5.4 三角恒等变换-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

5.4三角恒等变换 必修第 册 研课本·划重点 >>答案链接P18 知识梳理 章 Cmm:cos(a-B)=① 三角函数 C:cos(a+B)-② 和（差）角 S:sin(a-β)=③ 公式 C,S,Tm都叫做差角公式： Sm:sin(a+B)-④① C,SA,T都叫做和角公式 tan a-tan B T: tan(a-B)=- ⑤ 6 T:tan(a+B)= 1-tan atan B 三角恒等变换 sin2ar-2 sin acos变形 sin acos asin 2a 二倍角 =1-2sina=8 公式 cos2a-⑦ tan2a-⑨ 升幂降角 sin'a=1-cos 2a 2 cos'a=1+cos 2a 辅助角公式一asinx+bcos x=+bsin(x+p),其中 b a sin= 6中万，cosP,6万，p叫做 变形 辅助角，p的终边过点P(a,b) 换元 公式 s1n亏= 1-cos a 2 符号由g的终边所 半角公式 =±I+cosa 2 在的象限决定 二常用结论 1.其他常见的升幂降角公式 1+cos 2a=2cos'a,1+cos a=2cos 073 回归课本 2a2sin=2in 高 2.常见变形 tan attan B=tan(a+B)(1F tan atan B); sin 2cos 2sin 2 sin 2sin2a sin a 2 l-cos a tan 2 2c0s2 1+cos a' tan 2 sin a c052 cos 2cos 2 2sin 2 万能公式：sin2a= 2sin ccos a 2tan a ,cos2a=coa-sina1-tana sin'a+cos'a 1+tan'a cos'a+sin'a 1+tan'a 三 思考辨析 判断下列问题，正确的打“√”，错误的打“×”. 1 1.sin 3acos 3a= 2sin 6a. 2.cs0=2cos39-1=1-2sin29 2 3.c0s(60°-30)=c0s60°-c0s30° 4.存在实数a,B,使等式sin(a+B)=sina+sinB成立. 5.不存在实数a,使得sin2a=2sin. 快提升·练典例 >答案链接P18 考点一和差角公式及其应用 9示通法 使用和差角公式有以下几种方法： (1)正用法，即直接使用和差角公式： (2)换用法，即“1”的代换，如sin'a+cos2x=1,tan45o=1等； (3)拼凑法，即通过拆项或凑项，使之可以使用和差角公式，如α=（α+B)-B,2a=(α+B)+(a- B)等： (4)变用法，即将和差角公式变形后使用，如tana+tanB=tan(a+B)(1-tan atan B)等. 奥圆1(1)设a,B为镜角，且血a=5 ,c0sBs-310 10,则B= （2已知(a9=e-引=-号omy-30,其中a,y为悦角，则ma ；a+ 2y= 4074 因题2已知Bas(a8)=是 3π in()-3 求sim2a的值 必修第 册 第 章 三角函 圈3求值：(15， +2sin159:(2)-sin1670·sin223+sin2570·sim313°： (3)sin79+cos15°·sin80 cos 7-sin 15.sin (4)tan 15+tan 30+tan 15'tan30 考点二二倍角公式及其应用 9示通法 运用二倍角公式的时候，除了直接运用公式外，还要注意二倍角公式的变形的使用， 典囫4(1)已知simx= 5,r<a 2,则an (2)已知ae0,3 且2sin2a=4cosa-3cos3a,则cos2a=(） 6.7 3 1+5 (3)【2023·新高考Ⅱ·7】已知a为锐角，cosa= 435 B1+5 35 D.1+5 8 8 4 075 回归课本 典例5求值： 高中数学 (1)c0s*15°-sim15;(2)c0s5cos5 考点三辅助角公式及其应用 9示通法 利用和（差）角公式，可将y=asin x+bcos x转化为y=Asin(x+p) 其中A=后环，amp= 的形式， 进而可以研究其性质.