5.5 函数y=Asin(ωx+φ)及其应用-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

令 2x- π 3 = kπ+ π 2 ,k∈Z,解得 x= kπ 2 +5π 12 ,k∈Z, 所以图象的对称轴方程为 x= kπ 2 +5π 12 ,k∈Z. (2)当 x∈ 0, 7π 12 é ë êê ù û úú 时,2x- π 3 ∈ - π 3 , 5π 6 é ë êê ù û úú ,令 t = 2x- π 3 ,则 t∈ - π 3 , 5π 6 é ë êê ù û úú . 令 g( t) = sin t+ 3 2 ,t∈ - π 3 , 5π 6 é ë êê ù û úú ,则 g( t)的 最小值为 0,最大值为 1+ 3 2 ,即 f(x)的最小值为 0,最大值为 1+ 3 2 . 5.5　函数 y=A 一、知识梳 【研课本·划重点】 sin(ωx+φ)及其应用 理 ① 2π |ω | 　 ② 1 T 　 ③初始 　 ④kπ　 ⑤ π 2 + kπ　 ⑥ π 2 + kπ　 ⑦kπ 三、思考辨析 1. 　 2. √　 3. √　 4. √　 5. 【快提升·练典例】 典例 1 (1) f(x)= 2sin 2x- π 3( ) 　 (2)A 【解析】(1)由题图可知 A = 2,且 T 2 = 11π 12 - 5π 12 = π 2 ,即 T = π, 所以 ω= 2π T = 2π π = 2. 将点 5π 12 ,2( ) 的坐标代入 f(x)= 2sin(2x+φ), 得 5π 6 +φ= 2kπ+ π 2 (k∈Z),即 φ= 2kπ- π 3 (k∈Z) . 因为 |φ | ≤ π 2 ,所以 φ= - π 3 , 所以函数 y= f(x)的解析式为 f(x)= 2sin 2x- π 3( ) . (2)由函数的最小正周期 T 满足2π 3 <T<π,得2π 3 <2π ω <π, 解得 2<ω<3. 又因为函数图象关于点 3π 2 ,2( ) 对称, 所以 3π 2 ω+ π 4 = kπ,k∈Z,且 b= 2, 解得 ω= - 1 6 + 2 3 k,k∈Z,所以 ω= 5 2 ,f(x)= sin 5 2 x+ π 4( ) +2, 所以 f π 2( ) = sin 5π 4 + π 4( ) +2 = 1. 故选 A. 典例 2 - 3 2 【解析】设 A x1 , 1 2( ) ,B x2 , 1 2( ) , 由 |AB | = π 6 可得 x2 -x1 = π 6 . 由 sin x= 1 2 可知 x= π 6 +2kπ 或 x= 5π 6 +2kπ,k∈Z. 由图可知 ωx2 +φ-(ωx1 +φ)= 5π 6 - π 6 = 2π 3 ,即 ω(x2 -x1 )= 2π 3 , ∴ ω= 4. ∵ f 2π 3( ) = sin 8π 3 +φ( ) = 0, ∴ 8π 3 +φ= kπ,k∈Z,即 φ= -8π 3 +kπ,k∈Z, ∴ f(x)= sin 4x- 8π 3 +kπ( ) = sin 4x-2π3 +kπ( ) , ∴ f(x)= sin 4x- 2π 3( ) 或 f(x)= -sin 4x- 2π 3( ) . 又∵ f 0( ) <0,∴ f(x)= sin 4x- 2π 3( ) , ∴ f(π)= sin ( 4π-2π3 ) = - 3 2 . 典例 3 (1)D　 (2)B 【解析】(1)∵ y= 2sin 3x= 2sin 3 x- π 15( ) + π 5 é ë êê ù û úú , ∴ 把函数 y= 2sin 3x+ π 5( ) 图象上的所有点向右平移 π 15 个单 位长度即可得到函数 y= 2sin 3x 的图象. 故选 D. (2)函数 y= cos 5x= sin ( 5x+ π2 ) = sin 5 ( x+ π10 ) , y= sin ( 5x- π4 ) = sin 5 ( x- π 20 ) é ë êê ù û úú , 设平移 φ 个单位长度,则 π 10 +φ= - π 20 ,解得 φ= -3π 20 ,故把函数 y= cos 5x 的图象向右平移 3π 20 个单位长度, 可得函数 y = sin ( 5x- π4 )的图象. 故选 B. 注意：如果图象变换前后两个函数不是同名函数,那么应 先利用诱导公式化为同名函数,且 x 的系数要化为一致的. 典例 4 A 【解析】由题意得 ω = 2π π = 2,所以 f( x) = sin(2x+ φ) . 平移后得到的函数为 g ( x) = sin [ 2 ( x + π6 ) + φ ] = sin ( 2x+ π3 +φ ) ,且其为偶函数,所以 φ+ π 3 = kπ+ π 2 ,k∈Z. 