的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分 C．两组对边分别相等 D．一组对边平行且相等 4-1（2024·浙江中考）尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明； (2)指出小丽作法中存在的问题． 题型五 特殊的平行四边形（矩形问题） 矩形的判定方法： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 4.在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。 5.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 典例5 （2024·上海中考）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 5-1（2025·陕西一模）如图，直线，点在直线上，请利用尺规在直线上作点，点在点的左侧，连接，使得四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 题型六 特殊的平行四边形（菱形问题） 菱形的判定方法： 1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3. 四条边都相等的四边形是菱形。 4. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 典例6（2024·上海松江·二模）一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”． (1)如图所示的四边形是一个“精致四边形”，其中，．试写出该“精致四边形”的两条性质（，除外）； (2)如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值； (3)如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数． 6-1如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，． 结论I：点E为的中点； 结论Ⅱ：四边形为菱形． 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．I和Ⅱ都不对 B．I和Ⅱ都对 C．I不对Ⅱ对 D．I对Ⅱ不对 6-2（2025·广东深圳·一模）数学活动课上，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点，小颖同学利用尺规按如下步骤操作：①以为圆心，以长为半径画弧；②以为圆心，以长为半径画弧；两弧交于点，分别连接，．小颖认为：若，则四边形是菱形，她判定四边形为菱形的依据是（   ） A．两组对边平行 B．四条边相等 C．对角线互相垂直且平分 D．两组对边相等 6-3（2024·广东东莞·二模）用尺规在一个矩形内作菱形，下列作法错误的是（   ） A． B． C． D． 6-4（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是小华同学的一篇数学反思，请仔细阅读，并完成相应的任务． 巧用“对称”作图 问题：已知：如图1，点E是的边上的一点． 求作：矩形，使点F，G，H在的边上，且对角线交点与的对角线交点重合． 分析：所求作的矩形的一个顶点E是已知的，且在的边上，并且矩形对角线交点与的对角线交点重合．矩形与平行四边形都是中心对称图形，所以点E与点G一定关于对角线交点中心对称，这样就可以确定点G了，对角线也随之确定，然后根据矩形对角线的性质可以确定顶点F，H． 作法：1．连接，交于点O． 2．连接并延长交边于点G． 3．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交边于点F． 4．连接并延长交边于点H． 5．依次连接点E，F，G，H． 四边形就是所求作的矩形（如图2）． 反思：以上作图中关键利用了图形的对称性．由此想到这种方法可以迁移到其它对称图形的作图中． 任务： (1)根据以上作法，求证：四边形是矩形， (2)若将上面材料中所求作的矩形改为菱形，其它条件不变，请用尺规在图3中作出符合条件的菱形；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (3) 图2中，若的边，则线段的长为______． 6-5（2025·湖南·二模）在学习了特殊平行四边形的判定后，数学兴趣小组进行了进一步的思考，在任意三角形中满足什么样的条件构造的四边形，可以判定为菱形呢？他们发现，三角形某个角的角平分线与对边交于一点，该角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与该角的两边所在直线交于两点，该角的顶点以及三个交点所构成的四边形是菱形，可利用证明三角形的全等得到此结论．根据他们的想法与思路，及（1）中的作图完成（2）中的填空： (1)如图2，在中，平分，交于点．用尺规作的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，； (2)在（1）所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：∵平分， ， 又∵垂直平分， ， ， ． 又∵垂直平分， ①______，， ②______， ， ∴四边形是菱形． 进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是③______． 6-6（2025·重庆·二模）在学习了特殊平行四边形的相关知识后，小墨同学发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形的一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据她的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交、于点、，连接、．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴①______ ∵为的中点 ∴②______ ∴在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵④______ ∴四边形是菱形． 小墨同学进一步研究发现，对于只有一组对边平行的四边形，过这个四边形一条对角线的中点作这条对角线的垂线，则该垂线与该四边形的这组平行对边所在直线相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是⑤______． 6-7（2024·重庆·三模）如图，中，点E是的中点，．    (1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点F，连接交于点H（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，若，求证：四边形是菱形．（补全证明过程） 证明：∵点E是的中点 ∴ ∵ ∴是的中位线 ∴①__________ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴②__________ ∵平分 ∴③_________ ∴ ∴④__________ ∴四边形是菱形（⑤ ） 题型七 旋转、平移、翻折和对称作图 旋转的作图方法： 一、确定旋转三要素 确定旋转中心、旋转角度和旋转方向。这是旋转作图的基础，也是后续步骤的前提。 二、找出原图形关键点 在原始图形中，找出构成图形形状的关键点。这些点通常是图形的顶点、交点或其他重要位置点。 三、作出关键点旋转后的对应点 以旋转中心为圆心，保持线段长度不变，将原始图形中的关键点按照旋转角度和方向旋转到新的位置。使用圆规和直尺等工具，可以精确地作出这些旋转后的对应点。 四、连接对应点形成新图形 按照原始图形中关键点的顺序，使用直尺连接旋转后的对应点。这样，就形成了一个新的、经过旋转的图形。 典例7（2025·安徽合肥·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点均为网格线的交点）和格点． (1)以点为位似中心将在网格中放大2倍得到，请画出； (2)以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，请画出； (3)尺规作图：在上求作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 7-1（2025·湖北孝感·二模）如图，三个顶点的坐标分别为、、． (1)请画出将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形，则点的坐标为______； (2)请画出绕原点逆时针旋转的图形，则点的坐标为______； (3)在（）的旋转过程中，点运动的路径长为______（结果保留） 7-2（2025·黑龙江哈尔滨·一模）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，E均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保留作图痕迹） (1)在图1中作四边形，且四边形是以直线为对称轴的轴对称图形； (2)在图2中作的中位线，点F为中点，并直接写出的长． 题型八 格点作图问题 典例8（2025·广东深圳·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”． (1)①在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项妙点”； ②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点M（AB的中点除外）． (2)如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 8-1（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图的网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点都在小正方形的顶点上． (1)画出以AB为一边的，，面积为9，点C在小正方形的顶点上． (2)在AB边上找到点D，连接CD，CD将分成面积相等的两个三角形．（保留作图痕迹） (3)直接写出线段CD的长． 8-2（2025·黑龙江哈尔滨·一模）实践操作：如图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1． (1)请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且； (2)在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出边上的高，并保留作图痕迹（作图痕迹用虚线）； (3)直接写出的值． 8-3（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．线段的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在网格内部左上方找一点，使得； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后对应的． 8-4（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D都是格点，E是上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画直线交于F，使得直线平分四边形的面积； (2)在（1）基础上，在上画点G，使得； (3)在图（2）中，点E是格点，连接，将绕点E逆时针旋转得，连接交于I； (4)在（3）基础上，在，上分别画点M，N，使得四边形是平行四边形． 8-5（2025·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条． (1)在图1中，画出的高； (2)在（1）的基础上，在上画点，连接，使； (3)在图2中，画； (4)在（3）的基础上，在上画点，使． 