若有二次的形式，需要先利用二倍角降幂公式化筒，然后再求解 奥例6(1)把3cosa-33sina化成Acos(a+p)(A>0,pe(-π，m])的形式为 (2(202·清江131若3ina-inB=0,a+8=号则ma= ,c0s23= 图7已知函数)=n(2)·血(-3mx+3. (1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程： 2当xe0 7π时，求x)的最小值和最大值 【点拨】要求函数的周期、最值以及图象的对称轴等，需要先对函数解析式进行化简，化为含有一个三角函数 名的形式，然后再研究其性质 40765π 12 ) ,k∈Z. (3)因为 x∈ 0, π 2 é ë êê ù û úú ,所以 ωx+ π 4 ∈ π 4 ,ω· π 2 + π 4 é ë êê ù û úú . 因为函数 y = 3 2 cos ωx+ π 4( ) (ω>0)在区间 0, π 2 é ë êê ù û úú 上单调递 减,所以 ω· π 2 + π 4 ≤π, 又 ω>0,所以 0<ω≤ 3 2 ,所以 ω 的最大取值为 3 2 . 典例 6 (1) - 3 2 ,3é ë êê ù û úú 　 (2)1　 (3) 5 4 , 9 4 é ë êê ù û úú 【解析 】 ( 1 ) 当 x ∈ 0, π 2 é ë êê ù û úú 时, 2x - π 6 ∈ - π 6 , 5π 6 é ë êê ù û úú , sin 2x- π 6( ) ∈ - 1 2 ,1é ë êê ù û úú , 所以 3sin 2x- π 6( ) ∈ - 3 2 ,3é ë êê ù û úú ,即 f(x)= 3sin 2x- π 6( ) 在区间 0, π 2 é ë êê ù û úú 上的值域为 - 3 2 ,3é ë êê ù û úú . (2)由题意得 a≠0, 当 a > 0 时, a+b=1, -a+b=-3,{ 解得 a=2, b=-1,{ 此时 g(x)= -sin 2x+ π 3( ) ,其最大值为 1. 当 a < 0 时, a+b= -3, -a+b= 1,{ 解得 a= -2, b= -1,{ 此时 g(x) = -sin ( -2x+ π3 ) ,其最大值为 1. 综上,g(x)的最大值为 1. (3) f(x)= cos 2x+sin x+1 = 1-sin 2x+sin x+1 = -sin 2x+sin x+2, 令 t= sin x,x∈ π 4 , 7π 6( ù û úú ,则 t∈ - 1 2 ,1é ë êê ù û úú . 因为 f( t) = - t2 + t+ 2 图象的对称轴方程为 t = 1 2 ,图象开口 向下, 所以 f( t) min = - - 1 2( ) 2 - 1 2 + 2 = 5 4 , f ( t) max = - 1 2( ) 2 + 1 2 + 2 = 9 4 , 所以 f( t)∈ 5 4 , 9 4 é ë êê ù û úú ,所以 f(x)∈ 5 4 , 9 4 é ë êê ù û úú , 所以函数 f ( x) = cos 2x + sin x + 1 在 π 4 , 7π 6( ù û úú 上的值域 为 5 4 , 9 4 é ë êê ù û úú . 典例 7 (1)- π 6 　 (2) π 6 【解析】(1) 由题意得 f π 3( ) = sin 2π 3 +φ( ) = ±1, ∴ 2π 3 +φ= kπ+ π 2 (k∈Z), ∴ φ= kπ- π 6 (k∈Z) . ∵ φ∈ - π 2 , π 2( ) ,∴ φ= - π 6 . (2)∵ 函数 y= 3cos(2x+φ)的图象关于点 4π 3 ,0( ) 中心对称, ∴ 2×4π 3 +φ = kπ + π 2 ,k∈Z,得 φ = kπ - 13π 6 ,k∈Z,由此得 |φ | min = π 6 . 5.4　三角恒等变换 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①cos αcos β+sin αsin β　 ②cos αcos β-sin αsin β ③sin αcos β-cos αsin β　 ④sin αcos β+cos αsin β ⑤1+tan αtan β　 ⑥tan α+tan β　 ⑦cos 2α-sin 2α ⑧2cos 2α-1　 ⑨ 2tan α 1-tan 2α 　 ⑩± 　 1-cos α 1+cos α 三、思考辨析 1. √　 2. √　 3. 　 