专题03 计数原理（四大题型）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题03 计数原理 题型概览 题型01分步乘法计数原理 题型02排列及排列数公式 题型03组合及组合数公式 题型04二项式定理 ( 题型 01011 01 ) 分步乘法计数原理 1．（23-24高二下·福建福州·期中）小五和小明两人从4门课程中各选修1门，则小五和小明所选的课程的选法共有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．18种 【答案】C 【分析】根据分步乘法原理求解. 【详解】∵小五和小明两人从4门课程中各选修1门， ∴由乘法原理可得小五、小明所选的课程的选法有4×4=16（种）． 故选:C 2．（23-24高二下·福建南安市蓝园高级中学·期中）五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】C 【分析】根据分步计数原理，结合题意，直接计算即可. 【详解】根据题意，甲有种选择，乙、丙都有种选择， 故所有的选法有：种. 故选：C. 3．（23-24高二下·福建福州第三中学·期中）将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（    ） A．种 B．种 C．9种 D．20种 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理分析运算. 【详解】将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，共有种发送方法. 故选：B. ( 题型02 ) 排列及排列数公式 4．（23-24高二下·福建南平市高级中学·期中）五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】B 【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法， 所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为. 故选：B 5．（23-24高二下·福建福州·期中）将编号为1，2，3，4，5，6的小球放入编号为1，2，3，4，5，6的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有3个小球与所在盒子编号相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全排列求解总数，根据组合数结合列举法求解符合要求的个数，即可根据古典概型的概率公式求解. 【详解】由题得任意放球共有种方法，如果有3个小球与所在的盒子的编号相同， 第一步：先从6个小球里选3个编号与所在的盒子相同，有种选法； 第二步：不妨设编号相同的小球选的是1、2、3号球， 编号为4，5，6小球的编号与盒子的编号都不相同，则有两种， 所以有3个小球与所在的盒子的编号相同，共有种方法． 由古典概型的概率公式得恰有3个小球与所在盒子编号相同的概率为， 故选：D． 6．（23-24高二下·福建泉州·期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 .（用数字作答） 【答案】408 【分析】先计算当“数”和“乐”两次不相邻的情况数，再计算其中“射”在第一次的情况数相减即可. 【详解】当“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序有种， 当讲座次序要求“射”在第一次，“数”和“乐”两次不相邻， 则“六艺”讲座不同的次序有种， 则六艺”讲座不同的次序共有480﹣72＝408种． 故答案为：408． 7．（23-24高二下·福建福州·期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某学校政治组有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求： (1)4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)3名女教师互不相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)576 (2)1440 【分析】（1）由捆绑法及分步乘法计数原理即可求解； （2）由插空法及分步乘法计数原理，即可求解． 【详解】（1）根据题意，先将4名男教师排在一起，有种坐法， 将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排列，共有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有24×24=576种坐法． （2）根据题意，先将4名男教师排好，有种坐法， 再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女教师，有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有60×24=1440种坐法． ( 题型03 ) 组合及组合数公式 8．（23-24高二下·福建·期中）设集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．232 B．144 C．184 D．252 【答案】A 【分析】分的值为、、进行讨论，结合组合数的性质计算即可得. 【详解】若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 即共有种不同排列， 即集合中满足的元素的个数为. 故选：A. 9．（23-24高二下·福建南平·期中）某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（    ） A．192种 B．168种 C．72种 D．144种 【答案】A 【分析】相邻问题用“捆绑法”，结合排列组合的知识求解即可. 【详解】根据题意，分两步进行分析： 第一步，先从4个视频中选3个，有种方法；2篇文章全选，有种方法； 第二步，2篇文章要相邻，则可以先“捆绑”看成一个元素，内部排列，有种方法； 第三步，将“捆绑”元素与3个视频进行全排列，有种方法. 