6.2 平面向量的数量积-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

6.2 平面向量的数量积 >>答案链接 P22 1. 设两个非零向量 a 与 b 的夹角为 θ,则当 θ 为锐角时,cos θ>0,a·b>0,反之不成立,因为还可能 是零角;当 θ 为钝角时,cos θ<0,a·b<0,反之不成立,因为还可能是平角. 2. (a·b)·c 与 a·(b·c)不相等,因为(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量,而 a·(b·c)表示 一个与 a 共线的向量,而 c 与 a 不一定共线. 3. a·b=b·c⇒b·(a-c)= 0⇒b⊥(a-c)或 b= 0 或 a= c. 4. a·b 等于 b 在 a 上的投影向量与 a 的数量积,或等于 a 在 b 上的投影向量与 b 的数量积. 推导:如图,设 OA→ =a,OB→ =b,过 A作 OB 的垂线,垂足为 C,则 a 在 b 上的投影向 量为 OC→,显然 CA→ 与 b 垂直,所以 a·b=OA→·b=(OC→+CA→)·b=OC→·b+CA→·b= OC→·b+0=OC→·b,即 a·b 等于 a 在 b 上的投影向量 OC→ 与 b 的数量积. 5. 向量数量积的常用公式 (1)(a±b) 2 =a2 ±2a·b+b2 . (2)(a+b)·(a-b)= a2 -b2 . (3)(a+b) 2 +(a-b) 2 = 2( | a | 2 + | b | 2) . (4)a2 +b2 = 0⇔a=b= 0. 88088 6. 极化恒等式：a·b= 1 4 [(a+b) 2 -(a-b) 2]. (1)推导:如图,在平行四边形 ABCD 中,设 AB→ =a,AD→ =b,则 AC→ =a+b,DB→ =a-b, 由向量的数量积运算,得 |AC→ | 2 =AC→2 = (a+b) 2 = | a | 2 +2a·b+ | b | 2,① |DB→ | 2 =DB→2 = (a-b) 2 = | a | 2 -2a·b+ | b | 2,② ①-②,得a·b= 1 4 [(a+b) 2 -(a-b) 2] . (2)两种模式:①在平行四边形 ABCD 中,有 AB→·AD→ = 1 4 ( |AC→ | 2 - |BD→ | 2); ②在△ABC 中,如图,设 M 为 BC 的中点,则 AB→·AC→ = |AM | 2 - |BM | 2 = |AM | 2 - 1 4 |BC | 2 . 判断下列问题,正确的打“√”,错误的打“ ” . 1. 若 a·b= 0,则 a= 0 或 b= 0. (　 　 ) 2. a,b 共线⇔a·b= | a | | b | . (　 　 ) 3. 若 a·b>0,则 a 与 b 的夹角为锐角. (　 　 ) 4. 在等边△ABC 中,向量 AB→ 与向量 BC→ 的夹角为 60°. (　 　 ) 5. a⊥b⇔ | a+b | = | a-b | . (　 　 ) >>答案链接 P22 考点一 计算平面向量的数量积 计算平面向量数量积的方法 (1)定义法:当已知向量的模和夹角时,可直接利用定义求解,即 a·b= | a | | b | cos􀎮a,b􀎯,运算中注意 两向量的夹角,需要共起点判断. (2)投影法:已知一个向量在另一个向量上的投影的数量时,可以利用向量数量积的几何意义求解, 即 a·b 等于 | a |乘向量 b 在向量 a 上的投影的数量 | b | cos􀎮a,b􀎯. (3)坐标法:若几何图形中的各点在直角坐标系中易于确定坐标,则可以考虑建立直角坐标系,通过 向量的坐标运算来求数量积,即已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b= x1x2 +y1y2 . (4)基底法:根据平面向量基本定理可知,平面内的任意一个向量均可以用两个不共线的向量表示, 因此可以将未知的向量用两个已知的向量作为基底表示,进而转化成基底之间的数量积运算. (5)用运算转化: 利用向量的线性运算将目标向量转化为已知向量,再用定义计算被分解的数量积. (6)极化恒等式: 常用于共起点的两个向量的数量积问题. (7)从投影向量角度求解,即 a·b 等于 b 在 a 上的投影向量与 a 的数量积,或等于 a 在 b 上的投影向 量与 b 的数量积,尤其有垂直信息时. 【2021·新高考Ⅱ·15】已知向量 a+b+c=0,|a | =1,|b | = |c | =2,则 a·b+b·c+c·a=　 　 　 　 . 98 089 已知点 A,B,C 满足 | AB→ | = 3, | BC→ | = 4, | CA→ | = 5,则 AB→·BC→ +BC→·CA→ +CA→·AB→ 的值 是　 　 　 　 . 