4. √　 5. 【快提升·练典例】 典例 1 (1)7π 4 　 (2) 1 7 　 π 4 【解析】(1)因为 α,β 为钝角,sin α= 5 5 ,cos β= -3 10 10 , 所以 cos α= -2 5 5 ,sin β= 10 10 , 所以 cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β= 2 2 >0. 又 α+β∈(π,2π),所以 α+β∈ ( 3π2 ,2π ) ,所以 α+β= 7π 4 . (2)因为 tan(α+β)= 9 13 ,tan β- π 4( ) = - 1 3 , 所 以 tan α+ π 4( ) = tan α+β- β- π 4( ) é ë êê ù û úú = tan(α+β)-tan β- π 4( ) 1+tan(α+β)tan β- π 4( ) = 9 13 + 1 3 1- 9 13 × 1 3 = 4 3 , 所以 tan α= tan α+ π 4( ) - π 4 é ë êê ù û úú = tan α+ π 4( ) -tan π 4 1+tan α+ π 4( ) tan π 4 = 1 7 . 因为 cos γ = 3 10 10 ,所以 cos 2γ = 2cos2γ - 1 = 2 × 3 10 10( ) 2 - 1 = 4 5 . 又 γ 为锐角,所以 0< 2γ< π 2 ,所以 sin 2γ = 1-cos22γ = 3 5 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18 tan 2γ= sin 2γ cos 2γ = 3 4 , 所以 tan(α+2γ)= tan α+tan 2γ 1-tan αtan 2γ = 1 7 + 3 4 1- 1 7 × 3 4 = 1. 因为 α 为锐角,所以 0<α+2γ<π,所以 α+2γ= π 4 . 典例 2 【解】因为 π 2 <β<α<3π 4 ,所以 π<α+β<3π 2 ,0<α-β< π 4 . 因为 cos(α-β)= 12 13 ,sin(α+β)= - 3 5 , 所以 sin ( α - β ) = 1-cos 2(α-β) = 5 13 , cos ( α + β ) = - 1-sin 2(α+β) = - 4 5 , 所以 sin 2α = sin[(α+β) + (α-β)] = sin(α+β) cos(α-β)+ cos(α+β)sin(α-β)= -56 65 . 典例 3 【解】 ( 1) 1 2 cos 15° + 3 2 sin 15° = cos 60° cos 15° + sin 60°sin 15° = cos(60°-15°)= cos 45° = 2 2 . (2)-sin 167°·sin 223°+sin 257°·sin 313° = - sin ( 180° - 13°) sin ( 180° + 43°) + sin ( 180° + 77°) · sin(360°-47°) = sin 13°sin 43°+sin 77°sin 47° = sin 13°sin 43°+cos 13°cos 43° = cos(43°-13°)= cos 30° = 3 2 . ( 3) sin 7°+cos 15°·sin 8° cos 7°-sin 15°·sin 8° = sin(15°-8°)+cos 15°·sin 8° cos(15°-8°)-sin 15°·sin 8° = sin 15°·cos 8° cos 15°·cos 8° = tan 15° = tan ( 45° - 30°) = tan 45°-tan 30° 1+tan 45°·tan 30° = 1- 3 3 1+ 3 3 = 2- 3 . (4)tan 15°+tan 30°+tan 15°tan 30° = tan(15°+30°)(1-tan 15°tan 30°)+tan 15°tan 30° = 1-tan 15°tan 30°+tan 15°tan 30° = 1. 