6.3 平面向量基本定理及坐标表示-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

6.3平面向量基本定理及坐标表示 必修第一 研课本·划重点 >答案链接P23 第 知识梳理 章 平面向量 基本定理 如果e,e是同一平而内的两个①向量，那么对于这一平而内的任一向量a, 有口只有~对实数，a,使a=入：e+1:e,{e,e叫做表示这-平面内所有向的 个基底 平面向量及其应用 平面向量基本定理及坐标表 坐标表示 AB 2 a+b 3 a-b ④ 平面向 a A(,y),B,y), 量的坐 标表示 a·b X+Vi a=,),b=(,） allb ⑥ a⊥b lal + 十Vy cos(a,b〉 +巧+好 三常用结论 1.平面向量基本定理的推论(1e1,e}为一个基底) (1)若a=入，e,+入，e2=入e,+入4e2,则入，=A,A2=A4 (2)若a=入，e1+入2e2=0,则入，=入2=0. 2.三点共线的充要条件 若A,B,P三点共线，0为A,B,P所在直线外一点，则OP=mOA+nOB,且m+n=1. 推导：如图，由A,B,P三点共线，可知向量AP与A店共线，即AP=A(teR),所以O币-OA=1(O店 0i),整理得0币=0i+t(0B-0i)=(1-t)Oi+0B.令m=1-t,n=1,则0P=m0+n0B,此时m+n=1. 3.有向线段定比分点坐标公式 (1)定比分点的定义及其坐标公式 设点P(x,y)是直线P,P2上的点，且满足PP=APP(入∈R),则点P叫做有向线段PP,的定比分 091 回归课本 点.若点P,P2的坐标分别是(x1y),(x2,2),且入≠-1，则点P的坐标是 x+入x2y+入y2 1+入1+入 (2)定比分点的两种特殊情况 中数学 ①中点坐标公式：已知点P,(x,y),P(x2,2),若P是线段PP2的中点，则点P的坐标 为 ②重心坐标公式：已知△ABC的顶点A(x1,y),B(2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心坐标 为 x+x+x3 y+y2+y3 3 三思考辨析 判断下列问题，正确的打“√”，错误的打“×” 1.平面内的任何两个向量都可以作为一个基底 () 2.向量的坐标就是向量终点的坐标 ( 3.若a,b不共线，且入1a+u,b=入a+μ2b,则入1=入241=2 ( 4.若a=(x),b=(),且a与b共线，则_上 5.向量a=(2,3)与向量b=(-4,-6)反向. () 快提升·练典例 >答案链接P23 考点一 平面向量基本定理及其应用 考向门利用平面向量基本定理表示向量 9示通法 利用平面向量基本定理表示向量的关键是选取有利的基底，利用三角形法则、平行四边形法则、共线 向量基本定理等来解决」 奥圆1在△ABC中，Ad=店，A花=AC,BE与CD交于点P,且A店=a,A元=b,用a,b表示A 4092 考向2利用平面向量基本定理求参数 必修第一 示通法 通常根据同一个向量在不同基底下的分解不同，但在每个基底下的分解都是唯一的，结合待定系数法 第 建立方程（组）求解， 章 典例2如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AB上的点，且BD=2D元，3A正=2EB,AD. CE交于点O,且AC=xAD+yCE,求x,y的值. 平面向量及其应 【点拔】将AC用AD,C正表示出来，然后结合已知条件，利用对应系数相等求解 考点三 平面向量的坐标表示及运算 考向1向量运算的坐标表示及应用 9示通法 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量线性运算来求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向 量的坐标 (2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来求解. (3)题中方便建系时，要有建系意识，通过建立适当的平面直角坐标系引入向量的坐标运算，然后结 合三角函数，解析几何或函数等知识来求解 注意：①向量坐标与点的坐标形式相似，但实质不同， ②向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算， 典例3【2023·北京·3】已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则1a2-1b12=( A.-2 B.-1 C.0 D.1 典圆4【2023·新高考1·3】已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+Ab)1(a+ub),则() A.入+u=1 B.A+u=-1 C.4=1 D.4=-1 奥圆5已知在直角梯形ABCD中，4D/∥BC,∠ABC=90°，AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P 满足BA+BC=2B,则P元·P元=(） A.-2 B.-1 C.-2 D.-22 093 回归课本 考向2向量共线的坐标表示及应用 示通法 高中数学 已知两向量共线，求参数时，利用“a=(x1,y,),b=(x2y,),则a/∥b的充要条件是x2=xy,”解 题较方便 奥圆6已知向量a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是 反向？ 变式题若三点A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共线则实数a的值为 考点三线段定比分点的应用 9示通法 在使用定比分点坐标公式时，应明确(x,y),(x,),(xy,)的意义，它们分别为分点、起点、终点的 坐标，但在具体问题的计算中，往往是自行确定起点、分点、终点，因此应用时要注意对应 奥例7已知P,(2,3),P(-1,4),且1P,P1=21PP1,点P在线段P,P2的延长线上，则点P的坐标 为() 传副 B(副 C.