题型九 圆中的作图问题 典例9（2025·河南驻马店·一模）【问题情景】我们在学习特殊角三角函数值时，借助构造含有角的直角三角形，利用的角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理解决了问题．如．如图． 【尝试类比】的值怎么求呢？类比上述方法，构造含有角的直角三角形．如图2．填空，______． 【方法探究】的值怎么求呢？如图，小明同学借助于黄金三角形（顶角是的等腰三角形）和，解决了问题．请你给出小明的解答过程． 【拓展应用】如图是小轲同学利用尺规作出的正五边形．作法如下： （1）作． （2）作直径． （3）过点作直径的垂线交于点． （4）作线段的垂直平分线交于点． （5）以点为圆心，以长为半径作弧交于点． （6）以点为圆心，以长为半径作弧交于点． （7）在上依次截取等于的弦，，，连接，就可以作出圆内接正五边形． 请你解释小轲同学作法的合理性，即证明五边形是圆内接正五边形． 9-1（2025·河北保定·一模）某数学小组研究如何得到弧形桥拱所在圆的半径问题，将桥拱记为，弦为水平面，设所在圆的半径为． (1)如图1，小明从点处测得桥拱上点处的仰角为． ①在图1中用尺规找到所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； ②若，求的长；（用含的代数式表示） (2) 如图2，小亮从点处测得桥拱上点处的仰角为是所在圆的圆心，求．（参考数据：） 9-2（2025·广东深圳·一模）如果三个数满足，即，那么称是和的比例中项．比例中项在数学、物理和工程学等领域都有着广泛的应用．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我们知道任何实数都可以用数轴上的点来表示．如图，点在数轴上分别表示实数，现尝试用尺规作图的方法，在正半轴上画出点，使得点表示的正数，恰好是数和的一个比例中项．方法如下： 第步：作以为直径的圆； 第步：______的其中一点记为点； ．以为圆心，为半径画圆，交圆 ．以原点为圆心，为半径画圆，交圆 ．以为直径作圆，交圆 ．作的垂直平分线，交圆 ．以为直径作圆，再过点作的垂线，交圆 第步：以原点为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点即为所求． (1)请选出你认为第步中正确作法对应的字母：______（只填一个选项即可），并说明理由，用尺规按照所选的作法在图中作出点，要求保留作图痕迹，不需要写出作法． (2)若，写出此时圆的直径______． 9-3（2025·江苏连云港·模拟预测）圆与反演点 已知的半径为，在从出发的同一条射线上有两点和，若，则称为关于的反演点，反之亦然． 【概念理解】 （1）下列对反演的描述： ①若点在圆外，则它的反演点可能在圆内，也可能在圆外； ②圆的整个内部与其外部是一一对应彼此反演的； ③圆上的点的反演点是圆自身． 其中，所有正确的序号是___________． 【掌握应用】 （2）若是关于的反演点，且，求的长． （3）半径为，若，是关于的反演点，，且，直接写出与的数量关系． 【探索确定】 （4）如图，四边形是菱形，在的延长线上．若和是关于的反演点，在图中用尺规作出． 9-4（2025·陕西西安·一模）如图，在中，．用尺规在边上找一点D，使得以点D为圆心，长为半径的与相切．    9-5（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，点是上的一个定点． (1)请运用尺规在所给的图中按下列步骤完成作图，并按要求标上相应字母： ①作的平分线和过点作的垂线，使它们交于点； ②以点为圆心，长为半径作； (2)完成（1）的作图后，求证：是的切线． 39．（2025·安徽宣城·二模）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空． (1)画出线段绕点按顺时针方向旋转后得到的线段，连接． (2)画出与（1）中关于直线对称的图形，点的对称点是． (3)的度数为______． （建议用时60分钟） 1．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，四边形是矩形，连接． (1)实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 2．（2025·杨浦阶段练习）如图1，已知梯形中，，，现用四块这种全等的梯形拼成一个大的梯形（如图2） (1)求的度数以及和的长（和的长用含的式子表示）； (2)请画出一个用三块这种梯形纸片拼成一个等边三角形的示意图（要求不重叠、且等边三角形内没有空隙） 3．（2025·河北唐山·一模）定义：平面直角坐标系中，对于，两点，称为E，F两点的“折线距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，、． （1）如图15-1，轴，轴，________； （2）如图15-2，一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段上任取一点P，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图15-3，若点Q是直线的图象上一动点，画出满足的所有点Q构成的线段，并直接写出此线段的长度； （4）直接写出满足的所有点R围成图形的面积． 4．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，，点为线段的中点，连接 (1)用尺规完成以下基本作图，过点作的垂线交于点，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：（补充完整证明过程） 证明：∵，点是线段的中点 ∴__________． ∵ ∴垂直平分 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴②__________． ∴ ∴③__________． ∵ ∵四边形是菱形， ∴④__________． ∴． 5．（2025·江西·模拟预测）如图，是由绕着点顺时针旋转得到的，若，，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中作的角平分线； (2)在图2中画以为边的菱形． 6．在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图①中，画等腰直角三角形，使其面积为； (2)在图②中，画矩形，使其面积为10； (3)在图③中，画平行四边形，使其面积为5（不包括正方形）． 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B两点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图，每个画图的连线不得超过三条． (1)在图（1）中，将点A绕点B顺时针旋转至点C，画出点C；连接，并在AC上画点N，使 ； (2)在图（2）中，P是网格线上一点，先画出点B关于点P的对称点D；再画出点A关于点P的对称点E． 8．如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先画的高，再将线段绕点D逆时针旋转，画对应线段； (2)在图2中，先画的角平分线，再将线段绕点F旋转，画对应线段（点G与点A对应）． 9．（2025·江苏南京·一模）面积和周长是初中几何数学中讨论的重要内容． (1)小明的想法：若要在锐角三角形里找到一个面积最大的正方形，可以在一条边上先找一个点，然后… ①补全小明的想法，可以画图补充； ②按这样想，面积相等的直角三角形里，面积最大的正方形的面积随着直角三角形高的变化趋势是 ___________． (2)小芳的问题：边长为的等边三角形里，周长最大的正方形的面积是多少？请你回答． (3)小张的问题：在一个边长为5的正方形中，最多可以找出多少个顶点均在边上且面积为10的等边三角形？请你回答： A．有 ___________个 B．无数个 C．没有 (4)一个边长为m的正方形中，圆与正方形各边相切，圆上两个动点之间的距离为m，分别连接两动点和正方形的一个顶点所形成的三角形面积的最大值和最小值的比值：___________． 2 / 91 1 / 91 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 新题型之画图、尺规作图问题 在2024年上海市初中学业水平考试数学科目中，第22题以解直角三角形为载体的几何综合题型呈现出显著的创新特征。该试题在保持传统几何核心素养考查的基础上，深度融入动态几何与空间想象元素，尤其第三问对学生的几何构图能力、数学建模思维及数形转化能力提出了更高要求。从考试数据反馈来看，该问的得分率明显低于前两问，凸显出其作为区分性试题的选拔功能。 通过对2025年上海市各区中考一模试题的系统性分析发现，几何画图与动态几何问题仍为重要命题方向，部分区域试题在图形变换、尺规作图等领域进行了拓展性考查，延续了中考改革中对学生实践操作能力与空间观念的培育导向。基于此，本专题系统梳理近两年上海市中考试题、各区模拟试题及全国教育发达地区2025年的最新模拟典型范例，通过问题链设计、解题策略解构及变式训练等环节，构建起完整的几何综合能力培养体系。专题内容不仅聚焦知识的深度整合，更注重解题思维的可视化引导，旨在帮助学生突破知识迁移与应用瓶颈，有效提升在复杂几何情境下的问题解决能力。 题型一 作角平分线(尺规作图) 作角平分线尺规作图的几种方法 方法一： 1. 以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D。 2.以点C、D为圆心，大于二分之一CD长为半径作弧，两弧交于点M。 3.作射线OM，则OM即为∠AOB的平分线。 方法二： 1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D。 2.再以点O为圆心，大于OC为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F。 3.分别连接CF、DE，交于点M，作射线OM，则OM即为∠AOB的平分线。 方法三： 1.在∠AOB的边OA上任取一点C。 2.尺规作图作∠ACN=∠AOB。 3.在CN上截取CM=OC，则射线OM为∠AOB的平分线。 在尺规作图过程中，需注意保留作图痕迹，确保作图步骤清晰明了。同时，熟练掌握多种作图方法，可以灵活应对不同的作图需求，提高作图效率和准确性。 典例1（2025·上海杨浦·一模）为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 【答案】花圃一：画图见解析，半圆形步道的半径为；花圃二：画图见解析，半圆形步道的半径为 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、切线的应用、解直角三角形的相关计算 【分析】花圃一：分别以点B和点C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于F，连接交于点D即为所求的圆心；过点D作于点E，利用三线合一得到，勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可； 花圃二：延长，交于点H，尺规作的角平分线交于点A即为所求作的圆心；过点A作于点N，过点A作于点M，设，则，，，根据列方程求解即可． 【详解】花圃一：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大， 如图所示，点D即为所求作的圆心； 过点D作于点E，故为半圆的半径 ∵， 由作图得，垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴半圆形步道的半径为； 花圃二：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大， 如图所示，点A即为所求作的圆心； 过点A作于点N，过点A作于点M ∴，且，为半圆的半径 ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴设，则 ∴， ∵ ∴ 解得 ∴ ∴半圆的半径为． 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 1-1尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线． 小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？ 