精品解析：2026年河北省邢台市中考二模考试数学试题

2026年初中学业水平模拟考试（二）数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（ ） A. 点A B. 点C C. 点D D. 点A或点C 3. 算式可以变形为，依据是（ ） A. 乘法交换律 B. 分配律 C. 移项 D. 乘法结合律 4. 图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（ ）. A. 这个基本作图是作角的平分线 B. 弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 C. 弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 D. 弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧 5. 语句“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则运算符号“”是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格图中，位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 已知是一元二次方程的两根之和，则关于双曲线的说法正确的是（ ） A. 随增大而增大 B. 点在双曲线上 C. 双曲线关于直线对称 D. 双曲线位于一、三象限 9. 已知图1所示的平面图形可以折叠成图2所示的正方体，则小正方形的图案是（ ） A. B. C. D. 10. 若实数，则实数的值可以是（ ）． A. B. C. D. 11. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，将平行四边形绕点D逆时针旋转得到四边形，使点A落在对角线上的点M处，点A、M、C、N在一条直线上，若，则B、Q两点间距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 某体育馆有3个完全相同的入口，分别通往田径训练场，球类训练场和健身训练场．一名运动员从任意一个入口进入的可能性都相等，则他恰好进入田径训练场的概率为____． 14. 如图是正边形的一部分及它的一个外角，根据图中所给出的信息，的值是____． 15. 如图，在矩形中，，点是边的中点，连接，点是的中点，连接、，若，则_____． 16. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 一道习题及其错误的解答过程如下： 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）请指出是在第几步开始出现错误的； （2）选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 18. 已知代数式： ． （1）若，，请用含的代数式表示； （2）若，试判断是否恒成立，并说明理由． 19. 在某社区文明素养测评活动中，工作人员对居民日常文明表现进行打分，打分统一为1分、2分、3分、4分、5分中的一种．若样本得分的平均数或中位数低于3.5分，则需要在下一阶段对该社区开展文明宣传专项活动．现随机抽取20名居民的测评分数，绘制成了如图所示的条形统计图． （1）求这20名居民测评分数的平均数与中位数，并判断下一步是否需要对该社区开展文明宣传专项活动； （2）工作人员从余下的测评分数中随机再抽取了一个，发现这21名居民测评分数的平均数大于3.5分，求抽取的这名居民的测评分数；与（1）相比，中位数是否发生变化？ 20. 如图，在菱形中，点、分别是边、上的点，，连接和，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，直线与直线交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）点是直线上一点，若 ，求点坐标． 22. 在图1，图2中，四边形是正方形，，以为直径向上作半圆，点是半圆上一点． （1）如图1，连接，， ①若是半圆的切线，则_____； ②求的最小值； （2）如图2，连接并延长交边于点，若，求阴影部分的面积． 23. 综合与实践 【问题背景】某科研小组通过观察粒子发射实验，发现粒子发射后仅受重力和空气阻力的影响，它的运动轨迹呈抛物线形状，现对相关问题进行研究． 【数据收集】如图1，以粒子发射器的发射口处为原点建立平面直角坐标系，粒子运动到与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为．运动的粒子会落在与点水平距离为的挡板上处（挡板的厚度忽略不计）；若研究者将粒子发射器的发射口从点水平向右平移到处，粒子运动轨迹不变，此时的粒子仍可以达到处（不是抛物线的最高点）． 【问题解决】 （1）求发射口平移前粒子运动轨迹的解析式； （2）求的值； 【拓展应用】 （3）如图2，保持挡板的位置不变，在挡板上设置长为红色带（点在点的上方），将粒子发射器的发射口沿轴竖直向上平移到点，若粒子发射器发射的粒子束的上沿抛物线的关系式为（为点的高度），粒子束的下沿抛物线的关系式为，请问还需将粒子发射器再向左或右平移多少，才能使发射的粒子束正好将红色带覆盖． 24. 如图，在中，，，，点在边上，过点作交射线于点，作点关于的对称点． （1）求点到直线的距离； （2）若，则_____； （3）连接交边于点，连接．若是锐角三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试（二）数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线可以向两端无限延伸，借助直尺或三角板将各直线向点A方向延长，观察哪条直线经过点A即可． 【详解】解：分别延长各直线，如图， 经过点A的直线是b． 2. 