因为 |φ | < π 2 ,所以 φ= π 6 ,所以 f(x)= sin ( 2x+ π6 ) . f ( 5π12 ) = sin ( 2× 5π 12 + π 6 ) = 0,f ( π 12 ) = sin ( 2× π 12 + π 6 ) = 3 2 , 所以 ( 5π12,0 )是 f(x)图象的对称中心. 故选 A. 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ω􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 0 变式题 D 【解析】因为 f(x)的最小正周期为 π,所以 2π |ω | = π,又 ω>0,解得 ω= 2,故 f(x)= sin(2x+φ) . 将 f(x)的图象向右平移 π 6 个单位长度,所得图象对应的函数 为 y= sin 2x+φ- π 3( ) . 因为 y= sin 2x+φ- π 3( ) 的图象关于原点对称, 所以该函数是奇函数,所以 φ- π 3 = kπ,k∈Z,又 |φ | < π 2 ,解得 φ= π 3 , 所以 f(x)= sin 2x+ π 3( ) . 当 x∈ - π 2 ,0é ë êê ù û úú 时, 2x + π 3 ∈ -2π 3 , π 3 é ë êê ù û úú , 故 f ( x) 在区间 - π 2 ,0é ë êê ù û úú 上的最大值为 sin π 3 = 3 2 . 故选 D. 典例 5 AD 【解析】由题意,R = 32 +(-3 3 ) 2 = 6,T = 120 = 2π ω ,所以 ω= π 60 . 当 t= 0 时,y= f( t)= -3 3 ,代入 f( t)可得-3 3 = 6sin φ. 因为 |φ | < π 2 ,所以 φ= - π 3 ,故 A 正确; 所以 f( t)= 6sin ( π60 t- π 3 ) , 当 t ∈ [ 0, 60] 时, π 60 t - π 3 ∈ - π 3 , 2π 3 é ë êê ù û úú ,所以函数 y= f( t)在[0,60]上不是单调递增的, 故 B 错误; 因为 π 60 t- π 3 ∈ - π 3 , 2π 3 é ë êê ù û úú , | y | max = 6,所以点 P 到 x 轴的距离 的最大值为 6,故 C 错误; 当 t= 100 时, π 60 t- π 3 = 4π 3 ,此时 y = -3 3 ,点 P( - 3,- 3 3 ), |PA | = | 3-(-3) | = 6,故 D 正确. 故选 AD. 典例 6 【解】(1)由题意,H( t) = Asin(ωt+φ) +B ( 其中 A> 0, ω>0, |φ | ≤ π 2 ) , 因为摩天轮的最高点距离地面为 145 米,最低点距离地面约 为 145-124 = 21 米, 所以 B+A= 145, B-A= 21,{ 解得 A= 62, B= 83.{ 又函数 H( t)的周期为 30 分钟,所以 ω= 2π 30 = π 15 , 所以 H( t)= 62sin π 15 t+φ( ) +83. 　 　 　 　 　 又 H(0)= 62sin π 15 ×0+φ( ) +83 = 21, 所以 sin φ= -1. 又 |φ | ≤ π 2 ,所以 φ= - π 2 , 所以 H( t)= 62sin π 15 t- π 2( ) +83,0≤t≤30. (2)因为 H( t)= 62sin π 15 t- π 2( ) +83 = -62cos π 15 t+83, 所以令-62cos π 15 t+83 = 52,即 cos π 15 t= 1 2 ,解得 t= 5 或 t= 25, 所以游客甲坐上摩天轮 5 分钟,距离地面的高度第一次恰好 达到 52 米. (3)经过 t 分钟后甲距离地面的高度为 H1 = -62cos π 15 t+83, 乙与甲间隔的时间为 30 36 ×6 = 5 分钟, 所以乙距离地面的高度为 H2 = - 62cos π 15 ( t-5)é ë êê ù û úú + 83,5≤ t≤30, 所 以 两 人 离 地 面 的 高 度 差 h = | H1 - H2 | = -62cos π 15 t+62cos π 15 (t-5)é ë êê ù û úú = 62 sin ( π15 t - π 6 ) , 5 ≤ t≤30, 当 π 15 t- π 6 = π 2 或 3π 2 ,即 t= 10 或 25 时,h 取得最大值 62 米. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第六章　平面向量及其应用 6. 1　平面向量的概念及线性运算 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①方向　 ②大小　 ③0　 ④1 个单位长度　 ⑤相同或相反　 ⑥相等　 ⑦相同　 ⑧b+a　 ⑨a+(b+c) 　 ⑩相等　 􀃊􀁉􀁓相反　 􀃊􀁉􀁔相同　 􀃊􀁉􀁕相反　 􀃊􀁉􀁖(λμ)a　 􀃊􀁉􀁗λa+μa　 􀃊􀁉􀁘λa+λb　 􀃊􀁉􀁙b=λa 三、思考辨析 1. 　 