8.4 空间直线、平面的平行-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

8.4空间直线、平面的平行 必修第二册 研课本·划重点 >>答案链接P34 第 知识梳理 章 基本事实4（平行线的传递性：平行丁同·条直线的两条有线① 线线 A'B 平行 体几何初步 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行， 邯么这两个角② 文字语言 图示 符号表示 判定 如果平外一条直线与此平 3 bca,且 定理 而内的一条直线平行，那么 线面 该有线与此半而半有 alb-alla 平行 条直线与一个平面平行 性质 如果过该直线的平而与此 alla.acB. 定理 平而州交，那么该直线与 ④ →a/b 交线平行 文字语言 图示 符号表示 acB,bcB. 判定 如果一个平而内的两条相交直 定哩 线与另一个平而Ψ行，那么这 ⑤ 两个平面平行 ba→Ma 性质 如果两个平面平行，那么一个 定理 平内的任总一条直线平行于 allp,⑥→alla 1 另外一个平而 面面 性质 两个半而半行，如果一个半而 allp.⑦ 平行 定理 与这两个平面相交，那么两条 8 →allb 2 交线平行 判定定理的推论：如果·个平面内的两条相交直线分别平行于另，个平面内的 两条相交直线，那么这两个平平行 二思考辨析 判断下列问题，正确的打“√”，错误的打“×”。 L.若直线a与平面a内无数条直线平行，则aa ( 2.夹在两个平行平面间的平行线段相等. 3.两个平行平面内的直线可平行可异面。 ( ) 4.平行于同一个平面的两个平面平行，即若aB.B∥y,则α∥y. 5.如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面不一定平行 131 回归课本 快提升·练典例 >答案链接P34 高中数学 考点一线线平行与等角定理 示通法 证明线线平行的方法：三角形中位线定理，平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、基本事实 4、线面平行的性质、面面平行的性质等 典例1长方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别为棱AM1,CC,的中点 D (1)求证：D,EBF (2)求证：∠B,BF=∠A,ED 考点二线面平行的判定与性质 9示通法 证明线面平行的方法：线面平行的判定定理、面面平行的性质定理等 线面平行的性质可以用来证明线线平行，即需要满足三个条件：①直线与平面平行，②有一个过该直 线的平面，③平面与平面相交，才能推出直线与交线平行. 典例2如图，在等腰直角三角形ADP中，A=90°，AD=3,B,C分别是AP,DP上的点，且BC∥AD,E,F 分别是AB,PC的中点，现将△PBC沿BC折起，得到四棱锥P-ABCD,连接EF.求证：EF平面PAD, 4132 典圆3如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于 点O,M是PC的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求 必修第二册 证：APGH. 第 八 章 立 体几何初 考点三面面平行的判定与性质 9示通法 证明面面平行的方法：面面平行的判定定理、垂直于同一条直线的两个平面平行、平行于同一个平面的 两个平面平行等 面面平行的性质可以用来证明线线平行，即需要满足两个条件：①两个平面平行，②另一个平面与这两 个平面相交，就可以得到两条交线平行 典圆4如图，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方形，G,F,P分别是线段EC, E BD,CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？请给出证明. 