如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（ ） A. 点A B. 点C C. 点D D. 点A或点C 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 3. 算式可以变形为，依据是（ ） A. 乘法交换律 B. 分配律 C. 移项 D. 乘法结合律 【答案】D 【解析】 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 4. 图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（ ）. A. 这个基本作图是作角的平分线 B. 弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 C. 弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 D. 弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作一个角等于已知角的尺规作图．通过分析图1和图2的作图痕迹，可还原完整作图过程，并逐项验证选项． 【详解】解：图1的作图为：以点为圆心，任意长为半径画弧①，交角两边于点， 图2的作图为：画射线，以点为圆心，长为半径画弧②，交于点，以点为圆心，长为半径画弧③，与弧②相交于一点，连接与该交点，得所求角， 选项：这个基本作图是作角的平分线，不符合题意，本题是作一个角等于已知角，故选项错误； 选项：弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，符合题意，故选项正确； 选项：弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，不符合题意，弧②半径应为的长，而非任意长，故选项错误； 选项：弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧，不符合题意，弧③半径应为的长，而非的长，故选项错误． 5. 语句“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】先表示出与的差，可得. 再表示出差的倍，可得. ∵该式是非负数，即大于等于， ∴. 6. 已知，则运算符号“”是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的运算，掌握二次根式的加减乘除运算法则是解题的关键．先化简，再将选项中的运算符号依次代入计算，判断等式是否成立，进而确定运算符号“”． 【详解】解：先化简，依次代入计算： 选项：； 选项：； 选项：； 选项：，符合等式要求， 运算符号“”是， 故选：． 7. 如图，在正方形网格图中，位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】根据方位角的含义绘制点的南偏西方向和点西北方向，即可得到答案． 【详解】解：如图，绘制点的南偏西方向：从点的正南方，向西（左）偏转的方向， 绘制点西北方向：从点的正北方，向西（左）偏转，也就是正西和正北的角平分线方向，两直线交于点， ∴位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是点． 8. 已知是一元二次方程的两根之和，则关于双曲线的说法正确的是（ ） A. 随增大而增大 B. 点在双曲线上 C. 双曲线关于直线对称 D. 双曲线位于一、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次方程两根之和的规律求出的值，得到反比例函数的比例系数，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程 中，二次项系数为，一次项系数为， ∴ 两根之和 ， ∴ 双曲线解析式为 ，比例系数 ， 反比例函数的增减性仅在每个象限内成立， 不是在全体定义域内随增大而增大，故A错误； B. 将代入，得，所以点不在双曲线上，故B错误； C. 反比例函数的图象关于直线对称，故C正确； D. ∵ ， ∴ 双曲线位于第二、四象限，故D错误． 9. 已知图1所示的平面图形可以折叠成图2所示的正方体，则小正方形的图案是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以把图1逆时针旋转90°后向左、向右、向前、向后折叠得到正方体2，再把正前方的图形顺时针旋转90°即可得到解答． 【详解】解：把图1逆时针旋转90°后向左、向右、向前、向后折叠得到正方体2，此时P变为： 把上图顺时针旋转90°即得P图原图如下： 故选D． 【点睛】本题考查旋转的应用，熟练掌握正方体的折叠方法及旋转的方法是解题关键． 10. 若实数，则实数的值可以是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简分式，再根据分式有意义的条件确定的取值范围，进而判断选项中哪个值符合要求． 【详解】解：化简分式：， ∵分式有意义时分母不能为， ∴，，即且，逐个判断选项， 选项：若，则，解得，满足条件，选项符合要求； 选项：若，则，解得，不满足分母不为的要求，选项错误； 选项：若，则，无实根，故不可能为，选项错误； 选项：若，则，解得，不满足分母不为的要求，选项错误． 11. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所求代数式设为新未知数，结合完全平方公式展开整理，即可求出结果． 【详解】解：设， 则，， ∵， ∴， 展开得：， 整理得：， 解得， 即． 12. 