【点拨】由三角形的三边关系可知△ABC 是直角三角形. 【2022·全国乙·理·3】已知向量 a,b 满足 | a | = 1, | b | = 　 3 , | a-2b | = 3,则 a·b= (　 　 ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【点拨】对 | a-2b | 平方,即可出现 a·b. 如图,BC,DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径,BF→ = 2FO→,则 FD→·FE→ = (　 　 ) A. - 3 4 B. - 8 9 C. - 1 4 D. - 4 9 考点二 解决有关垂直的问题 两向量垂直,则两向量的数量积为 0. 已知单位向量 a,b 的夹角为 45°,ka-b 与 a 垂直,则 k= 　 　 　 　 . 考点三 解决有关向量模的问题 求向量的模的方法 (1)定义法: | a | = a2 = a·a , | a±b | = (a±b) 2 = a2 ±2a·b+b2 . (2)坐标法:已知非零向量 a=(x,y),则 | a | = x2 +y2 . (3)几何法:利用向量加法的平行四边形法则或向量加减法的三角形法则作出向量,再利用解三角形 的相关知识求解. 注意:①求模一般转化为求模的平方,灵活应用 a2 = | a | 2,勿忘记开方. ②用定义法和坐标法求模的范围时,一般把它表示成某个变量的函数,再利用函数的有关知识求解; 用几何法求模的范围时,注意数形结合的思想,常用三角不等式进行最值的求解. 【2023·新高考Ⅱ·13】已知向量 a,b 满足 | a-b | = 　 3 , | a+b | = | 2a-b | ,则 | b | = 　 　 　 　 . 考点四 解决有关向量夹角的问题 求向量夹角问题的方法 (1)求向量夹角的关键是计算 a·b 及 | a | | b | ,在此基础上结合数量积的定义或性质计算 cos θ = a·b | a | | b | ,最后借助 θ∈[0,π],求出 θ 的值. (2)在个别含有 | a | , | b |与 a·b 的等量关系式中,常利用消元思想计算 cos θ 的值. 【2023·全国甲·理·4】已知向量 a,b,c 满足 | a | = | b | = 1, | c | = 　 2 ,且 a+b+c= 0,则 cos􀎮a- c,b-c􀎯 = (　 　 ) A. - 1 5 B. - 2 5 C. 2 5 D. 4 5 09090 又 |OB→-OC→ | = |OB→+OC→-2OA→ | ,所以 |AB→-AC→ | = |AB→+AC→ | . 根据向量加法的平行四边形法则得,以 AB,AC 为邻边的 平行四边形的两条对角线的长度相等,所以该平行四边形 为矩形,所以 AB⊥AC,所以△ABC 是直角三角形. 典例 3 B 【解析】因为点 D 在边 AB 上,BD= 2DA,所以 BD→ = 2DA→,即 CD→ -CB→ = 2 (CA→ -CD→),所以 CB→ = 3CD→ - 2CA→ = 3n- 2m= -2m+3n. 故选 B. 典例 4 D 【解析】由 BC→ = λDC→ 可知 AC→-AB→ = λ(AC→-AD→), ∴ AD→ = 1- 1 λ( ) AC →+ 1 λ AB→. 又 AD→ = - 1 3 AB→+ 4 3 AC→, ∴ 1 λ = - 1 3 , 1- 1 λ = 4 3 , ì î í ï ï ï ï 解得 λ= -3. 故选 D. 典例 5 B 【解析】由 MA→+MB→+MC→ = 0 得 M 为△ABC 的重心. 设 D 为边 BC 的中点,则 AM→ = 2 3 AD→ = 2 3 × 1 2 ( AB→ + AC→) = 1 3 (AB→+AC→),所以 m= 3. 故选 B. 典例 6 B 【解析】设 D 为边 BC 的中点,连接 AD,如图所示, 则 AB→+AC→ = 2AD→. 由向量的三角不等式知 | AP→ | - | AB→+AC→ | ≤ |AP→-(AB→+AC→) | = 1,即 |AP→ | - | 2AD→ | ≤1,即 | AP→ | ≤ | 2AD→ | +1, 当且仅当向量 AP→ 和 AD→ 同向共线时取得等号. 在Rt△ADC 中,AC= 2　 3 ,CD= 　 3 ,所以 |AD→ | = 3,所以 | AP→ | ≤ | 2AD→ | +1 = 7. 故选 B. 典例 7 - 1 2 【解析】由共线向量基本定理知,存在实数 k,满 足 b= ka,即 e1 +λe2 = 2ke1 -ke2 ,∴ 2k= 1, -k=λ,{ 解得 k= 1 2 , λ= - 1 2 . ì î í ï ï ï ï 典例 8 C 【解析】∵ AB→ = 2DC→,∴ AB∥DC 且 AB≠DC, ∴ 四边形 ABCD 为梯形. 