2. 　 3. 　 4. √　 5. √ 【快提升·练典例】 典例 1 A 【解析】若 a+b= 0,则 a= -b,所以 a∥b. 若 a∥b,则a+b= 0 不一定成立,故前者是后者的充分不必要 条件. 故选 A. 典例 2 【解】因为 OB→+OC→- 2OA→ = OB→-OA→+OC→-OA→ = AB→+AC→, OB→-OC→ =CB→ =AB→-AC→, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 5.5 函数 y= Asin(ωx+φ)及其应用 >>答案链接 P20 077 1. 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表: ωx+φ 0 π 2 π 3π 2 2π x - φ ω π 2 -φ ω π-φ ω 3π 2 -φ ω 2π-φ ω y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 2. 确定 y=Asin(ωx+φ) +B(A>0,ω>0)的解析式的步骤 (1)求 A,B,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A=M -m 2 ,B=M +m 2 . (2)求 ω,确定函数的最小正周期 T,则 ω= 2π T . (3)求 φ,常用的方法有两个:代入法和五点法. ①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入解析式(此时要注意该点在上升区间内还是在下降区 间内)或把图象的最高点或最低点的坐标代入解析式. ②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 具体如下:“第一点”(上升零 点)为 ωx+φ= 0;“第二点”(图象的“峰点”)为 ωx+φ = π 2 ;“第三点” (下降零点)为 ωx+φ = π;“第四 点”(图象的“谷点”)为 ωx+φ= 3π 2 ;“第五点”(上升零点)为 ωx+φ= 2π. 判断下列问题,正确的打“√”,错误的打“ ” . 1. 利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的单位长度一致. (　 　 ) 2. 由 y= sin ωx 到 y= sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移φ ω 个单位长度,而不是 φ 个单位长度. (　 　 ) 3. 若函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T 2 . (　 　 ) 4. 函数 y= 2sin 4x+ π 6( ) 的初相是 π 6 . (　 　 ) 5. 函数 y= sin - 1 2 x+ π 3( ) 的单调递减区间,即 π 2 +2kπ≤- 1 2 x+ π 3 ≤3π 2 +2kπ,k∈Z 的解集. (　 　 ) >>答案链接 P20 考点一 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式,通常需要通过最值、零点、周期性、对称轴、对称中心等 信息,结合五点法、图象平移、解方程组、特殊值等进行求解. 078 (1)已知函数 f(x)= Asin(ωx+φ) A>0,ω>0, |φ | ≤ π 2( ) 的部分图象如图所示,则函数 y = f(x) 的解析式是 . (2)【2022·新高考Ⅰ·6】记函数 f(x)= sin ωx+ π 4( ) +b(ω>0)的最小正周期为 T. 若 2π 3 <T<π,且 y= f(x)的图象关于点 3π 2 ,2( ) 中心对称,则 f π2( ) = (　 　 ) A. 1 B. 3 2 C. 5 2 D. 3 【点拨】(1)题图中给出了最值和两相邻对称轴,从而可以得到 A 和最小正周期,利用特殊值求 φ. (2)利用条件2π 3 <T<π 可求得 ω 的取值范围,由图象的对称中心可求得 b 的值和 ω 的取值范围,两个 ω 的取 值范围相结合即可得到 ω 的值. 【2023·新高考Ⅱ·16】已知函数 f(x)= sin(ωx+φ),A,B 是直线 y= 1 2 与曲线 y = f(x)的两个 交点,如图所示. 若 |AB | = π 6 ,则 f(π)= . 【点拨】由 A,B 是直线 y= 1 2 与曲线 y = f(x)的两个交点,可知两点的纵坐标都为 1 2 ;由图可知 x = 2π 3 为函数 f(x)的一个零点;由 |AB | = π 6 ,可知 A,B 两点横坐标之差为 π 6 . 结合以上信息求解即可. 