小外：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分． (1)按照小温的说法，在图中用尺规作的角平分线． (2)小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明． 【答案】(1)见解析 (2)正确，证明见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等边对等角、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，平行四边形的性质，等边对等角的性质，掌握以上知识是关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质，等边对等角的方法证明即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求， （2）解：正确， 证明：四边形为平行四边形， ， ， 由作图可知，， ， ， 平分． 1-2（1）已知线段OM，，，用尺规作满足条件的点 （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得为等边三角形，请提供两种不同的作法． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的性质． （1）先分别以O、M点为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点A、B，接着作和的平分线、，然后以M点为圆心，为半径画弧交、于点N、，则点N、满足条件； （2）方法一：先过A点作于H点，再以点A、H为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件； 方法二：先过A点作于H点，再作的垂直平分线，接着以点A圆心，以长为半径画弧交的垂直平分线于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件． 【详解】解：（1）先分别以O、M点为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点A、B，接着作和的平分线、，然后以M点为圆心，为半径画弧交、于点N、，如图1，点N、为所作； 理由：由作法可知， 是等边三角形， 平分， ， ， 此时点满足题意，同理可证明点满足题意； （2）方法一：先过A点作于H点，再以点A、H为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件； 方法二：先过A点作于H点，再作的垂直平分线，接着以点A圆心，以长为半径画弧交的垂直平分线于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件． 如图2、3，为所作． 理由： 方法一：由作法可知，， 是等边三角形， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 方法二：是的垂直平分线， ， ， ， 中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 1-3（2025·广西南宁模拟）【情境】中考尺规作图的专题复习课上，老师让同学们按要求作图： 在中，作的角平分线. 小南说：“这简单！我学过用尺规作图作角平分线的方法，我来试试。” 小宁说：“我还有别的方法可以实现作的角平分线！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分.” (1)按照小南的方法，在图中用尺规作的平分线； (2)小宁按照自己的方法作出了的角平分线，如图2所示，请你判断小宁的做法是否正确？若正确，请说明理由. 【答案】(1)见解析； (2)正确，理由见解析． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角的平分线、平行四边形的性质、圆的基本性质． 根据尺规作图作一个角的平分线作图即可； 根据小宁作图的方法可知，根据等边对等角可知，根据平行四边形的性质可知，根据平行线的性质可知，等量代换可知，所以可知平分． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点， 作射线，射线即为的平分线； （2）解：小宁的作法正确， 理由如下： 以为圆心，为半径作弧， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 平分， 小宁的作法正确． 1-4（2025·广东深圳模拟）如图（a），在中，． (1)【实践与操作】在图（a）的基础上，请利用尺规，用2种方法作四边形是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)【推理与计算】在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，尺规作图等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）方法一：分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则四边形即为所求； 方法二：作的角平分线，再以B为圆心，的长为半径画弧交的角平分线所在的直线于D，连接，则四边形即为所求； （2）连接交于点，利用菱形的对角线互相垂直平分得到，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】（1）解；如图所示，四边形即为所要作的菱形 方法一：分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则四边形即为所求； 方法二：作的角平分线，再以B为圆心，的长为半径画弧交的角平分线所在的直线于D，连接，则四边形即为所求； （2）解：如图，连接交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ． 题型二 作垂线、线段垂直平分线(尺规作图) 作线段垂直平分线的方法 （1）确定线段的两个端点A和B。 （2）使用圆规以A为圆心，AB长度为半径画弧；以B为圆心，AB长度为半径画弧。两弧的交点记为C。 （3）连接AC和BC，线段AC和BC即为线段AB的垂直平分线。 在作图过程中，保持工具使用准确，作图步骤清晰，可以确保得到高分。 典例2 如图所示，已知，用尺规在线段上确定一点，使得，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质及作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法．由题意可得，，则在线段垂直平分线上，即可求解． 【详解】解：，，点在线段上， ， 在线段垂直平分线上， 结合选项可知，A选项的作图为线段垂直平分线，符合题意， 故选：A． 2-1某市三个城镇中心，，恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆．    解决问题： (1)以城镇为出发点，设计了两种连接方案： 如图，为中点)； 如图，为三边的垂直平分线的交点)； 请通过计算说明要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？ (2)尺规作图： 请在备用图中用尺规作图画出（）中你所选择的方案的图形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)方案铺设方案好，理由见解析； (2)作图见解析． 【知识点】作垂线(尺规作图)、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】（）如图所示，在中，根据勾股定理得，则铺设的通讯电缆长为，如图所示同理可得：铺设的通讯电缆长为，即可求解； （）如图，分别作的中垂线，交点即为点即为所求； 此题考查了尺规作图—垂直平分线，等边三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解本题的关键． 【详解】（1）解：设等边三角形的边长为，如图所示， ∵为等边三角形，， ∴为的中点，即， 在中，根据勾股定理得：， 则铺设的通讯电缆长为； 如图所示， ∵为等边三角形，且为三角形三条高的交点， ∴，则，， 故， 解得：， 则， 则铺设的通讯电缆长为， ∴ ， 则方案铺设方案好； （2）如图，分别作的中垂线，交点即为点，    ∴点即为所求； 2-2（2025·兰州一模）综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）垂直；（2）；（3）见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题主要考查轴对称，折叠的性质，尺规作垂线的方法，掌握轴对称，折叠的性质是关键． （1）根据折叠，轴对称图形的性质即可求解； （2）根据折叠得到，根据平行四边形的性质得到，则，由此即可求解； （3）根据尺规作垂直的方法作图即可． 【详解】解：（1）∵折叠，点重合，即成轴对称图形， ∴线段与折痕相互垂直， 故答案为：垂直； （2）∵折叠， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）根据（1），（2）可得，，且平分， ∵折叠， ∴，， ∴，且平分，折痕所在直线， ∴如图所示， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点， 连接交于点， 以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接， ∴四边形即为四边形关于折痕折叠后的图形． 2-3（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日  晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质．基本思路如下： 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点E，使，连接四边形是平行四边形（依据）→四边形是矩形→矩形的对角线相等→结论． 今天我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢?小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点作边的垂线，垂足为D． ∵， ∴． 又∵， ∴． …… 任务： (1)解题思路中“依据”处应填_________；利用尺规在图3中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)补全小颖的证明过程 (3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给出解题思路． 【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，图见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作垂线(尺规作图)、根据矩形的性质与判定求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定即可求解，根据作垂线的方法即可作图； （2）过点作边的垂线，垂足为D．，则，而，那么，可得是的垂直平分线，则，则，即； （3）延长到点F，使，连接，先证明，再证明，则，即可求证． 【详解】（1）解：如图2， ∵是斜边上的中线， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形), 补全图形3如下： 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）证明：过点作边的垂线，垂足为D． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴ ∵是斜边上的中线， ∴． ∴． ∴D是边的中点，即是的垂直平分线． ∴． ∴，即； （3）解：如解图，延长到点F，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型三 三角形全等问题 典例3 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 方法如下： 一、老师让同学们以小组为单位讨论利用尺规作的平分线的方法． 