故选 C. 典例 9 (1)【证明】∵ AB→ =a+b,BC→ = 2a+8b,CD→ = 3(a-b), ∴ BD→ =BC→+CD→ = 2a+8b+3(a-b)= 2a+8b+3a-3b = 5(a+b)= 5AB→,∴ AB→,BD→ 共线. 又∵ 它们有公共点 B,∴ A,B,D 三点共线. (2)【解】∵ a+λb 和 2a-b 共线, ∴ 存在实数 k,使得 a+λb= k(2a-b),即 a+λb= 2ka-kb, ∴ (1-2k)a= (-λ-k)b. ∵ a,b 是两个不共线的非零向量, ∴ 1-2k= -λ-k= 0,∴ λ= -k= - 1 2 . 6. 2　平面向量的数量积 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①非零　 ②同向　 ③反向　 ④ π 2 　 ⑤0　 ⑥0　 ⑦ | a | | b | 　 ⑧- | a | | b | 　 ⑨≤　 ⑩b·a　 􀃊􀁉􀁓a·c+b·c 三、思考辨析 1. 　 2. 　 3. 　 4. 　 5. √ 【快提升·练典例】 典例 1 - 9 2 【解析】由已知可得(a+b+c) 2 =a2 +b2 +c2 +2(a· b+b·c+c·a) = 9+ 2(a·b+b·c+c·a) = 0,因此 a·b+ b·c+c·a= - 9 2 . 变式题 -25 【解析】如图,根据题意可得△ABC 为直角三角形,且 B= π 2 . 方法一(定义法):cos A = 3 5 ,cos C = 4 5 ,∴ AB→· BC→+BC→·CA→+CA→·AB→ = 0+BC→·CA→+CA→·AB→ = 4×5cos(π-C) + 5×3cos(π-A)= -20cos C-15cos A= -20× 4 5 -15× 3 5 = -25. 方法二(从投影向量角度):BC→·CA→ 指的是 CA→ 在 BC→ 上的投 影向量 CB→ 与 BC→ 的数量积,同理 CA→·AB→ 指的是 CA→ 在 AB→ 上的投影向量 BA→ 与 AB→ 的数量积,∴ AB→·BC→+BC→·CA→+CA→· AB→ = 0 + CB→ ·BC→ + BA→ · AB→ = 4 × 4 × ( - 1) + 3 × 3 × ( - 1) = -16+(-9)= -25. 典例 2 C 【解析】∵ | a-2b | 2 = | a | 2 -4a·b+ 4 | b | 2 , | a | = 1, | b | = 　 3 , | a- 2b | = 3, ∴ 9 = 1 - 4a· b + 4 × 3 = 13 - 4a· b, ∴ a·b= 1. 故选 C. 变式题 B 【解析】方法一(用运算转化):∵ BF→ = 2FO→,圆 O 的半径为 1,∴ | FO→ | = 1 3 ,∴ FD→·FE→ = (FO→ +OD→) · (FO→ + OE→)= FO→2 +FO→·(OE→+OD→) +OD→·OE→ = 1 3( ) 2 +0-1 = - 8 9 . 故 选 B. 方法二(极化恒等式):同方法一得 | FO→ | = 1 3 ,由极化恒等式 得 FD→·FE→ = |FO→ | 2 - 1 4 |DE→ | 2 = 1 9 -1 = - 8 9 . 故选 B. 典例 3 　 2 2 【解析】由题意得 a·b= 1×1×cos 45° = 　 2 2 , 由向量垂直的充要条件可得(ka-b)·a= 0, 即 ka2 -a·b= k- 　 2 2 = 0,解得 k= 　 2 2 . 典例 4 3 【解析】将原式平方得 | a-b | 2 = 3, | a+b | 2 = | 2a-b | 2 ,{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 化简得 a2 -2a·b+b2 = 3, a2 -2a·b= 0,{ 即 b 2 = 3,故 | b | = 　 3 . 典例 5 D 【解析】由题知 c= -(a+b),则 c2 = (a+b) 2 ,即 a2 + b2 +2a·b= 2+2a·b = 2,∴ a·b = 0. 又 a-c = 2a+b,b-c = a+ 2b,∴ (2a+b)·(a+2b)= 2a2 +2b2 = 4, | 2a+b | = 　 (2a+b) 2 = 　 5 , | a + 2b | = 　 (a+2b) 2 = 　 5 , ∴ cos 􀎮 a - c, b - c 􀎯 = (2a+b)·(a+2b) | 2a+b | | a+2b | = 4 5 . 故选 D. 6. 3　平面向量基本定理及坐标表示 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①不共线　 ②(x2 -x1 ,y2 -y1 )　 ③(x1 +x2 ,y1 +y2 ) 　 ④(x1 -x2 , y1 -y2 )　 ⑤(λx1 ,λy1 )　 ⑥x1y2 -x2y1 = 0　 ⑦x1x2 +y1y2 = 0 三、思考辨析 1. 　 