考点二 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 三角函数图象的平移变换仍遵循“左加右减,上加下减”的原则,当涉及伸缩变换时,则要考虑先平移 后伸缩,还是先伸缩后平移,这是两种常用的方法. 平移变换的实质是点的坐标的变换,图象左右平 移对应横坐标的变换,图象上下平移对应纵坐标的变换. 079 (1)【2022·浙江·6】为了得到函数 y= 2sin 3x 的图象,只要把函数 y= 2sin 3x+ π 5( ) 图象上所 有的点(　 　 ) A. 向左平移π 5 个单位长度 B. 向右平移π 5 个单位长度 C. 向左平移 π 15 个单位长度 D. 向右平移 π 15 个单位长度 (2)要得到函数 y= sin (5x- π4 )的图象,只需将函数 y= cos 5x 的图象(　 　 ) A. 向左平移3π 20 个单位长度 B. 向右平移3π 20 个单位长度 C. 向左平移3π 4 个单位长度　 　 D. 向右平移3π 4 个单位长度 【点拨】(1)直接利用图象的平移变换规律求解即可. (2)观察发现,变换前后函数名称发生改变,故需要先利用诱导公式统一函数名称,然后再求解. 已知函数 f(x)= sin(ωx+φ) ω>0, |φ | < π 2( ) 的最小正周期为 π,将该函数的图象向左平移 π 6 个单位长度后,得到的图象对应的函数为偶函数,则 f(x)的图象(　 　 ) A. 关于点 5π 12 ,0( ) 对称 B. 关于直线 x= 5π12对称 C. 关于点 π 12 ,0( ) 对称 D. 关于直线 x= π12对称 【点拨】由最小正周期为 π 及 ω>0,可求得 ω 的值. 由平移 π 6 个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数, 可得 φ 的值,从而得到函数 f(x)的解析式. 函数 f(x)= sin(ωx+φ) ω>0, |φ | < π 2( ) 的最小正周期为 π,其图象向右平移 π 6 个单位长度后 关于原点对称,则函数 f(x)在 - π 2 ,0é ë ê ê ù û ú ú 上的最大值为(　 　 ) A. - 1 2 B. - 3 2 C. 1 2 D. 3 2 考点三 三角函数模型的应用 【RJA 版·必修第一册·P231·模型改编】(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人 类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征. 如图是一个半径为 R 的水车,一个水 斗从点 A 3,-3 3( ) 出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时 120 秒. 经过 t 秒后,水斗 旋转到点 P,设点 P 的坐标为 x,y( ) ,其纵坐标满足 y = f( t)= Rsin(ωt+φ) t≥0,ω>0, |φ | < π 2( ) ,则下 080 列叙述正确的是(　 　 ) A. φ= - π 3 B. 当 t∈[0,60]时,函数 y= f( t)单调递增 C. 当 t∈[0,60]时,点 P 到 x 轴的距离的最大值为 3 3 D. 当 t= 100 时, |PA | = 6 【点拨】解这类问题的关键在于提取信息. 本题可以提取到的信息有 A(3,-3 3 ),周期为 120 秒,以及旋转 到任意点 P 的纵坐标满足的解析式. 【RJA 版·必修第一册·P238·例 2 改编】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客 坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色. 位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是 世界上最高的无轴摩天轮,该摩天轮轮盘直径约为 124 米,设置有 36 个座舱. 游客在座舱转到距离 地面最近的位置进舱,当到达最高点时距离地面 145 米,匀速转动一周大约需要 30 分钟. 从游客甲 坐上摩天轮的座舱开始计时. (1)经过 t 分钟后游客甲距离地面的高度为 H 米,已知 H 关于 t 的函数关系式 满足H( t)= Asin(ωt+φ) +B (其中 A>0,ω>0, |φ | ≤π2 ) ,求摩天轮转动一周的解 析式 H( t) . (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度第一次恰好达到 52 米? (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间间隔 5 个座舱,在摩天轮转动一周的过程中,记两人距 离地面的高度差为 h 米,求 h 的最大值. 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 081