如图，将平行四边形绕点D逆时针旋转得到四边形，使点A落在对角线上的点M处，点A、M、C、N在一条直线上，若，则B、Q两点间距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形和旋转的性质，证明，求出和的长，进而发现为等腰三角形；利用旋转角相等推导，通过构造直角三角形利用勾股定理求解的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ， ∴，，M为，中点， ∴，，， 如图，连接， 由旋转性质可知：，， ∴，，，， ∴， ∵点A，M，C，N在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由，得 ， 由，得，即（负值舍去）， ∴，，， ∵ ， ∴是等腰三角形， 过点C作于H， ∴H为中点， ∴， 在中，， ∵旋转角， ∴ ， 过点Q作于点E ，连接， 在和中，  ， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 某体育馆有3个完全相同的入口，分别通往田径训练场，球类训练场和健身训练场．一名运动员从任意一个入口进入的可能性都相等，则他恰好进入田径训练场的概率为____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知，所有等可能的入口结果共有种，恰好进入田径训练场的结果有种， 根据概率计算公式，可得，恰好进入田径训练场的概率为． 14. 如图是正边形的一部分及它的一个外角，根据图中所给出的信息，的值是____． 【答案】 8##八 【解析】 【分析】根据平角的定义列出关于α的方程，求出正边形的外角度数，再根据多边形的外角和等于即可求出n的值． 【详解】由图可知，α与互为补角， ∴， 解得， ∵多边形的外角和为，且该多边形为正n边形，  ∴． 15. 如图，在矩形中，，点是边的中点，连接，点是的中点，连接、，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过作的平行线分别交于，设，再利用勾股定理得到，结合，利用勾股定理解出即可． 【详解】解：过作的平行线分别交于，设， 点是的中点，且， 为的中位线， ，， 又点是边的中点， ， 又，为矩形， 四边形为矩形， ， ， 又， ，即， 解得，即． 16. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先判断抛物线开口方向，明确二次函数y值与点到对称轴距离的关系，再结合题目对任意，都有的条件，推导得到p需满足的不等式，进而求出p的取值范围． 【详解】解：抛物线中，， 因此抛物线开口向下，开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应y值越小， 该抛物线的对称轴为直线， 根据题意，对任意，，都有， 因此任意满足条件的，到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 即两边平方得， 展开整理得，移项因式分解得， 因为，所以， 可得，即对任意，恒成立， 由，，可得， 因此． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 一道习题及其错误的解答过程如下： 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）请指出是在第几步开始出现错误的； （2）选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 【答案】（1） 第一步开始出现错误 （2） 见解析 【解析】 【分析】（1）由绝对值的化简计算，整数指数幂以及零指数幂的运算化简可知第一步开始出现错误； （2）按照正确的运算法则逐步计算得到正确结果即可． 【小问1详解】 解：原第一步中，绝对值化简错误，计算错误，零指数幂计算错误， 因此第一步开始出现错误； 【小问2详解】 解：正确解答过程如下： ． 18. 已知代数式： ． （1）若，，请用含的代数式表示； （2）若，试判断是否恒成立，并说明理由． 【答案】（1） （2） 恒成立 【解析】 【分析】（1）将已知的和代入代数式，化简整理即可得到结果； （2）将代入，配方后利用平方数的非负性得到的取值范围，即可判断结论． 【小问1详解】 解：已知，，， 代入得：； 【小问2详解】 解：将代入得：， 配方得：  ， ∵任意实数的平方都大于等于0，即， ∴， 又∵， ∴恒成立． 19. 在某社区文明素养测评活动中，工作人员对居民日常文明表现进行打分，打分统一为1分、2分、3分、4分、5分中的一种．若样本得分的平均数或中位数低于3.5分，则需要在下一阶段对该社区开展文明宣传专项活动．现随机抽取20名居民的测评分数，绘制成了如图所示的条形统计图． （1）求这20名居民测评分数的平均数与中位数，并判断下一步是否需要对该社区开展文明宣传专项活动； （2）工作人员从余下的测评分数中随机再抽取了一个，发现这21名居民测评分数的平均数大于3.5分，求抽取的这名居民的测评分数；与（1）相比，中位数是否发生变化？ 【答案】（1）平均数是分，中位数是4分，需要对该社区开展文明宣传专项活动 （2）5分，中位数没有变化 【解析】 【分析】（1）根据平均数和中位数的定义结合统计图即可求解，再进一步判断即可； （2）设抽取的这名居民的测评分数是x分，根据题意得到关于x的不等式，求出x的范围再结合题意可得x的具体数值，再判断新数据的中位数即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据统计图可得这20名居民测评分数的平均数分， 这20名居民测评分数的中位数分， ∵样本得分的平均数， ∴下一步需要对该社区开展文明宣传专项活动； 【小问2详解】 解：设抽取的这名居民的测评分数是x分，根据题意可得： ， 解得：， ∵打分统一为1分、2分、3分、4分、5分中的一种， ∴， 即抽取的这名居民的测评分数是5分； 此时这21个数据的中位数是4分，与（1）相比，中位数没有发生变化. 20. 如图，在菱形中，点、分别是边、上的点，，连接和，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）设，再证，利用相似比求解边长即可． 