第一小组展示了学习过的作法：如图1，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，即为 的平分线．第一小组证明过程如下： 连接，，由作图可知，，又∵，（依据），，平分． 第二小组展示了他们的作法：如图 2，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点C、D；再以点O为圆心，任意不等于的长为半径作弧，分别交、于点E、F；连接，，交于点P，作射线，则为的平分线．第二小组证明过程如下： 由作图可知：，，又，∴， ，…… 完成下列任务： (1)第一小组证明过程中的“依据”是指______， (2)将第二小组的证明过程补充完整． 【答案】(1)SSS（边边边） (2)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，角平分线的定义等知识点，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的各种判定方法． （1）根据三角形的判定方法即可得到答案； （2）要想证明是角平分线需要根据角平分线的定义去证明，根据证明题目过程已经由边角边证明一次全等，得到，再根据角角边证明，得，最后根据边边边证明三角形全等，即可得到答案． 【详解】（1）解： 由题意可知答案为：SSS（边边边） （2）证明：由作图可知：，，又， ∴， ∴， ∵ ∴，又， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴平分． 3-1 阅读下列材料，完成相应任务． 面径定义：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”． 例如，如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，它的任意一条直径都是它的“面径”． 操作实验：如图2，在中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条面径． 在图2中，请你用无刻度的直尺画出的一条面径（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）； 深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条面径呢？ 情形1：特例研究 已知等边三角形的边长为2， 当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，它的“面径”长是_________． 当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是_________． 情形2：一般研究 ①当面径经过三角形的一个顶点时． 已知：如图3，已知． 求作：直线m，使直线m经过点F且平分的面积． 小雨的想法是：直线m交于点G，与的底，在同一直线上，高相同，若面积相等，则．请在图3中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）； ②当面径不经过三角形的顶点时． 已知：如图4，已知． 求作：直线m，使直线m平分的面积． 小雨的想法是：若直线m交，于M，N两点，使直线m平分的面积，则．只需，且相似比为．请在图4中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法、指出所求） 【答案】操作实验：见解析；深入探究：情形1：；（答案不唯一）；情形2：①见解析；②见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、作等腰三角形(尺规作图)、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了复杂作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键． 操作实验：连接对角线，线段即为所求； 深入探究：情形1：利用等边三角形的性质即可解答； 情形2：①按题意作出图形即可； ②利用相似三角形的性质，作出图形即可． 【详解】解：操作实验：如图， 四边形为平行四边形， ， 和的高相同， 和的面积相同， 线段即为所求 ； 深入探究：情形1： 如图，当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，为等边三角形的“面径”时， 根据“面径”的定义可得， ，， ， ； 如图，当“面径”不经过等边三角形的顶点时，为等边三角形的“面径”时， , 根据第一空中的描述，可得等边三角形底边上的高为， ， 根据“面径”的定义可得， 那可使，则， 过点作， ，， , ， 当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是， 故答案为：；（答案不唯一）； 情形2：①如图，作的垂直平分线，则可找到的中点，则即为所求， ②如图，作等腰直角三角形和等腰直角三角形， 再作， 则， ， ， 的面积比的面积为， 则线段即为所求． 题型四 平行四边形问题 线段垂直平分线的性质： 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。反过来，与线段两个端点距离相等的点也在这条线段的垂直平分线上。 注意：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。 证明四边形是平行四边形的主要的判定方法： 一、从边的角度 1 两组对边分别平行：如果一个四边形的两组对边分别平行，则该四边形是平行四边形。 2 两组对边分别相等：如果一个四边形的两组对边分别相等，则该四边形是平行四边形。 3 一组对边平行且相等：如果一个四边形的一组对边平行且相等，则该四边形是平行四边形。二、从对角线的角度 对角线互相平分：如果一个四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形。 三、从角的角度 两组对角分别相等：如果一个四边形的两组对角分别相等，则该四边形是平行四边形。 典例4 如图，小明以的两边和为邻边，用尺规作一个平行四边形．小明的做法是：先用尺规作的垂直平分线，垂足为；过点，作射线，在射线上截取．连接，．在小明的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分 C．两组对边分别相等 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、证明四边形是平行四边形 【分析】此题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据题意得到，，进而可证明出四边形为平行四边形． 【详解】∵用尺规作的垂直平分线，垂足为 ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形． ∴直接判定四边形为平行四边形的条件是对角线互相平分． 故选：B． 4-1（2024·浙江中考）尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明； (2)指出小丽作法中存在的问题． 【答案】(1)见详解 (2)以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题 【知识点】作线段(尺规作图)、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质， （1）根据小明的作图方法证明即可； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 又根据作图可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题． 题型五 特殊的平行四边形（矩形问题） 矩形的判定方法： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 4.在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。 5.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 典例5 （2024·上海中考）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 【答案】(1)等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；底为，高为，面积为； (2)画图见解析． 【知识点】根据矩形的性质求面积、证明四边形是矩形、解直角三角形的相关计算 【分析】（）①解直角三角形即可求解； 由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； （）根据题意画出图形即可； 本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图，为等腰直角三角板，， 则； 如图，为含的直角三角形板，，，， 则，； 综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和； 由题意可知， ∴四边形是矩形， 由图可得，，， ∴， 故小平行四边形的底为，高为，面积为； （2）解：如图，即为所作图形． 5-1（2025·陕西一模）如图，直线，点在直线上，请利用尺规在直线上作点，点在点的左侧，连接，使得四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、证明四边形是矩形 【分析】本题考查作图—复杂作图、矩形的判定，结合矩形的判定，过点作直线的垂线，交直线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，在点的右侧交直线于点，连接即可．熟练掌握矩形的判定是解答本题的关键． 【详解】解：如图，过点作直线的垂线，交直线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，在点的右侧交直线于点，连接， 则四边形即为所求． 题型六 特殊的平行四边形（菱形问题） 菱形的判定方法： 1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3. 四条边都相等的四边形是菱形。 4. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 典例6（2024·上海松江·二模）一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”． (1)如图所示的四边形是一个“精致四边形”，其中，．试写出该“精致四边形”的两条性质（，除外）； (2)如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值； (3)如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数． 【答案】(1)①，平分；②四边形是轴对称图形，直线所在的直线是它的对称轴；③，， (2)画图形见解析，该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值为 (3)画图形见解析，两种长度的线段各是，它的各内角度数 【知识点】线段垂直平分线的判定、等边对等角、根据菱形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了新定义，菱形的性质，梯形的性质，解题的关键是正确理解题目所给“精致四边形”的定义，正确画出图形，以及熟练掌握相关性质定理． （1）根据题意易得是的垂直平分线，，是等边三角形，即可得出结论； （2）根据题意画出图形，则在菱形中，且，根据菱形的性质得出，，，进而得出，则； （3）根据题意画出图形，推出，， 再根据平行线的性质得出，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴是的垂直平分线， 则，平分； ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是轴对称图形，直线所在的直线是它的对称轴； ∵， ∴是等边三角形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上：该“精致四边形”的性质有： ①，平分； ②四边形是轴对称图形，直线所在的直线是它的对称轴； ③，，． （2）解：画图                                  ∵在菱形中，且，           ∴，，，          ∴， ∴ ． （3）解：画图，如图：，，          ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴，                  ∵， ∴，则， 解得：， ∴，． 