6.1 平面向量的概念及线性运算-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

变式题 D 【解析】因为 f(x)的最小正周期为 π,所以 2π |ω | = π,又 ω>0,解得 ω= 2,故 f(x)= sin(2x+φ) . 将 f(x)的图象向右平移 π 6 个单位长度,所得图象对应的函数 为 y= sin 2x+φ- π 3( ) . 因为 y= sin 2x+φ- π 3( ) 的图象关于原点对称, 所以该函数是奇函数,所以 φ- π 3 = kπ,k∈Z,又 |φ | < π 2 ,解得 φ= π 3 , 所以 f(x)= sin 2x+ π 3( ) . 当 x∈ - π 2 ,0é ë êê ù û úú 时, 2x + π 3 ∈ -2π 3 , π 3 é ë êê ù û úú , 故 f ( x) 在区间 - π 2 ,0é ë êê ù û úú 上的最大值为 sin π 3 = 3 2 . 故选 D. 典例 5 AD 【解析】由题意,R = 32 +(-3 3 ) 2 = 6,T = 120 = 2π ω ,所以 ω= π 60 . 当 t= 0 时,y= f( t)= -3 3 ,代入 f( t)可得-3 3 = 6sin φ. 因为 |φ | < π 2 ,所以 φ= - π 3 ,故 A 正确; 所以 f( t)= 6sin ( π60 t- π 3 ) , 当 t ∈ [ 0, 60] 时, π 60 t - π 3 ∈ - π 3 , 2π 3 é ë êê ù û úú ,所以函数 y= f( t)在[0,60]上不是单调递增的, 故 B 错误; 因为 π 60 t- π 3 ∈ - π 3 , 2π 3 é ë êê ù û úú , | y | max = 6,所以点 P 到 x 轴的距离 的最大值为 6,故 C 错误; 当 t= 100 时, π 60 t- π 3 = 4π 3 ,此时 y = -3 3 ,点 P( - 3,- 3 3 ), |PA | = | 3-(-3) | = 6,故 D 正确. 故选 AD. 典例 6 【解】(1)由题意,H( t) = Asin(ωt+φ) +B ( 其中 A> 0, ω>0, |φ | ≤ π 2 ) , 因为摩天轮的最高点距离地面为 145 米,最低点距离地面约 为 145-124 = 21 米, 所以 B+A= 145, B-A= 21,{ 解得 A= 62, B= 83.{ 又函数 H( t)的周期为 30 分钟,所以 ω= 2π 30 = π 15 , 所以 H( t)= 62sin π 15 t+φ( ) +83. 　 　 　 　 　 又 H(0)= 62sin π 15 ×0+φ( ) +83 = 21, 所以 sin φ= -1. 又 |φ | ≤ π 2 ,所以 φ= - π 2 , 所以 H( t)= 62sin π 15 t- π 2( ) +83,0≤t≤30. (2)因为 H( t)= 62sin π 15 t- π 2( ) +83 = -62cos π 15 t+83, 所以令-62cos π 15 t+83 = 52,即 cos π 15 t= 1 2 ,解得 t= 5 或 t= 25, 所以游客甲坐上摩天轮 5 分钟,距离地面的高度第一次恰好 达到 52 米. (3)经过 t 分钟后甲距离地面的高度为 H1 = -62cos π 15 t+83, 乙与甲间隔的时间为 30 36 ×6 = 5 分钟, 所以乙距离地面的高度为 H2 = - 62cos π 15 ( t-5)é ë êê ù û úú + 83,5≤ t≤30, 所 以 两 人 离 地 面 的 高 度 差 h = | H1 - H2 | = -62cos π 15 t+62cos π 15 (t-5)é ë êê ù û úú = 62 sin ( π15 t - π 6 ) , 5 ≤ t≤30, 当 π 15 t- π 6 = π 2 或 3π 2 ,即 t= 10 或 25 时,h 取得最大值 62 米. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第六章　平面向量及其应用 6. 1　平面向量的概念及线性运算 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①方向　 ②大小　 ③0　 ④1 个单位长度　 ⑤相同或相反　 ⑥相等　 ⑦相同　 ⑧b+a　 ⑨a+(b+c) 　 ⑩相等　 􀃊􀁉􀁓相反　 􀃊􀁉􀁔相同　 􀃊􀁉􀁕相反　 􀃊􀁉􀁖(λμ)a　 􀃊􀁉􀁗λa+μa　 􀃊􀁉􀁘λa+λb　 􀃊􀁉􀁙b=λa 三、思考辨析 1. 　 2. 　 