7.1 复数的概念-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

第七章 必修第二册 复数 第七章 。真题溯源 复数 考点 教材原型 真题再现 复数的几 【RUA版·必修第二册·P71·例2】 【2023·新高考Ⅱ·1】 何意义 设复数，=4+3i,2=4-3引. 在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位 (1)在复平面内画出复数，3对应的点 于() 和向量； A.第一象限 B.第二象限 (2)求复数，2的模，并比较它们的模 C.第三象限 D.第四象限 的大小 复数的模 【A版·必修第二册·P73·5】 【2022·北京·2】 1 求复数=3+4及=22i的模，并 若复数z满足1·=3-4i,则1z=( A.1 B.5 比较它们的模的大小 C.7 D.25 复数的 【RUA版·必修第二册·P81·4】 【2024·全国甲·理·1】 运算 计算： 若=5+i,则i(+:)=( (102 A.10i B.2i C.10 D.-2 2+i (27+4 1 (3) 2-i)2 (4)(4*i) i(2+i) 1070 回归课本 7.1复数的概念 高中数学 研课本·划重点 >答案链接P27 知识梳理 数系 扩充 为了解决x+1-0这样的方程在实数系中无解的问题，欧拉引人i,使得x-i是方程 x+1-0的解.即使得=①， 从而将实数集扩充到复数集 定义：形知u+bia,b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位，②叫做复数的实部， ③ 叫做复数的虚部.全休复数构成的集合C-{a+bia.b∈R!叫做 复数集 虚数集 当aeR,b=④时，+bi是实数 复数集 复数的概念 分类 当a∈R,⑤时.u+bi是虚数 纯成数集 概念 实数樂 当a-0,b≠0时，a+所是0 复数的模或绝对值：l4-a+例=⑦ 其中a,b∈R 共轭复数：实部③ 虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数， 复数的共軛复数用：表示，如果=a+bi,那么=⑨ 复数：=a十衍+ 一一对， 几何 复平面内的点☑么a,) 意义 对应 复数：=a+杭+ +平而向量O7-(a,b) 常用结论 1.复数相等的充要条件 在复数集C={a+bila,beR{中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),规定：a+bi与c+di相等当且 仅当a=c且b=d(即实部相等且虚部相等)， 2.2=-1,i=-i,i=1,…,如此往复得出以下规律：=i,i2=-1,3=-i,i=1(n∈N) 三思考辨析 判断下列问题，正确的打“√”，错误的打“×”， 1.方程x2+x+1=0没有解 2.复数z=a+bi(a,beR)的虚部为bi. ( 3.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1. ) 4.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上 5.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数. 快提升·练典例 >答案链接P27 考点一 复数的概念与分类 9示通法 对于复数的概念，要注意实部和虚部都是实数.当实部和虚部都为0时，复数等于0,0既在实轴上又 在虚轴上， 4108 典例12的虚部为( A.1 B.-1 必修第二册 C.i D.-i 第 典例2当实数m为何值时，复数：=m+m-6+ +(m2-2m)i为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ m 章 数 考点二复数相等 ◇示通法 复数相等需要实部与虚部分别相等。解决与复数相等有关的问题，先将等号两边的复数整理为标准 形式，然后根据复数相等的条件列方程（组）求解.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比 较大小，只有当两个复数都是实数时，才可以比较大小 典例3已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x-1)+(3-y)i=-i,求x,水 考点三复数的几何意义 9示通法 复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)、平面向量OZ是一一对应的.要求某个向量对应的复 数时，只要找出所求向量的始点和终点即可 109 回归 典例4【JA版·必修第二册·P73·6改编】当实数m取什么值时，在复平面内表示复数z=(m2- m-2)+(m2-3m+2)i的点分别满足下列条件？ 高中数学 (1)在虚轴上：(2)在第二象限：(3)在直线y=-x上. 奥圆5已知在复平面内，平行四边形04BC的三个顶点0，A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i, 试求：(1)AO对应的复数：(2)CA对应的复数：(3)点B对应的复数 考点四复数的模及其几何意义 9示通法 复数z=a+bi(a,beR)的模就是向量OZ的模，可将其还原到向量的几何意义理解。 