6-1如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，． 结论I：点E为的中点； 结论Ⅱ：四边形为菱形． 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．I和Ⅱ都不对 B．I和Ⅱ都对 C．I不对Ⅱ对 D．I对Ⅱ不对 【答案】B 【知识点】作已知线段的垂直平分线、等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】连接，，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得△为等边三角形，为等边三角形，则，，，可得，则，即点为的中点；结合菱形的判定可得四边形为菱形． 【详解】解：连接，， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ． ， ， 即为等边三角形， ． 由作图过程可知，， ， ， 即为等边三角形， ， ， ， ， 即点为的中点． 故结论Ⅰ正确，符合题意； ， ． ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形． 故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与此同时性质，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6-2（2025·广东深圳·一模）数学活动课上，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点，小颖同学利用尺规按如下步骤操作：①以为圆心，以长为半径画弧；②以为圆心，以长为半径画弧；两弧交于点，分别连接，．小颖认为：若，则四边形是菱形，她判定四边形为菱形的依据是（   ） A．两组对边平行 B．四条边相等 C．对角线互相垂直且平分 D．两组对边相等 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形综合．熟练掌握平行四边形的性质，菱形的判定，是解题的关键．根据菱形的判定，以及平行四边形的性质定理判定即得． 【详解】解：由作图知，， ∵在平行四边形中， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴她判定四边形为菱形的依据是四条边相等． 故选：． 6-3（2024·广东东莞·二模）用尺规在一个矩形内作菱形，下列作法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，尺规作图等知识， 根据矩形的性质和菱形的判定定理，结合全等三角形的性质和判定逐项证明即可． 【详解】A．由作图可得，垂直平分线段 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形； B．如图所示，连接， 由作图可得，，， 又∵ ∴ ∴ 同理可得， 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形； C．由作图可得，，且 ∴四边形是菱形； D．如图所示， 由作图可得，平分 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵的长度和的长度关系不确定 ∴四边形不一定是菱形． 故选：D． 6-4（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是小华同学的一篇数学反思，请仔细阅读，并完成相应的任务． 巧用“对称”作图 问题：已知：如图1，点E是的边上的一点． 求作：矩形，使点F，G，H在的边上，且对角线交点与的对角线交点重合． 分析：所求作的矩形的一个顶点E是已知的，且在的边上，并且矩形对角线交点与的对角线交点重合．矩形与平行四边形都是中心对称图形，所以点E与点G一定关于对角线交点中心对称，这样就可以确定点G了，对角线也随之确定，然后根据矩形对角线的性质可以确定顶点F，H． 作法：1．连接，交于点O． 2．连接并延长交边于点G． 3．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交边于点F． 4．连接并延长交边于点H． 5．依次连接点E，F，G，H． 四边形就是所求作的矩形（如图2）． 反思：以上作图中关键利用了图形的对称性．由此想到这种方法可以迁移到其它对称图形的作图中． 任务： (1)根据以上作法，求证：四边形是矩形， (2)若将上面材料中所求作的矩形改为菱形，其它条件不变，请用尺规在图3中作出符合条件的菱形；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (3)图2中，若的边，则线段的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查矩形判定及性质，平行四边形性质及判定，垂直平分线画法，三角函数解直角三角形，勾股定理，相似三角形判定及性质等． （1）先证明出，继而得到四边形为平行四边形，再加上对角线相等的平行四边形是矩形即可得到答案； （2）利用垂直平分线画法即可画出菱形； （3）利用勾股定理求出再证明出，利用相似性质求出，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：在中， ， ∵， ， ， ， 同理：， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为矩形； （2）解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴以点为圆心，大于长为半径作圆，并以点为圆心，大于长为半径作圆，两圆交于两点，连接两点，得到菱形，如图即为所求： ； （3）解：过点C作，交于点N， ， ∵，是平行四边形， ∴，， ∴， ∴在中：由勾股定理，得： ∵， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ， 故答案为：． 6-5（2025·湖南·二模）在学习了特殊平行四边形的判定后，数学兴趣小组进行了进一步的思考，在任意三角形中满足什么样的条件构造的四边形，可以判定为菱形呢？他们发现，三角形某个角的角平分线与对边交于一点，该角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与该角的两边所在直线交于两点，该角的顶点以及三个交点所构成的四边形是菱形，可利用证明三角形的全等得到此结论．根据他们的想法与思路，及（1）中的作图完成（2）中的填空： (1)如图2，在中，平分，交于点．用尺规作的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，； (2)在（1）所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：∵平分， ， 又∵垂直平分， ， ， ． 又∵垂直平分， ①______，， ②______， ， ∴四边形是菱形． 进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是③______． 【答案】(1)作图见解答 (2)①；②；③正方形 【知识点】作已知线段的垂直平分线、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的判定，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据全等三角形的判定与性质、菱形的判定，正方形的判定填空即可． 【详解】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧分别相交于两点，连接这两点交于点，交于点， 则直线即为所求． （2）证明：∵平分， ． 又∵垂直平分， ， ， ． 又∵垂直平分， ，， ， ， ∴四边形是菱形． 进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是正方形． 故答案为：①；②；③正方形． 6-6（2025·重庆·二模）在学习了特殊平行四边形的相关知识后，小墨同学发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形的一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据她的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交、于点、，连接、．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴①______ ∵为的中点 ∴②______ ∴在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵④______ ∴四边形是菱形． 小墨同学进一步研究发现，对于只有一组对边平行的四边形，过这个四边形一条对角线的中点作这条对角线的垂线，则该垂线与该四边形的这组平行对边所在直线相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是⑤______． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和尺规作图是解题关键． （1）先根据尺规作图作的垂直平分线，分别交、于点、，再连接、即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证；如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得． 【详解】（1）解：过点作的垂线，分别交、于点、，连接、，如图所示： ． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 小墨同学进一步研究发现，对于只有一组对边平行的四边形，过这个四边形一条对角线的中点作这条对角线的垂线，则该垂线与该四边形的这组平行对边所在直线相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是菱形．证明如下： 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，于点， ∵， ∴， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④；⑤菱形． 6-7（2024·重庆·三模）如图，中，点E是的中点，．    (1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点F，连接交于点H（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，若，求证：四边形是菱形．（补全证明过程） 证明：∵点E是的中点 ∴ ∵ ∴是的中位线 ∴①__________ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴②__________ ∵平分 ∴③_________ ∴ ∴④__________ ∴四边形是菱形（⑤ ） 【答案】(1)见解析 (2)，，，，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形 【分析】此题考查了菱形判定、角平分线作图、三角形中位线的性质等知识，准确作图和熟练掌握菱形的定义是解题的关键． （1）按照要求作图即可； （2）证明是的中位线，则，又由即可证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）证明：∵点E是的中点 ∴ ∵ ∴是的中位线 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形） 故答案为：，，，，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 题型七 旋转、平移、翻折和对称作图 旋转的作图方法： 一、确定旋转三要素 确定旋转中心、旋转角度和旋转方向。