3. 　 4. √　 5. √ 【快提升·练典例】 典例 1 A 【解析】若 a+b= 0,则 a= -b,所以 a∥b. 若 a∥b,则a+b= 0 不一定成立,故前者是后者的充分不必要 条件. 故选 A. 典例 2 【解】因为 OB→+OC→- 2OA→ = OB→-OA→+OC→-OA→ = AB→+AC→, OB→-OC→ =CB→ =AB→-AC→, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 又 |OB→-OC→ | = |OB→+OC→-2OA→ | ,所以 |AB→-AC→ | = |AB→+AC→ | . 根据向量加法的平行四边形法则得,以 AB,AC 为邻边的 平行四边形的两条对角线的长度相等,所以该平行四边形 为矩形,所以 AB⊥AC,所以△ABC 是直角三角形. 典例 3 B 【解析】因为点 D 在边 AB 上,BD= 2DA,所以 BD→ = 2DA→,即 CD→ -CB→ = 2 (CA→ -CD→),所以 CB→ = 3CD→ - 2CA→ = 3n- 2m= -2m+3n. 故选 B. 典例 4 D 【解析】由 BC→ = λDC→ 可知 AC→-AB→ = λ(AC→-AD→), ∴ AD→ = 1- 1 λ( ) AC →+ 1 λ AB→. 又 AD→ = - 1 3 AB→+ 4 3 AC→, ∴ 1 λ = - 1 3 , 1- 1 λ = 4 3 , ì î í ï ï ï ï 解得 λ= -3. 故选 D. 典例 5 B 【解析】由 MA→+MB→+MC→ = 0 得 M 为△ABC 的重心. 设 D 为边 BC 的中点,则 AM→ = 2 3 AD→ = 2 3 × 1 2 ( AB→ + AC→) = 1 3 (AB→+AC→),所以 m= 3. 故选 B. 典例 6 B 【解析】设 D 为边 BC 的中点,连接 AD,如图所示, 则 AB→+AC→ = 2AD→. 由向量的三角不等式知 | AP→ | - | AB→+AC→ | ≤ |AP→-(AB→+AC→) | = 1,即 |AP→ | - | 2AD→ | ≤1,即 | AP→ | ≤ | 2AD→ | +1, 当且仅当向量 AP→ 和 AD→ 同向共线时取得等号. 在Rt△ADC 中,AC= 2　 3 ,CD= 　 3 ,所以 |AD→ | = 3,所以 | AP→ | ≤ | 2AD→ | +1 = 7. 故选 B. 典例 7 - 1 2 【解析】由共线向量基本定理知,存在实数 k,满 足 b= ka,即 e1 +λe2 = 2ke1 -ke2 ,∴ 2k= 1, -k=λ,{ 解得 k= 1 2 , λ= - 1 2 . ì î í ï ï ï ï 典例 8 C 【解析】∵ AB→ = 2DC→,∴ AB∥DC 且 AB≠DC, ∴ 四边形 ABCD 为梯形. 故选 C. 典例 9 (1)【证明】∵ AB→ =a+b,BC→ = 2a+8b,CD→ = 3(a-b), ∴ BD→ =BC→+CD→ = 2a+8b+3(a-b)= 2a+8b+3a-3b = 5(a+b)= 5AB→,∴ AB→,BD→ 共线. 又∵ 它们有公共点 B,∴ A,B,D 三点共线. (2)【解】∵ a+λb 和 2a-b 共线, ∴ 存在实数 k,使得 a+λb= k(2a-b),即 a+λb= 2ka-kb, ∴ (1-2k)a= (-λ-k)b. ∵ a,b 是两个不共线的非零向量, ∴ 1-2k= -λ-k= 0,∴ λ= -k= - 1 2 . 6. 2　平面向量的数量积 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①非零　 ②同向　 ③反向　 ④ π 2 　 ⑤0　 ⑥0　 ⑦ | a | | b | 　 ⑧- | a | | b | 　 ⑨≤　 ⑩b·a　 􀃊􀁉􀁓a·c+b·c 三、思考辨析 1. 　 2. 　 3. 　 4. 　 5. √ 【快提升·练典例】 典例 1 - 9 2 【解析】由已知可得(a+b+c) 2 =a2 +b2 +c2 +2(a· b+b·c+c·a) = 9+ 2(a·b+b·c+c·a) = 0,因此 a·b+ b·c+c·a= - 9 2 . 变式题 -25 【解析】如图,根据题意可得△ABC 为直角三角形,且 B= π 2 . 方法一(定义法):cos A = 3 5 ,cos C = 4 5 ,∴ AB→· BC→+BC→·CA→+CA→·AB→ = 0+BC→·CA→+CA→·AB→ = 4×5cos(π-C) + 5×3cos(π-A)= -20cos C-15cos A= -20× 4 5 -15× 3 5 = -25. 