精品解析：辽宁省大连市金州区2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题　

2025年八年级（下）第一次学情调查 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠2 B. x＞2 C. x≥2 D. x≥﹣2 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 估算的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 8. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点在边上，连接、，若是的平分线，是的平分线，，，则平行四边形的周长为（ ） A. 24 B. 30 C. 40 D. 48 10. 如图，在中，为上一点，，，，则（ ） A. 25 B. 29 C. 41 D. 45 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若与最简二次根式可以合并，则______． 12. 如图，如果要测量池塘两端、的距离，可以在池塘外取一点，连接，，点、分别是，的中点，测得的长为8米，则的长为____________米． 13. 如图，在长方形内，两个小正方形的面积分别为1，3，则图中阴影部分的面积等于__________． 14. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，点、、在同一直线上，与交于点，若，则____________． 15. 如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算：． 17. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．学校为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求劳动基地（四边形）的面积． 18. 如图，在中，，，垂足为，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 【观察规律】 观察下列式子：，，，…， 类比分析】 （1）按照上述式子的书写格式，再写出两个同类型的式子． 【推理证明】 （2）用含（的正整数）的式子表示上述规律，并给出证明． 【创新应用】 （3）按此规律，若（，为正整数），求的值． 20. 如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东方向航行一定距离到达C港． （1）求A，C两港之间的距离（结果精确到1海里）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．（参考数据：，，） 21. 如图1，点是对角线上一点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）如图2，设与的交点为，且为中点，连接，若，求证：． 22. 如图，和都是等腰直角三角形，其中，，，绕点旋转． （1）如图1，当在的外部时，连接，交于点，求证：； （2）如图2，当旋转到顶点在的内部时，连接，，若，求证：； （3）若，，绕点旋转的过程中，当时，直线与直线交于点． ①如图3，当在的外侧时，求的长； ②如图4，当在的内部时，直接写出的长． 23. 如图，在中，，，点在边上，连接． （1）如图，，，求长； （2）如图2，过D向下作，且，连接，求证：． ①如图3，小明同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过作交于点； ②如图4，小强从条件的角度出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点． 请你选择一名同学解题思路，写出证明过程． （3）如图5，过点向上作，且，连接，点为中点，连接，猜想，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年八年级（下）第一次学情调查 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠2 B. x＞2 C. x≥2 D. x≥﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】若要有意义，即x-2≥0，求解即可． 【详解】若有意义 令x-2≥0 ∴x≥2． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，在二次根式中，要求字母a必须满足条件，即被开方数是非负的，所以当a≥0时，二次根式有意义，当a＜0时，二次根式无意义． 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、因，所以不能构成直角三角形； B、因为，所以不能构成直角三角形； C、因为，所以能构成直角三角形； D、因为，所以不能构成直角三角形． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．利用二次根式乘除法则，加减法则一一判断即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项正确符合题意； C、2与不是同类二次根式，不能合并，本选项错误不符合题意； D、，本选项错误不符合题意． 故选：B． 4. 在中，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是学会利用勾股定理解决问题． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，， ． 故选：D． 5. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形平行四边形，A正确，符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意； 当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 如图，连接，则，由图可知，， 由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接，则， 由图可知，， 由勾股定理得，， ∴， 故选：D． 7. 估算的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可． 【详解】解： ∵ ∴即， 故选：C． 8. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出、，再计算与的比值即可得解．正确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 9. 如图，在中，点在边上，连接、，若是的平分线，是的平分线，，，则平行四边形的周长为（ ） A. 24 B. 30 C. 40 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等角对等边、勾股定理，由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质结合角平分线的定义可得，，，推出，，，再由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴平行四边形的周长为， 故选：B． 10. 如图，在中，为上一点，，，，则（ ） A. 25 B. 29 C. 41 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，作于，由等腰三角形的性质可得，求出，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图：作于， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若与最简二次根式可以合并，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可． 【详解】解∶， 与最简二次根式可以合并， ， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 12. 如图，如果要测量池塘两端、的距离，可以在池塘外取一点，连接，，点、分别是，的中点，测得的长为8米，则的长为____________米． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据题意得出是的中位线，即，从而即可得解． 【详解】解：连接， ， ∵点、分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵的长为8米， ∴米， 故答案为：16． 13. 如图，在长方形内，两个小正方形的面积分别为1，3，则图中阴影部分的面积等于__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数混合运算的应用，难度不大．