故满足题意的学法有种. 故选：A. 10．（23-24高二下·福建泉州·期中）某校准备参加2024年高中数学联赛，把10个选手名额分配给高三年级的3个教学班.若每班至少一个名额，则不同的分配方案有 种.（用数字作答） 【答案】36 【分析】根据题意将10个名额分成3份，每份至少一个名额即可，所以利用隔板法求解即可. 【详解】根据题意，只须把10个名额分成3份，每份至少一个名额即可，分别对应3个班， 选用隔板法，即将10个名额排成一列，共9个间隔即空位，从其9个空位中，选取2个，插入隔板就符合题意， 即种分配方案. 故答案为：36. 11．（23-24高二下·福建福州·期中）（1）已知，求值：； （2）解方程：． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）根据组合数的公式可得，即可利用组合数的性质求解， （2）根据排列数的公式即可化简求解. 【详解】解：（1）∵，∴，解得或（舍）， 因为，所以， 原式； （2）因为， 所以， 化简可得，同时，解得． 12．（23-24高二下·福建福州·期中）在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要从这 10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法? （用数字作答）. (1)既有内科医生，又有外科医生； (2)至少有1名主任参加； (3)既有主任，又有外科医生. 【答案】(1) (2) (3)191 【分析】（1）分内科医生去人四种情况计算； （2）至少有1名主任即为只有1名或2名，分别计算求解； （3）分两类：一种若选外科主任，则其余可任意选，另一种若不选外科主任，则必选内科主任，分别求解即可； 【详解】（1）既有内科医生，又有外科医生包括四种情况： 内科医生去人， 得选派种数为：； （2）分两类： 一是选1名主任有种方法； 二是选2名主任有种方法； 故至少有1名主任参加的选派方法共种； （3）若选外科主任，则其余可任意选， 共有种选法；               若不选外科主任，则必选内科主任， 且剩余四人不能全选内科医生，有种选法；  . （也可以直接法：+=65） 故既有主任，又有外科医生的选派种数为. ( 题型04 ) 二项式定理 13．（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 【答案】D 【分析】根据二项展开式的通项直接运算即可. 【详解】由题意可知：展开式中的第3项为. 故选：D. 14．（23-24高二下·福建泉州·期中）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用求出，然后再利用二项式展开式的通项即可求解. 【详解】根据题意可得，解得， 则展开式的通项为，令，得， 所以常数项为：， 故选：B． 15．（23-24高二下·福建南平·期中）（，且）的展开式中的系数为 ． 【答案】220 【分析】根据二项展开式的公式可知其系数为，结合组合数性质计算即可. 【详解】根据二项展开式知：的展开式中的系数为 故的系数是， 又因为， 所以 ， 故答案为：220. 16．（23-24高二下·福建三明·期中）的展开式中，所有项的二项式系数和为 ． 【答案】64 【分析】根据题意可知，结合二项式系数之和为运算求解即可. 【详解】因为，所以二项式系数之和为. 故答案为：64. 17．（23-24高二下·福建三明·期中）已知，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意结合排列组合数的计算求解即可； （2）利用赋值法令和，即可求解； （3）设第项系数的绝对值最大，由二项展开通式列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴，解得（舍）或， ∴. （2）由（1）得，， ∴①， 令①式中，则， 令①式中，则， 由两式相加，得， ∴． （3）由（1）得，， 设第项系数的绝对值最大，则，解得， 又因为，所以， 故系数绝对值最大的项为． 18．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知展开式的二项式系数之和为． (1)求展开式中所有项的系数和； (2)求展开式中的常数项； (3)若能被整除，求正数的最小值． 【答案】(1)243 (2)80 (3)3 【分析】（1）根据二项式系数和为求出，再令即可得解； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得； （3）由，写出展开式的通项，即可得到只需满足能被整除，即可求出正数的最小值. 【详解】（1）由已知可得，，解得． 所以， 令，得， 即的展开式中所有项的系数和为； （2）二项式的展开式的通项为，， 令，解得，所以常数项为； （3）因为 ， 由于能被整除， 故当能被整除，只需满足能被整除， 所以正数的最小值为． 19．（23-24高二下·福建福州·期中）已知在二项式的展开式中，第三项的系数是第二项的系数的倍． (1)求正整数的值； (2)若展开式中各项系数之和为，二项式系数之和为，求的值； (3)求系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式展开式通项找到项的系数，因为第三项的系数是第二项的系数的倍列出等式，计算解出的值； （2）利用赋值法计算各项系数之和，计算二项式系数之和，再得出的值； （3）根据二项式展开式通项找到项的系数，利用不等式关系计算出系数最大的项； 【详解】（1）由题意得，二项式的展开式的通项为 ，， 第三项的系数是 第二项的系数是 又由第三项的系数是第二项的系数的倍，有 解得； （2）对于二项式，令，即得展开式中各项系数之和为，可得， 展开式的二项式系数之和为，可得， 可得； （3）展开式的通项为，， 则 整理得，即 而，∴，所以系数最大的项为． 一、单选题 1．（23-24高二下·福建泉州·期中）在二项式的展开式中，不正确的说法是（   ） A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1 C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大 【答案】A 【分析】首先求出二项式展开的通项，对选项A，令即可判定A错误，对选项B，令即可判定B正确，对选项C，根据偶数二项式系数之和为即可判定C正确，对选项D，根据二项式系数性质即可判定D正确. 