典例5如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C,中，D是棱CC,的中点，在棱AB上是否 存在一点E,使DE平面AB,C,?若存在，请确定点E的位置：若不存在，请说明 理由 133又∵ H∈平面 BED1F,平面 BED1F∩平面 BB1D1D=BD1 , ∴ H∈BD1 ,∴ B,H,D1 三点共线. 8. 4　空间直线、平面的平行 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①平行　 ②相等或互补　 ③a⊄α　 ④α∩β= b　 ⑤a∩b =P　 ⑥a⊂β　 ⑦α∩γ=a　 ⑧β∩γ= b 二、思考辨析 1. 　 2. √　 3. √　 4. √　 5. √ 【快提升·练典例】 典例 1 【证明】(1)如图,取 BB1 的中点 M,连接 EM,C1M. 在矩形 ABB1A1 中,易得 EM∥A1B1 ,EM=A1B1 , 因为 A1B1∥C1D1 ,A1B1 =C1D1 ,所以 EM∥C1D1 ,EM=C1D1 , 所以四边形 EMC1D1 为平行四边形,所以 D1E∥MC1 . 在矩形 BCC1B1 中,易得 MB∥C1F,MB=C1F, 所以四边形 MBFC1 为平行四边形, 所以 BF∥MC1 ,所以 D1E∥BF. (2)因为 D1E∥BF,BB1∥EA1 ,又∠B1BF 与∠A1ED1 的对应边 方向相同,所以∠B1BF= ∠A1ED1 . 典例 2 【证明】方法一:如图 1,作 CM∥AB,交 AD 于点 M,连 接 PM,取 PM 的中点 N,连接 AN,FN. 由三角形中位线定理得 FN∥CM,且 FN= 1 2 CM. ∵ E 是 AB 的中点,CM∥AB,∴ AE∥CM,且 AE= 1 2 CM, ∴ FN∥AE,且 FN=AE,∴ 四边形 AEFN 是平行四边形, ∴ EF∥AN. 又∵ AN⊂平面 PAD,EF⊄平面 PAD,∴ EF∥平面 PAD. 图 1 方法二:由题意知四边形 ABCD 为梯形,如图 2,取 CD 的中点 G,连接 GE,GF,则 GE,GF 分别为梯形 ABCD 和△PCD 的中 位线,∴ GE∥AD,GF∥PD. 又∵ AD⊂平面 PAD,GE⊄平面 PAD,PD⊂平面 PAD,GF⊄平 面 PAD,∴ GE∥平面 PAD,GF∥平面 PAD. 又 GE∩GF=G,GE,GF⊂平面 GEF,∴ 平面 GEF∥平面 PAD. 又∵ EF⊂平面 GEF,∴ EF∥平面 PAD. 图 2 典例 3 【证明】如图,连接 MO. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ O 是 AC 的中点. 又 M 是 PC 的中点,∴ AP∥OM. 又 AP⊄平面 BDM,OM⊂平面 BDM,∴ AP∥平面 BDM. 又 AP⊂平面 APGH,平面 APGH∩平面 BDM=GH,∴ AP∥GH. 典例 4 【解】平面 GFP∥平面 ABC. 证明如下:如图,连接 AE,由四边形 ABED 是正方形,且 F 是 线段 BD 的中点,得 F 为 AE 的中点,∴ GF 为△AEC 的中位 线,∴ GF∥AC. 又∵ AC⊂平面 ABC,GF⊄平面 ABC,∴ GF∥平面 ABC. ∵ F,P 分别为 BD,CD 的中点, ∴ FP 为△BCD 的中位线,∴ FP∥BC. 又∵ BC⊂平面 ABC,FP⊄平面 ABC,∴ FP∥平面 ABC. 又 GF∥平面 ABC,FP∩GF = F,FP⊂平面 GFP,GF⊂平面 GFP,∴ 平面 GFP∥平面 ABC. 典例 5 【解】 存在点 E, 且 E 为 AB 的中点时, DE∥平 面 AB1C1 . 证明如下:如图,取 BB1 的中点 F,连接 DF,则 DF∥B1C1 , 又∵ B1C1 ⊂平面 AB1C1 ,DF⊄平面 AB1C1 , ∴ DF∥平面 AB1C1 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 34 连接 EF,∵ E 为 AB 的中点,∴ EF∥AB1 . 