方法二(从投影向量角度):BC→·CA→ 指的是 CA→ 在 BC→ 上的投 影向量 CB→ 与 BC→ 的数量积,同理 CA→·AB→ 指的是 CA→ 在 AB→ 上的投影向量 BA→ 与 AB→ 的数量积,∴ AB→·BC→+BC→·CA→+CA→· AB→ = 0 + CB→ ·BC→ + BA→ · AB→ = 4 × 4 × ( - 1) + 3 × 3 × ( - 1) = -16+(-9)= -25. 典例 2 C 【解析】∵ | a-2b | 2 = | a | 2 -4a·b+ 4 | b | 2 , | a | = 1, | b | = 　 3 , | a- 2b | = 3, ∴ 9 = 1 - 4a· b + 4 × 3 = 13 - 4a· b, ∴ a·b= 1. 故选 C. 变式题 B 【解析】方法一(用运算转化):∵ BF→ = 2FO→,圆 O 的半径为 1,∴ | FO→ | = 1 3 ,∴ FD→·FE→ = (FO→ +OD→) · (FO→ + OE→)= FO→2 +FO→·(OE→+OD→) +OD→·OE→ = 1 3( ) 2 +0-1 = - 8 9 . 故 选 B. 方法二(极化恒等式):同方法一得 | FO→ | = 1 3 ,由极化恒等式 得 FD→·FE→ = |FO→ | 2 - 1 4 |DE→ | 2 = 1 9 -1 = - 8 9 . 故选 B. 典例 3 　 2 2 【解析】由题意得 a·b= 1×1×cos 45° = 　 2 2 , 由向量垂直的充要条件可得(ka-b)·a= 0, 即 ka2 -a·b= k- 　 2 2 = 0,解得 k= 　 2 2 . 典例 4 3 【解析】将原式平方得 | a-b | 2 = 3, | a+b | 2 = | 2a-b | 2 ,{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 6.1 平面向量的概念及线性运算 >>答案链接 P21 1. 与非零向量 a 共线的单位向量为± a | a | . 2. 向量的三角不等式 当 a 与 b 同向时,|a+b | = |a | + |b | , |a-b | = | |a | - |b | | ;当 a 与 b 反向时, | a+b | = | | a | - | b | | , | a-b | = |a | + |b | ;当 a 与 b 不共线时,| |a | - |b | | < |a± b | < |a | + |b | .综上,| |a | - |b | | ≤|a± b | ≤|a | + |b | . 3. 若 a 与 b 不共线且 λa=μb,则 λ=μ= 0. 4. 等和线定理及其相关结论 (1)定理:已知平面内一组基向量 OA→,OB→ 及任一向量 OP→,且 OP→ =λOA→+μOB→(λ, μ∈R),若点 P 在直线 AB 上或者在平行于 AB 的直线上,则 λ+μ= k(定值),反之 48084 也成立,我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为等和线,如图, | k | = |OP1 | |OP | = |OA1 | |OA | = |OB1 | |OB | . (2)相关结论:①当等和线恰为直线 AB 时,k= 1; ②当等和线在点 O 和直线 AB 之间时,k∈(0,1); ③当直线 AB 在点 O 和等和线之间时,k∈(1,+∞ ); ④当等和线过点 O 时,k= 0; ⑤当点 O 在直线 AB 和等和线之间时,k∈( -∞ ,0); ⑥若两等和线关于点 O 对称,则定值 k 互为相反数. 判断下列问题,正确的打“√”,错误的打“ ” . 1. 零向量 0 就是数 0. (　 　 ) 2. 若 a∥b,b∥c,则 a∥c. (　 　 ) 3. 平行向量一定方向相同. (　 　 ) 4. “若 A,B,C,D 是不共线的四点,AB→ =DC→”等价于“四边形 ABCD 是平行四边形” . (　 　 ) 5. 当两个非零向量 a,b 共线时,一定有 b=λa,反之也成立. (　 　 ) >>答案链接 P21 考点一 平面向量的有关概念 (1)若 a∥b,b∥c(b≠0),则 a∥c;(2)若 a=b,b= c,则 a= c;(3)零向量的方向是任意的. 对于非零向量 a,b,“a+b= 0”是“a∥b”的(　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点二 平面向量的线性运算 考向 1　基础线性运算 (1)根据向量加法的交换律使相关向量首尾相接,再运用向量加法的结合律调整向量的相加顺序后 相加. (2)向量减法根据“共起点,连终点,指被减”运算,也可利用相反向量转化为向量的加法进行运算. (3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算. (4)向量求和的多边形法则:A1A2 →+A2A3 →+A3A4 →+…+An-1An → =A1An →. 