7.2 复数的四则运算-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

1|册 72复数的四则运算 研课本·划重点 >答案链接P27 知识梳理 .其中a,b,c,dER (a+bi)(c+dì)-① 加减法 几何意义:复数的加减法可按向量的加减法来进行 数[回 乘法 a+bi)(c+dì-② .其中a,b,c,dER →本质是分母“实数化” h_③ 除法 C+i 其中a,b:C:dER:ctdiz④ ....................... 交换律:z十+, 运算律 结合律:(2+)+z+(z+),()z(2) 分配律:(+2)-+2- 常用结论 1.常用公式 1+i (_ 1-i.(1+i)2=+2); 1 (1)- (2)(a+bi)2}=a}+2abi-b?}(a,b=R),(a+bi)(a-bi)=a}+b2(a,beR); (3)·=11=11,1'1=lz1; (4)122=11121, 思考辨析 判断下列问题,正确的打“V”,错误的打“×” #△___ 1.复数与复数相乘后结果仍为复数 _~~ 2.z+是实数. 3.:一是纯虚数 ,_ 4.1一1.翻 5.1z.-.1=1.1-1z1. _ ) 快提升·练典例 >>答案链接 P27 考点一 复数的四则运算 示通法 复数四则运算中的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算;除法需要分母实数化,可将分子、分母 同乘分母的共辄复数:有关高次寡运算可以先借助指数运算化简,再利用周期计算到最简 111 1计算:(1)(1-)(3)-);(2)():(3) 典例 (1-4i)(1+i)+2+4i 3+4i 1,则=-=($ 变式题 【2023·新高考I·2】已知复数2= 2+2i' ) A.-i B.i C.0 D.1 考点二 两个复数差的模的几何意义 示通法 lz-2.|的几何意义:lz-2.1表示复平面内复数z对应的点乙与复数z.对应的点Z.间的距离. 典例2若复数z满足lz+3+il<1,求1z1的最大值和最小值 变式题 已知lz1=1且zeC,则lz-2-2i1的最小值是 考点三 复数范围内解实系数一元二次方程 示通法 在复数范围内,实系数一元二次方程ax{++c=0(a≠0)的求根公式如下:当A=b}-4ac>0时,x= -b/6-4ac -b士i/-(b2-4ac) :当△=b2-4ac<0时,x= 2a (此时两根为共辄复数),若设两根为x,x。,则 例3(1)已知1-v2i(i是虚数单位)是方程x*+mx+n=0(m,neR)的一个复数根,求实数m,n的值. (2)在复数范围内解方程:x2+x+1=0 【点拨】(1)两个思路:直接代入求解,或根据两复数根为共栀复数求解 (2)直接利用求根公式求解即可 4112第七章　复数 7. 1　复数的概念 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①-1　 ②a　 ③b　 ④0　 ⑤b≠0　 ⑥纯虚数　 ⑦ a2 +b2 　 ⑧相等　 ⑨a-bi 三、思考辨析 1. 　 2. 　 3. 　 4. √　 5. 【快提升·练典例】 典例 1 A 【解析】因为 i2 025 = (i4 ) 506 ·i = i, 所以 i2 025 的虚部为 1. 故选 A. 典例 2 【解】(1)当 m2 -2m= 0, m≠0,{ 即 m= 2 时,复数 z 是实数. (2)当 m2 -2m≠0,即 m≠0 且 m≠2 时,复数 z 是虚数. (3)当 m2 +m-6 m = 0, m2 -2m≠0, ì î í ïï ï 即 m= -3 时,复数 z 是纯虚数. 提醒：复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件为 a= 0, b≠0,{ 容 易忽略 b≠0,从而造成错误. 典例 3 【解】y 是纯虚数,可设 y= bi(b∈R,b≠0), 由(2x-1)+(3-y)i = y-i,可得(2x-1)+3i+b= bi-i, 整理得(2x-1+b)+3i = (b-1)i. 由复数相等的充要条件,得 2x-1+b= 0, b-1 = 3{ ⇒ b= 4, x= - 3 2 ,{ 所以 x= - 3 2 ,y= 4i. 