又∵ AB1 ⊂平面 AB1C1 ,EF⊄平面 AB1C1 , ∴ EF∥平面 AB1C1 . 又∵ B1C1 ∩AB1 =B1 ,EF∩DF=F,EF,DF⊂平面 DEF, ∴ 平面 DEF∥平面 AB1C1 . 又 DE⊂平面 DEF,∴ DE∥平面 AB1C1 . 8. 5　空间直线、平面的垂直 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①90°　 ② 0, π 2 é ë êê ù û úú 　 ③任意一条　 ④垂线段 ⑤ 0, π 2 é ë êê ù û úú 　 ⑥[0,π]　 ⑦l⊥α　 ⑧l⊥a 三、思考辨析 1. √　 2. 　 3. √　 4. √　 5. 【快提升·练典例】 典例 1 【解】如图,取 AC 的中点 F,连接 DF,EF, ∵ 在△PAC 中,D 是 PC 的中点,F 是 AC 的中点, ∴ DF∥PA,同理可得 EF∥BC, ∴ ∠DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成的角或其补角. 在△DEF 中,DE = 3, 又 DF = 1 2 PA = 2,EF = 1 2 BC = 5 , ∴ DE2 =DF2 +EF2 ,∴ ∠DFE= 90°,即异面直线 PA 与 BC 所成 的角为 90°. 典例 2 C 【解析】如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,连接 A1D,与 AD1 的交点为 O,则 O 是 A1D,AD1 的中点, 取 A1B1 的中点 E,连接 OE,D1E,可得 OE∥DB1 ,OE= 1 2 DB1 = 1 2 DD21 +D1A 2 1 +A1B 2 1 = 5 2 ,则∠D1OE 是异面直线 AD1 与 DB1 所成的角或其补角. 因为 OD1 = 1 2 AD1 = 1,D1E= 5 2 =OE, 所以在等腰△D1OE 中,cos∠D1OE= 1 2 OD1 OE = 5 5 , 所以异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 5 5 . 故选 C. 典例 3 【证明】如图,连接 AC,则 AC⊥BD. 又∵ BD⊥A1A,AC∩AA1 =A,AC,AA1 ⊂平面 A1AC, ∴ BD⊥平面 A1AC. ∵ A1C⊂平面 A1AC,∴ BD⊥A1C. 同理可证 BC1 ⊥A1C. 又∵ BD∩BC1 =B,BD,BC1 ⊂平面 BC1D, ∴ A1C⊥平面 BC1D. 典例 4 【证明】(1)∵ SA⊥平面 ABCD,BC⊂平面 ABCD, ∴ SA⊥BC. ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ AB⊥BC. 又 SA∩AB=A,SA,AB⊂平面 SAB,∴ BC⊥平面 SAB. ∵ AE⊂平面 SAB,∴ BC⊥AE. 又 SB⊥AE,BC∩SB=B,BC,SB⊂平面 SBC,∴ AE⊥平面 SBC. ∵ SC⊂平面 SBC,∴ AE⊥SC. 又 EF⊥SC,EF∩AE=E,EF,AE⊂平面 AEF, ∴ SC⊥平面 AEF. ∵ AF⊂平面 AEF,∴ AF⊥SC. (2)∵ SA⊥平面 ABCD,DC⊂平面 ABCD,∴ SA⊥DC. 又 AD⊥DC,AD∩SA=A,AD,SA⊂平面 SAD, ∴ DC⊥平面 SAD. ∵ AG⊂平面 SAD,∴ DC⊥AG. 由(1)知 SC⊥平面 AEF,又 AG⊂平面 AEF,∴ SC⊥AG. ∵ SC∩DC=C,SC,DC⊂平面 SDC,∴ AG⊥平面 SDC. ∵ SD⊂平面 SDC,∴ AG⊥SD. 典例 5 C 【解析】如图,取 AB 的中点 O,连接 OC,OD,则 OC⊥AB,OD⊥AB,故∠COD 为二面角 C-AB-D 的平面角,即 ∠COD= 150°. ∵ OC∩OD=O,OC,OD⊂平面 COD,∴ AB⊥平面 COD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35