(4,-5) D.(-4,5) 4094化简得 a2 -2a·b+b2 = 3, a2 -2a·b= 0,{ 即 b 2 = 3,故 | b | = 　 3 . 典例 5 D 【解析】由题知 c= -(a+b),则 c2 = (a+b) 2 ,即 a2 + b2 +2a·b= 2+2a·b = 2,∴ a·b = 0. 又 a-c = 2a+b,b-c = a+ 2b,∴ (2a+b)·(a+2b)= 2a2 +2b2 = 4, | 2a+b | = 　 (2a+b) 2 = 　 5 , | a + 2b | = 　 (a+2b) 2 = 　 5 , ∴ cos 􀎮 a - c, b - c 􀎯 = (2a+b)·(a+2b) | 2a+b | | a+2b | = 4 5 . 故选 D. 6. 3　平面向量基本定理及坐标表示 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①不共线　 ②(x2 -x1 ,y2 -y1 )　 ③(x1 +x2 ,y1 +y2 ) 　 ④(x1 -x2 , y1 -y2 )　 ⑤(λx1 ,λy1 )　 ⑥x1y2 -x2y1 = 0　 ⑦x1x2 +y1y2 = 0 三、思考辨析 1. 　 2. 　 3. √　 4. 　 5. √ 【快提升·练典例】 典例 1 【解】如图,取 AE 的三等分点 M,使 AM = 1 3 AE,连接 DM,则 DM∥BE. 设 AM= t( t>0),则 ME= 2t. 又 AE= 1 4 AC,∴ AC= 12t,EC= 9t, ∴ 在△DMC 中,CE CM =CP CD = 9 11 , ∴ CP= 9 11 CD,∴ DP= 2 11 CD, 故 AP→ = AD→+DP→ = AD→+ 2 11 DC→ = 1 3 AB→+ 2 11 (DA→ +AC→) = 1 3 AB→ + 2 11 - 1 3 AB→+AC→( ) = 311AB →+ 2 11 AC→ = 3 11 a+ 2 11 b. 典例 2 【解】因为 BD→ = 2DC→,3AE→ = 2EB→, 所以 BD→ = 2 3 BC→,AE→ = 2 5 AB→, 所以 AD→ = AB→ +BD→ = AB→ + 2 3 BC→ = AB→ + 2 3 ( AC→ - AB→) = 1 3 AB→+ 2 3 AC→,CE→ =AE→-AC→ = 2 5 AB→-AC→, 所以 AB→ = 3AD→-2AC→ = 5 2 AC→+ 5 2 CE→,整理得 AC→ = 2 3 AD→- 5 9 CE→. 又 AC→ = xAD→+yCE→,所以 x= 2 3 ,y= - 5 9 . 典例 3 B 【解析】向量 a,b 满足 a+b= (2,3),a-b= (-2,1), 所以 | a | 2 - | b | 2 = (a+b) ·(a-b) = 2×( - 2) + 3× 1 = - 1. 故 选 B. 典例 4 D 【解析】因为 a = (1,1),b = (1,- 1),所以 a+λb = (1+λ,1-λ),a+μb = (1+μ,1-μ) . 由(a+λb) ⊥(a+μb)可得, (a+λb)·(a+μb)= 0,即(1+λ) (1+μ) +(1-λ) (1-μ)= 0,整 理得 λμ= -1. 故选 D. 典例 5 B 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,因为 AD∥BC, ∠ABC = 90°,AB = BC = 2,AD = 1,所以 B ( 0, 0), A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以 BA→ = (0,2),BC→ = (2,0) . 因为 BA→+BC→ = 2BP→,所以 2BP→ = (0,2)+(2,0)= (2,2), 故 BP→ = (1,1),所以 P(1,1),PC→ = (1,-1),PD→ = (0,1), 所以 PC→·PD→ = 1×0+(-1)×1 = -1. 故选 B. 典例 6 【解】因为 a-3b= (1,2)-3(-3,2)= (10,-4),ka+b = k(1,2)+(-3,2)= ( k- 3,2k+ 2),又( ka+b)∥(a- 3b),所以 10(2k+2)= -4(k-3),解得 k = - 1 3 . 此时 ka+b = -10 3 , 4 3( ) , 且a-3b 与- 1 3 a+b 的对应坐标异号,故当 k = - 1 3 时,ka+b 与 a-3b 平行,并且是反向的. 变式题 - 5 4 【解析】AB→ = (a-1,3),AC→ = (-3,4) . 因为 A,B,C 三点共线,所以 AB→∥AC→,所以 4(a-1)= 3×(-3), 解得 a= - 5 4 . 典例 7 D 【解析】方法一:因为点 P 在线段 P1P2 的延长线 上,又 |P1P → | = 2 |PP2 → | ,所以 P1P → = 2 P2P →. 设 P(x,y),则(x-2,y-3)= 2(x+1,y-4), 所以 x-2 = 2x+2,y-3 = 2y-8,所以 x= -4,y= 5. 故选 D. 方法二:因为点 P 在线段 P1P2 的延长线上, 又 | P1P → | = 2 |PP2 → | ,所以 P1P → = -2 PP2 →. 由有向线段定比分点坐标公式得 P 点的横坐标为2 +(-2)×(-1) 1-2 = - 4,纵坐标为3 +(-2)×4 1-2 = 5. 故选 D. 6. 4　平面向量的综合应用 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ① 1 3 (CA→+CB→)　 ②HA→·HC→　 ③b2 +c2 -2bccos A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23