典例6【A·必修第二册·P72·例3变式】设：∈C,且满足下列条件，在复平面内，复数：对应的 点Z的集合是什么图形？ (1)lz|=|3+4i:(2)2≤1z|<5. 4110第七章　复数 7. 1　复数的概念 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①-1　 ②a　 ③b　 ④0　 ⑤b≠0　 ⑥纯虚数　 ⑦ a2 +b2 　 ⑧相等　 ⑨a-bi 三、思考辨析 1. 　 2. 　 3. 　 4. √　 5. 【快提升·练典例】 典例 1 A 【解析】因为 i2 025 = (i4 ) 506 ·i = i, 所以 i2 025 的虚部为 1. 故选 A. 典例 2 【解】(1)当 m2 -2m= 0, m≠0,{ 即 m= 2 时,复数 z 是实数. (2)当 m2 -2m≠0,即 m≠0 且 m≠2 时,复数 z 是虚数. (3)当 m2 +m-6 m = 0, m2 -2m≠0, ì î í ïï ï 即 m= -3 时,复数 z 是纯虚数. 提醒：复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件为 a= 0, b≠0,{ 容 易忽略 b≠0,从而造成错误. 典例 3 【解】y 是纯虚数,可设 y= bi(b∈R,b≠0), 由(2x-1)+(3-y)i = y-i,可得(2x-1)+3i+b= bi-i, 整理得(2x-1+b)+3i = (b-1)i. 由复数相等的充要条件,得 2x-1+b= 0, b-1 = 3{ ⇒ b= 4, x= - 3 2 ,{ 所以 x= - 3 2 ,y= 4i. 提醒：本题易犯的错误是忽视 y 是纯虚数,由(2x-1)+(3- y) i = y-i,得到 2x-1 = y, 3-y= -1{ ⇒ x= 5 2 , y= 4. { 典例 4 【解】 复数 z = (m2 -m - 2) + (m2 - 3m + 2) i 的实部 为 m2 -m-2,虚部为 m2 -3m+2. (1)若表示复数 z 的点在虚轴上,则 m2 -m-2 = 0, 解得 m= 2 或 m= -1. (2)若表示复数 z 的点在第二象限,则 m2 -m-2<0, m2 -3m+2>0,{ 所以 -1<m<2, m>2 或 m<1,{ 所以-1<m<1. (3)若表示复数 z 的点在直线 y= -x 上,则-(m2 -m-2)= m2 - 3m+2,解得 m= 0 或 m= 2. 典例 5 【解】由题意知 O 为原点,OA→ = (3,2),OC→ = (-2,4) . (1)∵ AO→ = -OA→ = -(3,2)= (-3,-2), ∴ AO→ 对应的复数为-3-2i. (2)∵ CA→ =OA→-OC→ = (3,2)-(-2,4)= (5,-2), ∴ CA→ 对应的复数为 5-2i. (3)由题意知 OB 为平行四边形 OABC 的对角线, ∴ OB→ =OA→+OC→ = (3,2)+(-2,4)= (1,6), ∴ OB→ 对应的复数为 1+6i,即点 B 对应的复数为 1+6i. 典例 6 【解】(1) 由 | z | = | 3+4i | 得 | z | = 5,这表明向量 OZ→ 的 模等于 5,即点 Z 到原点的距离等于 5,因此满足条件的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 5 为半径的圆. (2)不等式 2≤ | z | < 5 可化为不等式组 | z | ≥2, | z | <5,{ 不等式 | z | < 5 的解集是圆 | z | = 5 的内部所有的点组成的 集合, 不等式 | z | ≥2 的解集是圆 | z | = 2 上的点及其外部所有的点 组成的集合, 所以满足条件 2≤ | z | <5 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心, 以 2 及 5 为半径的两个圆所夹的圆环,包括内边界,但不包括 外边界(如图所示) . 7. 2　复数的四则运算 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①(a±c)+(b±d)i　 ②(ac-bd)+(ad+bc)i ③ac +bd c2 +d2 +bc-ad c2 +d2 i　 ④0 三、思考辨析 1. √　 2. √　 3. 　 4. √　 5. 【快提升·练典例】 典例 1 【解】(1) (1-2i) (3+4i) ( -2+i)= (11-2i) ( -2+i) = -20+15i. (2)方法一: 1 +i 1-i( ) 8 = 1+i 1-i( ) 2 é ë êê ù û úú 4 = 2i -2i( ) 4 = (-1) 4 = 1. 方法二:因为1 +i 1-i = (1+i) 2 (1-i)(1+i) = 2i 2 = i,所以 1 +i 1-i( ) 8 = i8 = 1. ( 3 ) (1 -4i)(1+i)+2+4i 3+4i = 1+i-4i-4i 2 +2+4i 3+4i = 7+i 3+4i = (7+i)(3-4i) (3+4i)(3-4i) = 25-25i 25 = 1-i. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 27