【详解】二项式的展开式通项为 ． 对于A选项，令，可得，故常数项是第4项，故A错； 对于B选项，各项的系数和是，故B对； 对于C选项，偶数项二项式系数和为，故C对； 对于D选项，展开式共7项，第4项二项式系数最大，故D对． 故选：A 2．（23-24高二下·福建福州·期中）若，则的值为 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别令与代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，； 当时， 所以， 故选：C 3．（23-24高二下·福建厦门·期中）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”： ... 若在的展开式中，的系数为75，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题目中广义杨辉三角形的信息由前四行总结归纳找出规律，确定第五行的系数，然后根据题意求得. 【详解】由题目中广义杨辉三角形的信息可知的展开式中，第行共有个数字，从左向右第一个数字是1，第2个数字为，从第3个数字开始是它“头顶”上的数字与其前、后两个数字之和，例如第4行的第3个数字是10，则10=3+1+6，故由第4行的数字为1，4，10，16，19，16，10，4，1；则第5行的数字为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1；展开式中的指数从降幂排列， 故 所以的展开式中，的系数为，解得. 故选：C. 4．（23-24高二下·福建福州·期中）某大学的2名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（    ） A．若要求3名女生排在一起，则这5名同学共有48种排法 B．若要求2名男生不相邻，则这5名同学共有36种排法 C．若要求女生从左到右是从高到矮排列，则这5名同学共有20种排法 D．若要求男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，则这5名同学共有72种方法 【答案】C 【分析】利用捆绑法判断A；利用插空法判断B；利用定序法判断C，利用间接法可判断D. 【详解】对于，先将3名女生看成一个整体，与2名男生全排列即可，有种排法，错误； 对于B，若2名男生不相邻，可以先排女生，然后男生插空，有种排法，B错误； 对于C，女生从左到右是从高到矮排列，即女生定序，有种排法，C正确； 对于D，男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，有种排法，D错误． 故选：C 二、多选题 5．（23-24高二下·福建南平·期中）若，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用赋值法逐项计算判断得解. 【详解】在中， 对于A，令，得，A错误； 对于B，令，得，因此，B正确； 对于C，令，得，则，C正确； 对于D，令，得，则，D错误. 故选：BC 6．（23-24高二下·福建泉州·期中）设函数（，），则下列说法正确的是（    ） A．若时，则的展开式中常数项为1 B．当时，则的展开式中二项式系数最大的项为 C．若，且，则 D．当，若，则 【答案】ACD 【分析】对于A，求出展开式的通项公式后求解判断，对于B，求出的展开式的通项公式进行分析判断，对于C，由求解判断，对于D，利用赋值法求解判断. 【详解】对于A，的展开式的通项公式为，当时，，故A选项正确； 对于B，当，的展开式的通项公式为，当或时，二项式系数最大， 因此二项式系数最大的项有两项，故B选项错误； 对于C选项，由于，所以，故C选项正确； 对于D，若，则，令，则，故D选项正确. 故选：ACD. 7．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知，则（    ） A． B．此二项展开式系数最大的项为第4项 C．此二项展开式的二项式系数和为64 D． 【答案】CD 【分析】写出展开式的通项可判断A；分别求出即可判断B；由二项式系数和为可判断C；当，时代入可判断D. 【详解】展开式的通项为，. 对于A，当时，，故A错误； 对于B，若二项展开式系数最大，则为偶数， ，， 故此二项展开式系数最大的项为第5项，故B错误； 对于C，此二项式展开式的二项式系数和为，故C正确； D：令，， 令，，所以，故D正确； 故选:CD. 8．（23-24高二下·福建福州·期中）在的展开式中，下列命题正确的是（    ） A．偶数项的二项式系数之和为32 B．第3项的二项式系数最大 C．常数项为60 D．有理项的个数为3 【答案】AC 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式以及二项式系数的性质，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】偶数项的二项式系数之和为，故A正确； 根据二项式，当时的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B错误 ， 令，，∴，故C正确； 为整数时，，故有理项的个数为4，故D错误. 故选：AC． 9．（23-24高二下·福建莆田·期中）给出下列命题，其中正确的命题有（    ） A．若.则 B．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 C．从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种 D．西部某县委将7位大学生志愿者男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种 【答案】ACD 【分析】利用赋值法判断A，根据分步乘法计数原理判断B，先选一双鞋子，再从剩下的双鞋子中各选一只，按照分步乘法计数原理判断C，先分组、再分配，即可判断D. 