这是旋转作图的基础，也是后续步骤的前提。 二、找出原图形关键点 在原始图形中，找出构成图形形状的关键点。这些点通常是图形的顶点、交点或其他重要位置点。 三、作出关键点旋转后的对应点 以旋转中心为圆心，保持线段长度不变，将原始图形中的关键点按照旋转角度和方向旋转到新的位置。使用圆规和直尺等工具，可以精确地作出这些旋转后的对应点。 四、连接对应点形成新图形 按照原始图形中关键点的顺序，使用直尺连接旋转后的对应点。这样，就形成了一个新的、经过旋转的图形。 典例7（2025·安徽合肥·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点均为网格线的交点）和格点． (1)以点为位似中心将在网格中放大2倍得到，请画出； (2)以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，请画出； (3)尺规作图：在上求作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、画旋转图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查作图-位似变换、作图-旋转变换，尺规作图． （1）根据位似的性质作图，即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）利用尺规作图作出的垂直平分线交于点，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，点即为所求． 7-1（2025·湖北孝感·二模）如图，三个顶点的坐标分别为、、． (1)请画出将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形，则点的坐标为______； (2)请画出绕原点逆时针旋转的图形，则点的坐标为______； (3)在（）的旋转过程中，点运动的路径长为______（结果保留） 【答案】(1)画图见解析，； (2)画图见解析，； (3)． 【知识点】求弧长、平移(作图)、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了作图——旋转变换、平移变换，求弧长，解题的关键是掌握旋转和平移的性质以及弧长公式． （）将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形，再写出的坐标即可； （）将绕原点逆时针旋转的图形，画出，再写出点的坐标； （）先求出，再由旋转性质可得，最后根据弧长公式即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形， ∴即为所求，点， 故答案为：； （2）解：如图，将绕原点逆时针旋转的图形， ∴即为所求，点， 故答案为：； （3）解：如上图，由网格可知，由旋转性质可知：， ∴点运动的路径长为， 故答案为：． 7-2（2025·黑龙江哈尔滨·一模）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，E均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保留作图痕迹） (1)在图1中作四边形，且四边形是以直线为对称轴的轴对称图形； (2)在图2中作的中位线，点F为中点，并直接写出的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解； 【知识点】勾股定理与网格问题、多边形的概念与分类、与三角形中位线有关的求解问题、画轴对称图形 【分析】本题主要考查了作轴对称图，三角形中位线的定义和求解等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质以及网格的特点先找到点B关于的对称点D，再连接，即可． （2）先根据网格的特点先找到的中点F，连接，再根据三角形中位线的性质结合网格求解即可． 【详解】（1）解：四边形如下图： （2）解：如下图： 题型八 格点作图问题 典例8（2025·广东深圳·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”． (1)①在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项妙点”； ②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点M（AB的中点除外）． (2)如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 【答案】(1)①是；② (2)①见解析；② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、格点作图题 【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质可得出，然后根据“比中项妙点”的定义判断即可； ②取格点D，连接交于M即可； （2）①根据“比中项妙点”的定义可得出，证明，可得出，则，，然后据“比中项妙点”的定义即可得证； ②设，则，，根据，得出，设，则，，，证明，得出，设，则，根据“比中项妙点”，得出，则可求出，故，，证明，得出，进而求出，结合，，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是中边上的“比中项妙点”， 故答案为：是； ②如图，点M即为所求， 理由： 由网格知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”； （2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点” ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F也是中边上的“比中项妙点”； ②解：如图， 设，则， ∴ ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵点F是中边上的“比中项妙点”， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，格点作图等知识，正确找出相似三角形探究线段间的关系是解题的关键． 8-1（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图的网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点都在小正方形的顶点上． (1)画出以AB为一边的，，面积为9，点C在小正方形的顶点上． (2)在AB边上找到点D，连接CD，CD将分成面积相等的两个三角形．（保留作图痕迹） (3)直接写出线段CD的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、勾股定理与网格问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查基本作图，勾股定理和全等三角形的判定与性质，正确作图是解答本题的关键． （1）根据，面积为9找出点C即可； （2）根据矩形对角线互相平分可得结论； （3）取格点,连接,证明,可得出G、D、C三点共线，由勾定理得出，从而得出 【详解】（1）解：如图，点C即为所作， （2）解：如图，点D即为所作， （3）解：取格点,连接, ∵ ∴ 又 ∴即 又 ∴, ∴ ∴G、D、C三点共线， 由勾定理得出， ∴ 8-2（2025·黑龙江哈尔滨·一模）实践操作：如图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1． (1)请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且； (2)在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出边上的高，并保留作图痕迹（作图痕迹用虚线）； (3)直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与网格问题、利用矩形的性质证明 【分析】此题考查了勾股定理与网格、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据网格的特点和勾股定理即可作图； （2）根据矩形的性质和等腰三角形三线合一进行作图即可； （3）利用等腰三角形的性质和勾股定理求出和即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形； （2）如图，即为所求， ∵点H是矩形的对角线的交点， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， 即边上的高为； （3），理由如下： ∵为边上的高，， ∴，， ∴， ∴． 8-3（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．线段的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在网格内部左上方找一点，使得； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后对应的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画旋转图形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查旋转作图，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）取格点，连接，相交于点C，根据可得； （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，点C即为所作； （2）解：如图，即为所作 8-4（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D都是格点，E是上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画直线交于F，使得直线平分四边形的面积； (2)在（1）基础上，在上画点G，使得； (3)在图（2）中，点E是格点，连接，将绕点E逆时针旋转得，连接交于I； (4)在（3）基础上，在，上分别画点M，N，使得四边形是平行四边形． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析； (4)作图见解析． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、格点作图题 【分析】本题考查了格点作图，熟练掌握平行四边形性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． （1）连接、，设交点为，利用网格找到中点，连接并延长交于点，直线即为所求； （2）在上截取线段，连接，即可得到是等腰直角三角形，即，点即为所求； （3）连接，将绕点E逆时针旋转得，连接交于； （4）作的平行线交于，在上截取，连接、，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接、，设交点为，利用网格找到中点，连接并延长交于点，直线即为所求， （2）解：在上截取线段，连接，即可得到是等腰直角三角形，即，点即为所求，如图所示， （3）解：连接，将绕点E逆时针旋转得，连接交于，如图所示， （4）解：过作的平行线交于，在上截取，连接、，四边形即为所求，如图所示， 8-5（2025·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条． (1)在图1中，画出的高； (2)在（1）的基础上，在上画点，连接，使； (3)在图2中，画； (4)在（3）的基础上，在上画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】画三角形的高、利用平行四边形的性质求解、正切的概念辨析、格点作图题 【分析】本题主要考查了格点作图、相似三角形的判定与性质、正切的定义、平行四边形的定义等知识点，理解相关知识成为解题的关键． （1）根据垂直的定义以及格点的特点即可解答： （2）根据正切的定义、格点的特点以及（1）的作图即可解答； （3）根据平行四边形的定义作图即可； （4）根据格点的特点构造相似三角形求出相关线段的长度，然后运用勾股定理求解发现作法，然后作图即可． 