典例 4 (1)-2　 (2)C　 (3)D 【解析】(1)∵ π<α<3π 2 ,sin α= - 4 5 , ∴ cos α= - 3 5 ,且 π 2 < α 2 <3π 4 , ∴ sin α 2 = 1-cos α 2 = 2 5 5 ,cos α 2 = - 1+cos α 2 = - 5 5 , ∴ tan α 2 = sin α 2 cos α 2 = -2. (2)因为 α∈ 0, π 3( ) ,所以 cos α≠0,0<sin α< 3 2 . 因为 2sin 2α= 4cos α-3cos3α, 所以 4sin αcos α= 4cos α-3cos3α, 所以 4sin α= 4-3cos2α= 4-3(1-sin2α), 解得 sin α= 1 3 或 sin α= 1(舍), 则 cos 2α= 1-2sin2α= 1-2× 1 9 = 7 9 . 故选 C. (3)cos α= 1-2sin2 α 2 = 1+ 5 4 ,∵ α 为锐角, ∴ sin α 2 = 3- 5 8 = ( 5 -1) 2 16 = 5 -1 4 . 故选 D. 典例 5 【解】 ( 1) cos415° - sin415° = ( cos215° - sin215°) · (cos215°+sin215°)= cos215°-sin215° = cos 30° = 3 2 . ( 2 ) cos π 5 cos 2π 5 = 2sin π 5 cos π 5 cos 2π 5 2sin π 5 = sin 2π 5 cos 2π 5 2sin π 5 = sin 4π 5 4sin π 5 = sin π 5 4sin π 5 = 1 4 . 典例 6 (1)6cos (α+ π3 ) 　 (2) 3 10 10 　 4 5 【解析 】 ( 1 ) 3cos α - 3 3 sin α = 6 1 2 cos α- 3 2 sin α( ) = 6 ( cos π3 cos α-sin π 3 sin α ) = 6cos (α+ π3 ) . (2)∵ α+β= π 2 ,∴ sin β= cos α,即 3sin α-cos α= 10 , 即 10 3 10 10 sin α- 10 10 cos α( ) = 10 , 令 sin θ= 10 10 ,cos θ= 3 10 10 ,则 10 sin(α-θ)= 10 , ∴ α-θ= π 2 +2kπ,k∈Z,即 α=θ+ π 2 +2kπ,k∈Z, ∴ sin α= sin θ+ π 2 +2kπ( ) = cos θ= 3 10 10 , 则 cos 2β= 2cos2β-1 = 2sin2α-1 = 4 5 . 典例 7 【解】 f(x) = -sin x·( -cos x) - 3 (1 +cos 2x) 2 + 3 = sin 2x 2 - 3 cos 2x 2 + 3 2 = sin 2x- π 3( ) + 3 2 . (1)最小正周期 T= 2π 2 = π. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 19 令 2x- π 3 = kπ+ π 2 ,k∈Z,解得 x= kπ 2 +5π 12 ,k∈Z, 所以图象的对称轴方程为 x= kπ 2 +5π 12 ,k∈Z. (2)当 x∈ 0, 7π 12 é ë êê ù û úú 时,2x- π 3 ∈ - π 3 , 5π 6 é ë êê ù û úú ,令 t = 2x- π 3 ,则 t∈ - π 3 , 5π 6 é ë êê ù û úú . 令 g( t) = sin t+ 3 2 ,t∈ - π 3 , 5π 6 é ë êê ù û úú ,则 g( t)的 最小值为 0,最大值为 1+ 3 2 ,即 f(x)的最小值为 0,最大值为 1+ 3 2 . 5.5　函数 y=A 一、知识梳 【研课本·划重点】 sin(ωx+φ)及其应用 理 ① 2π |ω | 　 ② 1 T 　 ③初始 　 ④kπ　 ⑤ π 2 + kπ　 ⑥ π 2 + kπ　 ⑦kπ 三、思考辨析 1. 　 