提醒：本题易犯的错误是忽视 y 是纯虚数,由(2x-1)+(3- y) i = y-i,得到 2x-1 = y, 3-y= -1{ ⇒ x= 5 2 , y= 4. { 典例 4 【解】 复数 z = (m2 -m - 2) + (m2 - 3m + 2) i 的实部 为 m2 -m-2,虚部为 m2 -3m+2. (1)若表示复数 z 的点在虚轴上,则 m2 -m-2 = 0, 解得 m= 2 或 m= -1. (2)若表示复数 z 的点在第二象限,则 m2 -m-2<0, m2 -3m+2>0,{ 所以 -1<m<2, m>2 或 m<1,{ 所以-1<m<1. (3)若表示复数 z 的点在直线 y= -x 上,则-(m2 -m-2)= m2 - 3m+2,解得 m= 0 或 m= 2. 典例 5 【解】由题意知 O 为原点,OA→ = (3,2),OC→ = (-2,4) . (1)∵ AO→ = -OA→ = -(3,2)= (-3,-2), ∴ AO→ 对应的复数为-3-2i. (2)∵ CA→ =OA→-OC→ = (3,2)-(-2,4)= (5,-2), ∴ CA→ 对应的复数为 5-2i. (3)由题意知 OB 为平行四边形 OABC 的对角线, ∴ OB→ =OA→+OC→ = (3,2)+(-2,4)= (1,6), ∴ OB→ 对应的复数为 1+6i,即点 B 对应的复数为 1+6i. 典例 6 【解】(1) 由 | z | = | 3+4i | 得 | z | = 5,这表明向量 OZ→ 的 模等于 5,即点 Z 到原点的距离等于 5,因此满足条件的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 5 为半径的圆. (2)不等式 2≤ | z | < 5 可化为不等式组 | z | ≥2, | z | <5,{ 不等式 | z | < 5 的解集是圆 | z | = 5 的内部所有的点组成的 集合, 不等式 | z | ≥2 的解集是圆 | z | = 2 上的点及其外部所有的点 组成的集合, 所以满足条件 2≤ | z | <5 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心, 以 2 及 5 为半径的两个圆所夹的圆环,包括内边界,但不包括 外边界(如图所示) . 7. 2　复数的四则运算 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①(a±c)+(b±d)i　 ②(ac-bd)+(ad+bc)i ③ac +bd c2 +d2 +bc-ad c2 +d2 i　 ④0 三、思考辨析 1. √　 2. √　 3. 　 4. √　 5. 【快提升·练典例】 典例 1 【解】(1) (1-2i) (3+4i) ( -2+i)= (11-2i) ( -2+i) = -20+15i. (2)方法一: 1 +i 1-i( ) 8 = 1+i 1-i( ) 2 é ë êê ù û úú 4 = 2i -2i( ) 4 = (-1) 4 = 1. 方法二:因为1 +i 1-i = (1+i) 2 (1-i)(1+i) = 2i 2 = i,所以 1 +i 1-i( ) 8 = i8 = 1. ( 3 ) (1 -4i)(1+i)+2+4i 3+4i = 1+i-4i-4i 2 +2+4i 3+4i = 7+i 3+4i = (7+i)(3-4i) (3+4i)(3-4i) = 25-25i 25 = 1-i. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 27 ( 4 ) -2 3 +i 1+2 3 i + 2 1-i( ) 2 024 = (-2 3 +i)(1-2 3 i) (1+2 3 i)(1-2 3 i) + 2 -2i( ) 1 012 = 13i 13 + 1 (-i)1 012 = i+ 1 1 = i+1. 变式题 A 【解析】 z = 1 -i 2+2i = (1-i)(2-2i) (2+2i)(2-2i) = - i 2 ,所以 z = i 2 ,所以 z-z= -i. 故选 A. 