由两个小正方形的面积分别为1，3，得出其边长分别为1和，则阴影部分合起来是长等于1，宽等于的长方形，从而可得答案． 【详解】解：面积为3的正方形的边长为，面积为的正方形的边长为1， 则阴影部分面积为：． 故答案为：． 14. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，点、、在同一直线上，与交于点，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，由题意可得，，，推出为等腰直角三角形，由直角三角形的性质可得，即可得出，最后再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得Rt△AOH中，AO=，根据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得到HG=-1，故可求解. 【详解】如图，∵的顶点，， ∴AH=1，HO=2， ∴Rt△AOH中，AO=， 由题可知，OF平方∠AOB， ∴∠AOG=∠EOG, 又∵AG∥OE， ∴∠AGO=∠EOG， ∴∠AGO=∠AOG， ∴AG=AO=， ∴HG=-1， ∴G 故填：. 【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知等腰三角形和勾股定理的性质运用. 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简以及利用完全平方公式进行计算，再计算加减即可得解； （2）先计算二次根式的除法以及利用平方差公式进行计算，再计算加减即可得解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．学校为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求劳动基地（四边形）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得解． 【小问1详解】 解：，，， 在中，根据勾股定理，得， 答：蔬菜区边的长为； 【小问2详解】 解：，， ，， ， 是直角三角形， 答：劳动基地（四边形）的面积为． 18. 如图，在中，，，垂足为，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）由平行四边形的性质可得，求出，，计算即可得解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ； 小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 19. 【观察规律】 观察下列式子：，，，…， 【类比分析】 （1）按照上述式子的书写格式，再写出两个同类型的式子． 【推理证明】 （2）用含（的正整数）的式子表示上述规律，并给出证明． 【创新应用】 （3）按此规律，若（，为正整数），求的值． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）2069 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给例子即可得解； （2）根据题干所给例子即可得出，再根据二次根式的性质进行证明即可； （3）由规律可知，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得：，． （2）由题意可得：， 证明：左边， 右边， ∴左边=右边，等式成立； （3）由规律可知，， ． 20. 如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东方向航行一定距离到达C港． （1）求A，C两港之间的距离（结果精确到1海里）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．（参考数据：，，） 【答案】（1）海里 （2）甲货轮先到达港，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：，，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算比较即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，如图所示： 由题可知，， 为等腰直角三角形， 在中，（海里），（海里）， 在中，（海里）， （海里）， ，两港之间的距离约为海里； 【小问2详解】 解：甲货轮先到达港，理由如下： 如图所示： 由题意得，， ， ， 在中，， （海里），（海里）， 由条件可知（海里）， 甲货轮航行的路程（海里）， 乙货轮航行的路程（海里）， ，即， ， 甲货轮先到达港． 21. 如图1，点是对角线上一点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）如图2，设与的交点为，且为中点，连接，若，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接交于点，由平行四边形的性质可得，结合题意得出为的中位线，再由三角形中位线的性质即可得证； （2）证明得出，证明得出，再由平行四边形的性质可得，即可得证． 【小问1详解】 证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ，即为中点， ， 为中点， 为的中位线 ，即； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， 又，为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ． 又，， ， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 22. 如图，和都是等腰直角三角形，其中，，，绕点旋转． （1）如图1，当在的外部时，连接，交于点，求证：； （2）如图2，当旋转到顶点在的内部时，连接，，若，求证：； （3）若，，绕点旋转的过程中，当时，直线与直线交于点． ①如图3，当在的外侧时，求的长； ②如图4，当在的内部时，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明得出，设与交于点，得出，再由勾股定理即可得证； （2）连接，证明得出，求出，再由勾股定理即可得证； （3）①过作于点，求出，得出，证明，求出，，再由计算即可得解；②过作于，同理，得出，求出得到，从而得出，由计算即可得解． 【小问1详解】 证明：， ，即， ，， ， ， 设与交于点， ， ， 在中，； 【小问2详解】 证明：如图1，连接， ， ∴，即， ，． ， ， ，， ， ， ． 在中，， ． 在中，， ， ； 【小问3详解】 解：①如图2，过作于点， ， ， ， ， ， ． ，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ． ， ． ， ； ②过作于， 同理， ， ， ， ， ， ． 23. 如图，中，，，点在边上，连接． （1）如图，，，求的长； （2）如图2，过D向下作，且，连接，求证：． ①如图3，小明同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过作交于点； ②如图4，小强从条件的角度出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （3）如图5，过点向上作，且，连接，点为的中点，连接，猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）选择小明同学的解题思路，证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由勾股定理求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）选择小明同学的解题思路，过作交于，证明结合勾股定理可得，，证明得出，即可得证；选择小强同学的解题思路，过作交的延长线于，证明得出，，再证明，结合勾股定理得出，即可得证； （3）延长至，使，连接，过作交于，证明得出，，再证明得出，推出，结合，即可得解． 【小问1详解】 解：，，． ， ， ， ， ， 在中，，根据勾股定理，得； 【小问2详解】 解：选择小明同学的解题思路， 证明：如图1，过作交于． ， ，， ， ， ． 在中，根据勾股定理得． ，即． 又， ， ， ， ． ， ， ， ． 选择小强同学的解题思路． 证明：如图2，过作交延长线于， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． ， ， ，， ， ， ，即， ， 在中，根据勾股定理，得， ． 【小问3详解】 解：猜想：． 证明：如图3，延长至，使，连接，过作交于， ，，． 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$