【详解】对于A：二项式展开式的通项为（）， 所以、、，、、， 对， 令可得， 令可得， 所以，故A正确； 对于B：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种，故B错误； 对于C：先从双不同颜色的鞋子中任选一双有种取法，再从剩余的双鞋子中的任意两双，在这两双中各选一只有， 由分步乘法计数原理可得从双不同颜色的鞋子中任取只，其中恰好只有一双同色的不同取法共有，故C正确； 对于D：分组的方案有、和、两类， 第一类有种； 第二类有种， 所以共有种不同的方案，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题 10．（23-24高二下·福建福州·期中）“畅通微循环，未来生活更舒适”．我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心城市，便民商业体系向高品质发展．某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为 【答案】240 【分析】把5个调研小组按分成4组，再分派到4个社区即可得解. 【详解】依题意，5个调研小组按分成4组，有种分法， 把每种分法所得4组分派到4个社区，有种方法， 所以共有派出方案种数为. 故答案为：240 11．（23-24高二下·福建福州·期中）从3男4女共7名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生的选法有 种．（用数字作答） 【答案】34 【分析】首先不考虑性别利用组合数求出总数，再减去全是男医生的情况即可. 【详解】由题意从3男4女共7名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，共有种选法， 如果全是男医生参加，有种选法，所以共有种选法． 故答案为： 12．（23-24高二下·福建福州·期中），等6人排成一列，则在的前面的排法种数是 种．（用数字作答） 【答案】360 【分析】首先将个人全排列，固定顺序问题，再除以两人的全排列. 【详解】依题意在的前面的排法有种． 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高二下·福建福州·期中）在 的展开式中， (1)求展开式中所有项的系数和； (2)求二项式系数最大的项； (3)系数的绝对值最大的项是第几项? 【答案】(1)1 (2) (3)第6项和第7项 【分析】（1）借助赋值法令即可得； （2）结合二项式系数的性质与二项式的展开式的通项公式计算即可得； （3）解不等式组即可得. 【详解】（1）令，可得展开式中所有项的系数和为； （2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 的展开式的通项为： ， 故； （3）由的展开式的通项为： ， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 14．（23-24高二下·福建泉州·期中）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】(1)先对女生排列再用插空法可得答案； (2)先对女生排列根据插空法选择中间3个位置中的两个排列即可求得结果； (3)根据间接法总的减去对立面可求得结果； (4)先确定4个女生顺序，再排一个男生根据插空法，然后根据插空法排另外一个男生可求得结果. 【详解】（1）先对女生排列有种方法，再用插空法排列有种方法，则总计有种方法； （2）先对女生排列有种方法，男生不相邻且也不排到两头，可根据去掉头尾两空的插空法排列有,则总计有种方法； （3）6个人全排列有种方法，一个男生和甲相邻有种方法， 另外一个男生和甲相邻有种方法，两个男生都和甲相邻有种方法， 所以两个男生都不和甲相邻的排法有 种； （4）先确定4个女生顺序，则有5个空根据插空法第一个男生有种， 然后根据插空法排另外一个男生有种，则总计有种方法. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 计数原理 题型概览 题型01分步乘法计数原理 题型02排列及排列数公式 题型03组合及组合数公式 题型04二项式定理 ( 题型 01011 01 ) 分步乘法计数原理 1．（23-24高二下·福建福州·期中）小五和小明两人从4门课程中各选修1门，则小五和小明所选的课程的选法共有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．18种 2．（23-24高二下·福建南安市蓝园高级中学·期中）五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 3．（23-24高二下·福建福州第三中学·期中）将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（    ） A．种 B．种 C．9种 D．20种 ( 题型02 ) 排列及排列数公式 4．（23-24高二下·福建南平市高级中学·期中）五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 5．（23-24高二下·福建福州·期中）将编号为1，2，3，4，5，6的小球放入编号为1，2，3，4，5，6的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有3个小球与所在盒子编号相同的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·福建泉州·期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 .（用数字作答） 7．（23-24高二下·福建福州·期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某学校政治组有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求： (1)4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)3名女教师互不相邻的坐法有多少种？ ( 题型03 ) 组合及组合数公式 8．