2. 　 3. √　 4. 　 5. √ 【快提升·练典例】 典例 1 【解】如图,取 AE 的三等分点 M,使 AM = 1 3 AE,连接 DM,则 DM∥BE. 设 AM= t( t>0),则 ME= 2t. 又 AE= 1 4 AC,∴ AC= 12t,EC= 9t, ∴ 在△DMC 中,CE CM =CP CD = 9 11 , ∴ CP= 9 11 CD,∴ DP= 2 11 CD, 故 AP→ = AD→+DP→ = AD→+ 2 11 DC→ = 1 3 AB→+ 2 11 (DA→ +AC→) = 1 3 AB→ + 2 11 - 1 3 AB→+AC→( ) = 311AB →+ 2 11 AC→ = 3 11 a+ 2 11 b. 典例 2 【解】因为 BD→ = 2DC→,3AE→ = 2EB→, 所以 BD→ = 2 3 BC→,AE→ = 2 5 AB→, 所以 AD→ = AB→ +BD→ = AB→ + 2 3 BC→ = AB→ + 2 3 ( AC→ - AB→) = 1 3 AB→+ 2 3 AC→,CE→ =AE→-AC→ = 2 5 AB→-AC→, 所以 AB→ = 3AD→-2AC→ = 5 2 AC→+ 5 2 CE→,整理得 AC→ = 2 3 AD→- 5 9 CE→. 又 AC→ = xAD→+yCE→,所以 x= 2 3 ,y= - 5 9 . 典例 3 B 【解析】向量 a,b 满足 a+b= (2,3),a-b= (-2,1), 所以 | a | 2 - | b | 2 = (a+b) ·(a-b) = 2×( - 2) + 3× 1 = - 1. 故 选 B. 典例 4 D 【解析】因为 a = (1,1),b = (1,- 1),所以 a+λb = (1+λ,1-λ),a+μb = (1+μ,1-μ) . 由(a+λb) ⊥(a+μb)可得, (a+λb)·(a+μb)= 0,即(1+λ) (1+μ) +(1-λ) (1-μ)= 0,整 理得 λμ= -1. 故选 D. 典例 5 B 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,因为 AD∥BC, ∠ABC = 90°,AB = BC = 2,AD = 1,所以 B ( 0, 0), A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以 BA→ = (0,2),BC→ = (2,0) . 因为 BA→+BC→ = 2BP→,所以 2BP→ = (0,2)+(2,0)= (2,2), 故 BP→ = (1,1),所以 P(1,1),PC→ = (1,-1),PD→ = (0,1), 所以 PC→·PD→ = 1×0+(-1)×1 = -1. 故选 B. 典例 6 【解】因为 a-3b= (1,2)-3(-3,2)= (10,-4),ka+b = k(1,2)+(-3,2)= ( k- 3,2k+ 2),又( ka+b)∥(a- 3b),所以 10(2k+2)= -4(k-3),解得 k = - 1 3 . 此时 ka+b = -10 3 , 4 3( ) , 且a-3b 与- 1 3 a+b 的对应坐标异号,故当 k = - 1 3 时,ka+b 与 a-3b 平行,并且是反向的. 变式题 - 5 4 【解析】AB→ = (a-1,3),AC→ = (-3,4) . 因为 A,B,C 三点共线,所以 AB→∥AC→,所以 4(a-1)= 3×(-3), 解得 a= - 5 4 . 典例 7 D 【解析】方法一:因为点 P 在线段 P1P2 的延长线 上,又 |P1P → | = 2 |PP2 → | ,所以 P1P → = 2 P2P →. 设 P(x,y),则(x-2,y-3)= 2(x+1,y-4), 所以 x-2 = 2x+2,y-3 = 2y-8,所以 x= -4,y= 5. 故选 D. 方法二:因为点 P 在线段 P1P2 的延长线上, 又 | P1P → | = 2 |PP2 → | ,所以 P1P → = -2 PP2 →. 由有向线段定比分点坐标公式得 P 点的横坐标为2 +(-2)×(-1) 1-2 = - 4,纵坐标为3 +(-2)×4 1-2 = 5. 故选 D. 6. 4　平面向量的综合应用 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ① 1 3 (CA→+CB→)　 ②HA→·HC→　 ③b2 +c2 -2bccos A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23