【详解】（1）解：如图1：线段即为所求． （2）解：如图1：点G即为所求． （3）解：如图2：即为所求． （4）解：如图：点E即为所求． 题型九 圆中的作图问题 典例9（2025·河南驻马店·一模）【问题情景】我们在学习特殊角三角函数值时，借助构造含有角的直角三角形，利用的角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理解决了问题．如．如图． 【尝试类比】的值怎么求呢？类比上述方法，构造含有角的直角三角形．如图2．填空，______． 【方法探究】的值怎么求呢？如图，小明同学借助于黄金三角形（顶角是的等腰三角形）和，解决了问题．请你给出小明的解答过程． 【拓展应用】如图是小轲同学利用尺规作出的正五边形．作法如下： （1）作． （2）作直径． （3）过点作直径的垂线交于点． （4）作线段的垂直平分线交于点． （5）以点为圆心，以长为半径作弧交于点． （6）以点为圆心，以长为半径作弧交于点． （7）在上依次截取等于的弦，，，连接，就可以作出圆内接正五边形． 请你解释小轲同学作法的合理性，即证明五边形是圆内接正五边形． 【答案】尝试类比：；方法探究：；拓展应用：见解析 【知识点】公式法解一元二次方程、正多边形和圆的综合、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了作图-复杂作图，解直角三角形，相似三角形的判定及性质， 尝试类比：根据题目给的图形标上字母，得到，推出，，再由得到，最后根据求解即可； 方法探究：过点作于，设，，则，，，再证明， 得到，解方程即可得到，最后根据求解即可 拓展应用：根据题目作图步骤画图，再连接，过点作于点，由得到，，设的半径为2，由作法知， ，，，，连，则，则，在中，由上一问，，，由作法，，，推出，最后证明，得到五边形是正五边形． 【详解】解：尝试类比： 如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 方法探究： 过点作于，设，，则 ∵在和中，，，， ∴，， ∴，，， ∴， 解得， 经检验，均为原方程的根， 但， ∴， ∴舍去，即， ∴； 拓展应用： 如图， 证明：连接，过点作于点， ∵， ∴，， 设的半径为2， 由作法知， ，， ∴， ∴， 连，则， ∴， 在中，， ∴， 由上一问，， ∴， 由作法，， ∴， 连接，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 易证， ∴五边形是正五边形． 9-1（2025·河北保定·一模）某数学小组研究如何得到弧形桥拱所在圆的半径问题，将桥拱记为，弦为水平面，设所在圆的半径为． (1)如图1，小明从点处测得桥拱上点处的仰角为． ①在图1中用尺规找到所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； ②若，求的长；（用含的代数式表示） (2)如图2，小亮从点处测得桥拱上点处的仰角为是所在圆的圆心，求．（参考数据：） 【答案】(1)①图见解析；② (2) 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、圆周角定理、求弧长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角函数，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①连接，分别做出的垂直平分线交于圆心点； ②连接，证明是等边三角形，得到； （2）连接，，过点作于点，求出，在中，． 【详解】（1）解：①如图（答案不唯一，正确即可）； ②连接， ， ， 又， 是等边三角形， ， ； （2）解：如图，连接，，过点作于点， ， ， ， ， 在中，， 即为． 9-2（2025·广东深圳·一模）如果三个数满足，即，那么称是和的比例中项．比例中项在数学、物理和工程学等领域都有着广泛的应用．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我们知道任何实数都可以用数轴上的点来表示．如图，点在数轴上分别表示实数，现尝试用尺规作图的方法，在正半轴上画出点，使得点表示的正数，恰好是数和的一个比例中项．方法如下： 第步：作以为直径的圆； 第步：______的其中一点记为点； ．以为圆心，为半径画圆，交圆 ．以原点为圆心，为半径画圆，交圆 ．以为直径作圆，交圆 ．作的垂直平分线，交圆 ．以为直径作圆，再过点作的垂线，交圆 第步：以原点为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点即为所求． (1)请选出你认为第步中正确作法对应的字母：______（只填一个选项即可），并说明理由，用尺规按照所选的作法在图中作出点，要求保留作图痕迹，不需要写出作法． (2)若，写出此时圆的直径______． 【答案】(1)或，理由见解析 (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、半圆（直径）所对的圆周角是直角、比例的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）根据作图步骤判断即可求解； （）根据比例中项的定义及（）中的结果解答即可求解； 本题考查了比例式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：第步中正确作法对应的字母：或，理由如下： 选： 证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴，   ∴， ∴， 即，故点即为所求； 选： 证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵，   ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， 即，故点即为所求； 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 9-3（2025·江苏连云港·模拟预测）圆与反演点 已知的半径为，在从出发的同一条射线上有两点和，若，则称为关于的反演点，反之亦然． 【概念理解】 （1）下列对反演的描述： ①若点在圆外，则它的反演点可能在圆内，也可能在圆外； ②圆的整个内部与其外部是一一对应彼此反演的； ③圆上的点的反演点是圆自身． 其中，所有正确的序号是___________． 【掌握应用】 （2）若是关于的反演点，且，求的长． （3）半径为，若，是关于的反演点，，且，直接写出与的数量关系． 【探索确定】 （4）如图，四边形是菱形，在的延长线上．若和是关于的反演点，在图中用尺规作出． 【答案】（1）②③；（2）；（3）；（4）图形见解析 【知识点】公式法解一元二次方程、利用菱形的性质求线段长、判断点与圆的位置关系、其他问题(圆的综合问题) 【分析】本题考查圆的综合，解一元二次方程，菱形的性质等知识点，理解反演点的定义是解题的关键； （1）由反演点的定义得到，再根据题意判断之间的关系，即可判断3个选项； （2）根据反演点定义得到，，或，分别代入解方程即可； （3）由，且可得，，代入计算即可； （4）由四边形是菱形可得，，得到，再根据反演点定义得到，，推出，得到，， 则的半径为，，以为圆心，为半径画弧与的交点即为圆心，再以为圆心，为半径画出． 【详解】解：（1）①若点在圆外，则，由可得，即它的反演点在圆内，故说法错误； ②由可得，若点在圆内，则每一个值都有一个圆外对应的值，反之也成立，即圆的整个内部与其外部是一一对应彼此反演的，故说法正确； ③圆上的点到圆心的距离，即它们的反演点是圆自身，故说法正确， 故答案为：②③． （2）∵是关于的反演点，且， ∴，或， 当时，由可得，解得（负值已舍去）； 当时，由可得，解得（负值已舍去）； 综上所述，； （3）∵，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）； （4）∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵在的延长线上．若和是关于的反演点， ∴， ∴，即， 整理得， ∴，， ∴的半径为，， 以为圆心，为半径画弧与的交点即为圆心，再以为圆心，为半径画出，图形如下： 9-4（2025·陕西西安·一模）如图，在中，．用尺规在边上找一点D，使得以点D为圆心，长为半径的与相切．    【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、切线的判定，熟练掌握角平分线的性质及作图方法、切线的判定是解答本题的关键．先作的平分线交于点D，再以点D为圆心，长为半径的，由角平分线的性质可得，由切线的判断可得与相切． 【详解】解：如图，即为所求．      9-5（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，点是上的一个定点． (1)请运用尺规在所给的图中按下列步骤完成作图，并按要求标上相应字母： ①作的平分线和过点作的垂线，使它们交于点； ②以点为圆心，长为半径作； (2)完成（1）的作图后，求证：是的切线． 【答案】(1)图见详解 (2)证明见详解 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、证明某直线是圆的切线 【分析】本题主要考查尺规作图的作角平分线和过点作垂线， （1）根据角平分线的作法和过点作垂线的方法作图即可； （2）由（1）得是的半径，过点O作交于点N，根据角平分线性质即可求得则有结论成立． 【详解】（1）解：如图， （2）过点O作交于点N，如图， ∵以点为圆心，长为半径作， ∴是的半径， ∵平分， ∴， 又∵， ∴是的切线． 39．（2025·安徽宣城·二模）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空． (1)画出线段绕点按顺时针方向旋转后得到的线段，连接． (2)画出与（1）中关于直线对称的图形，点的对称点是． (3)的度数为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【知识点】画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解、画旋转图形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（1）按照画旋转图形的方法画出线段绕点按顺时针方向旋转后得到的线段，并连接即可； （2）按照画轴对称图形的方法画出与（1）中关于直线对称的图形即可； （3）由旋转的性质可得，，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由轴对称的性质可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图，，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：由旋转的性质可得：，， ， 由轴对称的性质可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了画旋转图形，画轴对称图形，画出直线、射线、线段，旋转的性质，轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质，轴对称的性质以及画旋转图形的方法，画轴对称图形的方法是解题的关键． （建议用时60分钟） 1．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，四边形是矩形，连接． (1)实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了基本作图-角平分线，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作图—角平分线的作法，进行作图即可； （2）利用矩形的性质和直角三角形的性质得到，，，利用角平分线得到，则，即可证明猜想． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：猜想， 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵． ∴，， ∵， ∴ ∵的平分线，交于点M． ∴， ∴， ∴ 2．