（23-24高二下·福建·期中）设集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．232 B．144 C．184 D．252 9．（23-24高二下·福建南平·期中）某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（    ） A．192种 B．168种 C．72种 D．144种 10．（23-24高二下·福建泉州·期中）某校准备参加2024年高中数学联赛，把10个选手名额分配给高三年级的3个教学班.若每班至少一个名额，则不同的分配方案有 种.（用数字作答） 11．（23-24高二下·福建福州·期中）（1）已知，求值：； （2）解方程：． 12．（23-24高二下·福建福州·期中）在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要从这 10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法? （用数字作答）. (1)既有内科医生，又有外科医生； (2)至少有1名主任参加； (3)既有主任，又有外科医生. ( 题型04 ) 二项式定理 13．（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 14．（23-24高二下·福建泉州·期中）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·福建南平·期中）（，且）的展开式中的系数为 ． 16．（23-24高二下·福建三明·期中）的展开式中，所有项的二项式系数和为 ． 17．（23-24高二下·福建三明·期中）已知，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求系数绝对值最大的项． 18．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知展开式的二项式系数之和为． (1)求展开式中所有项的系数和； (2)求展开式中的常数项； (3)若能被整除，求正数的最小值． 19．（23-24高二下·福建福州·期中）已知在二项式的展开式中，第三项的系数是第二项的系数的倍． (1)求正整数的值； (2)若展开式中各项系数之和为，二项式系数之和为，求的值； (3)求系数最大的项． 一、单选题 1．（23-24高二下·福建泉州·期中）在二项式的展开式中，不正确的说法是（   ） A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1 C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大 2．（23-24高二下·福建福州·期中）若，则的值为 （      ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建厦门·期中）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”： ... 若在的展开式中，的系数为75，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（23-24高二下·福建福州·期中）某大学的2名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（    ） A．若要求3名女生排在一起，则这5名同学共有48种排法 B．若要求2名男生不相邻，则这5名同学共有36种排法 C．若要求女生从左到右是从高到矮排列，则这5名同学共有20种排法 D．若要求男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，则这5名同学共有72种方法 二、多选题 5．（23-24高二下·福建南平·期中）若，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·福建泉州·期中）设函数（，），则下列说法正确的是（    ） A．若时，则的展开式中常数项为1 B．当时，则的展开式中二项式系数最大的项为 C．若，且，则 D．当，若，则 7．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知，则（    ） A． B．此二项展开式系数最大的项为第4项 C．此二项展开式的二项式系数和为64 D． 8．（23-24高二下·福建福州·期中）在的展开式中，下列命题正确的是（    ） A．偶数项的二项式系数之和为32 B．第3项的二项式系数最大 C．常数项为60 D．有理项的个数为3 9．（23-24高二下·福建莆田·期中）给出下列命题，其中正确的命题有（    ） A．若.则 B．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 C．从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种 D．西部某县委将7位大学生志愿者男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种 三、填空题 10．（23-24高二下·福建福州·期中）“畅通微循环，未来生活更舒适”．我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心城市，便民商业体系向高品质发展．某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为 11．（23-24高二下·福建福州·期中）从3男4女共7名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生的选法有 种．（用数字作答） 12．（23-24高二下·福建福州·期中），等6人排成一列，则在的前面的排法种数是 种．（用数字作答） 四、解答题 13．（23-24高二下·福建福州·期中）在 的展开式中， (1)求展开式中所有项的系数和； (2)求二项式系数最大的项； (3)系数的绝对值最大的项是第几项? 14．（23-24高二下·福建泉州·期中）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$