典例2 【解】满足 | z+ 3 +i | ≤1 的复数 z 对应的点 Z 的集合是 以 M( - 3 ,-1)为圆心,1 为半径的圆内(含圆的边界)的部 分,如图所示, 而 | z | 表示复数 z 对应的点 Z 到原点(0,0)的 距离. 又 |OM→ | = (- 3 ) 2 +(-1) 2 = 2, 所以 | z | max = 2+1 = 3, | z | min = 2-1 = 1. 变式题 2 2 -1 【解析】因为 | z | = 1 且 z∈C,所以复数 z 表示 的点的集合是一个以原点为圆心、半径为 1 的圆,如图所示. | z-2- 2i | 的几何意义为单位圆上的点 M 到复平面上的点 P(2,2)的距离,所以 | z-2-2i |的最小值为 |OP | -1 = 2 2 -1. 典例 3 【解】(1)方法一:根据题意得(1- 2 i) 2 +m(1- 2 i) + n= 0, 所以(-1+m+n)-(2 2 + 2m)i = 0, 由复数相等的充要条件可得 -1+m+n= 0, 2 2 + 2m= 0,{ 解得 m= -2,n= 3. 方法二:若 1- 2 i(i 是虚数单位)是方程 x2 +mx+n = 0(m,n∈ R)的一个复数根,则 1+　 2 i 是另一个复数根. 由根与系数的关系可知 1+ 　 2 i+ 1- 　 2 i = -m,(1+ 　 2 i) (1- 　 2 i)= n,解得 m= -2,n= 3. (2)因为 Δ= 12 -4 = -3<0, 所以 x2 +x+1 = 0 有两个共轭复数根. 由求根公式可得 x1 = -1- 3 i 2 ,x2 = -1+ 3 i 2 . 7. 3 ∗ 　复数的三角表示 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①arg z　 ②r1 r2 [cos(θ1 +θ2 )+isin(θ1 +θ2 )] ③ r1 r2 [cos(θ1 -θ2 )+isin(θ1 -θ2 )] 三、思考辨析 1. 　 2. √　 3. √　 4. √　 5. 【快提升·练典例】 典例 1 【解】(1) r= 32 +(- 3 ) 2 = 2 3 ,cos θ= 3 2 . 因为与 3- 3 i 对应的点在第四象限, 所以 arg(3- 3 i)= 11π 6 , 所以 3- 3 i = 2 3 cos 11π 6 +isin 11π 6( ) . (2) r= ( 2 ) 2 +(- 2 ) 2 = 2,cos θ= 2 2 . 因为与 2 - 2 i 对应的点在第四象限, 所以 arg( 2 - 2 i)= 7π 4 , 所以 2 - 2 i = 2 cos 7π 4 +isin 7π 4( ) . 典例 2 【解】 (1) 4 cos π 3 +isin π 3( ) = 4cos π 3 + 4sin π 3( ) i = 4× 1 2 +4× 3 2 i = 2+2 3 i. (2)3 cos 5π 4 +isin 5π 4( ) = 3cos 5π 4 + 3sin 5π 4( ) i = 3× - 2 2( ) +3× - 2 2( ) i = - 3 2 2 -3 2 2 i. 典例 3 【解】(1)(2cos 15°+isin 15°)× - 1 2 + 1 2 i( ) = 2 cos π 12 +isin π 12( ) × 2 2 cos 3π 4 +isin 3π 4( ) = 2 cos π 12 +3π 4( ) +isin π 12 +3π 4( ) é ë êê ù û úú = 2 cos 5π 6 +isin 5π 6( ) = 2 × - 3 2 + 1 2 i( ) = - 6 2 + 2 2 i. (2)2 cos 5π 3 +isin 5π 3( ) ÷[ 2 (cos 135°+isin 135°)] = 2 cos 5π 3 +isin 5π 3( ) ÷ 2 cos 3π 4 +isin 3π 4( ) é ë êê ù û úú = 2 cos 11π 12 +isin 11π 12( ) = 2 × -cos π 12 +isin π 12( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 28