（2025·杨浦阶段练习）如图1，已知梯形中，，，现用四块这种全等的梯形拼成一个大的梯形（如图2） (1)求的度数以及和的长（和的长用含的式子表示）； (2)请画出一个用三块这种梯形纸片拼成一个等边三角形的示意图（要求不重叠、且等边三角形内没有空隙） 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、(等腰)梯形的定义 【分析】（1）根据等面积法得出，再证明，则，，即可作答． （2）结合解直角三角形的性质，在，，则，即可作图进行作答． 本题考查了相似三角形的性质，等腰梯形，等边三角形的性质，解直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵梯形中，，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵现用四块这种全等的梯形拼成一个大的梯形（如图2）， ∴，，， 如图所示：在图1中，过点A作，记图1的梯形的高为， 在图2中，过点E作，过点T作，图2的大梯形的高为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， （2）解：如图1，且，，四边形是等腰梯形， ∴， 在，， ∴， ∵用三块这种梯形纸片拼成一个等边三角形， ∴满足题意的等边三角形如图所示： 3．（2025·河北唐山·一模）定义：平面直角坐标系中，对于，两点，称为E，F两点的“折线距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，、． （1）如图15-1，轴，轴，________； （2）如图15-2，一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段上任取一点P，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图15-3，若点Q是直线的图象上一动点，画出满足的所有点Q构成的线段，并直接写出此线段的长度； （4）直接写出满足的所有点R围成图形的面积． 【答案】（1）4；（2）是定值，且；（3）；（4）32 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据定义代入数据计算即可； （2）先求出点的坐标，设点，再根据定义得到，即可解答； （3）设，根据定义得，解不等式，求出临界点，再利用勾股定理即可解答； （4）设，由题意得到的点构成以为中心的正方形，顶点为，，，，据此求解即可． 【详解】解：（1）设， ∵、，且轴，轴， ∴，，即， ∴，， 根据题意：； 故答案为：4； （2）是定值， ∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ∴，， 设点， 则， ∴是定值，且； （3）设，根据定义得， 令，则，令，则， ①当时， ∴，， 则，解得：， ∴，； ②当时， ∴，， 则，解得：， ∴，； ③当时， ∴，， 则，解得：（舍去）； 综上，时，， 此时，所有点构成的线段为点到点的线段长， 长度为； （4）设， ∵， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， ∴的点构成以为中心的正方形，顶点为，，，，如图， 则对角线长为8， ∴，即满足的所有点R围成图形的面积为32． 【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数图形的性质，勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 4．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，，点为线段的中点，连接 (1)用尺规完成以下基本作图，过点作的垂线交于点，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：（补充完整证明过程） 证明：∵，点是线段的中点 ∴__________． ∵ ∴垂直平分 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴②__________． ∴ ∴③__________． ∵ ∵四边形是菱形， ∴④__________． ∴． 【答案】(1)见解析 (2)；；四边形是平行四边形; 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了作垂线，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意过点作的垂线交于点，交于点，连接； （2）先证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是菱形，根据菱形的性质得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：∵，点是线段的中点 ∴． ∵ 垂直平分 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∴ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∵四边形是菱形， ∴． ∴． 5．（2025·江西·模拟预测）如图，是由绕着点顺时针旋转得到的，若，，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中作的角平分线； (2)在图2中画以为边的菱形． 【答案】(1)线段即为所求 (2)菱形即为所求 【知识点】角平分线的性质定理、利用菱形的性质证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查作图，角平分线的性质，菱形的判定和性质等知识； （1）连接，交于点，即为所求； （2）连接，交于点O，连接并延长，交的延长线于D，连接，利用相似三角形的性质画出即可求出． 【详解】（1）解：连接，交于点，即为所求， ，， ， 由旋转可得：，， ， ， ， 即平分； （2）解：连接，交于点O，连接并延长，交的延长线于D，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∵ ∴ ∴， ∵ ∴为平行四边形， 又∵ ∴为菱形，且以为边的菱形． 6．在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图①中，画等腰直角三角形，使其面积为； (2)在图②中，画矩形，使其面积为10； (3)在图③中，画平行四边形，使其面积为5（不包括正方形）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与网格问题、利用平行四边形的性质求解、矩形性质理解 【分析】本题考查了网格作图，网格与勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算出，结合面积为这个条件得且，即可作答． （2）结合网格特征，得，，，则矩形的面积为， （3）根据网格特征，得四边形是平行四边形，运用割补法得出平行四边形的面积为5，即可作答． 【详解】（1）解：等腰直角三角形如图所示： （2）解：矩形如图所示： （3）解：平行四边形如图所示： 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B两点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图，每个画图的连线不得超过三条． (1)在图（1）中，将点A绕点B顺时针旋转至点C，画出点C；连接，并在AC上画点N，使 ； (2)在图（2）中，P是网格线上一点，先画出点B关于点P的对称点D；再画出点A关于点P的对称点E． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等三角形综合问题、勾股定理与网格问题、与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据表格特征即可得到点C，连接交于点，点C和点N即为所求． （2）连接交网格于点，取与网格交点点，连接并延长交网格于点，连接交所在直线于点，点D和点E即为所求． 【详解】（1）解：如图所示：点C和点N即为所求． 理由如下： 根据图象可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 根据图象可得， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图所示：点D和点E即为所求． 理由如下： 根据图象可得：点是中点， ∵， ∴，即， 即点是中点， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了复杂作图，主要涉及知识点有，相似三角形的性质和判定，平行线截线段成比例，全等三角形的性质和判定，勾股定理，二次根式的性质，三角形中位线定理等知识点，解题的关键是正确作出图象． 8．如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先画的高，再将线段绕点D逆时针旋转，画对应线段； (2)在图2中，先画的角平分线，再将线段绕点F旋转，画对应线段（点G与点A对应）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】格点图中画等腰三角形、画旋转图形 【分析】本题考查作图-旋转变换，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）取格点T，连接交于点D，线段即为的高．取格点J，构造等腰直角三角形，交于点E，线段即为所求； （2）取格点T，作射线交于点F，线段即为所求．取格点K，J，连接交射线于点H（可以证明），取格点M，N，连接交的延长线于点G（，由，推出），连接，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，线段，即为所求； （2）解：如图2中，线段即为所求． ． 9．（2025·江苏南京·一模）面积和周长是初中几何数学中讨论的重要内容． (1)小明的想法：若要在锐角三角形里找到一个面积最大的正方形，可以在一条边上先找一个点，然后… ①补全小明的想法，可以画图补充； ②按这样想，面积相等的直角三角形里，面积最大的正方形的面积随着直角三角形高的变化趋势是 ___________． (2)小芳的问题：边长为的等边三角形里，周长最大的正方形的面积是多少？请你回答． (3)小张的问题：在一个边长为5的正方形中，最多可以找出多少个顶点均在边上且面积为10的等边三角形？请你回答： A．有 ___________个 B．无数个 C．没有 (4)一个边长为m的正方形中，圆与正方形各边相切，圆上两个动点之间的距离为m，分别连接两动点和正方形的一个顶点所形成的三角形面积的最大值和最小值的比值：___________． 【答案】(1)①见解析；②正方形的面积随高的增大是先变大再变小 (2) (3)C (4) 【知识点】正方形性质理解、正多边形和圆的综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是理解题意，熟练化为基础知识． （1）①在上取，作于，以为边作正方形，连接并延长交于，作，作于，作于，则四边形是面积最大的正方形； ②在中，设，，设正方形的边长是，根据得出，从而，进一步得出结果； （2）设，则，由得，求得，进而得出结果； （3）设等边三角形的边长是，可得出，求得，进一步得出结果； （4）当时，的面积最大，在中求得，进而得出面积最大值；当时，面积最小，同样的方法得出结果，进一步得出结果。 【详解】（1）解：①如图1， 在上取，作于，以为边作正方形，连接并延长交于，作，作于，作于，则四边形是面积最大的正方形；理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形； ②如图2， 在中，设，，设正方形的边长是， ， ， ， ， ， 设(为常数）， ， 当增大时，先变小再变大， 故答案为：正方形的面积随高的增大是先变大再变小； （2）解：如图3， 设，则，， 由得， ， ， ， 答：周长最大的正方形的面积为：； （3）解：选：没有，理由如下： 设等边三角形的边长是， ∴， ∴， ∴， ∴不存在面积为10的等边三角形； （4）解：如图4， 当时，的面积最大， 在中，，， ， ， ， ， 如图5， 当时，面积最小， ∵， ∴， ∴， ∴两动点和正方形的一个顶点所形成的三角形面积的最大值和最小值的比值：． 2 / 91 1 / 91 学科网（北京）股份有限公司 $$