2. √　 3. √　 4. √　 5. 【快提升·练典例】 典例 1 (1) f(x)= 2sin 2x- π 3( ) 　 (2)A 【解析】(1)由题图可知 A = 2,且 T 2 = 11π 12 - 5π 12 = π 2 ,即 T = π, 所以 ω= 2π T = 2π π = 2. 将点 5π 12 ,2( ) 的坐标代入 f(x)= 2sin(2x+φ), 得 5π 6 +φ= 2kπ+ π 2 (k∈Z),即 φ= 2kπ- π 3 (k∈Z) . 因为 |φ | ≤ π 2 ,所以 φ= - π 3 , 所以函数 y= f(x)的解析式为 f(x)= 2sin 2x- π 3( ) . (2)由函数的最小正周期 T 满足2π 3 <T<π,得2π 3 <2π ω <π, 解得 2<ω<3. 又因为函数图象关于点 3π 2 ,2( ) 对称, 所以 3π 2 ω+ π 4 = kπ,k∈Z,且 b= 2, 解得 ω= - 1 6 + 2 3 k,k∈Z,所以 ω= 5 2 ,f(x)= sin 5 2 x+ π 4( ) +2, 所以 f π 2( ) = sin 5π 4 + π 4( ) +2 = 1. 故选 A. 典例 2 - 3 2 【解析】设 A x1 , 1 2( ) ,B x2 , 1 2( ) , 由 |AB | = π 6 可得 x2 -x1 = π 6 . 由 sin x= 1 2 可知 x= π 6 +2kπ 或 x= 5π 6 +2kπ,k∈Z. 由图可知 ωx2 +φ-(ωx1 +φ)= 5π 6 - π 6 = 2π 3 ,即 ω(x2 -x1 )= 2π 3 , ∴ ω= 4. ∵ f 2π 3( ) = sin 8π 3 +φ( ) = 0, ∴ 8π 3 +φ= kπ,k∈Z,即 φ= -8π 3 +kπ,k∈Z, ∴ f(x)= sin 4x- 8π 3 +kπ( ) = sin 4x-2π3 +kπ( ) , ∴ f(x)= sin 4x- 2π 3( ) 或 f(x)= -sin 4x- 2π 3( ) . 又∵ f 0( ) <0,∴ f(x)= sin 4x- 2π 3( ) , ∴ f(π)= sin ( 4π-2π3 ) = - 3 2 . 典例 3 (1)D　 (2)B 【解析】(1)∵ y= 2sin 3x= 2sin 3 x- π 15( ) + π 5 é ë êê ù û úú , ∴ 把函数 y= 2sin 3x+ π 5( ) 图象上的所有点向右平移 π 15 个单 位长度即可得到函数 y= 2sin 3x 的图象. 故选 D. (2)函数 y= cos 5x= sin ( 5x+ π2 ) = sin 5 ( x+ π10 ) , y= sin ( 5x- π4 ) = sin 5 ( x- π 20 ) é ë êê ù û úú , 设平移 φ 个单位长度,则 π 10 +φ= - π 20 ,解得 φ= -3π 20 ,故把函数 y= cos 5x 的图象向右平移 3π 20 个单位长度, 可得函数 y = sin ( 5x- π4 )的图象. 故选 B. 注意：如果图象变换前后两个函数不是同名函数,那么应 先利用诱导公式化为同名函数,且 x 的系数要化为一致的. 典例 4 A 【解析】由题意得 ω = 2π π = 2,所以 f( x) = sin(2x+ φ) . 平移后得到的函数为 g ( x) = sin [ 2 ( x + π6 ) + φ ] = sin ( 2x+ π3 +φ ) ,且其为偶函数,所以 φ+ π 3 = kπ+ π 2 ,k∈Z. 因为 |φ | < π 2 ,所以 φ= π 6 ,所以 f(x)= sin ( 2x+ π6 ) . f ( 5π12 ) = sin ( 2× 5π 12 + π 6 ) = 0,f ( π 12 ) = sin ( 2× π 12 + π 6 ) = 3 2 , 所以 ( 5π12,0 )是 f(x)图象的对称中心. 故选 A. 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ω􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 0