特别地,当 An 和 A1 重合时,A1A2 →+A2A3 →+ A3A4 →+…+An-1An → =0. 58 085 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足 |OB→-OC→ | = |OB→+OC→-2OA→ | ,试判断△ABC 的形状. 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考向 2　用已知向量表示未知向量 结合图形中各向量的位置关系,将未知向量表示为两个向量的和或差,再将这两个向量逐步分解为可 以用已知向量表示的形式,整理即可. 【2022·新高考Ⅰ·3】 在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,BD = 2DA. 记 CA→ = m,CD→ = n,则 CB→ = (　 　 ) 　 A. 3m-2n B. -2m+3n C. 3m+2n D. 2m+3n 考向 3　已知运算结果求参数的值 结合图形,利用向量的线性运算将向量表示出来,利用向量相等确定参数的值. 设 D 为△ABC 所在平面内一点,AD→ = - 1 3 AB→+ 4 3 AC→,若 BC→ =λDC→(λ∈R),则 λ= (　 　 ) A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 【点拨】对 BC→ =λDC→ 进行变形,转化为关于 AD→,AB→,AC→ 的式子,然后结合已知条件,利用对应系数相等求参数. 考向 4　向量线性运算的几何性质 根据向量的加法法则可知,在△ABC 中,AB→+AC→ = 2AD→(D 为 BC 边的中点),反之也成立. 在平行四边 形中,共起点的两个向量的和与差分别是两条对角线表示的向量. 已知△ABC 和点M满足MA→+MB→+MC→ =0.若存在实数m使得 AB→+AC→ =mAM→ 成立,则m=(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【点拨】由 MA→+MB→+MC→ = 0 可知 M 为△ABC 的重心. 考向 5　向量三角不等式的应用 | | a | - | b | | ≤ | a± b | ≤ | a | + | b | ,注意等号成立的条件. 68086 已知等边△ABC 的边长为 2 3 ,P 为它所在平面内一点,且 | AP→-AB→-AC→ | = 1,则 | AP→ | 的最大 值为(　 　 ) A. 4 3 +1 B. 7 C. 8 D. 2 3 -1 考点三 向量共线的应用 考向 1　利用向量共线求参数 可利用共线向量基本定理及向量相等的条件来列方程(组)求参数. 设 e1,e2 是两个不共线向量,b= e1 +λe2(λ∈R),a= 2e1 -e2,若 a,b 共线,则 λ= 　 　 　 　 . 考向 2　利用向量共线证明两直线平行 a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量是共线向量的主要依据. 注意当两向量平行时,两向量所在直 线可能平行,也可能重合,只有两直线不重合时,才能得到两直线平行. 在四边形 ABCD 中,AB→ = 2DC→,则四边形 ABCD 为(　 　 ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 考向 3　利用向量共线证明三点共线 (1)当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即 A,B,C 三点共线⇔AB→,AC→ 共线. (2)若 A,B,C 三点共线⇔存在唯一的实数 λ,使得 AC→ =λAB→ ⇔存在唯一的实数 λ,使得 OC→ =OA→+λAB→ ⇔存在实数 λ,μ,且 λ+μ= 1,使得 OC→ =λOA→+μOB→(点 O 不与 A,B 两点共线). 特别地,若 λ =μ= 1 2 ,则 C 为线段 AB 的中点. 设两个非零向量 a 与 b 不共线. (1)若 AB→ =a+b,BC→ = 2a+8b,CD→ = 3(a-b),求证:A,B,D 三点共线. (2)试确定实数 λ,使 a+λb 和 2a-b 共线. 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 78 087