【小问1详解】 证明：在菱形中，，， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 设，则， 又， ， ，即， 整理得：， 解得或（舍去）， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，直线与直线交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）点是直线上一点，若 ，求点坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）分在直线右侧和在直线左侧两种情况进行求解． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式， ，解得， 则直线的函数表达式； 【小问2详解】 解：当在直线右侧时， ， ，又， 所以点的横坐标为， 时，， 此时； 当在直线左侧时，设直线与轴交于点， ， ，设， 又，， ，则， 在中，， 即，解得，则， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， ，解得， 则； 综上，或． 22. 在图1，图2中，四边形是正方形，，以为直径向上作半圆，点是半圆上一点． （1）如图1，连接，， ①若是半圆的切线，则_____； ②求的最小值； （2）如图2，连接并延长交边于点，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）① ② （2） 【解析】 【分析】（1）①连接、，可证，根据全等三角形对应边相等可知； ②连接交于点，当点、、三点共线时最小，根据勾股定理求出，根据圆的性质可知，所以的最小值是； （2）连接，过点作，根据勾股定理求出的长度，利用，可以求出，根据圆周角定理可知，利用的正弦求出，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 ①解：如下图所示，连接、， 四边形是正方形，， ，， 是半圆的切线， ， 在和中，， ， ； ②解：如下图所示，连接交于点， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， 的最小值为； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接，过点作， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 23. 综合与实践 【问题背景】某科研小组通过观察粒子发射实验，发现粒子发射后仅受重力和空气阻力的影响，它的运动轨迹呈抛物线形状，现对相关问题进行研究． 【数据收集】如图1，以粒子发射器的发射口处为原点建立平面直角坐标系，粒子运动到与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为．运动的粒子会落在与点水平距离为的挡板上处（挡板的厚度忽略不计）；若研究者将粒子发射器的发射口从点水平向右平移到处，粒子运动轨迹不变，此时的粒子仍可以达到处（不是抛物线的最高点）． 【问题解决】 （1）求发射口平移前粒子运动轨迹的解析式； （2）求的值； 【拓展应用】 （3）如图2，保持挡板的位置不变，在挡板上设置长为红色带（点在点的上方），将粒子发射器的发射口沿轴竖直向上平移到点，若粒子发射器发射的粒子束的上沿抛物线的关系式为（为点的高度），粒子束的下沿抛物线的关系式为，请问还需将粒子发射器再向左或右平移多少，才能使发射的粒子束正好将红色带覆盖． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可设，再代入点即可求解； （2）先得到点坐标，设抛物线向右移动后的表达式为：，再代入点点坐标求解； （3）先得到两者的差值可知需要向右移动，设顶点向右平移厘米，平移后的抛物线表达式为：，再通过纵坐标之差列式求解即可． 【小问1详解】 解：设粒子运动轨迹抛物线的表达式为：， 代入点：，，解得：， 因此，抛物线表达式为：； 【小问2详解】 解：当时，代入抛物线表达式：， 点的坐标为， 抛物线向右移动后的表达式为：， 代入点：，，， 解得：，（舍去）， 因此，移动距离的值为； 【小问3详解】 当时，两条抛物线的纵坐标分别为：， ， 两者的差值：， 说明需要向右移动， 设顶点向右平移厘米，平移后的抛物线表达式为：， ， 当时：，， ， 解得：，（舍去）， 因此，粒子发射器需向右移动． 24. 如图，在中，，，，点在边上，过点作交射线于点，作点关于的对称点． （1）求点到直线的距离； （2）若，则_____； （3）连接交边于点，连接．若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）6 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数和勾股定理解即可； （2）证明，根据对应边长成比例得，分两种情况：点N在线段上，N在线段的延长线上，代入数值计算即可； （3）过点M作于点H，设，通过解直角三角形，得出，，进而用含x的式子表示出，分别计算出和时的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：中，，，， ， ， 即点到直线的距离为6； 【小问2详解】 解：，， ， 又， ， ，即， 时，分两种情况： 当点N在线段上时，， ， 解得； 当点N在线段的延长线上时，， ， 解得， 综上可知，或； 【小问3详解】 解：过点M作于点H， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，如图： ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 即 ， 解得， 当时，是锐角三角形； 当时，如图： 则， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 即 ， 解得， 当时，是锐角三角形； 综上可得，当时，是锐角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $